∬B sen (4x^2 + y^2 ) dxdy onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que 4x^2 + y^2

Resolver a integral dupla ∬sen( 4x² + y² ) dx dy, tal que 4x² + y² ≤ 1.

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A região 4x² + y² ≤ 1 consiste numa elipse. Adaptando coordenadas polares para o caso de elipse, tem-se x = r/2 cosθ e y = rsenθ. Portanto, o termo 4x² + y² é:

-> 4x² + y² = 4(r/2 cosθ)² + (rsenθ)²

-> 4x² + y² = 4(r²/4 cos²θ) + (r²sen²θ)

-> 4x² + y² = (r²cos²θ) + (r²sen²θ)

-> 4x² + y² = r² (I)

Portanto, tem-se

-> 4x² + y² ≤ 1

-> r² ≤ 1 -> { 0 ≤ r ≤ 1 }

Além disso, tem-se 0 ≤ θ ≤ 2π.

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Com as coordenadas adotadas, a matriz Jacobiana (J) é:

-> | J | = | dx/dr dx/dθ |

| dy/dr dy/dθ |

-> | J | = | d(r/2 cosθ)/dr d(r/2 cosθ)/dθ |

| d(rsenθ)/dr d(rsenθ)/dθ |

-> | J | = | 1/2 cosθ -r/2 senθ |

| senθ rcosθ |

-> | J | = (1/2 cosθ)⋅(rcosθ) - (-r/2 senθ)⋅(senθ)

-> | J | = r/2 cos²θ + r/2 sen²θ

-> | J | = r/2 ( cos²θ + sen²θ )

-> | J | = r/2 ( 1 )

-> | J | = r/2

Portanto, tem-se:

-> dx dy = | J | dr dθ

-> dx dy = r/2 dr dθ (II)

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Substituindo as equações (I) e (II) na integral ∬sen( 4x² + y² ) dx dy:

-> I = ∬sen( 4x² + y² ) dx dy

-> I = ∬sen( r² ) r/2 dr dθ

Criando uma nova variável u = r², tem-se du = 2r dr. Com isso, a integral fica da seguinte forma:

-> I = 1/2 ∬sen( r² ) r dr dθ

-> I = 1/4 ∬sen( r² ) 2r dr dθ

-> I = 1/4 ∬sen( u ) du dθ

-> I = 1/4 ∫ [ -cos(u) ] dθ

-> I = 1/4 ∫ [ -cos(r²) ] dθ

Substituindo 0 ≤ r ≤ 1:

-> I = 1/4 ∫ [ - cos(1²) - (- cos(0²) ) ] dθ

-> I = 1/4 ∫ [ - cos(1) + cos(0) ] dθ

-> I = 1/4 ∫ [ 1 - cos(1) ] dθ

-> I = 1/4 [ 1 - cos(1) ] ∫ dθ

Integrando em θ e substituindo 0 ≤ θ ≤ 2π, o valor de I é:

-> I = 1/4 [ 1 - cos(1) ] (θ)

-> I = 1/4 [ 1 - cos(1) ] ( 2π - 0 )

-> I = 2π/4 [ 1 - cos(1) ]

-> I = π/2 [ 1 - cos(1) ]

-> I ≈ 0,722

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