(FGV-SP)a) Num triângulo equilátero ABC, unindo-se os pontosmédios de AB e de AC. obtém-se um segmento de me-dida igual a 4 cm. Qual a área do tri

a) A união dos pontos médios resulta no segmento preto.

triangulo

Como é um triângulo equilátero, a seguinte imagem também é verdadeira.

Triangulo2

Todos os triângulos formados são equiláteros e assim pode-se facilmente concluir que o valor de L é igual a 8 cm. O valor de L é necessário para o cálculo da área do triângulo. Sabendo o valor do lado do triângulo equilátero pode-se encontrar o valor da sua altura por meio da seguinte fórmula:

\[\boxed{h = \dfrac{{L.\sqrt 3 }}{2}}\]


\[\boxed{h = 4\sqrt 3 \;cm}\]
Assim, a área do triângulo equilátero será:$$\boxed{Área=\dfrac{L.h}{2}}

$$$$Área = \dfrac{{8.4\sqrt 3 }}{2}\(

\[\boxed{Área = 16\sqrt 3 \;c{m^2}}\]
b) Nesse caso, temos um desenho diferente do primeiro, no qual L é o valor que buscamos:

retangulo

Para esse exemplo temos as seguintes equações resultado do teorema de Pitágoras:\)\boxed{h^2+8^2=L2}\;\;(1)

$$$$\boxed{X^2+L²⁼¹¹2}\;\;(2)\(

\[\boxed{h^2+3^2=X2}\;\;(3)\]
Substituindo a equação 1 na 3 temos:\)\boxed{(L^2-82)+3^2=X2}\;\;(4)

\[Substituindo a 4 na 2 temos:\]
L^2-8²⁺³2+L²⁼¹¹2

$$

Isolando \(L\):

\[2L²⁼¹¹2-3²⁺⁸2\]


\[2L^2=176\]


\[\boxed{L=\sqrt{88}\;cm}\]