Questão 2: Considere a função f(x) = 3x 2 − 525x + 23782 , apresente: a) (0,2pontos) A derivada de primeira ordem da função.

(a) f'(x) = 6x - 525

(b) x = 87,5

(c) A derivada da primeira ordem apresentou um valor positivo para o ponto crítico, que é o ponto de mínimo.

(d) A função é crescente.

(e) O gráfico da função está em anexo.
Inicialmente, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função quadrática do enunciado. Com isso, obtemos o seguinte:Para determinar o ponto crítico, precisamos igualar a derivada da função a zero. Dessa maneira, o ponto crítico ocorre em:

Com isso, podemos ver que a função é crescente, pois a derivada de primeira ordem é positiva. Além disso, o coeficiente angular da função é positivo.

Vamos lá! :)

f(x) = 3x² − 525x + 23782

a) (0,2pontos) A derivada de primeira ordem da função.

y' = 3*2x - 525 

y' = 6x - 525 

b) (0,2pontos) Usando a derivada de primeira ordem da função determine o
seu ponto crítico.

Igualando a derivada a zero, temos

6x - 525 = 0

6x = 525

x = 87,5 

c) (0,2 pontos) Avalie a derivada de primeira ordem da função para o ponto
crítico do item b).

A derivada de primeira ordem no ponto crítico é igual a zero.

d) (0,2 pontos) Determine pela derivada de primeira ordem o crescimento /
decrescimento da função. Sugestão: escolha valores do domínio da função
menores que o ponto crítico e valores do domínio da função maiores que
o ponto crítico. Avalie a derivada da função nestes valores escolhidos para
estudar o comportamento da função.

Perceba que trata-se de uma função do segundo grau e, por isso, o gráfico será uma parábola.

Além disso, temos que a= 3 e como 3>0 , a parábola terá convacidade voltada para cima.

O ponto crítico encontrado é o x do ponto de mínimo dessa parábola.

Vamos encontrar o Yv:

f(87,5) = 3(87,5)² − 525(87,5) + 23782 =  3253/4 = 813,25

Portanto, as coordenadas do ponto de mínimo é (87.5,813.25)

e) (0,2 pontos) Construa o gráfico da função.