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Estou com dúvida nessa questão, alguém poderia me ajudar!!!

QUESTÃO 3

  •  

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que: se f for uma função contínua no intervalo [a,b], então

 


onde F é qualquer primitiva de f. A partir desse resultado analise as afirmativas a seguir:



Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):

Alternativas

 

Alternativa 1:

I, II e IV, apenas.

 

Alternativa 2:

I e III, apenas.

 

Alternativa 3:

I e II, apenas.

 

Alternativa 4:

I, II e III, apenas.

 

Alternativa 5:

II e IV, apenas.

Cálculo I

UNICESUMAR


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Resposta: Alternativa 1) I, II e IV, apenas

  • \(\int_{-1}^{1} x^3 dx=\dfrac{x^4}{4}\biggr\rvert_{-1}^{1}=\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{1^4}{4}=0\)

  • II) \(\int_{1}^{4} (x^2+2x)dx=(\dfrac{x^3}{3}+x^2)\biggr\rvert_{1}^{4}=(\dfrac{4^3}{3}+4^2)-(\dfrac{1^3}{3}+1^2)=(\dfrac{64}{3}+16)-(\dfrac{1}{3}+1)=36\)

    III) \(\int_{-2}^{0} (x+1)^2dx=\dfrac{(x+1)^3}{3}\biggr\rvert_{-2}^{0}=\dfrac{(0+1)^3}{3}-\dfrac{(-2+1)^3}{3}=\dfrac{1}{3}-(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}\)

    IV) Para resolver esta integral, pode-se usar a identidade:


    \[\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\]

    Assim:


    \[\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x)dx=\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{1}{2}\sin(2x)=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(-\cos(2x))}{2} \biggr\rvert_{0}^{\pi/2}=\dfrac{1}{2}\cdot(\dfrac{-\cos(\pi)}{2}-\dfrac{-\cos(0)}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2} \cdot 1= \dfrac{1}{2}\]

    Observa-se assim que apenas as afirmativas I, II e IV estão corretas. Portanto, a resposta certa é a alternativa 1.

    Resposta: Alternativa 1) I, II e IV, apenas

  • \(\int_{-1}^{1} x^3 dx=\dfrac{x^4}{4}\biggr\rvert_{-1}^{1}=\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{1^4}{4}=0\)

  • II) \(\int_{1}^{4} (x^2+2x)dx=(\dfrac{x^3}{3}+x^2)\biggr\rvert_{1}^{4}=(\dfrac{4^3}{3}+4^2)-(\dfrac{1^3}{3}+1^2)=(\dfrac{64}{3}+16)-(\dfrac{1}{3}+1)=36\)

    III) \(\int_{-2}^{0} (x+1)^2dx=\dfrac{(x+1)^3}{3}\biggr\rvert_{-2}^{0}=\dfrac{(0+1)^3}{3}-\dfrac{(-2+1)^3}{3}=\dfrac{1}{3}-(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}\)

    IV) Para resolver esta integral, pode-se usar a identidade:


    \[\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\]

    Assim:


    \[\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x)dx=\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{1}{2}\sin(2x)=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(-\cos(2x))}{2} \biggr\rvert_{0}^{\pi/2}=\dfrac{1}{2}\cdot(\dfrac{-\cos(\pi)}{2}-\dfrac{-\cos(0)}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2} \cdot 1= \dfrac{1}{2}\]

    Observa-se assim que apenas as afirmativas I, II e IV estão corretas. Portanto, a resposta certa é a alternativa 1.

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    Rodrigo Arantes Barros

    Há mais de um mês

    primeira integral: \(x^4/4=1/4-(-1)^4/4=0\)

    segunda integral: \(x^3/3+x^2=4^3/3+4^2-(1^3/3+1^2)=36\)

    terceira integral:\(x^2+2x+1=x^3/3+x^2+x=0-[(-2)^3/3+(-2)^2+(-2)]=2/3\)

    quarta integral: \(senx=t... cosxdx=dt... \int tdt=t^2/2=sen^2(x)/2=sen^2(pi/2)/2-sen^2(0)/2=1/2\)

    1v,2v,3f,4v

    alternativa 1

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    Daiana Joyce

    Há mais de um mês

    primeira integral: x4/4=1/4−(−1)4/4=0x4/4=1/4−(−1)4/4=0
    segunda integral: x3/3+x2=43/3+42−(13/3+12)=36x3/3+x2=43/3+42−(13/3+12)=36
    terceira integral:x2+2x+1=x3/3+x2+x=0−[(−2)3/3+(−2)2+(−2)]=2/3x2+2x+1=x3/3+x2+x=0−[(−2)3/3+(−2)2+(−2)]=2/3
    quarta integral: senx=t...cosxdx=dt...∫tdt=t2/2=sen2(x)/2=sen2(pi/2)/2−sen2(0)/2=1/2senx=t...cosxdx=dt...∫tdt=t2/2=sen2(x)/2=sen2(pi/2)/2−sen2(0)/2=1/2
    1v,2v,3f,4v

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