ENEM 2011 - Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho.

Por ser um problema que disponibiliza as alternativas, então talvez é mais viável fazer uma analise das opções de respostas antes de tentar resolver. Se observarmos o enunciado e comparar com os pontos presentes nas allternativas, veremos logo de cara que a alternativa E não é satisfatória, pois pertence ao primeiro quadrante e, com toda certeza, ficará mais distantes que os demais pontos.

O ponto da alternativa A em relação ao ponto P possui uma distância de 5 km. Porém, o ponto não está próximo da linha do metrô. Podemos descartar também.

O ponto da alternativa B está localizado sobre a linha do metrô e em relação ao ponto P parece estar a menos de 5 km de distância.

O ponto da alternativa C também parece estar dentro dos 5 km, porém está longe da linda do metrô. Descartado também.

O ponto da aternativa D passa sobre a linha do metrô e a distância parece estar bem próxima da distância  do ponto da alternativa B.

Para resolver este empasse, vamos recorrer ao estudo da distância entre dois pontos presentes no plano.

A distância entre dois pontos no plano é dada através de:

\(d=\sqrt{\left(x_b-x_a\right)^2+\left(y_b-y_a\right)^2}\\\)

Analizemos, então, a distância entre os pontos \((-3,1)\) e \((-5,5)\) e, posteriomente, a distância entre os pontos \((0,4)\) e \((-5,5)\).

Analizando os pontos \((-3,1)\) e \((-5,5)\):

\(d=\sqrt{\left(x_b-x_a\right)^2+\left(y_b-y_a\right)^2}\\ d=\sqrt{\left(-5-(-3)\right)^2+\left(5-1\right)^2}\\ d=\sqrt{(-5+3)^2+(4)^2}\\ d=\sqrt{2^2+4^2}\\ d=\sqrt{20}\\ d\approx 4,47\)

Analizando os pontos \((0,4)\) e \((-5,5)\):

\(d=\sqrt{\left(x_b-x_a\right)^2+\left(y_b-y_a\right)^2}\\ d=\sqrt{\left(-5-0\right)^2+\left(5-4\right)^2}\\ d=\sqrt{(-5)^2+(1)^2}\\ d=\sqrt{25+1}\\ d=\sqrt{26}\\ d\approx 5,1\)

Portanto, a alternativa correta é a B.

Primeiramente, para que a estação seja construída, o ponto deve pertencer a reta y = x+4:

Vamos analisar:

A) (–5, 0).

Quando x = -5 

y = -5 + 4 = -1 . Ou seja, esse ponto não pertence à reta.

B) (–3, 1).

Quando x = -3 

y = -3 + 4 = 1 . Ou seja, esse ponto pertence à reta.

Agora vamos verificar a distância ao ponto P(-5,5):

d = √((-5+3)² + (5-1)² ) = √(4+16) = √20 = 4,47 < 5 . 

C) (–2, 1).

Quando x = -2 

y = -2 + 4 = 2. Ou seja, esse ponto não pertence à reta.

D) (0, 4).

Quando x = 0

y = 0 + 4 = 4. 

Ou seja, esse ponto pertence à reta.

Agora vamos verificar a distância ao ponto P(-5,5):

d = √((-5-0)²+(5-4)²) = √(25+1) = √26

Não se encaixa , já que é maior que 5km.

E) (2, 6).

Quando x = 2

y = 2 + 4 = 6

Ou seja, esse ponto pertence à reta.

Agora vamos verificar a distância ao ponto P(-5,5):

d = √((-5-2)²+(5-6)²) = √(49+1) = √50 = 7,07 aproximadamente.

Não se encaixa , já que é maior que 5km.

Resposta: letra b)