Diferencial e integral

Essa é uma equação de distancia (ou posição), então vamos derivar essa equação uma vez para conseguir a equação de velocidade.

s(t)=t³ ⇒ v(t)= 3t²

Agora é calcular no tempo de 4s.

v(4)=3.4²

v(4)=3.16

v(4)=48

\[{v_m} = \dfrac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\]

Em que \(v_m\) é a velocidade média/constante, \(\Delta s\) a variação de espaço, ou seja, a diferença entre a posição final e inicial, e \(\Delta t\) a variação de tempo, isto é, a diferença entre o tempo final e o tempo inicial.

No problema em questão, para determinar a velocidade do copor em um instante \(t\) qualquer devemos derivar a equação que define a posição no espaço do corpo em um tempo qualquer, pois a derivada do espaço é a velocidade. Fazendo isso, vem que:

\[\eqalign{ v\left( t \right) &= \dfrac{{ds\left( t \right)}}{{dt}}\cr &= \dfrac{{d\left( {{t^3}} \right)}}{{dt}}\cr &= 3 \cdot {t^{3 - 1}}\cr &= 3{t^2} }\]

Logo, a equação da velocidade do corpo em um tempo qualquer é \(\boxed{v\left( t \right) = 3{t^2}}\). No instante \(t=4{\ s}\), temos que:

\[\eqalign{ v\left( {t &= 4{{\ s}}} \right) = 3 \cdot {4^2}\cr &= 3 \cdot 16\cr &= 48{\ }\dfrac{{{m}}}{{{s}}} }\]

Portanto, instanten \(t=4{\ s}\) a velocidade do corpo é de \(\boxed{48{\ }\dfrac{{{m}}}{{{s}}}}\).