Qual a fórmula de Baskara?

Para deduzirmos a fórmua de Bháskara, partiremos da equação \(ax^2+bx+b=0\).

A equação acima pode ser re-escrita da seguinte maneira:

\(a\left[x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right]=0 \hspace{2 cm} (1)\)

Observe que, as duas primeiras parcelas dentro dos colchetes, fazem parte do desenvolvimento do quadrado:

\(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}\hspace{2 cm} (2)\)

Se substituirmos (2) em (1), teremos:

\(a\left[x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]=0 \)

Observe que, o termo que foi adicionado a mais, foi retirado em seguida para não alterar a equação. Assim:

\(a\left[\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}\right)-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]=0 \hspace{2 cm}(3)\)

Substituindo (2) em (3), temos:

\(a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right)\right]=0\\ a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=0\)

Temos que \(a=0\) ou \(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0\).

Tomaremos \(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0\). Assim:

\(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0\)

\(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\)

\(\sqrt{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)}\)

\(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Portanto,

\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)