Prezados discentes, só um segundo do valioso tempo de vocês, analise essa questão na minhas resposta e mi ajude por favor.

$u=(1,2,0)$

$v=(0,1,2)$

O enunciado fala sobre o cálculo de áreas e tudo mais, porém quando tratamos de vetores com três dimensões, nós estamos falando de volumes, então, o produto vetorial entre u e v é esse prisma:

;

Então, teoricamente, ao dividir a área por dois na tentativa de encontrar a área de um triângulo, nós estaríamos atrás da área de um tetraedro:

Então vamos para os cálculos!

Primeiro o produto vetorial, que basta calcular o determinante:

$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=4i-2j+k$ , que nos dá o vetor $w=(4,-2,1)$ ;

Em teoria, o volume daquele prisma é o módulo (norma) do vetor w, e, consequentemente, o volume do tetraedro metade desse módulo (norma); então temos:

Norma de um vetor no ${\mathbb{R}}^3$ é dada assim:

Seja $i=(a,b,c)$ , dizemos que o módulo de $i$ ou norma de $i$ é:

$|i|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Então, se $w=(4,-2,1)$, temos:

$|w|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}$ $\approx 4,5826$

Então temos:

$\frac{|w|}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,2913$

E é isso; o volume do tetraedro é $\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):

a) Somente a opção II está correta.

b) Somente a opção IV está correta.

c) Somente a opção III está correta.

d) Somente a opção I está correta.