(PUCRJ 2013)O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = (4,5), B = (4,0) e C = (c,0).

ejam os vértices do triângulo os pontos A(4,5), B(4,0) e C(x,0).

A área do triângulo é dada por:

A base b é o segmento BC e a altura h o segmento AB.

Vamos calcular o comprimento destes segmentos:

Agora substituindo os valores encontrados na fórmula da área do triângulo:

Portanto, já temos o ponto C(14,0) e podemos achar a equação da reta que passa pelos pontos A e C.

Como se trata de uma reta, temos uma equação do primeiro grau, que é definida por:

y = ax + b

O coeficiente a (coeficiente angular - que na verdade é o valor da tangente do ângulo da reta) pode ser encontrado fazendo:

Já temos o coeficiente angular da equação, basta substituí-lo na fórmula que acabamos de ver:

A alternativa correta é a letra d.

Outra forma simples de encontrar a equação é montando um sistema:

Seja a equação do primeiro grau y = ax + b (mesmo que ax + b = y), temos:

Para o ponto A(4,5) ⇒ a·4 + b = 5
Para o ponto C(14,0) ⇒ a·14 + b = 0

Assim, montamos o sistema:

a·4 + b = 5
a·14 + b = 0

Multiplicando a primeira linha por -1, o sistema fica assim:
-4a - b = - 5
14a + b = 0

Somando as linhas, temos:

10a + 0 = -5 ⇒ 10a = -5 ⇒ a = -5/10 ⇒ a = -1/2

Agora que temos o valor do coeficiente a, substituímos numa das equações do sistema para acharmos o valor de b:

a·4 + b = 5 ⇒ (-1/2)·4 + b = 5 ⇒ -2 + b = 5 ⇒ b = 7

Agora substituímos os valores dos coeficiente encontrados e obtemos a equação procurada:

y = ax + b ⇒ y = (-1/2)x + 7 ⇒ y = -x/2 + 7

Outra forma também fácil de achar a equação da reta é através do determinante da matriz. Dê uma pesquisada na internet.

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Temos que área do triângulo = |D|/2 

(5c - 20)/2 = 25

5c - 20 = 50

5c = 70

c = 14

Vamos montar a equação da reta que passa por A(4,5) e C(14,0)

y = ax + b

5 = 4a +b

0 = 14a +b

Resolvendo o sistema:

-5 = -4a -b

0 = 14a +b

-5 = 10a 

a = -5/10 

a = -1/2

0 = 14a +b 

0 = 14(-1/2) +b

0 = -7 +b

b = 7

Função: -1/2 x + 7 

y = -x/2 + 7 (letra D)