Unidade 3

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Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
 
 
Cálculo Avançado 
 
 
Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
 
 
 
Autor: Gustavo de Lins e Horta 
Revisor Técnico: Carlos Xavier 
 
 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
Introdução 
O estudo da sequências numéricas e séries possui bastante relevância no 
cálculo. A importância delas no cálculo deriva da ideia de Newton de representar 
funções como somas de séries infinitas. Por exemplo, ao encontrar áreas, Newton 
geralmente integra uma função, primeiro expressando-a como uma série e depois 
integrando cada termo da série. 
Muitas das funções que surgem na física, matemática e na química, como as 
funções de Bessel, são definidas como somas de séries; portanto, é importante estar 
familiarizado com os conceitos básicos de convergência de sequências e séries 
infinitas. 
1. Sequências Numéricas 
Segundo Stewart (2014), uma sequência pode ser pensada como uma lista de 
números escritos em uma ordem definida: 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4. . . , 𝑎𝑛 
O número 𝑎1é chamado de primeiro termo, 𝑎2 é o segundo termo e, em geral, 
𝑎𝑛 é o enésimo termo. Lidaremos exclusivamente com sequências infinitas e, 
portanto, cada termo 𝑎𝑛 terá um sucessor 𝑎𝑛+1. 
Observe que para todo número inteiro positivo n existe um número 
correspondente e, portanto, uma sequência pode ser definida como uma função 
cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos. Mas geralmente 
escrevemos uma notação de função 𝑎𝑛em vez da função 𝑓(𝑛) para o valor da função 
no número n. 
Exemplo: 
A sequência 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
gera o seguinte resultado. 
{
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . . ,
𝑛
𝑛 + 1
, . . . } 
A sequência 𝑎𝑛 = √𝑛 − 3, 𝑛 ≥ 3gera o seguinte resultado. 
{0,1, √2, √3, . . . , √𝑛 − 3, . . . } 
 
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Você sabia 
 A sequência de Fibonacci {𝑓𝑛} é definida recursivamente pelas condições: 
𝑓1 = 1 𝑓2 = 1 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2 𝑛 ≥ 3 
Cada termo é a soma dos dois termos anteriores. Os primeiros termos são: 
{1,1,2,3,5,8,13,21. . . } 
Essa sequência surgiu quando o matemático italiano do século 13 conhecido 
como Fibonacci resolveu um problema relativo à criação de coelhos. 
Segundo Stewart (2013), algumas sequências podem ser definidas 
fornecendo uma fórmula para o enésimo termo. 
Exemplo: 
{
𝑛
𝑛+1
}
𝑛−1
∞
 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛+1
 {
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . . ,
𝑛
𝑛+1
} 
{√𝑛 − 3}
𝑛−3
∞
 𝑎𝑛 = √𝑛 − 3, 𝑛 ≥ 3 {0,1, √2, √3, . . . , √𝑛 − 3, . . . } 
 
1.1. Definição de sequência 
Observe que a seguinte definição do limite de uma sequência é muito 
semelhante à definição de um limite de uma função no infinito. 
Uma sequência {𝑎𝑛}tem o limite L e pode ser escrita como 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 ou 𝑎𝑛 → 𝐿 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞ 
Se pudermos tornar os termos 𝑎𝑛 tão próximos de L quanto desejamos, 
tomando n suficientemente grande. Se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 existe, dizemos que a sequência 
converge (ou é convergente). Caso contrário, dizemos que a sequência diverge (ou é 
divergente). 
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Segundo Stewart (2014), uma versão mais precisa da definição de sequência 
é a seguinte. 
A sequência {𝑎𝑛}tem o limite L que pode ser escrito como: 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 ou 𝑎𝑛 → 𝐿 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞ 
se para cada 𝜀 > 0existe um número inteiro correspondente N tal que 
se 𝑛 > 𝑁 , então |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀 
Existe uma única diferença entre 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿e 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿é que n deve ser um 
número inteiro, de acordo com o teorema: 
Se 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿e 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛quando n é um número inteiro, então 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 
 Quando ocorrer de 𝑎𝑛aumentar quando n aumentar, podemos utilizar a 
notação 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = ∞, ou pela definição temos: 
O 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = ∞significa que para cada número positivo M existe um inteiro N tal 
que 
se 𝑛 > 𝑁, então 𝑎𝑛 > 𝑀 
2. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica 
Dois tipos de sequências regulares ocorrem com tanta frequência que têm 
nomes específicos de progressões aritméticas e geométricas. Nós os tratamos juntos 
porque alguns paralelos óbvios entre esses tipos de sequências levam a fórmulas 
semelhantes. Isso também facilita o aprendizado e o trabalho com as fórmulas. 
As progressões aritmética e geométrica começam com um primeiro termo 
arbitrário, e as sequências são geradas adicionando regularmente o mesmo número 
(a diferença comum em uma sequência aritmética) ou multiplicando pelo mesmo 
número (a proporção comum em uma sequência geométrica). 
2.1. Progressão aritmética 
Uma progressão aritmética é uma sequência na qual cada termo, exceto o 
primeiro, é obtido adicionando um número fixo (positivo ou negativo) ao termo 
anterior. 
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Assim, qualquer sequência do tipo 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4. . . , 𝑎𝑛é chamada de progressão 
aritmética se 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑, 𝑛 ∈ 𝑁. Onde d é chamado de diferença comum da 
progressão aritmética, normalmente denotamos o primeiro termo de uma 
progressão aritmética por a e o último termo por l. 
O termo geral ou enésimo termo de uma progressão aritmética é dado por: 
𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 
E o enésimo termo é dado por: 
𝑎𝑛 = 𝑙 − (𝑛 − 1)𝑑 
2.2. Progressão geométrica 
Segundo Hoffmann (2011), quando em uma sequência a razão entre os 
termos sucessivos é uma constante, essa série é chamada de progressão geométrica 
e pode ser definida matematicamente como: 
∑
∞
𝑘=0
𝑎𝑟𝑘 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+. .. 
Onde a é uma constante e r é a razão entre dois termos sucessivos. 
As definições permitem reconhecer sequências aritméticas e geométricas. 
Numa sequência aritmética, a diferença entre termos sucessivos, 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 , é 
sempre a mesma, a constante d; numa sequência geométrica, a relação de termos 
sucessivos, 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
, é sempre o mesmo. 
Exemplo 1: Dada a série geométrica, determine a e r. 
2
9
−
2
27
+
2
81
−
2
243
+. . . =
2
9
(1 −
1
3
+
1
32
−
1
33
+. . . ) = ∑∞𝑘=0
2
9
(−
1
3
)𝑘 
 Logo, 𝑎 =
2
9
e 𝑟 = −
1
3
 
Exemplo 2: Mostre que a sequência é aritmética, encontre a diferença comum 
e o vigésimo termo. 
𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 
Solução: Os primeiros termos de {𝑎𝑛} são 1, 3, 5, 7,. . . , a partir do qual é 
evidente que cada termo é 2 a mais que o termo anterior; esta é uma sequência 
aritmética com primeiro termo e diferença comum 𝑎 = 1 e 𝑑 = 2. Verifique se 𝑎𝑛+1 −
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𝑎𝑛 = 2. Para encontrar 𝑎20, use a fórmula de definição para a sequência ou a equação 
para o enésimo termo. 
𝑎20 = 2 × 20 − 1 = 39 ou 𝑎20 = 𝑎 + 19𝑑 = 1 + 19 × 2 =
39 
Exemplo 3: Mostre que a sequência é aritmética, encontre a diferença comum 
e o vigésimo termo. 
50, 45, 40, . . . , 55 − 5𝑛, . .. 
Solução: 
Se 𝑏𝑛 = 55 − 5𝑛, então, 𝑏𝑛+1 − 𝑏𝑛 = [55 − 5(𝑛 + 1)] − [55 − 5𝑛] =
−5 
Esta é uma sequência aritmética com 𝑎 = 50, 𝑑 = −5 e 𝑏20 = 55 − 5 × 20 =
−45 
Exemplo 4: Determine se a sequência é geométrica. Se for geométrico, 
encontre a razão comum e os termos 𝑎1, 𝑎3 𝑒 𝑎10 . 
{2
𝑛
} 
Solução: 
Os primeiros termos são 2, 4, 8, 16,. . . , cada um dos quais é duas vezes o 
termo anterior. Esta é uma sequência geométrica com o primeiro termo 𝑎 = 2 e a 
razão comum dada por 𝑟 =
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
=
2𝑛+1
2𝑛
= 2. Usando 𝑎𝑛 = 2
𝑛, 
𝑎1 = 2 𝑎3 = 2
3 = 8 e 𝑎10 = 2
10 = 1024 
3. Limite de uma sequência e convergência 
Uma questão fundamental que surge em relação a sequências infinitas é o 
comportamento dos termos à medida que n aumenta. Como uma sequência é uma 
função definida nos números inteiros positivos, faz sentido discutir o limite dos 
termos como 𝑛 → ∞. 
Como uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto de números 
inteiros positivos, podemos usar propriedades de limites de funções para determinarse uma sequência converge. Por exemplo, considere uma sequência {𝑎𝑛} e uma 
função relacionada f definida em todos os números reais positivos, de modo que 
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𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 para todos os números inteiros 𝑛 ≥ 1. Como o domínio da sequência é um 
subconjunto do domínio de f, se 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) existe, a sequência converge e tem o 
mesmo limite. 
O limite de uma sequência definida por uma função {𝑎𝑛}tal que 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) para 
todo 𝑛 ≥ 1. Se existir um número real L tal que 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 
então, {𝑎𝑛}converge e 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 
Exemplo 1: Determine se a sequência converge ou não. Se convergir, 
encontre seu limite. 
{5 −
3
𝑛2
} 
Solução: 
Sabemos que 
1
𝑛
→ 0, logo conclui-se que 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
1
𝑛
) × 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
1
𝑛
) = 0 
portanto, 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(5 −
3
𝑛2
) = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
5 − 3 × 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛2
= 5 − (3 × 0) = 5 
Logo, a sequência converge e o seu limite é igual a 5. 
Exemplo 2: Determine se a sequência converge ou não. Se convergir, 
encontre seu limite. 
{
2
𝑛
𝑛2
} 
Solução: 
Considerando a função relacionada 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥2
definida para todos os números 
reais 𝑥 > 0. Desde que 2𝑥 → ∞ e 𝑥2 → ∞ como 𝑥 → ∞aplicamos a derivada no 
numerador e denominador. 
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𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
2𝑥
𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
2𝑥𝑙𝑛 2
2𝑥
 
Derivando novamente, 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
2𝑥
𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
2𝑥(𝑙𝑛 2)2
2
= ∞ 
Concluímos que a série diverge. 
3.1. Funções contínuas 
Definimos uma função contínua em sequências convergentes da seguinte 
forma. 
Considere uma sequência {𝑎𝑛} e suponha que exista um número real L, de 
modo que a sequência {𝑎𝑛} convirja para L. Suponha que f seja uma função contínua 
em L. Então, existe um número inteiro N, de modo que f é definido em todos os 
valores e for 𝑛 ≥ 𝑁, e a sequência {𝑓(𝑎𝑛} converge para 𝑓(𝐿). 
Exemplo: Determine se a sequência converge e encontre o limite. 
{𝑐𝑜𝑠 (
3
𝑛2
)} 
Solução: 
Desde que a sequência {
3
𝑛2
}convirja para 0 e 𝑐𝑜𝑠 𝑥 seja contínuo em 𝑥 = 0, 
podemos concluir que a sequência converge e o seu limite é 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑐𝑜𝑠 (
3
𝑛2
) = 𝑐𝑜𝑠 (0) = 1 
3.2. Monotonicidade 
Agora voltamos nossa atenção para um dos teoremas mais importantes que 
envolvem sequências: o Teorema da Convergência Monótona ou monotonicidade. 
Pela definição, 
uma sequência {𝑎𝑛} é crescente para todos 𝑛 ≥ 𝑛0se 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1para todo 𝑛 ≥
𝑛0. 
uma sequência {𝑎𝑛} é decrescente para todos 𝑛 ≥ 𝑛0se 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1para todo 
𝑛 ≥ 𝑛0. 
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uma sequência {𝑎𝑛} é monótona para todo 𝑛 ≥ 𝑛0se é crescente para todo 
𝑛 ≥ 𝑛0ou decrescente para todo 𝑛 ≥ 𝑛0. 
O Teorema da Convergência Monótona ou monotonicidade determina que, 
se {𝑎𝑛}é uma sequência limitada e existe um número inteiro positivo 𝑛0, de 
modo que {𝑎𝑛} é monótona para todos os 𝑛 ≥ 𝑛0, e então {𝑎𝑛} converge. 
Exemplo: Use o teorema da convergência monótona para mostrar que a 
sequência converge. 
{
4
𝑛
𝑛!
} 
Solução: 
Escrevendo os primeiros termos da sequência, vemos que 
{
4
𝑛
𝑛!
} = {4, 8,
32
3
,
32
3
,
128
15
, . . . } 
A princípio, os termos aumentam. No entanto, após o terceiro termo, os 
termos diminuem. De fato, os termos diminuem para todos 𝑛 ≥ 3. Podemos mostrar 
isso da seguinte maneira. 
𝑎𝑛+1 =
4𝑛+1
(𝑛+1)!
=
4
𝑛+1
×
4𝑛
𝑛!
=
4
𝑛+1
× 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛 se 𝑛 ≥ 3 
Portanto, a sequência está diminuindo para todos os 𝑛 ≥ 3. Além disso, a 
sequência é delimitada abaixo por 0 porque 
4𝑛
𝑛!
> 0 para todos os números inteiros 
positivos n. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência 
converge. 
4. Séries 
Segundo Hoffmann (2011), a soma de um número infinito de números pode 
ser finita. Isso pode ser visto em uma dízima periódica 0,3333… que é uma 
representação da soma infinita 
3
10
+
3
100
+
3
1000
+. ..e que esta soma equivale ao 
número finito 
1
3
. 
Ainda de acordo com Hoffmann (2011), uma expressão da forma 
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𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3+. . . +𝑎𝑛+. .. 
é chamada de série finita. Escrevemos a série em notação de somatório: 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3+. . . +𝑎𝑛+. . . = ∑
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 
4.1. Convergência e Divergência 
Conforme Hoffmann (2011), uma série infinita é convergente se a soma é um 
número finito e divergente caso contrário. 
 A definição mais precisa de convergência envolve a soma dos n primeiros 
termos da série infinita, também conhecida como soma parcial de ordem n da série 
infinita. 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3+. . . +𝑎𝑛 = ∑
𝑛
𝑘=1
𝑎𝑘 
O comportamento dessa soma quando n tende a infinito serve para 
determinar se uma série infinita é convergente ou divergente de acordo com o 
critério de convergência ou divergência de uma série infinita. 
4.2. Critério de convergência ou divergência de uma série 
infinita 
 Uma série infinita 
∑
∞
𝑘=1
𝑎𝑘 
 com uma soma parcial de ordem n 
 
converge para a soma S se S é um número finito tal que 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆 
Nesse caso, pode ser escrito 
 
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∑
∞
𝑘=1
𝑎𝑘 = 𝑆 
Se o 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑆𝑛não existe, dizemos que a série diverge. 
Exemplo: Verifique se as séries convergem ou divergem: 
∑
∞
𝑘=1
(−1) 𝑘+1 = 1 − 1 + 1 − 1+. .. 
∑
∞
𝑘=1
3
10𝑘
=
3
10
+
3
102
+
3
103
+. .. 
Solução: 
a) As três primeiras somas parciais da série ∑∞𝑘=1 (−1)
𝑘+1são 
𝑆1 = 1 
𝑆2 = 1 − 1 = 0 
𝑆3 = 1 − 1 + 1 = 1 
O padrão continua indefinidamente, todas as somas parciais pares são nulas 
e todas as somas parciais ímpares são iguais a 1. Logo, isso significa que o 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑆𝑛não 
existe, portanto, a série é divergente. 
b) Cada termo da série é dez vezes menor que o termo precedente, 
∑
∞
𝑘=1
3
10𝑘
=
3
10
+
3
102
+
3
103
+. .. 
podemos, então, escrever 𝑆𝑛na forma compacta. 
𝑆𝑛 =
3
10
+
3
102
+
3
103
+. . . +
3
10𝑛
 
 multiplicando ambos os membros da equação por 
1
10
obtemos: 
1
10
𝑆𝑛 =
3
102
+
3
103
+. . . +
3
10𝑛
+
3
10𝑛+1
 
 quando subtraímos a expressão 
1
10
𝑆𝑛 da expressão de 𝑆𝑛 , todos os termos 
se cancelam, exceto o primeiro termo de 𝑆𝑛 e o último termo de 
1
10
𝑆𝑛 
𝑆𝑛 −
1
10
𝑆𝑛 =
9
10
𝑆𝑛 =
3
10
−
3
10𝑛+1
=
3
10
(1 −
1
10𝑛
) 
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ou 
𝑆𝑛 =
1
3
(1 −
1
10𝑛
) 
Nesse caso, 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
3
(1 −
1
10𝑛
) =
1
3
 
Logo, 
∑
∞
𝑛=1
3
10𝑛
=
1
3
 
4.3. Regras de soma e multiplicação por uma constante 
As regras de soma e multiplicação por uma constante para séries infinitas 
convergentes são dadas por: 
Se as séries ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛e ∑
∞
𝑛=1 𝑏𝑛convergem, as séries ∑
∞
𝑛=1 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)e 
∑∞𝑛=1 𝑐𝑎𝑛(onde c é uma constante) também convergem e 
∑
∞
𝑛=1
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = ∑
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 + ∑
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 
∑
∞
𝑛=1
𝑐𝑎𝑛 = 𝑐 ∑
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 
4.4. Convergência de uma série geométrica 
 Segundo Hoffmann (2011), a convergência de uma série geométrica é dada 
por: 
∑∞𝑛=0 𝑎𝑟
𝑛 , cuja razão é r, é convergente se |𝑟| < 1, caso em que a soma é 
𝑆 = ∑
∞
𝑛=0
𝑎𝑟𝑛 =
𝑎
1 − 𝑟
 
Se |𝑟| ≥ 1, a série é divergente. 
Exemplo 1: Determine a soma da série ∑∞𝑛=0 (−
2
3
)
𝑛
 
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Solução: Essa série geométrica possui 𝑟 = −
2
3
, como |𝑟| < 1a série é convergente e 
a soma é igual a 
∑
∞
𝑛=0
(−
2
3
)
𝑛
=
1
1 − (−
2
3
)
=
1
5
3
=
3
5
 
Exemplo 2: Determine a soma da série ∑∞𝑛=0
3
2𝑛
 
Solução: 
∑
∞
𝑛=0
3
2𝑛
= ∑
∞
𝑛=0
3 (
1
2
)
𝑛
= 3 (
1
1 −
1
2
) = 3 (
1
1
2
) = 6 
Exemplo 3: Dada a série a seguir, determine se a mesma converge ou diverge. 
2 + 2(1,5) + 2(1,5)2+. .. 
Solução: 
A série é divergente pois 𝑟 = 1,5 (|𝑟| > 1)Exemplo 4: Dada a série a seguir, determine se a mesma converge ou diverge. 
1
2
−
1
2
(
9
7
) +
1
2
(
9
7
)2 −
1
2
(
9
7
)3+. .. 
Solução: 
A série é divergente, pois 𝑟 = −
9
7
 (|𝑟| > 1) 
4.5. Teste da razão 
 O teste da razão utiliza uma comparação entre termos da própria série dada 
e apresenta outra vantagem que pode ser aplicado a uma série com termos 
negativos. 
 O teste da razão é bastante útil quando é aplicado a uma série ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛 ,onde 
𝑎𝑛pode ser potências ou fatoriais. 
 Dada a série ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛, seja 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|o teste da razão diz que: 
a. Se 𝐿 < 1, a série converge; 
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b. Se 𝐿 > 1, a série diverge; 
c. Se 𝐿 = 1, o teste não pode ser aplicado, ou seja, não é possível saber se a 
série converge ou diverge. 
Exemplo 1: Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
∞
𝑛=1
5𝑛
𝑛2
 
Solução: Podemos aplicar o teste da razão calculando o limite 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞ |
|
5𝑛+1
(𝑛 + 1)2
5𝑛
𝑛2
|
| 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
5𝑛+1𝑛2
5𝑛(𝑛 + 1)2
 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
5(
𝑛
𝑛 + 1
)2 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
5(
1
1 +
1
𝑛
)2 
𝐿 = 5(
1
1 + 0
)2 = 5, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐿 = 5 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝐿 > 1 𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒. 
Exemplo 2: Determine se a série é convergente ou divergente. 
∑
∞
𝑛=1
(−2)𝑛
𝑛!
 
Solução: Podemos aplicar o teste da razão calculando o limite 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
||
(−2)𝑛+1
(𝑛 + 1)!
(−2)𝑛
𝑛!
|| 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
(−2)𝑛+1𝑛!
(−2)𝑛(𝑛 + 1)!
| 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
|
−2
𝑛 + 1
| = 0 
Já que 
𝑛!
(𝑛+1)!
=
1×2...𝑛
1×2...𝑛×(𝑛+1)
=
1
𝑛+1
 
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𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐿 = 0 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝐿 < 1 𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒. 
Você sabia 
 Uma série telescópica é uma série em que a maioria dos termos é cancelada em 
cada uma das somas parciais, deixando apenas alguns dos primeiros termos e 
alguns dos últimos termos. 
Qualquer série no formato 
∑
∞
𝑛=1
[𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1] = (𝑏1 − 𝑏2) + (𝑏2 − 𝑏3) + (𝑏3 − 𝑏4)+. .. 
é uma série telescópica. Podemos ver isso escrevendo algumas somas 
parciais. Em particular, vemos que 
𝑆1 = 𝑏1 − 𝑏2 
𝑆2 = (𝑏1 − 𝑏2) + (𝑏2 − 𝑏3) = 𝑏1 − 𝑏3 
𝑆3 = (𝑏1 − 𝑏2) + (𝑏2 − 𝑏3) + (𝑏3 − 𝑏4) = 𝑏1 − 𝑏4 
Em geral, a k-ésima soma parcial desta série é dada por: 
𝑆𝑘 = 𝑏1 − 𝑏𝑘+1 
Como a k-ésima soma parcial pode ser simplificada para a diferença desses 
dois termos, a sequência de somas parciais {𝑆𝑘}converge se e somente se a 
sequência {𝑏𝑘+1}convergir. Além disso, se a sequência 𝑏𝑘+1 converge para algum 
número finito B, então a sequência de somas parciais converge para 𝑏1 − 𝐵, e, 
portanto, 
∑
∞
𝑛=1
[𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1] = 𝑏1 − 𝐵 
 
Exemplo: 
Determine se a série telescópica converge ou diverge. Se convergir, encontre 
sua soma. 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
∑
∞
𝑛=1
[𝑐𝑜𝑠 (
1
𝑛
) − 𝑐𝑜𝑠 (
1
𝑛 + 1
)] 
Solução: 
Ao escrever os termos na sequência de somas parciais, podemos ver que 
𝑆1 = 𝑐𝑜𝑠(1) − 𝑐𝑜𝑠(
1
2
) 
𝑆2 = (𝑐𝑜𝑠(1) − 𝑐𝑜𝑠(
1
2
)) + (𝑐𝑜𝑠(
1
2
) − 𝑐𝑜𝑠(
1
3
)) = 𝑐𝑜𝑠(1) − 𝑐𝑜𝑠(
1
3
) 
𝑆3 = (𝑐𝑜𝑠(1) − 𝑐𝑜𝑠(
1
2
)) + (𝑐𝑜𝑠(
1
2
) − 𝑐𝑜𝑠(
1
3
)) + (𝑐𝑜𝑠(
1
3
) − 𝑐𝑜𝑠(
1
4
))
= 𝑐𝑜𝑠(1) − 𝑐𝑜𝑠(
1
4
) 
Em geral, 𝑆𝑘 = 𝑐𝑜𝑠(1) − 𝑐𝑜𝑠(
1
𝑘+1
) desde 1
(𝑘+1)
→ 0 como 𝑘 → ∞ e 𝑐𝑜𝑠 𝑥é uma 
função contínua, 𝑐𝑜𝑠(
1
(𝑘+1)
) → 𝑐𝑜𝑠(0) = 1. Portanto, concluímos que 𝑆𝑘 → 𝑐𝑜𝑠(1) − 1. 
A série telescópica converge e a soma é dada por∑∞𝑛=1 [𝑐𝑜𝑠 (
1
𝑛
) −
𝑐𝑜𝑠 (
1
𝑛+1
)] = 𝑐𝑜𝑠(1) − 1 
4.6. Teste da divergência 
Na prática, calcular explicitamente esses limites pode ser difícil ou impossível. 
Felizmente, existem vários testes que nos permitem determinar a convergência ou 
divergência para muitos tipos de séries. O teste da divergência diz que 
se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑐 ≠ 0 ou 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛não existe, então a série ∑
∞
𝑛=1 𝑎𝑛 é divergente. 
É importante notar que o inverso desse teorema não é verdadeiro. 
Exemplo 1: Dada a série a seguir, aplique o teste de divergência. Se o teste de 
divergência provar que a série diverge, declare-o. Caso contrário, indique que o teste 
de divergência é inconclusivo. 
∑
∞
𝑛=1
𝑛
3𝑛 − 1
 
Solução: 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
Desde que 
𝑛
(3𝑛−1)
→
1
3
≠ 0, pelo teste da divergência podemos concluir que a série 
diverge. 
Exemplo 2: Dada a série a seguir, aplique o teste de divergência. Se o teste de 
divergência provar que a série diverge, declare-o. Caso contrário, indique que o teste 
de divergência é inconclusivo. 
∑
∞
𝑛=1
1
𝑛3
 
Solução: 
Desde que 
1
𝑛3
→ 0, o teste de divergência é inconclusivo. 
Exemplo 3: Dada a série a seguir, aplique o teste de divergência. Se o teste de 
divergência provar que a série diverge, declare-o. Caso contrário, indique que o teste 
de divergência é inconclusivo. 
∑
∞
𝑛=1
𝑒
1
𝑛2 
Solução: Desde que 𝑒
1
𝑛2 → 1 ≠ 0, pelo teste de divergência, a série é 
divergente. 
4.7. Teste da integral 
Essa técnica é importante porque é usada para provar a divergência ou 
convergência de muitas outras séries. Esse teste, chamado teste da integral, 
compara uma soma infinita a uma integral imprópria. É importante observar que 
esse teste só pode ser aplicado quando estamos considerando uma série cujos 
termos são todos positivos. 
Suponha que ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛é uma série com termos positivos 𝑎𝑛. Suponha que 
exista uma função f e um número inteiro positivo N, de modo que as três condições 
a seguir sejam atendidas: 
I. f é contínuo; 
II. f é decrescente; 
III. 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 para todos os inteiros 𝑛 ≥ 𝑁 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
então, ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛 e∫
∞
𝑁
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ambos convergem ou ambos divergem. 
Embora a convergência de ∫
∞
𝑁
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 implique na convergência da série 
relacionada ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛 isso não implica que o valor da integral e da série sejam os 
mesmos. Eles podem ser diferentes, e geralmente são. 
Exemplo: Use o teste integral para determinar se a série converge ou diverge. 
∑
∞
𝑛=1
1
𝑛3
 
 
Solução: Comparando ∑∞𝑛=1
1
𝑛3
 e ∫
∞
1
1
𝑥3
𝑑𝑥, temos, 
∫
∞
1
1
𝑥3
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→∞
∫
𝑏
1
1
𝑥3
𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→∞
[− 
1
2𝑥2
|1
𝑏] = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→∞
[− 
1
2𝑏2
+
1
2
] =
1
2
 
assim, a integral ∫
∞
1
1
𝑥3
𝑑𝑥converge, e portanto, o mesmo acontece com a série 
∑∞𝑛=1
1
𝑛3
 
4.8. Teste de comparação de limites 
O teste de comparação funciona bem se pudermos encontrar uma série 
comparável que satisfaça a hipótese do teste. No entanto, às vezes, encontrar uma 
série apropriada pode ser difícil. 
Seja 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ≥ 0 para todo 𝑛 ≥ 1 
I. Se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝐿 ≠ 0, então ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛 e ∑
∞
𝑛=1 𝑏𝑛 ambos convergem ou 
ambos divergem. 
II. Se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 0 e ∑∞𝑛=1 𝑏𝑛 converge, então ∑
∞
𝑛=1 𝑎𝑛converge. 
III. Se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= ∞ e ∑∞𝑛=1 𝑏𝑛 diverge, então ∑
∞
𝑛=1 𝑎𝑛diverge. 
Exemplo 1: Use o teste de comparação de limites para determinar se a série 
converge ou diverge. Se o teste não se aplicar, informe. 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
∑
∞
𝑛=1
1
√𝑛 + 1
 
Solução: Comparando a série com ∑∞𝑛=1
1
√𝑛
podemos calcular, 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
(√𝑛 + 1)
1
√𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
√𝑛
√𝑛 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
√𝑛
1 +
1
√𝑛
= 1 
pelo teste de comparação de limites, uma vez que ∑∞𝑛=1
1
√𝑛
diverge, então 
∑∞𝑛=1
1
√𝑛+1
diverge. 
Exemplo 2: Use o teste de comparação de limites para determinar se a série 
converge ou diverge. Se o teste não se aplicar, informe. 
∑
∞
𝑛=1
2𝑛 + 1
3𝑛
 
Solução: Comparando a série com ∑∞𝑛=1 (
2
3
)𝑛vemos que, 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(2𝑛 + 1)
3𝑛
2𝑛
3𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2𝑛 + 1
3𝑛
×
3𝑛
2𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2𝑛 + 1
2𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
[1 + (
1
2
)
𝑛
] = 1 
portanto, 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(2𝑛 + 1)
3𝑛
2𝑛
3𝑛= 1 
desde que ∑∞𝑛=1 (
2
3
)𝑛 converge, concluímos que ∑∞𝑛=1
2𝑛+1
3𝑛
também converge. 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
4.9. Convergência de uma série de potências 
 Em uma série de potências do tipo 
𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3+. . . = ∑
∞
𝑛=0
𝑎𝑛𝑥
𝑛 
Existem três possibilidades: 
1. A série de potências converge apenas para x=0; 
2. A série converge para qualquer valor de x. 
3. Existe um número real R tal que a série converge para todos os 
valores de |𝑥| < 𝑅e diverge para todos os valores de |𝑥| > 𝑅.A série 
pode convergir ou divergir para 𝑥 = −𝑅 𝑒 𝑥 = 𝑅. 
 
 O intervalo |𝑥| < 𝑅, o que é a mesma coisa que −𝑅 < 𝑥 < 𝑅,é chamado de 
intervalo de convergência absoluta da série de potências e R recebe o nome de raio 
de convergência. 
Exemplo 1: Dada a série de potência a seguir, determine o raio e o intervalo de 
convergência absoluta. 
∑
∞
𝑘=0
𝑘! 𝑥𝑘 
Solução: Podemos aplicar o teste da razão. 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
|
(𝑘 + 1)! 𝑥𝑘+1
𝑘! 𝑥𝑘
| = 𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
|(𝑘 + 1)𝑥| = ∞ 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 0 
A série converge apenas para x=0. O raio de convergência é igual a zero e o 
intervalo de convergência absoluta é um ponto único, ou seja, x=0. 
Exemplo 2: Dada a série de potência a seguir, determine o raio e o intervalo de 
convergência absoluta. 
∑
∞
𝑘−0
𝑥2𝑘
4𝑘
 
Solução: Aplicando o teste da razão temos: 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
||
𝑥2(𝑘+1)
4𝑘+1
𝑥2𝑘
4𝑘
|| = 𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
|
4𝑘𝑥2𝑘+2
4𝑘+1𝑥2𝑘
| =
𝑥2
4
 
Já que 
𝑥2𝑘+2
𝑥2𝑘
= 𝑥2𝑘+2−2𝑘 = 𝑥2 
Logo, esta série de potências converge para 𝐿 < 1e diverge para 𝐿 > 1. Isto é, 
a série converge para 
𝑥2
4
< 1, ou seja, 𝑥2 < 4.Temos então que o intervalo de 
convergência absoluta é −2 < 𝑥 < 2 e o raio de convergência é 𝑅 = 2. 
Síntese 
 O estudo das sequências numéricas é necessário nas áreas da matemática, 
física e engenharia, saber identificar uma sequência numérica é essencial. Vimos 
nessa unidade que as progressões aritméticas e geométricas são os dois tipos de 
sequências numéricas mais conhecidas e utilizadas, saber identificar se uma 
sequência é aritmética ou geométrica é importante para tratar situações que 
vivenciamos no trabalho ou escola. 
 Um importante estudo que devemos fazer quando trabalhamos com uma 
sequência é o comportamento da sequência quando n aumenta, ou seja, é conhecer 
os limites da sequência e como é o seu comportamento, mais precisamente, temos 
que saber se a sequência converge ou diverge. O teorema da monotonicidade, então, 
permite demonstrar se uma sequência converge ou diverge. 
 O estudo das séries também é fundamental nas áreas de engenharia, 
economia, ciência, entre outras. Existem vários testes para se determinar se uma 
série converge ou não, como o teste da razão, teste da divergência, teste da integral 
e o teste da comparação dos limites. Além disso, ainda existem várias propriedades 
e regras das séries, como a regra de soma e multiplicação por uma constante, a 
convergência de uma série de potências, entre outros. 
 Em suma, os conhecimentos adquiridos nesta unidade foram: 
● Compreender os conceitos gerais de sequências numéricas; 
● Aplicar as ideias de progressões regulares constantes, como a 
aritmética e geométrica; 
Cálculo Avançado - Unidade 3 - Sequências Numéricas 
 
● Entender os limites de uma sequência, bem como os conceitos de 
convergência e divergência; 
● E conhecer os testes para a determinação de convergência ou 
divergência para séries, de modo geral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
HOFFMANN, Laurence, et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 
Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015 
STEWART, James. Cálculo, volume 2 . Tradução: EZ2 Translate. São Paulo: Cengage 
Learning, 2013. 
STEWART, James. Calculus: Early Transcendentals. 8ª ED. Cengage Learning, 2014 
THOMAS, George Brinton; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo. Tradução de Thelma 
Guimarães e Leila Maria Vasconcellos Figueiredo. 11. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2009.