Questão 2: Considere a função f(x) = 3x

(a) f'(x) = 6x - 525

(b) x = 87,5

(c) A derivada da primeira ordem apresentou um valor positivo para o ponto crítico, que é o ponto de mínimo.

(d) A função é crescente.

(e)

Inicialmente, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função quadrática do enunciado. Com isso, obtemos o seguinte:

Para determinar o ponto crítico, precisamos igualar a derivada da função a zero. Dessa maneira, o ponto crítico ocorre em:

Com isso, podemos ver que a função é crescente, pois a derivada de primeira ordem é positiva. Além disso, o coeficiente angular da função é positivo.

a)  f'(x) = 6x -525 

b) Basta igualarmos a zero:

6x - 525 = 0

6x = 525

x = 87,5 

c) O ponto de mínimo da parábola será x = 87,5 

Vamos verificar f(87,5)

3(87,5)² - 525(87,5) + 23782 = 813,25

Logo, o vértice será (87.5,813.25)

d)  Note que como a> 0 na parábola, temos que a função é crescente.

e) Vamos encontrar as raízes  :

3x² - 525x + 23782 = 0

onde :

a = 3

b = -525

c = 23782

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(x = {525\pm \sqrt{275.625-4(3)(23782)} \over 2(3)}\)

Como a raiz será negativa, não teremos raízes reais.

Ponto de interseção com o eixo y : (0,23782)

Agora, podemos montar o gráfico usando o vértice , as raízes (que, nesse caso, não existem) e o ponto de interseção com o eixo y.