La función es lineal: ????: ℝ2⟶ ℝ3, ???? ???? ???? = 2 0 −1 4 3 8 Sea ???? = 2 −2 −1 −4 4 2 la matriz que representa la transformación lineal ????: ℝ3⟶ ℝ2 ...

Para encontrar la matriz que representa la transformación lineal \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \), primero necesitamos multiplicar la matriz \( A \) por el vector \( x \) dado: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \\ 3 & 8 \end{bmatrix} \] \[ x = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} \] Para encontrar \( T(x) \), multiplicamos \( A \) por \( x \): \[ T(x) = A \cdot x = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \\ 3 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} \] Realizando la multiplicación, obtenemos: \[ T(x) = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ -10 \end{bmatrix} \] Por lo tanto, la matriz que representa la transformación lineal \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) es: \[ \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ -10 \end{bmatrix} \] Para la parte b) de la pregunta, necesitaríamos más información para determinar el núcleo y el rango de \( T \) y sus respectivas bases.