Cálculo II; 12ed Thomas

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GEORGE B. THOMAS 
MAURICE D. WEIR E JOEL HASS 
volume 
12A 
edição 
volume 2 
u~ 
volume 2 
GEORGE B. THOMAS 
MAURICE D. WEIR 
t A r s-G ADl.JAT.E SCHOOL 
JOEL HASS 
JNIV flSITY OF CALIFORNJA, DAVIS 
TRADUÇÃO 
CARLOS SCALICJ 
REVISÃO TÉCNICA 
CLAUDIO HLROFUME ASANO 
NSTI TUTO oi. MATEMATICA [ ESTATISTICA DA UNIVERSIDADE or SÃO PAUi.O 
PEARSON 
São Paulo 
Brasil 1\rgentina Colô1nbia Costa Rica (~hilc l~spanha 
Guatcn1a la ~léxico Pcn1 Porlo Rico enczncla 
121 
ediçào 
abd~ 
SUMÁRIO 
P f
, . .. 
re a ao ......................................................................... ....... Vil 
10 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS .. .. . .. .... ......... . ... ... ...... ......... 1 
10.1 Seqt1ên.cias ......................................................................................... 1 
10.2 Séries infinitas ................................ ................................................. J 3 
10.3 Teste da integral ............................................................................... 22 
10.4 Testes de comparação ...................................................................... 27 
10.5 Testes da razão e da raiz ................................................................... 32 
l 0.6 Séries alternadas, convergência absoluta e condicional .................. 3 7 
1O.7 Séries de potências ........................................................................... 44 
10.8 Séries de Taylor e de Maclaurin ....................................................... 52 
10.9 Convergência de séries de Taylor ..................................................... 57 
10.1 O Séries bino1niais e aplicações das séries de Taylor .......................... 64 
QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ................................................. 72 
EXERCÍCIOS f>RÁ1"1COS ...................................................................... 72 
EXERCÍCIOS AOICIONAJS E AVANÇADOS ...•.............•.............•............. 74 
11 EQUAÇÕES P1\RA.\1ÉTRIC1\S E COORDENADAS POL \RES ••.. ..•. 77 
11. I Parametrizações de curvas planas .................................................... 77 
11.2 Cálculo com curvas paramétricas ... .. ............................................... 85 
11.3 Coordenadas polares ......................................................... .. ............. 93 
11.4 Desenhando gráficos em coordenadas polares ................................ 97 
• 11.5 Areas e co1npri1nentos em coordenadas polares ............................ 1O1 
11.6 Seções cônicas ............................................................................... 105 
11.7 Cônicas em coordenadas polares ................................................... 113 
Q UESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ............................................... 120 
EXERCÍCIOS PRÁTICOS ........................................................•........... 120 
EXERCÍCIOS 1\0ICTONAIS E AVANÇADOS ........................................... 122 
12 V E"fORES E A GEO~tETRIA DO ESPAÇO ... ... ..... .. .. . ....... .. ... . . 125 
12.1 Sistema de coordenadas tridimensiona 1. ........................................ 125 
12.2 Vetores ........................................................................................... 129 
12.3 Prodtito escalar .............................................................................. 138 
12.4 Produto vetorial .............................................................................. 146 
12.5 Retas e planos no espaço ............................................................... 151 
12.6 Cilindros e supcrfíci.es quádricas ................................................... 159 
QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ............................................... 164 
EXERCÍCIOS PRÁTlCOS ............................ ........................................... 165 
EXERCÍCIOS ADICIONAJS E AVANÇADOS ........................................... 166 
13 F u'l<; (>ES \ 'ETORf,\ JS E ~10\' f!\.1EN'f{)S NO ESPAc;' O ... ... .... ... . 170 
13. 1 Curvas no espaço e suas tangentes ................................................ 170 
13.2 Integrais de funções vetoriais; movirnento de projétil. .................. 178 
13.3 Comprin1ento de arco no espaço ................................................... 187 
13.4 Curvatura e vetores nonnais de u1na curva ................................... 191 
13.5 Componentes normal e tangencial da aceleração .......................... 197 
13.6 Velocidade e aceleração em coordenadas polares .......................... 202 
QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ............................................... 205 
EXERCÍCIOS PRÁTICOS .................................................................... 205 
EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS ........................................... 207 
• 
V1 Cálculo 
14 D ERl\'l\.0 1\S PARCIAIS .. . .... ..... . .. .. .. ... ... .. ... . ... ... . .. . ... ... . .. ... . 209 
14.I Funções de vârias variáveis ........................................................... 209 
14.2 Limites e continuidade em dimensões superiores ............. ............ 217 
14.3 Derivadas parciais ........ ......... ............................. .......... ... ................ 226 
14.4 Regra da cadeia .............. ................................................................ 23 7 
14.5 Derivadas direcionais e vetores gradientes .................................... 245 
14.6 Planos tangentes e diferenciais ...................................................... 253 
14. 7 Valores extremos e pontos de sela ................................................. 264 
14.8 Multiplicadores de Lagrange ......................................................... 272 
14.9 Fórmula de Taylor para duas variáveis ........................................... 281 
14. l O Derivadas parciais con1 variáveis condicionadas ........................... 285 
Q UESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO .....................•.•........ .• .. .•......... 290 
EXERCÍCIOS PRÁTICOS .................................................................... 290 
EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS ........................................... 294 
15 J NTE(;RA lS ' fÚTT TPJ \<i ••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••• • 297 
15.1 Integrais duplas e iteradas sobre retângulos .................................. 297 
15.2 fntegrais duplas sobre regiões gerais ............................................. 302 
15.3 Área por integração dupla .............................................................. 311 
15.4 integrais duplas na fonna polar ..................................................... 314 
15.5 Integrais triplas ern coordenadas retangulares ............................... 320 
15.6 Mon1entos e centros de 1nassa ....................................................... 329 
15.7 Integrais triplas en1 coordenadas cilíndricas e esféricas ................ 336 
15 8 S b . . ~ . . . , . 1 "48 . u st1tu1çoes em 1ntegra1s mu t:Jp as ............................................. .> 
Q UESTÕES PARA GUlAR SUA REVlSÀO ............................................... 357 
Exr.Rcic1os PRÁncos .................................................................... 357 
EXERCTClOS ADICIONAIS E AVANÇADOS ............. .............................. 359 
16 JNTEGRA<,:ÃO El\f CAl\.IPOS VETORIAlS .... .. ......... . ........ ... ..... 362 
16.1 Jntegrais delinha ........................................................................... 362 
16.2 Campos vetoriais e integrais de linha: trabalho, circulação e fluxo .... 368 
16.3 1 ndependência do caminho, campos conserva ti vos 
e funções potenciais ........................................................................ 38 l 
16.4 Teorema de Green no plano ........................................................... 392 
16.5 St1perficies e área .................................................... ...................... 404 
16.6 integrais de superfície ................................................................... 414 
16. 7 Teoren1ade Stokes ......................................................................... 423 
16.8 Teorema da divergência e teoria unificada .................................... 433 
Q UESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ........................ .. ...................•. 444 
EXERCÍCIOS PRÁTJCO·S ..... ············· · ················································· 44.4 
ExeRCÍCIOS AOICIO AIS e AVA ÇA.DOS .................... .................. ..... 447 
Apêndices ...............................•............................. , .......... 451 
Respostas selecionadas ····················· ·-·················· ·· ········· 491 
• Indice remissivo ................................................................. 525 
Breve tabela de integrais .................••....•...•. .........•............ 535 
P REFÁCIO 
Con1 o propósito de atender às necessidades atuais de alunos e professores, 
revisa1nos cuidadosa1nente esta edição de Cálculo. O resultado é um livro con1 un1a 
variedade 1naior de exe1nplos, n1ais exercícios de nível médio. mais figuras e melhor 
fluxo conceituai, ben1 como 1nais clareza e precisão. Como nas edições anteriores, 
esta nova edição apresenta uma introdução moderna ao cálculo que apoia a compre-
ensão conceituai e n1antén1 os ele1nentos essenciais de u1n curso tradicional. 
Nesta décin1a segunda edição, apresentan1os as funções transcendentes 
básicas no Capítulo 1. Após revisar as funções trigo1101nétricas básicas, apresen-
tan1os a família de funções exponenciais, utilizando abordagen1 algébrica e grá-
fica, con1 a exponencial natural descrita co1no membro especifico dessa fan1ília. 
Os logaritmos foram então definidos como funções inversas das exponenciais, 
e as funções trigono1nétricas inversas também foran1 discutidas. Essas funções 
forarn plenamente Lncorporadas ao nosso desenvolvin1ento de li1nites, derivadas e 
integrais nos cinco capítulos seguintes do livro, incluindo exe1nplos e exercícios. 
Essa abordage1n oferece aos alunos a oportunidade de trabalhar o quanto antes 
com funções exponenciais e logarítn1icas juntan1ente com funçõe-S polinon1iais, 
racionais e algébricas e funções trigonométricas, à medida que conceitos, opera-
ções e aplicações do cálculo de variáveis únicas são aprendidos. Mais adiante, no 
Capítulo 7, revisita1nos a definição de funções transcendentes, agora com uma 
apresentação mais acurada. Definimos a função logaritmo natural como uma inte-
gral que tem exponencial natural como sua inversa. 
Muitos de nossos alunos estiveram en1 contato com a terrninologia e co111 os 
aspectos computacionais do cálculo durante o ensino 1nédio. Apesar dessa fan1ilia-
ridade, a destreza do estudante e1n álgebra e trigonon1etria 1nuitas vezes o impede 
de ser bem-sucedjdo na sequência de cálculo na faculdade. Nesta edição. procura-
mos equilibrar a experiência prévia dos alunos e1n cálculo co1n o desenvolvimento 
da habilidade algébrica que ainda pode ser necessária, sem prejudicar ou arruinar 
a autoconfiança de cada u1n. Ton1amos o cuidado de fornecer 1naterial de revisão 
suficiente, acrescido de soluções completas e exercícios que oferecessem suporte ao 
entendimento completo de alunos de todos os níveis. 
Tncentiva111os os alunos a raciocinar, en1 vez de 1nen1orizar fórn1ulas, e a ge-
neralizar conceitos à medida que eles são apresentados. Espera1nos que, depois de 
aprenderem cálculo, eles se sinta1n confiantes em resolver problemas e e1n sua habi-
lidade de raciocínio. A recompensa é o don1ínio de u1n belo assunto, com aplicações 
práticas no inundo real, 1nas o verdadeiro presente são as capacidades de pensar e 
generalizar. Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo a a1nbas. 
Inovações da décima segunda edição 
CONTEÚDO Ao preparar esta edição, niantive111os a estn1tura básica do conteúdo 
da déci1na pri1neira edição. Levan1os em conta as solicitações dos leitores atuais e 
dos revisores cm aruar a introdução de equações para1nétricas até que as coordena-
•• • 
Vlll Cálculo 
das polares fosse1n apresentadas. Efetuan1os várias revisões na maioria dos capítu-
los. detalhadas a seguir: 
• Funções Resun1imos o Capítulo 1, Volume 1, para que ele tivesse como foco 
a revisão dos conceitos de função e a apresentação das funções transcendentes. 
Nos Apêndices 1 a 3, apresentatnos os pré-requisitos 1nateriais que abrange1n 
números reais, intervalos, incrementos. retas, distâncias, círculos e parábolas. 
• Lin1ites Para 1nelhorar o fluxo do capítulo, con1bina1nos as ideias de lin1ites 
que envolvem infinin1de e as associações das assíntotas com gráficos de fun-
ções, dispondo-os juntos na seção final do Capítulo 3, Volume l. 
• Derivadas Ao usar taxas de variação e tangentes às curvas cotno rnotivação 
ao estudo do conceito de 1 imite, fundin1os o conceito de derivada em um único 
capítulo. Reorganizamos e aumcntarnos o nún1cro de exemplos relacionados a 
taxas e acrescentamos outros exe1nplos e exercícios sobre gráficos de funções 
racionais. A regra de L'Hôpital é apresentada con10 uma seção de aplicação, 
coerente com a abrangência anterior sobre funções transcendentes. 
• Primitivas e integração Mantiven1os a organização da déci1na primeira edi-
ção ao colocannos as prinlitivas como o tópico final do Capítulo 4, Volume 1, 
passando pelas aplicações de derivadas. Nosso foco é a "recuperação de u1na 
função a partir de sua derivada" con10 solução para o tipo n1ais si1nples de 
equação diferencial de prin1eira orde1n. U1n ten1a novo que con1põe a essência 
do Capítulo 5, Volume 1. são as integrais como "somas dos limites de Rie-
n1ann", motivado a princípio pelo problema de dctern1inar as áreas de regiões 
gerais co111 limites curvos. Após o desenvolvi1nento cuidadoso do conceito de 
integral, voltamos nossa atenção ao cálculo dela e à sua ligação com as primi-
tivas provenientes do teore111a funda1nental do cálculo. Assim, as aplicações 
seguintes definem as várias ideias geométricas de área, volwne, co1npri111ento 
de ca1ninhos e centroides como li1nites das son1as de Rien1ann que geram 
integrais definidas que podem ser calculadas por meio da detenninaçào da 
primitiva do integrando. Mais adiante, retornamos ao assunto de como solu-
cionar equações diferenciais de pri1neira ordem mais complexas. 
• Equações diferenciais Algumas universidades prefere1n que esse assunto 
seja tratado en1 um curso à parte. Embora tenhan1os abrangido soluções para 
equações diferenciais separáveis no Capitulo 7. Volume 1. ao tratam1os as 
aplicações de crescin1ento e decain1ento exponencial de funções integrais e 
transcendentes, a maior parte de nosso n1aterial foi organizada en1 dois capí-
tulos (passíveis de serem omitidos na sequência de cálculo). No Capítulo 9, 
Volu1ne 1, introduzi1nos as equações diferenciais de prin1eira ordem, incluin-
do uma nova seção sobre siste1nas e planos de fase con1 aplicações relativas 
aos 1nodelos caçador competitivo e predador-presa. 
• Séries Quanto à sequência e séries, rnantivernos a mcsn1a estrutura organi-
zacional e o 1nes1no conteúdo da décima prin1cira edição. Adicionamos novas 
figuras e exercícios às várias seções, e, para tornar o material mais acessível 
aos alunos, revisrunos algu1nas das provas relacionadas à convergência de sé-
ries de potência. Uma das solicitações de um de nossos leitores, '"qualquer 
tentativa de tomar esse material mais fáci l de ser compreendido por nossos 
alunos será bem recebido por nosso corpo docente", guiou nosso pensan1ento 
nas revisões do Capítulo 1 O, Volu1ne 2. 
• Equações paramétricas Vários leitores solicitara111 que passássemos esse 
tópico para o Capítulo 11, Volu111e 2, e1n que incluímos ta1nbé1n coordenadas 
polares e seções cônicas. Fizemos isso ao perceber que muitos departan1entos 
escolhem abordar esses tópicos no inicio de Cálculo 111, ao se prepararem 
para o assunto vetores e cálculo com 1nultivariáveis. 
• Funções vetoriais Simplificamos os assuntos do Capítulo 13, Volun1e 2. 
para enfatizar as ideias conceituais que apoiam o material posterior sobre de-rivadas parciais, vetores gradientes e integrais de linha. Condensamos as dis-
cussões do plano de Frenei e as três leis do movimento planetário de Kepler. 
• Cálculo con1 n1ultivariável Nos capítulos que tratam desse assunto, refor-
ça1nos ainda mais o projeto gráfico e adicionru11os figuras novas, exemplos e 
exercícios. Reorganizamos o material de abertura em integrais duplas. e com-
• 
Prefácio lX 
binamos as aplicações de integrais duplas e triplas para n1assas e momentos 
em uma única se~ão, abrangendo casos bidimensionais e tridimensionais. Essa 
reorganização pern1itiu um n1clhor fluxo dos conceitos básicos da n1atcn1ática, 
em conjunto co1n suas propriedades e aspectos co1nputacionais. Assin1 como na 
décima prin1eira edição, continuamos a fazer a conexão da ideia de multivariá-
veis con1 a ideia análoga de va1iáveis únicas abordada no inicio do livro. 
• Can1pos vetoriais Devotamos um esforço considerável para aun1cntar a 
clareza e a precisão mate1nática no trata111cnto de cálculo vetorial integral, 
incluindo 111uitos exen1plos adicionais, figuras e exercícios. Os teoremas e 
os resultados inlportantes são apresentados de forn1a n1ais clara e comple-
ta, juntamente con1 explicações avançadas de suas hipóteses e consequências 
1nate1náticas. Agora, a área da superfície está organizada etn unia única seção, 
e as superfícies definidas in1plícita ou cxplicíta111cntc são tratadas con10 casos 
especiais de u111a representação paran1étrica 1nais geral. Em uma seção sepa-
rada, são apresentadas as integrais de superfície e suas aplicações. O teorema 
de Stokes e o tcorcn1a da divergência continuain sendo apresentados como 
generalizações do teorerna de Green para três dünensões. 
EXERCÍOOS E EXEMPLOS Sabemos que exercícios e exe1nplos são componentes 
críticos para a aprendizagem de cálculo. Devido a essa importância, atualizamos, 
1nelhora1nos e aun1enu11nos o nún1ero de excrcfcios cm quase todas as seções do 
livro. Nesta edição, há mais de 700 exercícios novos. Con10 nas edições anterio-
res, continuamos a organizar e agrupar os exercícios por ten1as, progredindo de 
problemas co111putacionais para problen1as aplicados e teóricos. Os exercícios que 
requerem a utilização de sisten1as de software de con1putador (co1no o Maple® ou 
Ma1/re111alica®) foran1 colocados ao final de cada seção de exercícios, sob o título 
"Uso do computador". A n1aioria dos exercícios aplicados tên1 un1 subtítulo para 
indicar o tipo de aplicação ao qual o problema se refere. 
Muitas seções incluen1 novos exemplos para esclarecer ou aprofundar o sig-
njfícado do tema que está sendo discutido e para ajudar os alunos a compreender 
suas consequências 1natemáticas ou aplicações e1n ciência e engenharia. Ao mesrno 
te1npo, foram excluídos os exe1nplos que repetian1 o n1aterial já apresentado. 
PROJETO GRÁFICO Percebendo sua i1nportância na apre11dizage1n do cálculo, 
continuamos a aprunorar as figuras atuais nesta nova edição, e cria1nos un1 número 
significativo de novas figuras. Verificamos também as legendas, prestando 1nuíta 
atenção à clareza e à precisão em frases curtas. 
1 
\' = -• X 
Não i111pona que 
número positivo 
seja E, o grólico 
entra nesm banda 
emx= ! 
E 
e permanece. 
} ~ E 
E 1---'"c--...r...;--
-1 N =- -E ---'---....-''-0-1---'---,--- x 
M=! 
" )'•-E ""---r----'"---1 ~ 
Niio impona que 
número positivo 
seja E. o gráfico 
cntr.i nesta banda 
em .r=- ! 
E 
e permanece. 
FIGURA 2.50 GeomeLria por trás do argu-
mento no Exemplo 1. 
. / 
X .. 
• ;: / 
• -.J / 
' . ~/; 
~~\· . .. \ 
' ._ I 
• 
FIGURA 16.9 Superfície em um espaço 
ocupado por u1n íluido móvel. 
X Cálculo 
Caracterfsticas preservadas 
RIGOR O uivei de rigor é consistente com o de edições anteriores. Continua1nos 
a distinguir entre as discussões formais e informais e apontar suas diferenças. En-
tendemos que a adesão a wna abordagem mais intuitiva e n1euos formal ajuda os 
alw1os a con1preender u1n conceito novo ou difícil para que possam, então, apreciar 
a precisão matemática e seus resultados de forma con1pleta. Tivemos cuidado ao 
definir ideias e den1onstrar os teore111as de fonna adequada aos alunos de cálculo, 
mencionando que questões mais profundas ou sutis devem ser estudadas etn um 
curso mais avançado. A organização e a distinção entre as discussões formais e 
infonnais oferecem ao professor um grau de flexibilidade en1 quantidade e profun-
didade na abrangência dos diversos tópicos. Por exe1nplo, enquanto não provamos 
o teorema do valor intermediário ou o teorema do valor extren10 para funções con-
tínuas no intervalo entre a < x < b. explicamos esses teoren1as de forma precisa, 
ilustrando seus significados em inúmeros exen1plos e utilizando cada utn deles para 
provar outros resultados i1nponantes. Além disso, para os professores que desejam 
u1na abordage1n ainda mais profunda, discutiinos no Apêndice 6 a dependência da 
validade desses teoremas em relação à con1pletude dos nún1cros reais. 
' EXEROCIOS ESCRITOS O objetivo dos exercícios escritos encontrados ao longo do 
texto é estimular os alunos a explorar e explicar uma variedade de conceitos de cál-
culo e aplicações. Além disso, ao final de cada capítulo há uma lista de perguntas 
que ajudan1 os alunos a analisar e resumir o que aprenderan1. 
REVISÕES E PROJETOS NO ANAL DE CAPÍTULO Além dos exercícios ao final de 
cada seção. cada capín1lo é encerrado com questões de revisão. exercícios práticos 
que abrangem todo o capítulo e un1a série de exercícios adicionais e avançados 
que servem para incluir problenias mais desafiadores e abrangentes. A n1aioria dos 
capítulos tan1bé1n inclui descrições de diversos projetos de aplicações de tecno-
logia que podem ser trabalhados individualn1ente ou en1 grupos durante um longo 
período de ten1po. Esses projetos requerern o uso de urn computador que execute 
Mathe111atica ou Maple. 
REUAÇÃO E APLICAÇÕES Como sempre, este livro continua fácil de ser lido. colo-
quial e n1aten1aticamente rico. Cada tópico novo é motivado por exemplos claros 
e de fácil co1npreensão. e são reforçados por sua aplicação a problemas do mu11do 
real de interesse in1ediato para os alunos. O que distingue este livro é a aplicação do 
cálculo en1 ciência e engenharia. Os problemas aplicados foran1 atualizados. n1elho-
rados e estendidos continuamente ao longo das últimas edições. 
TECNOLOGIA Em u1n curso que utilize texto. a tecnologia pode ser incorporada de 
acordo con1 a vontade do professor. Cada seção contém exercícios que rcquere111 o 
uso de tecnologia; eles estão 1narcados com u1n lii se foren1 adequados ao uso de 
calculadora ou de con1putador, ou estão na seção "Uso do computador" se exigirem 
urn sistema de álgebra computacional (SAC, tal co1no lvfaple ou Mathe111atica). 
No site sv.pearson.com.br, professores e estudantes podetn acessar os se-
guintes 111ateriais adicionais: 
Para professores: 
• Apresentações e111 Po,verPoint. 
• Ma11ual de soluções (en1 inglês). 
• Resolução dos exercícios avançados. 
Para estudantes: 
• Exercícios de múltipla escolha. 
• Biografias e ensaios históricos. 
Agradecimentos 
• 
Prefácio X1 
• Capítulo adicional, exclusivamente on-line. sobre equações diferenciais de 
segunda ordem. 
• Exercícios avançados. 
Agradecen1os às pessoas que fizeran1 inúrneras contribuições valiosas a esta 
edição em suas 111uitas etapas de desenvolvin1ento: 
Revisores técnicos 
Blaise DeSesa 
Paul Lorczak 
Kathleen Pellissier 
Lauri Semarne 
Sarah Streett 
Holly Zullo 
Revisores da décima segunda edição 
Meighan Dillon. Southern Polytechnic State University 
Anne Dougherly. University ofColorado 
Said Fariabi, San Antonio College 
Klaus Fischer. George Mason University 
Ti1n Flood, Pittsburg State University 
Rick Ford, California State University - Chico 
Roben Gardner, East Tennessee State University 
Christopher Hei!. Georgia lnstitute ofTechnology 
Joshua Brandon Holden. Rose-Hulman lnstitute ofTechnology 
Alexander Hulpke, Colorado State University 
Jacqueline Jensen. Sa1n l-JoustonState University 
Jennifer M. Johnson, Princeton University 
Hideaki Kaneko, Old Dominion University 
Przemo .Kranz, University of Mississippi 
Xin Li, University ofCentral Florida 
Maura Mast, University of Massachusetts - Boston 
Vai Mohanakumar, Hillsborough Co1rununity College - Oale Mabry Campus 
Aaron Montgo1nery. Central Washington University 
Christopher M. Pavone, California State University at Chico 
Cynthia Piez, University of ldaho 
Brooke Quinlan, Hillsborough Con11nunity College - Dale Mabry Campus 
Rebecca A. Segai, Virginia Commonwealth University 
Andrew V. Sills, Georgia Southern University 
Alex Sn1ith, University of Wisconsin - Eau Claire 
Mark A. Smith. Miami University 
Donald Solon1on, University of\Visconsin - Milwaukee 
John Sullivan, Black Hawk College 
Maria Terrell. Corne!J University 
Blake TI1ornton, Washington University in St. Louis 
David Walnut, George Mason University 
Adrian Wilson, University of Montevallo 
Bobby Winters, Pittsburg State University 
Dennis Wort1nan, University of Massachusetts - Boston 
•• 
Xll Cálculo 
Agradecimentos dos editores brasileiros 
Agradecemos às professoras Helena Maria Ávila de Castro e Sônia Regina Lei-
te Garcia, pelos exercícios avançados contidos na Sala Virtual; ao professor Mari-
valdo Pereira Matos, pelo apêndice sobre sisten1as bidirnensionais co1n coeficientes 
constantes, também contido na Sala Virtual; e ao professor Claudio Hirofume Asa-
no, pelas suas ricas contribuições, sábias observações e explicações. 
10.1 
ENSAIO HISTÓR.ICO 
Sequências e séries 
Sequências 
SEQUÊNCIAS E 
, 
SERIES INFINITAS 
VISÃO GERAL Todos sabem como somar dois n(uneros, ou 1nesmo vários. Mas 
como se soma1n infinitos números'? Neste capítulo, respondemos a essa questão, 
que é parte da teoria de sequências e séries infinitas. 
U1na importante aplicação dessa teoria é um 1nétodo para representar uma fun-
ção derivável conhecidllf(x) como uma so1na infinita de potências de x, de forn1a 
que se parece com un1 "polinômio com infinitos termos". Alén1 disso, o método es-
tende nosso conhecin1ento de co1110 avaliar, derivar e integrar polinômios, de forma 
que poden1os trabalhar com funções ainda mais gerais do que aquelas encontradas 
até aqui. Essas novas funções são frequentes soluções para importantes problemas 
na ciência e na engenharia. 
As sequências são fundan1entais para o csn1do de séries infinitas e muitas apli-
cações da mate1nática. Já vimos anteriom1enle um exen1plo de u1na sequência quan-
do estudamos o método de Newton na Seção 4.7. Produzi111os ali un13 sequência 
de aproximações x
11 
que se tomou cada vez mais próxin1a da raiz de un1a função 
derivável. Iremos agora explorar sequências de números gerais e as condições sob 
as quais elas convergem. 
Representando sequências 
Uma sequência é uma lista de números 
em u1na ordem determinada. Cada a1, a2. a3, e assim por diante, representa un1 nú-
n1ero. Esses são os ter1uos da sequência. Por exe1nplo, a sequência 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ... , 211, ... 
ten1 o priJneiro termo a1 = 2, o segw1do tenno a, = 4, e o 11-ésiino termo a = 211. - li 
O nún1ero inteiro 11 é chamado de índice de a,, e indica em que posição an ocorre na 
lista. A orde1n é in1portante. A sequência 2, 4, 6, 8 ... não é igual à sequência 4, 2. 6, 8 ... 
Podemos pensar na sequência 
como uma função que envia 1 paraª" 2 para a2, 3 para a3, e, em geral, associa o 
número inteiro positivo 11 ao 11-ési1no tem10 a,,. M.ais precisa1nente, un1a sequência 
infinita de números é wna função cujo donúnio é o conjunto de nútneros inteiros 
positivos. 
A função associada com a sequência 
2, 4, 6. 8. 10, 12, ... , 211, ... 
atribui 1 para a 1=2: 2 para a1 =4, e assim por diante. O comportamento geral dessa 
sequência é descrito pela fórmula a,,= 2n. 
2 Cálculo 
Da mesma forma. pode1nos fazer con1 que o domínio seja os números inteiros 
n1aiores do que tm1 detern1inado nún1ero n0, e permitirnos sequências desse tipo 
também. Por exen1plo, a sequência 
12, 14, 16, 18. 20, 22 ... 
é descrita pela fórnlula a,,= 1 O+ 211. Essa sequência ta1nbém pode ser descrita pela 
fóm1uJa mais si1nples b,, = 211, onde o índice 11 corneça em 6 e aumenta. Para pennitir 
fóm1lLlas niais simples, dcixan1os o prin1eiro indi.ce da sequência ser qualquer número 
inteiro. Na sequência acin1a, {a
11
} começa com ai' enquanto { b,,} começa com b6. 
As sequências podem ser descritas pelas regras que especificam seus lennos, con10 
n - 1 b = (- 1)11+ 1 .!.. 
,, ti ' e,, = " , d = ( - J )"+1 li ' 
ou listando os termos: 
{a,,} - {ví. V2, \/3, ... , V,,, ... } 
{ b,,} { 1. - ~ , ~ , - ! ' ... ' (- 1 )11- 1 ~ ' ••• } 
{e,,} - {o·i·t·%·~· ··· · 11 ~ 1 • ••• } 
{d,,} { 1, - 1, l, - 1, 1, - 1, .. . , ( - 1)'1+ 1' ••• } • 
Escreve1nos ainda, às vezes. 
A Figura 10.1 den1onstra duas maneiras de representar sequências grafican1en-
te. A primeira nlarea os primeiros pontos a partir de a" a2, a3, .. . ,a,,, ... no eixo real. 
O segundo 111étodo dernonstra o gráfico da função definindo a sequência. A função 
é definida son1ente nos números inteiros, e o gráfico consiste de aJguns pontos no 
plano ·'J' localizados em ( l, a 1), (2, a2), •.• , (11. a,,), .... 
(ln 
3 
º' º 2 0 3 04 05 • 2 • • • • • • • • o J 2 • 
a,,= \/;, n 
o l 2 3 4 5 
lln 
tl3 ª2 º' ... • • • • o 1 
1 li ,,,, = ii o 2 3 4 5 
an 
ª 2 li~ 0 s ª J a, 
• • .. . • • o l li 
ti = ( - 1)"+ 1 l o • ,, li 
FIGURA 10.1 As sequências podern ser representadas como pontos na reta real ou con10 pontos 
no plano onde o eixo horizontal /1 é o índíce do tem10 e o eixo vertical a n é o seu valor. 
Convergência e divergência 
Algun1as vezes os nún1cros cm uma sequência se aproximam de um único va-
lor, confonne o índice n aumenta. lsso acontece na sequência 
{1.~.~·!····,;p···} 
o 
L + f. 
L --- - --------(11.n,,)-.!- 0 - --
• • L - t 
• • 
• • 
• 
--+--'--'~'-----'--'--__._ ___ /1 
o l 2 3 N n 
FIGURA 10.2 Na representação de uma 
st:quência como pontos no plano, a,, - L 
se y = L for uma assintota horizontal da 
sequência de pontos {(11. an)}. 
Nesta figura, todos os an depois de aN 
localizam-se a menos de e de l. 
BIOGRAFIA HISTÓRICA 
Nicole Oresrne 
( 1320-1382) 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 3 
cujos tennos se aproximatn de O conforn1e 11 cresce, e na sequência 
{O, t. ~. ~, ~ .... , 1 - *· ... } 
cujos termos se aproxima1n de l. Por outro lado, sequências como 
{Vi, Vi, \/3, .... V,,, ... } 
possuen1 termos que fican1 maiores do que qualquer niimero conforme 11 aumenta, 
• • e sequencias corno 
{ l,-1, 1,-1, l,-l, .. .,(-J)11'rl, ... } 
alternan1 entre 1 e - 1, nunca convergindo para u1n valor único. A seguinte defini-
ção representa o significado de unia sequência convergir a uni valor lin1ite. Ela 
estabelece que se formos longe o bastante na sequência. fazendo o índice 11 maior 
do que algum valor N, a diferença entre a
11 
e o lin1ite da sequência torna-se menor 
que qualquer número pré-selecionado E> O . 
loEFINIÇÕES A sequência {an} converge para o número L se para todo nútnero 
positivo E corresponder um nún1ero inteiro N. de fom1a que para todo n, 
11 > N => la - Ll < t:. n 
Se nenhum número L existir, dizemos que {a,,} diverge. 
Se {a,,} converge para l, escrevemos lim,, .... 
00 
a,, = l. ou simplesmente 
a,, - .L, e chamamos l o limite da sequência (Figura 10.2). 
A definição é muito se1nelhante à definição do litnite de uma função/(.\'), quan-
do x tende a oo (limx-oo f(x) na Seção 2.6). Lre1nos explorar essa conexão para 
calcular lin1ites das sequências. 
EXEMPLO 1 Mostre que 
(a) lin1 * = O (b) lim k = k (qualquer constante k) 
,,~oo li~ 
Solução 
(a) Seja E> O dado. Deven1os 111ostrar que existe urn N inteiro de forma que, para 
todo n, 
11 > N 1 /j - 0 < E. 
Essa implicação valerá se (l /11) < E ou n > l/t:. Se N for qualquer número intei-
ro rnaior que J/ t:, a implicação valerá para todo n > N. Isso prova que lirn
11
_
00 
(l /11) = 0. 
(b) Seja E> O dado. Devemos ntostrar que existe u111 N inteirode forrna que, para 
todo"· 
11 > N => lk- kl< E. 
Urna vez que k- k = O. pode1nos utilizar qualquer nwnero inteiro positivo para 
N e a implicação será verdadeira. Tsso prova que lim,, ..... 
00 
k = k para qualquer 
constante k. 
EXEMPLO 2 Mostre que a sequência { 1, -1. 1, -1 , 1, -1 , .. ., (-1 )'r+t, ... } diverge. 
Solução SuponJ1an1os que a sequência convirja para algum nú1nero L. Escolhendo 
E = 1/2 na definição do limite, todos os tem1os a,, da sequência com índice 11 maior 
que um N devem se localizar a menos de E = 1/2 de l. Uma vez que o número 1 
aparece repetidan1entc como tern10 sitn, termo não da sequência, deve1uos ter o 
número 1 localizado a u1na distância a menos de E = 1/2 de L. 
4 Cálculo 
"• 
• 
• 
• • 
M • 
• 
• • • • • • • • • 
t 1 1 1 n 
o 123 N 
(u) 
ª• 
• 
• 
n 
o 12) • N 
• 
• 
• 
• 
Tii 
• • • • • 
• 
(b) 
FIGURA 10.3 (a) A sequência diverge a 
oo porque não importa qual número M é 
escolhido. os termos da sequência após 
nlgu111 índice N estão todos na faixa cinza 
acin1a de /vi. (b) A sequência diverge a -oo 
porque todos os tennos após algun1 índice 
N estão abaixo de qualquer número 111 
escolhido. 
Segue que IL- 1 I < 1/2 ou, de forn1a equivalente. 1/2 < l < 3/2. Da 1nes1na for-
ma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com indice arbitrariamente 
alto. Dessa fonna, devemos ainda ter que IL - (-1 )1 < 1/2 ou, de forma equivalente, 
- 3/2 < l < - 1/2. Entretanto, o número l não pode estar e1n ambos os intervalos 
(1/2, 3/2) e (-3/2, - 1/2). unia vez que eles não possuetn u1na superposição. Dessa 
fonna, não existe tal lim ite l e portanto a sequência diverge . 
Observe que o 1nesmo argumento funciona para qualquer número positivo E 
menor que l, não somente 1/2. 
A sequência { VÍi} também diverge, 111as por u1n motivo diferente. Conforme n 
au1nenta, seus termos se tornan1 1naiores que qualquer número fixado. Descreven1os 
o comportamento dessa sequência escrevendo 
lim \Íti = oo . 
Ao escrever que o li1nite da função é infinito, não estamos dizendo que as di-
ferenças entre os termos a,, e oo se tornam pequenas confonnc /1 aumenta. També1n 
não estamos afirmando que existe algum número infinito do qual a sequência se 
aproxin1e. Esta1nos somente utilizando un1a notação que capta a ideia de que a,, 
finalmente se torna e permanece .maior que qualquer nú111ero fixado à medida que n 
cresce (veja a Figura 10.3a). Os termos de uma sequência poderiam ainda dimü1uir 
para menos infin ito, conforme na Figura 10.3b. 
DEFJNIÇÃO A sequência {a,,} diverge ao inf inito se para cada número M 
houver un1 núinero inteiro 1V. tal que para todo 11 major do que N. a,, > !vi. Se 
essa condição for verdadeira, escreve1nos 
lim a,, = oo 
n-oo 
ou a,, - oo . 
De maneira semelhante, se para cada nún1ero n1 existir um número inteiro 
N, de fonna que, para todo 11 > N tenha1nos a,, < 111, então dize1nos que {a
11
} 
diverge ao menos infinito e escrevemos 
lin1 a11 = -oo 
11-.00 
ou a,, - -oo . 
Un1a sequência pode divergir sem divergir ao infmito ou menos infinito, con-
forme vimos no Exen1plo 2. J\s sequências { 1, - 2, 3, -4, 5. -6. 7, - 8, ... } e { 1, O, 2, 
O, 3, O, ... } são também exe1uplos de tal divergência. 
Calculando limites de sequências 
Uma vez que sequências são funções com domínio restrito aos números in-
teiros positivos. não é surpresa que os teoremas sobre limites de fu11ções dados no 
Capírulo 2 tcnhan1 versões para sequências. 
TEOREMA 1 Sejam {a,,} e {b,,} sequências de números reais, e sejam A e B 
números reais. As seguintes regras se aplicam se lin1,,-oc a,,= A e lim
11
-oo b,, = B. 
t . Regra da so111a: lim (a + b ) = A + B ,,_ n ' ' 
2. Regra da diferença: lim,,_,
00 
(a,, - b,,) = A - B 
3. Regra da 1111t!riplicação por constante: li1n (k · b ) = k · 8 ,,_. ,, 
(número k qualquer) 
4. Regra do produto: lim (a · b ) =A · 8 
11~ ' 11 n 
5. Regra do quociente: 
. a,, A 
h m11-.oo b,, = B se B * O 
A prova é semelhante àquela do Teorema 1 da Seção 2.2 e é 01nilida. 
e,, 
••• 
L .J 
• • • 
-- ... --- -- ----... 1- -• • • • • • •• : • 1 
b• • •••• • • • • • • • a,: 
-+----------+f/ 
o 
FIGURA 10.4 Os tcnnos da sequência 
{b,,} ficam "sanduichados entre'' aqueles 
de {n,,} e {e,,}, forçando-os ao 1nesmo 
lin1ite comu1n L. 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 5 
EXEMPLO 3 Co1nbinando o Teorema 1 com os lin1ites do Exemplo 1, tere1nos: 
· ( 1 ) • 1 O Regra J:i n1ult1ph, • ..,,iu p1ir (a) lin1 - - = - 1 · lnn - = - 1 · = O 
,, ..... 00 n 11-.00 /1 co11,1.1111c e 1 Xl'lllplo 1 a 
(b) lim (n ~ 1) = lin1 (1 - ti) 
11-+00 li-+ 
= lin1 1 - lin1 }
1 
= 1 - O = 1 Régr.111.i <l1ícren\:t I! l 'crnrlu 13 
li-+ ti-+ 
(e) lim ~ = 5 • lim J.. · lim J.. = 5 · O· O = O Hcgra <lo produto 
11-+oo n2 11 ....,.00 fl 11-00 /1 
. 4 - 7116 . (4/ 116) - 7 o - 7 
(d) lln1 6 = lln1 / 6) = l + O = - 7. Rcgr." da •orna e <lo qU<x:1cnlo: 
11-00 n + 3 11-+oo 1 + (3 n 
Tenha cuidado ao aplicar o Teorema 1. Ele não diz, por exe1nplo. que cada uma 
das sequências {a,,} e {b
11
} tem litnites se sua son1a {a,,+ b,,} tiver um litnite. Por 
exemplo, {a,,}= { 1, 2, 3, ... } e {b,,} = {-1, - 2, - 3, ... }, ambas diverge1n, mas sua 
soma {a,,+ b,,} = {O, O, O, ... } claran1ente converge para O. 
Uma consequência do Teorema 1 é que todo 1núltiplo diferente de zero de uma 
sequência divergente {a,,} diverge. Suponha. pelo contrário, que {ca
11
} converge 
para algum nún1ero e :F O. Sendo assim, tomando k = l lc na regra da 1nultiplicação 
por constante no Teorema I, vemos que a sequência 
{ ~ · ca11 } = {an} 
converge. Dessa fonna, { ca,,} não converge, a n1enos que {a,,} tan1bén1 convirja. Se 
{a,,} não converge, então {ca
11
} não converge . 
O próximo teorema é a versão de sequência do teorema do confronto na Seção 
2.2. Você será solicitado a provar o teorema no Exercício 109. (Veja a Figura 10.4.) 
TEOREMA 2 - Teorema do confronto para as sequências Sejam {a,,}, 
{ b,, f e {e,,} sequências de nún1eros reais. Se a,, s. b
11 
s. e,, for verdadeira para 
todo n alé111 de algu1n índice N, e se lim
11
_
00 
a
11 
= lim,,_ e,, = l, então 
lin1,,_
00 
b,, = L ta1nbém. 
Uma consequência in1ediata do Tcoren1a 2 é que, se lh,,I s. e,, e e,, - O, então 
h
11 
- O porque -c
11 
s. b
11 
s. c
11
• Usainos esse fato no próximo exemplo. 
EXEMPLO 4 Uma vez que l/n - O, sabcn1os que 
(. ) cos" o a n - porque _ l. < cos li < .!.. . n - TI - 11 , 
1 
(b) 2"--+0 porque 
(e) ( - 1)" )1 -+O porque - 1~ < (-1)" )1 5 ,11 . 
A aplicação dos Teoremas 1 e 2 é ampliada por u1n teorema que enuncia que, 
ao se aplicar u1na f1mção contínua a un1a sequência convergente. é produzida uma 
sequência convergente. Enuncia111os o tcorc1na, deixando a prova con10 um exercí-
cio (Exercício 1 10). 
TEOREMA 3 - Teorema da função contínua para sequências Seja {a,,} 
uma sequência de nún1eros reais. Se a,,--+ Lese/ for uma função que é con-
tínua en1 L e definida cm todo a,,, entào/(a
11
)--+ /(l). 
1 
6 Cálculo 
)' 
2 
-<•t--••---·- --• X 1 1 1 o - -3 2 
FIGURA 10.5 Co1no 11-00. l/11- O e 
2 1111 - 2° (Excn1plo 6). Os tcrn1os de { 1/n} 
são exibidos sobre o eixo x; os 1ennos de 
{2 1111 } são exibidos co1no os valores dey 
no grâfico de/(x) = 2·'. 
EXEMPLO 5 Mostre que °\/(11 + 1 )/ 11-+ 1. 
Solução Sabemos que (11 + 1 )/11 -+ 1. Tomando j(x) = Vx e l = l no Teoren1a 3 
proporcionará Y(n + l )/n-+ Vt = l. 
EXEMPLO 6 A sequência { l/11 } converge para O. To1nando t1
11 
= l /11 , f(x) = 2x e 
l = O no Teorema 3, vemos que 2 11" = f(l ln)-+.f (L) = 2° = 1. A sequência {2 11"} 
converge para l (Figura 10.5). 
Utilizando a regra de L'Hôpital 
O próximo teoren1a formaliza a conexão entre lim,,_.
00 
a,, e lin1
11
_.
00
.f(x). Ele 
nos permite utilizar a regra de L:Hôpital para encontrar os limites de algumas se-
A o 
quenc1as. 
TEOREMA 4 Suponha que j{x) seja un1a função definida para todo x ~ 110 e 
que {a,,} seja un1a sequência de núrneros reais tal que a
11 
= j(n) para 11 ~ 110. 
Então 
Lim f(x ) = L 
.r -..OO 
litn a,,= L. 
,,~oo 
Prova Suponha que limf._
00
/(x) = L. Então, para cada nú1nero positivo E existe 
um número !vi, tal que para todo x, 
x> M lf(x) - l i< E. 
Seja N un1 nún1ero inteiro nlaior que Me maior ou igual a 110' Então 
11 > N ~ a,,= } '(11) e la,, - LI= l/'(11) - l i< e. 
EXEMPLO 7 Mostre que 
(. ln /1 _ 0 1m 11 - . n-oo 
Solução A função (ln x)/x é definida para todo x ~ 1 e concorda corn a sequên-
cia dada ern números inteiros positivos. Portanto, pelo Teorema 4. fim,,_ (ln 11)/11 
será igual a limx-+oo (ln x)lx se o último existir. Uma única aplicação da regra de 
L'Hôpital n1ostra que 
. ln X . 1 /X Q 
Ltrn x = ltm 
1 
= -
1 
= O. 
4\"_,.oo ~t-. ~ 
Concluímos que lirn,,_
00 
(ln n)/11 = O. 
Quando utilizan1os a regra de L'f-lôpital para encontrar o limite da sequência, 
frequentemente tratan1os n corno uma variável real contínua e derivamos diretamen-
te co1n respeito a n. Isso nos salva de ter de reescrever a fórrnula para a,,, conforme 
fizemos no Exemplo 7. 
EXEMPLO 8 A sequencia cujo 11-ésüno tcrtno é 
(
li + 1 ) " a,, = 11 - l 
converge? En1 caso positivo, encontre 1in1,,_
00
0
11
. 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 7 
Solução O lin1ite leva à fon11a indeterminada 100• Poden1os aplicar a regra de 
L'Hôpital se primeiro alteraru1os a forn1a para oo · O ton1ando o logarittno natural 
de a : 
li 
(
li + 1 )" ln a,, = ln li _ 1 
(
,, + 1) = n ln 
11 
_ 
1 
• 
Encào. 
liin ln a,, = lim n ln (
11 + : ) t<•nna ' ll 
11-+00 n-+OO n -
1n(n + 1) 
li - 1 
= liln 
11-+00 J /li 
. - 2/(n2 - l ) 
= lttn , 
11-00 - 1 / n-
R~i;ru .i~ l ' Hnr11.1I thf.:r.:n.:1ar 
nu111~n1dor e tkno1n1n.1dur 
? 2 
1
. -11 
= JITI 
li -> 112 - 1 
= 2. 
Unia vez que ln a,, - 2 efl.t-r) =e< é contínua, o Teorema 4 nos diz que 
a11 = e1""• - e2 
A sequência { a
11
} converge para e2. 
Limites que ocorrem frequentemente 
O próximo teore1na nos dá alguns limites que surgem frequentemente. 
lrEOREMA 5 
abajxo: 
As seis sequências a seguir convergem aos limites listados 
1. liJn ln /1 = O 
4. lim x" = O (jxl < 1) 
li 
,, ..... ,,_..oo 
lim ( 1 + ~) 
11 
= e·r (x qualquer) 2. li1n ef,; = 1 s. ,,_.oa ,,_oo 
lin1 X l/ 11 = 1 (x > O) 6. 
x" 
3. lim 1 = O (x qualquer) 
,,~oo ,,_. n. 
Nas Fórmulas 3 até 6, x permanece fixado quando /1 __,. oo. 
Prova O prin1eiro lirnite foi co1nputado no Exemplo 7. Os dois próxirnos pode1n 
ser provados to1nando logari tn1os e aplicando o Teoren1a 4 (Exercícios 107 e 108). 
As provas remanescentes são fornecidas no Apêndice 5. 
EXEMPLO 9 Estes são exemplos dos limites no Teorema 5. 
ln (11 2) 2 ln n 
(a) /1 = li __,. 2 • O = O f1>n11ul.1 1 
F<'trmulJ 2 {b) "W = 112/n = (1t lln)2 - ( J )2 = 1 
(e) ~ = 31f"(n 11'') _,. 1·1 = 1 Fúnnula J t.:t11nx= 3 r: í\>nnula ~ 
1 ónnula -4 _.1111 \ 
1 
~ -
8 Cálculo 
~ção fatorial 
1 A -n~tação 11 ! ("11 fatorial") significa o 
produto 1 · 2 · 3 ··· /1 dos inteiros de 
1 a 11. Note que 
(11 + l )! = (11 + l) · 11!. Então. 
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 e 
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 5 ' 4! = 120. 
Definimos O! como 1. Os fatoriais 
crcscen1 ainda 111ais rapida111cntc que as 
exponenciais, co1no a tabela sugere. Os 
valores na ta bela estão arredondados. 
li e'' li ! 
1 3 1 
5 148 120 
10 22.026 3.628.800 
20 4.9 X 108 2,4 X JOl8 
+ - -+e- 2 -2)" 
11 
í"órnuWi 5 co111 _, - ~ 
100" 
(f) ' - o li. J(lftnUJ;.tf>(Olll \ lfl() 
Defini~ões recursivas 
Até aqui, calculamos cada a,, diretamente a partir do valor de 11. No entanto, as 
sequências são frequentemente definidas recursivamente, fornecendo 
1. O(s) valor(es) do termo inicial ou rennos iniciais, e 
2. Urna regra, chamada fórmula de rccursão, para o cálculo de qualquer tern10 
posterior a partir dos tennos que o precederen1. 
EXEMPLO 10 
(a) As sentenças a 1= 1 e a,, = a,,_1 + 1 para 11 > 1 definem a sequência 1, 2, 3, ... , 11, .•• 
de inteiros positivos. Con1a1 = l. ten1os a2 =a1 + 1 = 2. a3 = a2 + 1 = 3. e assi1n 
por diante. 
(b) As sentenças a 1 = 1 e a,,= 11 · a,,.....1 para 11 > 1 definen1 a sequência I, 2, 6, 24, ... , 
n!, ... de fatoriais. Com a 1 = 1, temos a2 = 2 · a 1 = 2, a3 = 3 · a2 = 6, a4 = 4 · a3 
= 24, e assim por diante. 
(e) As sentenças a 1 = 1, a2 = 1 e ªn+t =a,, +a,,_1 para11 > 2 definem a sequência 
1, 1, 2, 3, S, ... dos números de Fibonacci. Com a 1 = 1 e a2 = I, temos a3 = 1 + 
1 = 2, a4 = 2 + 1 = 3. a5 = 3 + 2 = S, e assi1n por diante. 
(d) Como podemos ver na aplicação do método de Newton (veja o Exercício 133), as 
scntençasx0 = 1 exn+1 = xn - [(senx11 - xn
2)/(cosx
11 
- 2\,)] para n > O defincn1 uma 
sequência que, quando converge, fornece uma solução para a equação sen x -x2 =O. 
Sequªncias monotônicas Lin1itadas 
Dois conceítos que desen1penham un1 papel fundan1ental na detern1inação da 
convergência de uma sequência são os de sequência li11âtada e sequência 111011otô11ica. 
DEFINIÇÕES Uma sequência {a,,} é limitada superiorntente se existe um nú-
n1cro AI/ tal que a,, 5 M para Lodo 11. O número M é um limitante superior para 
{a,,}. Se M é wn lin1itante superior para {a,,}, nias nenhum nún1ero n1enor que M é 
um limitante superior para {a,, }, então M é o menor linlitante superior para {a,, }. 
Uma sequência {a,,} é limitada inferiormente se existe u1n número 111 
tal que a,, ;:::; 111 para todo 11. O número 111 é u1n limitante inferior para {a,,}. Se 
111 é um liinitante inferior para {a,,}, n1as ne11hu1n nú.mero n1aior que,,, é u1n 
limitante superior para {a,,} , então 111 é o maior limitante inferior para {a,,}. 
Se {a,,} é limitada superior e inferiormente, então {a,,} é limitada. Se 
{a,,} não é limitada, então dizemos que {a,,} é unta sequência ilimitada. 
EXEMPLO 11 
(a) A sequência 1, 2, 3, ... , 11, ..• não te1n lin1itante superior, un1a vez que fina ln1ente 
ultrapassa todo número M. No entanto, ela é li1nirada inferionnente por todo 
número real nlenor ou igual a 1. O número 111 = 1 é o n1aior lin1itante inferior 
da sequência. 
(b) A • . 1 2 3 n , 1. . d . d . sequencia 2• 3• 4• ... , 
11 
+ 1, ... e 1n11ta a supenom1ente por to o nun1ero 
reaJ menor ou igual a l. O limitante superior M = 1 é o menor limitante superior 
(Exercício 125). A sequência ta1nbém é limitada inferiormente por todo nún1ero 
menor ou igual a t. que é o 1naior lin1itantc inferior. 
1 Sequências co1r.,ergentes são limitadas 
a,, 
M 
• • • 
• • 
• • • 
1 ti 
li • o 123 • 
• • . . •. • • 1 
Ili 
FIGURA 10.6 Algu111as sequências 
limitadas saltitam entre seus lin1itantes e 
deixam de converg1r para qualquer valor 
limite. 
y = lVI Mt--------------
y= l Lt-----------=-....,..-r....-• ... • • • • 
• • • 
•• • • 
• • • 
~--------------x 
o 
FIGURA 10.7 Se os termos de uma 
sequência crescente têm um Limitante 
superior /o.f. eles tên1 u1n lin1itc L < /.1. 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 9 
Se uma sequência {a"} converge para o nún1ero l, então, por definição, existe 
urn nún1ero N tal que la n - l [ < l se 11 > N. Ou seja. 
l - 1 <a,,< l + l para n > N. 
Se M é um número 1naior que L + 1 e todos os (finitos) números a., a2, ... , ªN• 
então para cada índice n temos a,, < M de fonna que {a,,} é lin1irado superiormente. 
De rnancira semelhante, se 111 é um número n1enor que l - 1 e todos os nú1ncros a 
1
, 
a2, ••• , af<~ então 111 é u1n lunitante inferior da sequência. Portanto, todas as sequên-
cias convergentes são limitadas. 
E1nbora seja verdade que toda sequência convergente seja limitada, exis1e1n 
sequências limitadas que deixan1 de convergir. Um exemplo é a sequência limitada 
{ (- 1 )" + 1} discutida no Exen1plo 2. O problema aqui é que algumas sequências 
Jin1itadas saltitam na faixa determinada por qualquer lin1itante inferior 111 e qualquer 
limitante superior M (Figura 10.6). Um tipo de sequência importante que não se 
comporta dessa forn1a é uma para a qual cada tem10 é ao menos tão grande, ou tão 
pequeno, quanto seu predecessor . 
r DEFINIÇÃO Uma sequência {a,,} é crescente se a,. s; a,,+1 para todo 11. Ou 
. < < < A •. ' d t > td A seJa, a1 - a2-a3 - .•• •sequencia e ecrescen e se a,, - a1,+1 para o o 11 • 
sequência {a,,} é monotônica se ela for crescente ou decrescente. 
EXEMPLO 12 
(a) A sequência 1, 2, 3 . .... n, ... é crescente. 
(b)A •. 123 li é sequencia 2· 3· 4, ...• /1 + 1 , . . . crescente. 
()A ·· 11 1 1 l ' d e . sequencia , 2· 
4
, 
8
, ... , 
2
,, .... e ecrescente. 
(d) A sequência constante 3, 3, 3, .. ., 3 .... é tanto crescente quanto decrescente. 
(e) A sequência 1,-1, 1,-1, 1,-1, ... nàoé1nonotônica. 
Uma sequência crescente que é limitada superiorn1ente sen1pre te1n un1 menor 
limitante superior. Da mesma forma. uma sequência decrescente limitada superior-
mente sernpre te1n u1n n1aior limitante inferior. Esses resultados são baseados na 
propriedade da co1np/e111de dos números reais, discutida no Apêndice 6. Provamos 
agora que se l é o n1enor limitante superior de uma sequência crescente, então a 
sequência converge para L. e que se L é o nlaior lin1itante inferior de tuna sequência 
decrescente, então a sequência converge para l. 
TEOREMA 6 - Teorema da sequência monotônica Se uma sequência {a,,} 
é limitada e monotônica, então a sequência converge. 
Prova Suponha1nos que {a
11
} seja crescente, l é o menor li1nitante superior, e de-
senhamos os pontos ( 1, a 1), (2, a2 ), •. .• (11, a n), ... no plano -~l'· Se M é um Li.Jnitante 
superior da sequência. todos esses pontos estarão sobre ou abaixo da reta J' = 1\tl 
(Figura 10.7). A reta.v= l é a reta n1ais inferior. Nenhum dos pontos (11, a,,) estará 
acima de y = l , n1as alguns estarão acima de qualquer reta inferior y = L - €, se € 
for um número positivo. A sequência converge para l porque 
(a) a
11 
< l para todos os valores de 11, e 
(b) dado qualquer€ > O, existe ao 111enos u1n inteiro N para o qual a N > l - €. 
O fato de {a,,} ser crescente nos diz adicionalrnente que 
a
11
2! aN> L - E para todo /1 2! N. 
Sendo assim, todos os números a,, alén1 do N-ési1no núrnero estão a 1nenos de 
E de l. Essa é prccisrunente a condição para L ser o li nú te da sequência { a
11
}. 
A prova para as sequências decrescentes li1njtadas inferionnente é semelhante. 
10 Cálculo 
É importante perceber que o Teorema 6 não diz que sequências convergentes 
são tnonotônicas. A sequê11cia {(-J)n+1/n} converge e é linlitada, tnas não é 1nono-
tônica, u1na vez que ela alterna entre valores positivos e negativos, à medida que 
tende a zero. O que o teorema afirn1a é que uma sequência crescente converge quan-
do é lirnitada superiorn1ente, n1as diverge ao infinito, caso contrário. 
Exercidos 10.1 
Encontrando termos de uma sequência 
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o n-ési1no termo 
a,, de u1na sequência la,,I. Encontre os valores de a1• a2, a3 e a4• 
J - 11 4. an = 2 +(-1)" 
1. a,, = ' 
li" 
1 2 a = -• ,, 11! 
( - 1)/ITI 
3 a =---
• li 211 - 1 
s. 2" a,, = 
211 + 1 
2• -
a,. - 2n 6. 
Cada um dos Exercícios 7-12 dã u1n ou dois tern1os iniciais de urna 
sequência, bem como uma fórmula de rccursão para os termos re-
manescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência. 
7. a 1 = 1, a,r+I = 0 11 + ( 1/211) 
8. a1 = 1, a11+1= a.1(11+1) 
9. a 1 = 2,a,,u= (- l)n+
1 a,,/2 
10. a1 =-2, a,,...1= 11a11/(11 + 1) 
11. ª1=a2=1. ª n+2=ª,,11+ a. 
12. a1 = 2. a2 = - 1. a,r+2 = a,r+/ a,, 
Encontrando uma fórmula para a sequencia 
Nos Exercícios 13-26, encontre urna fórrnula para o 11-ési1110 termo 
da sequência. 
13. A sequência 1. - 1. 1. - 1. 1. ... 
14. A sequência-!, l, - 1. I, - 1. ... 
IS. A sequência 1. -4. 9. -16, 25 .... 
16 A - . 1 1 l 1 1 • sequencia , - 4• 9, - 16· 25 .... 
1 2 22 23 24 
17. 9·12·J5·)8·2f•·" 
3 1 3 5 18. 2' 6' 12' 20' 30' ... 
19. A sequência O, 3, 8, 15. 24, ... 
20. A sequência -3, -2, - 1, O, 1, ... 
2 J. A sequência 1,5, 9. 13.17 .. .. 
22. A sequência 2, 6, l O, 14. 18, ... 
5 8 11 14 17 
23• l' 2• 6• 24• 120' ... 
N LU]l,•f<h 1 COlll '" 
'1t1J1' altcrn.1dos 
Nu11lt:l'tJ~ l ~01 11 '-'' 
•ma" allc1nado, , 
Qu.11h ,11k" J1 '' lnh:ir11.• 
f'OStll\<)\ , COlll O'\ 
,1n.11s nllcmad•h 
Rc.ip1 o.:ó' do' quadr .llkJ, 
U•h 1n1crro' p1i-lll\o,, 
c1>1n º' srn.tts alccrn;u.111' 
Poténc1Js de 2 <li\ ulu:ih 
pnr 111ulttplo' J..: \ 
lntc1r11s d1fi:nndo ix1r ~ 
1IÍ\ 1J11los p111 prodtllil' 
de rnrcrro' cons.:c1111\ 1h 
Qu.1.lmd1•' 1los rntcih» 
pos111vos mcno, 1. 
lnl"lflh C<•mC\',IOll\l 
1:11111 .\. 
l m rn1,·1n1 P•"llllil 
1111p.ir s1m. um 111h~1f\• 
r1b1l11111111p:ir n.lo . 
Um 1111,•1111 Jl<'"111 ,, p.1r ,1111. 
um 1n1ciro posilJ\O par não. 
ltnc1n1, J1h:nnd1• por 3 
J 11 rdi<l<" p1•r l.1t<•nJ1' 
l 8 27 64 125 ---24. 25' 125' 625' 3125' 15.625'ºº' Cuh<b de» rn1c1ro' f'<'"""" d11•1J1Jo, por porcncw~ Jc: 5 
\h.,rnamln n1111i<•r1is 
i C 11111T1Cflh 11 25. A sequência I, O. I , O. 1, ... 
26. A , . O 1 1 2 2 3 3 4 Ca1ta 1111.:ir11 po,itr1 n sequencia , . , • , , . • . . . 
1 n:pc11, o. 
Convergência e divergência 
Quais das sequências {an} nos Exercícios 27-90 convergcn1? E 
quais divergetn? Encontre o li1njte de cada sequência convergente. 
27. a,, = 2 + (0,1 )" 44. an = 111T cos (117T) 
28. 
11 + ( - 1 )n sen 11 
a,, = li 45. a,, = " 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
a,, = 
a,, = 
1 - 2n 
1 + 211 
211 + 1 
1 - 3y;, 
1 - 511 4 
a,, = 114 + 811 3 
li + 3 a,,= -,----
11· + 511 + 6 
112 - 211 + 1 
a,, = 11 - 1 
a,, = 1 - 11
3 
70 - 4 11 2 
35. a 
11 
= l + (-1 )" 
36. a,, = ( - l )" ( J - *) 
37. a,, = ( li + 1) (1 - l) 211 li 
38. ª" = 
(-1)11+1 
39. a,. = 211 - 1 
40. ª• = (- ~ ) " 
a,,= \Flh 41. 
42. 
1 
a,, = {0,9)" 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
scn2 /1 
a,. = 2" 
11 
(ln = 2" 
3" 
ª" =, ,,. 
10 (11 + 1) 
V,, 
ln /1 
a = 11 ln 211 
51 a = 8"" • li 
52. an = (0.03)11" 
53. a,, = (1 + ;,)" 
54. a,, = ( 1 - 1~) n 
55. ª" = ~ 
56. Gn = W 
57. a,, = (~) 
1111 
58. 0
11 
= (11 + 4)11(nl4) 
ln 11 (/ = 
n 
11
1/ 11 
59. 
60. a
11 
= ln 11 - ln (11 + 1) 
61. a,,= ~ 
62 - -•G::;:-;3:ln+ 1 . a,, - V J-· ' ' 
63. a,, = 4 (Sugestão: compare com 1111.) 
li 
(- 4 )" ,,2 
64. a = n li! 
77. a = 
" 211 -
1 
1 sen li 
65. 
li! 
ª" = 106" 78. a,, = /1 ( 1 - cos ), ) 
66. 
li! 
79. ~,, = V,, sen 1 ª• = 2• . 3" V,, 
67. 
= ( .!. ) 1/ lln nl 80. a,, = (3" + 5")1 1n 
a,, /1 
81. a,, = tg- 111 
a,, = ln ( l + 1~)" 68. 82. 1 1 " lln = .V,, tg 
f1 
69. a,, = (311 + l)" 
3,, - 1 83. ( 1 )" 1 a,, = J + W 
70. ª• = (li~,)" 84. ª" = \/n2 + " 
( n ) 1111 (1 n fl ) 2C)() 
71. ª" = 2nx+ 1 ' x > O 85. a,, = 11 
86. 
73. 
311 • 6" 
a,, = 2-·• · n! 87. ª• = /1 - v,,2 - li 
88. 1 
74. 
(10/ 1 I)" 
ª" = -( 9-/-10-)-" _+_(_1-1 /_1_2-)" 
a,, = .~ 
V 112 - 1 - v112 + ,, 
75. a
11 
= tgh 11 
89. 1 /" l (111 = n X dx 
• 1 
76. a,,= senh (ln 11) 90. Jll 1 a,, = -ptl'f. :r p > I 
Sequências definidas recursivamente 
Nos Exercícios 91-98. assu1na que cada sequência convirja e en-
contre o linlite. 
91. a1 = 2, a,,+ 1 
92. Ot = -1. lln+ I 
72 
+ ª" 
ª" + 6 
a,, + 2 
93. a1 = - 4, On+I = V8 + 2a,, 
94. ª' = o. a,, • 1 
95. a1 = S, <ln+ I = ~ 
96. a1 = 3. a,,+1 = 12 - Va,, 
97. 2. 2 + t. 2 + 1 1 . 2 + 1 1 
2 + 2 2 + l 
2 + 2 
98. ví. v'1 + Vi, V1 + VI + ví. 
\/, + \/1 + v'1 + Vi,. .. 
, ... 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 11 
Teoria e el<emplos 
99. O pri1neiro termo de uma sequência é x1 = l. Cada um dos 
termos seguintes é a soma de todos os seus antecedentes: 
100. 
x,t+ 1 =x1 + x2 + ... + x •. 
Escreva os primeiros terntos da sequência suficientes par.1 de-
duzir uma fórm ula geral para x, que seja verdadeira para 11 ;:: 2. 
Uma sequência de nümcros racionais é descrita a seguir: 
1 3 7 l 7 a a + 2b ----1' 2' 5' 12' .... b' (/ + b . . .. . 
Aqui os nu1neradores forntam uma sequência. os denominado-
res formam unta segunda sequência e suas razões forman1 uma 
terceira sequência. Sejant x,, e Yn' respectivamente, o numera-
dor o o dc1101ninador da 11-ési1ua fração r,, = x
11
/ y
11
• 
a. Verifique que .r1
2 - 2y 1
2 =-1, x2 
2 - 2y2
2 =+1 e, mais gene-
ricamente. que a2 - 2b2 = -1 ou+ 1, então 
(c1 + 2b)2 - 2(" + b)2 =+1 ou - 1. 
respectivamente.b. As frações r,, =x,.ly,. se aproximam de um lintite à 1nedida 
que /1 aumenta. Qual é esse limite? (Sugestão: use o item 
(a) para 1nostrar que r,,2-2 = ± ( l ly,,)2 e que y
11 
não é n1enor 
que 11. ) 
1O1. Método de Ne\vton As seguinres sequências vêm da fónnu-
la recursiva para o n1étodo de Ne,vton. 
f (x,,) 
X11 t 1 = X,, - j ' (x,, ) · 
As sequências convergem? Em caso afinnativo, para qual va-
lor? E1n cada caso, co1nece identificando a função/ que gera - . a sequencia. 
a. xo = 1, 
x,,2 - 2 
l",, .i 1 = "• - à ,, 
x,, 1 =-+-2 x,, 
b. xo = 1, 
tgx,, - 1 
.Y,, t 1 = x,, -
e. x0 = l , xn+1=x,,- l 
, 
sec· Xn 
102. a. Suponha que Jlx) seja derivável para todo x em [O, 1] e 
que /(0) = O. Defina a sequência {",,} pela regra a,, = 
11((1 111) . Mostre que lint,,_"° ",, = /'(O). Utilize o resul-
tado do item (a) para encontrar os li1ni1es das seguintes 
sequências (a,,} . 
b - -1 J_ . a,, - /1 tg /1 
e a = n(e11" - 1) • li 
d. a,, = n ln ( 1 + ;, ) 
103. Ternas pitagóricas Unta ten1a de inteiros positivos a, b e e 
é chamada terna pitagórica se a2 + b2 = c2. Seja a u1n inteiro 
positivo hnpar e sejam 
respectivrunente, o piso inteiro e o teto inteiro para a1/2. 
12 Cálculo 
l~J 
a. Mostre que a2 + b2 = C1. (Sugestão: considere que a = 211 + 1 
e expresse h e e en1 ternios de 11.) 
b. Por cálculo direto, ou con1 auxílio da figura, encontre 
104. Raiz 11-ésin1a de n! 
. l ~ J 
hm r l' a-OIJ (;2 
a. Mostre que limn_,,., (211'77")1 (2nl = 1 e, porranto, usando a 
aproxin1açào de Stirling (Capitulo 8. Exercício Adicional 
32a), que 
para valores grandes de 11. 
D b. Teste a aproxi1nação no itcn1 (a) para 11 = 40. 50, 60 ..... até 
onde sua calculadora permitir. 
105. a. Prcsun1indo que linin-oo ( 1 hf) =O se e for qualquer cons-
tante positiva. mostre que 
). Ln 11 O lffi -- = e ,,_,,, '' 
se e for qualquer constante positiva. 
b. Prove que limn-<Xí (1 /nc) =O se e for qualquer constante 
positiva. (Sugestão: se ~ = 0.001 e e= 0,04, quão grande 
deve ser N para assegurar que j l/11'· - O J < e se 11 > N?) 
106. Teorema da sequência intercalada Prove o "lcorc1na da 
sequência intercalada" para as sequências: Se {an} e {bn } con-
vergcn1 para l , então a sequência 
converge para L. 
107. Prove que lim,,_oo .xy,; = 1 • 
108. Prove que lim
11
_
00 
x1 "= 1. (x > O). 
109. Prove o Teorema 2. 110. Prove o Teoren1a 3. 
Nos Exercícios 1 11-1 14, determine se a sequência é nionotônica e 
se é lin1itada. 
311 + 1 
111. a,, = 
/1 
+ 1 
(211 + 3)! 
J12. (ln = ( J)I 
li + . 
2"3" 
11 3. tln = 
1 11. 
2 1 
11 4. On = 2 - íj - 2" 
Quais das sequências nos Exercícios 
divergen1? Justifique suas respostas. 
1 15-124 convergen1. e quais 
1 
115. a,, = 1 - -li 1 1 J 6. a., = 11 - íi 
119. (1,, = ((-1 )11 + 1)(11 : 1) 
2n - 1 
118. a,, = 
3
,, 
120. O primeiro tenno de unia sequência é .r1 = cos (I ). Os próxi-
nios tennos sãox1 =x1 ou cos (2), o que for maior; ex3 = x2 ou 
cos (3 ), o que for maior (n1ais à direita). Em geral, 
J2J. a,, = 
xn+i= max {x,,,cos(11+ I)}. 
1 + \,12,; 
-../;i 
li + J 
122. On = li 
411 1- 1 + 3~ 
123. a,, = 
4
,, 
124. a1 = 1, an+1= 2a,, - 3 
125. A sequência {11/(11 + 1)} tem um menor Un1itante superior 
iguaJ a 1 Mostre que se M é um nú1nero menor que 1, então 
os tern1os de { 11/(11 + l )} finalmente excedem M. Sendo assi1n, 
se M < 1, existe uni inteiro N tal que 11/(11 + 1) > /.4 sempre que 
11 > N. Con10 11/(11 + 1 ) < 1 para cada 11, isso prova que l é um 
menor li1nitante superior para { n/(11 + 1)}. 
126. Unicidade dos menores lin1itantcs superiores Mostre que 
se M1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequên-
cia {a,,}. então .111 = 1\12• Sendo assini, unia sequência não 
pode ter dois 1nenores limitantes superiores diferentes. 
, 
127. E verdade que unia sequência {a,,} de nún1cros positivos 
deve convergir se for limitada superiormente? Justifique sua 
resposta. 
U8. Prove que se {lln} é uma sequência convergente. então para 
cada nún1ero positivo E corresponde uni inteiro N. tal que, para 
todo 111 e n, 
111 > N e /1 > N ~ 1 a - a J < E. ,,, li 
129. Unicidade de lin1ites Prove que os limites das sequências 
são únicos. Ou seja, mostre que se L 1 e L2 são números tais que 
a,,--+ 1~ 1 e 0 11 --+ L2, então L1 = Lr 
130. Limites e subsequências Se os termos de unta sequência 
aparecem em outra sequência na ordem dada. chan1amos a 
primeira sequência de subsequência da segunda. Prove que se 
duas subsequências de u1na sequência {a,.} têm limites dife-
rentes L1 * L1, então {a,,} diverge. 
131. Para unia sequência {a
11
} os termos de índice par são denota-
dos por all: e os termos de índice ln1par por a2It+ 1• Prove que se 
a2,--+ L e ª it+i--+ l, então 0 11 --+ l. 
l32. Prove que a sequência {a n f converge par.i O se, e son1cnte se, a 
sequência de valores absolutos dt1,,I} converge para O. 
133. Sequências geradas pelo método de Ne,vton O método de 
Ne\vtoo, aplicado a u1na função derivável f(x), começa com 
u1n valor inicial x0 e constrói a partir daí uma sequência de nú-
1neros {x
11
} que, sob condições favoráveis, converge para um 
zero de/ A fónnula recursiva para a sequência é 
f (xn) 
x,, .. 1 = x,, - /' (x,,). 
a. Mostre que a f6rn1ula recursiva paraj{x) = x2 - a. a > O. 
pode ser escrita co1no xnH = (x. + alx,,)12. 
D b. Começando com x0 = 1 e a = 3, calcule termos sucessivos 
da sequência até o resultado no visor começar a se repetir. 
Qual níunero está sendo aproxin1ado? Explique. 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 13 
D 134. Definição recursiva de 7T/2 Se você começar cornx1= 1 e de-
finir os termos subsequentes de {xn} pela regra xn = x,,...1 + cos 
xn- 1' você gerará uma sequência que converge rapidamente 
para 7r/2. (a) Tente isso. (b) Use a figura a seguir para explicar 
por que a convergência é Lão rápida. 
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros 
tcnnos da sequência. A sequência parece ser lin1itada supe-
rior ou inferiorn1ente? Parece convergir ou divergir? Se ela 
convergir, qual será o lin1ite l? 
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro N tal que 
la,, - LI s 0,0 1 para 11 2: N. Quão longe na sequência você 
deve chegar para que os termos estejam a rnenos de 0.000 1 
de l? 
y 
cos .r,, l 
o l 
USO DO COMPUTADOR 
... r 
135. a,. = V 11 
1 
137. a1 = J. ª• +I = a,, + sn 
138. a1 = l ,a,,+1= a,,+(-2)" 
139. ª• = sen 11 
1 
140. li,, = 11 sen;; 
( 0.5)" 136. a,, = 1 + n 
143. ª" = (0,9999)" 
144. a,, = ( 123456)1' " 
8" 
Use um SAC (sislema algébrico cornputacional) para seguir os pas-
sos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146. 
141 = sen11 . a,. n 
ln 11 
142. a,, = 17 
145. a,, = -
1 li 
1141 
146. a,, = l 9" 
10.2 Séries infinitas 
Uma série infinita é a son1a de urna sequência infinira de números. 
ª 1 + ª2 + ª3 + · · · + 0 ,, + · · · 
O objetivo desta seção é co1npreender o significado de tal son1a infinita e de-
senvolver métodos para calculá-la. Co1no há um número infinito de tennos a serem 
somados em sequências infinitas, não podemos simplesmente son1ar repetidamente 
para ver o que acontece. En1 vez disso, observamos o resultado da soma dos n pri-
meiros rern1os da sequência e paran1os. A soma dos 11 priineiros tennos de 
s,, = ª1 + ª 2 + ª 3 + ··· +a,, 
é u1na soma finita ordinária e pode ser ca lculada por adição normal. É chan1ada de 
11-ésima son1a parcial. A 111edida que n aun1enta, esperan1os que a soma parcial se 
aproxime cada vez mais de u1n valor limite, da 1nesma maneira que os termos de 
un1a sequência se aproxin1a1n de um limite, conforrne discuLido na Seção 10.1. 
Por cxcn1plo, para atribu innos significado a uma expressão con10 
1 1 1 1 1 +1+ 4 +g+(6+··· 
adicionamos os tcrn1os wn a un1 a partir do início e busca111os un1 padrão para o 
crescimento dessas somas parciais. 
Soma 
parcial 
Primeira 
Segunda 
Terceira 
• 
• . 
11-ésima 
s = 1 1 
Sz = 1 
S3 = 1 
s,, = 1 
Valor 
1 
3 
2 
7 
4 
2" - 1 
211 - I 
Expressão sugerida 
para soma parcial 
2 - 1 
12- -
2 
1 2 --4 
14 Cálculo 
BtoGRAFtA HISTÓRICA 
Blaise Pascal 
( 1623-1662) 
Realmente existe um padrão. As son1as parciais forn1an1 uma sequência cujo 
• • • 11-es1 n10 termo e 
1 s = ') - --'--
• n - 211 - I ' 
Essa sequência de son1as parciais converge para 2 porque lim,,_ (L/211- 1) = O. 
Dizemos 
" d .. 'f'' 1 1 1 1 .. 1 2" a son1a a sene 10 1111ta + 
2 
+ 4 + · · · + 2
,,_ 
1 
+ · · · e 1gua a . 
A son1a de qualquer nún1ero finito de tennos nessa série é igual a 2? Não. Pode-
mos rcahnentc adicionar un1 número infinito de tern1os um a um? Não. Entretanto, 
poden1os aiJ1da defi11ir sua soma como o lin1ite da sequência de somas parciais 
conforn1e 11 ~ oo, neste caso 2 (Figura 10.8). Nosso conhecin1ento de sequências e 
liinites permite que nos liberten1os das limitações das somas finitas. 
114 
~ 
o 1 1/2 1/8 2 
FIGURA 10.8 Conforme os comprimentos 1, 112, 1/4, 118 .... são adicionados wn a 
u1n. a son1a se aprox in1a de 2. 
DEFINIÇÕES Dada a sequência de números {a,.}, tuna expressão da forma 
ª 1 + ª2 + ª3 + · · · +a,,+ · · · 
é uma série infinita. O número a,, é o 11-ésilno tenno da série. A sequência 
{ s,,} definida por 
St = G1 
s2 = a1 + a2 
li 
S11 = 01 + a2 + · · · + ª" = ,2: ak 
k- 1 
é a sequência de somas par ciais da série, o n(unero s
11
sendoa 11-ésima soma 
parcial. Se a sequência de so1nas parciais convergir para uo1 limi1e L. dizemos 
que a série converge e que a soma é l. Nesse caso, tan1bén1 escrevemos 
00 
01 + 0 2 + · · · + a,, + · · · = ,2: a,, = l . 
11= 1 
Se a sequência de somas parciais da série não converge. dizemos que a 
série diverge. 
Quando comcçan1os a estudar un1a determinada série a 1 + a2 + · · · + 0 11 + .. ·, 
talvez não saibamos se ela converge ou diverge. Em ambos os casos, é conveniente - . . . usar a notac;ao sigma para escrever a scne como 
00 
2: ª"' 11 - 1 
Séries geométricas 
00 
'S'. (lk 
t.::i 
Séries geométricas são séries da fonna 
ou 
00 
l 111.1 11111.1,ãn 111111111.1111!0 
11 "'llMtón1• ú.: 1 a ;x esta 
,11h.,·n1cnd11I., 
a + ar + ar2 + · · · + ar11 - 1 + · · · = 2: ar"- 1 
11 ~ 1 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 15 
onde a e r são números reais fixos e a -:/= O. A série pode ainda ser escrita co1no 
L:;-:..o a1J•. A razão r pode ser positiva, como em 
ou negativa, co1no em 
1 1 +-+-+···+ 
2 4 ( )
11 - I 
~ + ... . 
Se r = 1, a 11-ésima soma parcial da série geométrica é 
s,, =a + a(I) + a(1)2 + ··· + (1(!)11- 1 = na, 
r 12., u 1 
,. - 1 3.11 1 
e a série diverge porque lim
11
_
00
s
11 
= ± oo, dependendo do sinal de a. Ser= - 1, a 
série diverge porque a 11-ésima soma parcial oscila entre a e O. Se l r I #:- 1. podemos 
detenninar a convergência ou divergência da série da seguinte n1aneira: 
s,, = a + ar + ar2 + · · · + c11·11- 1 
rs,, = ar + ar2 + · · · + ar"- 1 + ar" \lu l11pliqu,· ·'• pur 1 
s,, - rs,, = a - ar" 
s,,( 1 - r) = a( 1 - r") 
a( 1 - r 11) 
s,, = l - ,. ' 
(ri:- 1). 
~uhUmíl r.1. de ' •· A 111a11•na do' 
l•'tlllll' à u1rc11a e ~.u11:él.11la. 
F11tnn; 
Se 1 r 1 < 1. então r" -+ O quando n -+ oo (conforme visto na Seção 10.1) e 
s,,-+ ai ( 1 - r). Se l r I > 1, então l 1.11 I-+ oo e as séries divergem. 
Se 1 r I < 1. a série geométrica a+ ar+ at2 + · · · + ar.-1 + · · · converge para 
ai ( 1 - r): 
00 
,Lar" 1 
11 = 1 
a 
- ,. ' lrl< I. 
Se l r I ~ 1, a série diverge. 
Já detenninan1os quando uma série geométrica converge ou diverge, e para 
qual valor. Gerahnente podemos deterininar que u1na série converge se1n saber o 
valor para o qual ela converge, conforme vere1nos nas próximas seções. A fórrnula 
ai( 1 - r) para a so1na de u1na série geométrica se aplica so111ente quando o índice da 
son1at6ria corneça corn /1 = 1 na expressão L~ 1 ar" 1 (ou o índice 11 = O se escre-
vermos a série como L::° o ar"). 
EXEMPLO 1 A série geométrica co1n a = 119 e r = 1/3 é 
1/9 
1 - ( 1 /3) 
EXEMPLO 2 A série 
00 (-1)"5 5 s 5 .L = 5 - -+ -- -+··· 
,, ~ o 4" 4 16 64 
é uma série geométrica com a= 5 e r =-1/4. Ela converge para 
a 
1 - ,. 
5 
1+(1/ 4)=
4
· 
EXEMPLO 3 Você solta uma bola de uma altura de a n1ctros acima de uma super-
fície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de unia distância h, 
16 Cálculo 
a ela rebate a uma distância rh, onde ré positivo, n1as menor que 1. Encontre a distân-
ar 
ar3 
• 
• 
• 
• 
•• 
' • 
(a) 
~ 
e 
C> 
(b) 
• 
• 
c!-'~1\ 
~ ., 
• : .~~ 
• •• 
~~ -
FIGURA 10.9 (a) O Exe1nplo 3 n1ostra 
como usar un1a série geométrica para 
calcular a distância vertical total percorrida 
por uma bola quicando se a altura de cada 
rebatida for reduzida pelo fator r. (b) Uma 
fotografia cstroboscópica de un1a bola 
quicando. 
cia total percorrida pela bola quicando para citna e para baixo (Pigura 10.9). 
Solução A distância total é 
s = a + 2ar + 2ar2 + 2ar3 + · · · = a + 2ar 1 = a 
1 - r 1 - r 
+r 
• 
Se a= 6 m e ,. = 2/3, por exemplo, a distância é 
1 + (2/3) (5/ 3) 
s = 6 
1 
_ (
2
/
3
) = 6 
113 
= 30 m. 
EXEMPLO 4 .Expresse a dízin1a periódica 5.232323 ... con1 a razão de dois inteiros. 
Solução A partir da definição de un1 nún1ero decin1al, temos un1a série geon1étrica 
5.232323 . . . = 5 + 
= 5 + 
23 
100 + 
23 + _;;.2.;;..3 - + ... 
( 100)2 ( 100)3 
1 ( 1 - o.o 1 
23 ( 1 ) 23 518 
l 00 0,99 = 5 + 99 = 99 
,, - 1 
r= 1 IOI) 
Infelizmente, fórmulas co1no essa para a so1na de u111a série geo1nétrica con-
vergente são raras e, de 111odo geral, te1nos de nos contentar con1 uma estimativa da 
so1na de u1na série (tàlaren1os n1ais sobre isso posteriom1ente). O próxi1no exen1plo, 
no entanto, é u111 outro caso no qual podemos encontrar a son1a exata. 
00 
EXEMPLO S Ellcontre a son1a da série "telescópica" L ( 1 
1
) . 
n • I n li + 
Solução Procuramos um padrão na sequência de so1nas parciais que possa levar a 
un1a fórmula para sk. A observação chave é a decomposição em frações parciais 
1 1 1 
11(11 + 1) = li - n + 1 ' 
de forn1a que 
k 1 k ( ' l ) :L < + 1) = 2: ii - 11 + 1 
n >< I /1 11 " "' ' 
e 
Sk = ( + - f) + ~ - *) + (j -*) + ... + (i - k ~ [). 
Removendo os parênteses e cancelando os tennos adjacentes de sinais opostos. 
reduzimos a soma para 
1 
Sk = 1 - k + l . 
Agora, vemos que s k - l quando k _. oo. A série converge, e sua soma é l: 
00 
2: i = i 
11= 1 11(11 + 1) . 
~1ção 
1 O Teore111a 7 não di= ~ue L:, 1 a n 
converge se a,, - O. E possível 
para uma série divergir quando 
a,,-o. 
Capitulo 10 Sequências e séries infinitas 17 
Teste do n-ésimo termo para uma série divergente 
Um motivo que pode levar a série a deixar de convergir é que seus tennos não 
se tornam pequenos. 
EXEMPLO 6 A série 
00 
"" f1 + kl li 
1 2 3 4 /l + 1 =-+-+-+···+ + ... 
11 • I l 2 3 fl 
diverge porque as somas parciais finalmente ultrapassam cada nú1nero predetermi-
nado. Cada u1n dos tem1os é n1aior que 1 e, portanto, a soma de 11 tennos é n1aior 
que 11. 
Observe que lin1
11
---oc. a,, deve ser igual a zero se a série ~:_ 1 a,, convergir. Para 
saber por quê, faça S representar a sorna da série e s,, =a 1 + a2 +···+a,, representar 
a 11-ésin1a so1na parcial . Quando 11 é grande, tanto s
11 
qua11to s,,_1 estão próximas de 
S, assi1n a diferença delas, t1
11
, estã próxima de zero. Mais fom1almente, 
a =s -s -s- S=O. li li , ,... . 
Isso estabelece o seguinre teorema. 
00 
TEOREMA 7 Se 2: a,, converge, então a
11 
- O. 
11• I 
RCj,!r::t da dtkr~nça 
par;i Sc'qU~ll<.'t.1' 
O Teorerna 7 nos leva a um teste para a detecção do tipo de divergência ocorrida 
no Exemplo 6. 
Teste do n-ésimo termo para divergência 
2: a,, diverge se lin1 a
11 
não existe ou é diferente de zero. 
11 = 1 ,,_ 
EXEMPLO 7 Os exemplos seguintes são todos de séries divergentes. 
(a) 2: 112 diverge porque n2 ---+ oo. 
11 = 1 
~n + I . n + I 
(b) kl 11 diverge porque 11 ---+ 1. hn1._ "" ~ u 
11 ; 1 
00 
(e) 2: (- 1 )11+1 diverge porque li1n
11
_..
00
(- J )11+1 não existe. 
11 = 1 
00 
(d) L 
2 
-: 
5 
diverge porque li1n11_ 00 2 
-; 
5 11 = 1 /1 li 
EXEMPLO 8A série 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 +-+-+-+-+-+-+· .. +-+-+ ··· +-+··· 2 2 4 4 4 4 2" 2" 2" 
diverge porque seus termos podem ser agrupados em infinitos blocos que son1an1 1 
e, por isso, as sornas parciais au1nentam se1n limitações. No entanto, os tennos das 
séries forma1n uma sequência que converge para O. O Exemplo 1 da Seção 10.3 
mostra que a série hannônica tan1bém se co111porta dessa 1naneira. 
18 Cálculo 
Combinando séries 
Sempre que tivermos duas séries convergentes. podemos adicioná-las termo 
a termo. subtraí-las termo a tenno ou multiplicá-las por constantes para obtermos 
' . novas series convergentes. 
TEOREMA 8 Se 2.an =A e 'f-b,, = B são séries convergentes, então 
1. Regra da so111a: L(a + b ) = La + "2:.b =A + B 
11 11 11 n 
2. Regra da diferença: "2:.(a,, - b,,) =La,, - '5:b,, =A - B 
3. Regra da 111ultiplícoção JJOr co11sta111e: Lkc1,, = k 'La,,= kA (qualquer número k). 
Prova As três regr'c1s para séries seguem as regras análogas para sequências no 
Teorema 1. Seção 10.1. Para provar a regra da son1a para séries. faça 
,.1 =a +a +···+a B =b +b +· .. +b. 
li 1 2 11' li 1 2 li 
Então, as son1as parciais de '2.(a
11 
+ b,,) são 
s,, = (01 + b1) + (a2 + b2) + · · · + (o,,+ b,,) 
= (01 + · · · + a,,) + (b1 + .. · + b,,) 
=A,, + 8 11 • 
Como A,,-+ A e 8
11
-+ B, temos s,,-+ A+ B pela regra da soma para sequências. 
A prova da regra da diferença é semeU1ante. 
Para provar a regra da multiplicação por constante, observe que as somas par-
ciaís de 2:.ka
11 
formam a sequência 
s = ko + ka + .. · + ka = k(a +a + .. · +a ) = kA 
11 1 2 11 1 2 11 n' 
que converge para kA pela regra da rnultiplicaçào por constante para sequências. 
Como corolários do Teore1na 8, temos os seguintes resultados. 01nitimos as provas. 
1. Todo 1núltiplo constante diferente de zero de urna séiie divergente diverge. 
2. Se "La,, converge e 2.b
11 
diverge, então tanto 2.(a,, + b,,) quanto 2(a,, - bn) 
divergen1. 
Cuidado Lembre-se de que 2 (a,,+ b,,) pode convergir quando tanto 2.a,, quanto 
2.b
11 
divergcn1. Por exemplo, La,,= 1 + 1 + 1 + .. · e 2.b,, = (-1) + (-1) + (-1) + .. · 
divergern, enquanto :L(o
11 
+ b
11
) =O+ O+ O+··· converge para O. 
EXEMPLO 9 Encontre as sornas das seguintes séries. 
1 
1 - ( 1/2) 
6 4 =2--=-5 5 
1 
1 - ( 1/6) 
Se.ri.: •'\?(lJll~lnca c,1rT1 e 
11 = 1 .: r = 1 ~. 1 () 
BIOGRAFIA lllSTÓRICA 
Richard Dedekind 
( 1831-1916) 
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 19 
= 4 ( 1 - ~ 1 / 2) ) 
= 8 
Adicionando ou retirando termos 
Pode1nos sempre adicionar um número finito de tennos a uma série ou remover 
un1 número finito de tern1os se1n alterar a convergência ou a divergência da série, 
ainda que, e1n caso de convergência, isso geraln1ente altere a so1na. Se 2-c;:' 1 a 00 li 
converge, então L,,=k a
1
, converge para cada k > 1 e 
ao 
L a,, = a1 
" "" 1 
+ a2 + · · · + ak- 1 + L a,,. 
n= I. 
Reciprocamente, se L~=k a,, converge para qualquer k > 1, então 2-:, 1 a
11 
con-
verge. Dessa forma. 
e 
Reindexação 
00 
l 1 1 1 
00 
l 2: sn = s + E + 125 + 2: sn 
n= 1 11 = -l 
00 1 ( 00 1) 2: -= 2: -
11 = 4 5" 11~ 1 511 
1 1 -----
5 25 
1 
125 . 
Desde que preservemos a orden1 de seus termos, podemos reindexar qualquer 
série sen1 alterar sua convergência. Para aumentar o valor inicial do indice ern h 
unidades, substitua o 11 na fóm1ula para a
11 
por /1 - h: 
'Xl 00 
L ª" = 2: a,,_,, = a1 + a~ + a3 + · · ·. 
11 = 1 11= 1+/1 
Para diminuir o valor inicial do lodice em li unidades, substitua o /1 na fóm1ula 
para a 
11 
por 11 + /1: 
"" 00 
L a11 = L a,, ... ,, = a1 + ai + a3 + · · ·. 
n= I n= l - /r 
Vimos essa reindexação quando inician1os uma série geon1étiica con1 o índice 
11 = O em vez do índice /1 = 1. rnas podernos usar qualquer outro valor inicial como 
índice. Geral111ente damos preferência às indexações que levam a expressões sirnples. 
EXEMPLO 10 Pode1nos escrever a série geon1étrica 
como 
00 1 
2: 211 , 11 =0 
00 1 
L 2n- S 
n= S 
1 1 
1 +-+-+ ··· 2 4 
ou até nies1no 
00 1 
2: ?>•+" · 
n~-4 -
As somas parciais pennanecen1 as mesrnas, não importando qual índice esco-
lhamos. 
20 Cálculo 
Exercidos 10.2 
Encontrando as n-ésimas somas pardais 
Nos Exercícios 1-6. encontre a fónnula para a 11-ésima son1a parcial 
de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir. 
1. 2 + l + ~ + i+··· + 2 + ··· 3 9 27 311 1 
9 9 9 
2· 100 + 1002 + -10_0_3 + ... + 
9 
100" + ... 
3. i - 21 + .!. - s' + ... + < - t )" i t i + ... 
4 ~-
4. l - 2 + 4 - 8 + " · + (- 1 )'r-121r-I + · · · 
5 l + 1 + 1 + .. ·+ 1 + .. . 
. 2 . 3 3 . 4 4 . s (11 + 1 )(11 + 2) 
s 5 5 5 
6• 1 2 + 2 ~ + ~ 4 + . . . + ( ) + .. . . ._, _, . llll + 1 
Séries com termos geométricos 
Nos Exercícios 7-14, escreva os pri1neiros termos de cada série para 
mostrar coa10 a série con1eça. Então, calcule a soma da séríe. 
( - 1 )" ()() ( 5 1 ) 
7· '~ 4" l I. .~ 2" + 3" 
oc 1 
8. :L :;r; 
,,~z 
. 7 
9. :L • 
li°'=' 1 4 
00 
10. :Lc- 1 )"~ 
,, 1) 4 
Nos Exercicios 15-18, determine se a série geon1étrica converge ou 
diverge. Se a série converge. encontre sua soma. 
JS. 1 + (;) + (~)ª + (t)3 + (;)4 + ... 
16. 1 + (-3) + (-3)2 + (-3)3 + (- 3)4 + ... 
17• (i) + (i)2 + (i)1 + (i)4 + (t)s + ··· 
IS. ( ~2 )
2 
+ ( ~2 )
3 
+ ( ~2 )~ + ( ~2 )s + ( ~2 )6 + ... 
Dízimas periódicas 
Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão 
de dois inteiros. 
19. 0,23 = 0,23 23 23 ... 
20. 0,234 = 0,234 234 234 ... 
21. o.7 = 0,1111 ... 
22. O.d= 0,dddd ...• onde d é um digíto 
23. 0.06 = 0,06666 ... 
24. 1.414= 1,414 414 414 ... 
25. 1,24123 = 1.24 123 123 123 ... 
26. 3, 142857 = 3.142857 142857 ... 
Utilizando o teste do n-ésimo termo 
Nos Exercícios 27-34, use o teste do 11-ési1110 termo para divergên-
cia para mostrar que a série é divergente ou afinnar que o teste não 
é conclusivo. 
°" :L " 27. 11= 1 /1 + 10 
00 1 
31. L cos;; 
rt= 1 
~ 11(11 + 1) 
28
' 11 ~ 1 (11 + 2)(11 + 3) 
"" e" 
32. :L ,, + 
n• O e n 
oc 1 
29. '~li + 4 
00 1 
33. :L ln-;; 
11~ 1 
00 
34. :L cos /l'TT 
n=O 
"" 
"" , li 30. ~ 
11 - 111· + 3 
Séries tetes<:óp;cas 
Nos Exercícios 35-40, encontre u1ua fórnnlla para a 11-ésima so1na 
parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diver-
ge. Se a série converge. encontre a soma. 
oc (1 l ) 
3s. :L " - + i n-= 1 11 
36. 
00 (3 3 ) 2: ----
11 • 1 112 (11 + 1)2 
°" 37. L (ln v;+i - ln \!,;) 
n- 1 
Js. L cig (11) - rg <11 - , )) 
n~I 
39. ,~ (cos- 1 ( 11 ~ 1) - cos- 1 ( 11 ! 2)) 
00 
4o. :L ( v;;+4 - v;+J) 
n• I 
Enco111re a son1a de cada série nos Exercícios 41-48. 
~ 4 ~ 211 + 1 41
· 11 - 1 (411 - 3)(411 + 1) 44· . .. 1112(11 + 1)2 
4s :L ( ' - i ) 
• n= 1 \!,; y,;-+) 42. 
"" 
/~ {211 -
6 
1 )(211 + 1) 
"" "" 4011 43. ~ • , 
11 = l (211 - 1 )-(211 + 1 )- °" (' 1) ti 21 /11 - 21/ ltl+ l l 46. 
47 ~ ( 1 - 1 ) 
• 11-1 ln(11 + 2) ln(n + 1) 
48. L (tg 1(11) - 1g· •c" + 1 )> 
n>= 1 
Convergência ou divergência 
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divcrgc1n? 
Jusrífique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. 
49. ~ ( 1 )" .~ V2 
"" 50. :L(V2)" 
n• O 
~ 
Sl. :L<- 1>" 12... 2" n- 1 
52. 
53, 
54. 
(X 
L cos ll'TT 
n U 
<>O 
"" cos tl'TT 
~ 5" n=O 
ou 
2: e Z1t 11" 55. 62. L -
u - f, n- 1 li! 
.,. 
ou 2" + 3" 
56. L ln ~n 63. n~ 4n n- 1 
00 
oo 2n + 4" 
51. L~ 64. n~ 3" + 4" 11 ~ 1 
00 
~ tn( : 1) 58. L ~· lxl > 1 65. ,, -.o X n- 1 11 
"" 2" - 1 
00 ( ) 59. ,~1 3" 66. L 1n 
/1 
,,=1 2n + 1 
~ ( 1 )" ~ (~)" 60. L 1 - /1 67. 
n= I 
00 00 /HT L 111 
68. n~ ~" 61. 1000" 11 =() 
Séries geométricas com uma variãvelx 
Em cada uma das séries gcon1étricas nos Exercícios 69-72, escreva 
os primeiros tennos das séries para encontrar u e recalcule a soma 
das s6ries. A seguir. expresse a desigualdade Ir 1 < 1 c1n tcnnos de x 
e encontre os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a 
• • serie converge. 
00 
69. L (- 1 )nxn 71. ~3(x; l)n 
n=O n=CI -
"" 70. L( - 1 )"x2" 
00 
(-1)" ( 1 )" 12. 2: , 
n~o _