Mostre que, para todo numero natural n impar, tem-se que 241/11^2n + 19^2n

Questão: mostre que, para todo número natural $n$n ímpar, tem-se que $241\mid (11^{2n}+19^{2n}).$241∣(112n+192n).

SOLUÇÃO:

Como $n$n é ímpar, segue que $n=2k-1$n=2k−1, neste caso, com $k \in \mathbb{N}$k∈N, já que $n$n é natural. Logo,

$241\mid (11^{2n}+19^{2n}) \Leftrightarrow 241\mid (11^{4k-2}+19^{4k-2})$241∣(112n+192n)⇔241∣(114k−2+194k−2).

Manipulando a expressão $11^{4k-2}+19^{4k-2}$114k−2+194k−2, segue que

$11^{4k-2}+19^{4k-2}=(11^2)^{2k-1}+(19^2)^{2k-1}=121^{2k-1}+361^{2k-1}$114k−2+194k−2=(112)2k−1+(192)2k−1=1212k−1+3612k−1.

Perceba que $2k-1$2k−1 é um número ímpar. Assim, podemos fatorar a expressão da seguinte forma:

$121^{2k-1}+361^{2k-1}=(121+361)(121^{2k-2}-121^{2k-3}\cdot 361+121^{2k-4}\cdot 361^2-\cdots + 121^2\cdot 361^{2k-4}-121\cdot 361^{2k-3}+361^{2k-2})$1212k−1+3612k−1=(121+361)(1212k−2−1212k−3⋅361+1212k−4⋅3612−⋯+1212⋅3612k−4−121⋅3612k−3+3612k−2).

Assim,

$11^{2n}+19^{2n}=11^{2k-1}+19^{2k-1}=(121+361)\cdot q = 482\cdot q = 241\cdot (2q)\Rightarrow 11^{2n}+19^{2n}=241\cdot (2q)$112n+192n=112k−1+192k−1=(121+361)⋅q=482⋅q=241⋅(2q)⇒112n+192n=241⋅(2q)

com $q=121^{2k-2}-121^{2k-3}\cdot 361+121^{2k-4}\cdot 361^2-\cdots + 121^2\cdot 361^{2k-4}-121\cdot 361^{2k-3}+361^{2k-2}$q=1212k−2−1212k−3⋅361+1212k−4⋅3612−⋯+1212⋅3612k−4−121⋅3612k−3+3612k−2 e $n=2k-1.$n=2k−1.

Portanto, $11^{2n}+19^{2n}$112n+192n é um múltiplo de $241$241, ou seja, $241 \mid 11^{2n}+19^{2n}.$241∣112n+192n.