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Prezados discentes, só um segundo do valioso tempo de vocês, analise essa questão na minhas resposta e mi ajude por favor.

Matemática

UNISSA


4 resposta(s)

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Estudante PD

Há mais de um mês

u=(1,2,0)u=(1,2,0)u=(1,2,0)

v=(0,1,2)v=(0,1,2)v=(0,1,2)


O enunciado fala sobre o cálculo de áreas e tudo mais, porém quando tratamos de vetores com três dimensões, nós estamos falando de volumes, então, o produto vetorial entre u e v é esse prisma:


;


Então, teoricamente, ao dividir a área por dois na tentativa de encontrar a área de um triângulo, nós estaríamos atrás da área de um tetraedro:


Então vamos para os cálculos!


Primeiro o produto vetorial, que basta calcular o determinante:

∣ijk120012∣=4i−2j+k\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 4i-2j+ki10j21k02=4i2j+k , que nos dá o vetor w=(4,−2,1)w=(4,-2,1)w=(4,2,1) ;


Em teoria, o volume daquele prisma é o módulo (norma) do vetor w, e, consequentemente, o volume do tetraedro metade desse módulo (norma); então temos:


Norma de um vetor no R3\mathbb{R}^3R3 é dada assim:

Seja i=(a,b,c)i=(a,b,c)i=(a,b,c) , dizemos que o módulo de iii ou norma de iii é:

∣i∣=a2+b2+c2|i|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}i=a2+b2+c2


Então, se w=(4,−2,1)w=(4,-2,1)w=(4,2,1), temos:

∣w∣=42+(−2)2+12=16+4+1=21|w|=\sqrt{4^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}w=42+(2)2+12=16+4+1=21 ≈4,5826\approx 4,58264,5826


Então temos:

∣w∣2=212≈2,2913\dfrac{|w|}{2}=\dfrac{\sqrt{21}}{2} \approx 2,29132w=2212,2913


E é isso; o volume do tetraedro é 212\dfrac{\sqrt{21}}{2}221 .


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Francisco Tavares

Há mais de um mês

Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):

a) Somente a opção II está correta.

b) Somente a opção IV está correta.

c) Somente a opção III está correta.

d) Somente a opção I está correta.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes