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CÁLCULO III CÁLCULO III Agosto | 2020 Gestão Universidade Gestão EaD Reitor Vice-Reitor, Pró-Reitor de Pós-grad., Pesq. e Extensão e Pró-Reitor de Graduação Pró-Reitor de Administração Diretora de Graduação Diretor da Educação a Distância Diretor de Extensão e Pós-Graduação Lato Sensu Diretora de Pesquisa e Pós-Graduação Stricto Sensu Diretor Administrativo Diretor de Marketing e Relacionamento Procuradora Jurídica Assessor de Assuntos Interinstitucionais e Internacionais Assessor de Inovação e Empreendedorismo Chefe de Gabinete Prof. Dr. Paulo Fossatti - Fsc Prof. Dr. Cledes Casagrande - Fsc Vitor Benites Profª. Dr.ª Cristiele Magalhães Ribeiro Prof. Dr. Mario Augusto Pires Pool Prof. Me. Márcio Leandro Michel Profª. Dr.ª Patricia Kayser Vargas Mangan Patrick Ilan Schenkel Cantanhede Cleiton Bierhals Decker Michele Wesp Cardoso Prof. Dr. José Alberto Miranda Prof. Dr. Jefferson Marlon Monticelli Prof. Dr. Renaldo Vieira de Souza Diretor Coordenadora Pedagógica Coordenador de Produção Prof. Dr. Mario Augusto Pires Pool Profa. Me. Michele de Matos Kreme Prof. Dr. Jonas Rodrigues Saraiva Equipe de Produção EaD Anderson Cordova Nunes Arthur Menezes de Jesus Bruno Giordani Faccio Daniele Balbinot Érika Konrath Toldo Gabriel Esteves de Castro Gabriel da Silva Sobrosa Guilherme P. Rovadoschi Ingrid Rais da Silva João Henrique Mattos dos Santos Jorge Fabiano Mendez Nathália N. dos Santos S. Patrícia Menna Barreto Sabrina Oliveira Esquiam Tiago Konrath Araujo Universidade La Salle Canoas | Av. Victor Barreto, 2288 | Canoas - RS CEP: 92010-000 | 0800 541 8500 | eadproducao@unilasalle.edu.br APRESENTANDO A DISCIPLINA Seja bem-vindo à disciplina Cálculo III Nesta disciplina, vamos dar continuidade ao estudo do Cálculo, que é uma ferramenta muito importante para resolução de problemas nas Ciências Exatas. Vamos agora aprofundar seus conhecimentos a respeito de séries, equações diferenciais, cálculo vetorial e suas aplicações, sempre buscando relacionar os conceitos matemáticos com a resolução de problemas aplicados. Seu material está organizado em quatro unidades. Na primeira unidade, vamos identificar os conceitos de sequências, séries e convergência. Ao final dos estudos, você será capaz de reconhecer a convergência de uma série, desenvolver uma série de potência para uma série geométrica e funções próximas a ela, bem como construir e identificar uma série de Taylor de uma função. Na segunda unidade, vamos aprender a reconhecer uma equação diferencial e descobrir os métodos adequados para solucioná-la. Ao final dos estudos, você será capaz de diferenciar os tipos de equações, definir problemas de valor inicial e de contorno e aplicar equações diferenciais na solução de problemas. Na terceira unidade, vamos iniciar nossos estudos sobre cálculo vetorial por meio de suas funções, limites e derivadas. Já na quarta e última unidade, vamos dar continuidade ao estudo do cálculo vetorial, resolvendo problemas relacionados. Você será capaz de reconhecer a importância dos Teoremas de Green, de Stokes e da Divergência na análise vetorial. Não deixe de acompanhar seu material de estudo, realizar as atividades e aprofundar o conhecimento por meio do seu ambiente virtual de aprendizagem. Bons estudos! Sumário UNIDADE 1 Séries .. ................................................................................................................................................. 9 Objetivo Geral ...................................................................................................................................... 9 Objetivos Específicos .......................................................................................................................... 9 Parte 1: Séries Infinitas: Sequências ....................................................................................................11 Parte 2: Soma de uma Série Infinita .....................................................................................................21 Parte 3: Convergência de Séries de Termos Positivos .........................................................................31 Parte 4: Teste da Razão e da Raiz .........................................................................................................41 Parte 5: Séries de Potências .................................................................................................................47 Parte 6: Séries de Taylor........................................................................................................................59 UNIDADE 2 Equações Diferenciais ........................................................................................................................ 71 Objetivo Geral .................................................................................................................................... 71 Objetivos Específicos ........................................................................................................................ 71 Parte 1: Equações Diferenciais de Resolução Imediata (Via Integração Sucessiva)..........................73 Parte 2: Equações Diferenciais de Primeira ordem .............................................................................85 Parte 3: Equações Diferenciais de Segunda ordem ...........................................................................103 Parte 4: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior ............................................................121 Parte 5: Equações Diferenciais Não Lineares .....................................................................................139 UNIDADE 3 Cálculo Vetorial ................................................................................................................................. 153 Objetivo Geral .................................................................................................................................. 153 Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 153 Parte 1: Funções Vetoriais ..................................................................................................................155 Parte 2: Campos Vetoriais ...................................................................................................................173 Parte 3: Rotacional ..............................................................................................................................185 Parte 4: Integrais de Linha ..................................................................................................................199 Parte 5: Campos Vetoriais Conservativos ...........................................................................................213 UNIDADE 4 Aplicações do Cálculo Vetorial ......................................................................................................... 225 Objetivo Geral .................................................................................................................................. 225 Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 225 Parte 1: Integrais de Superfície de Campos Vetoriais........................................................................227 Parte 2: Teorema de Green ..................................................................................................................241 Parte 3: Teorema de Stokes ................................................................................................................251 Parte 4: Teorema da Divergência ........................................................................................................263 Prezado estudante, A equipe de gestão da EaD LaSalle sente-se honrada em entregar a você este material didático. Ele foi produzido com muito cuidadopara que cada Unidade de estudos possa contribuir com seu aprendizado da maneira mais adequada possível à modalidade que você escolheu estudar: a modalidade a distância. Temos certeza de que o conteúdo apresentado será uma excelente base para o seu conhecimento e para a sua formação. Por isso, indicamos que, conforme as orientações de seus professores e tutores, você reserve tempo semanalmente para realizar a leitura detalhada dos textos deste livro, buscando sempre realizar as atividades com esmero a fim de alcançar o melhor resultado possível em seus estudos. Destacamos também a importância de questionar, de participar de todas as atividades propostas no ambiente virtual e de buscar, para além de todo o conteúdo aqui disponibilizado, o conhecimento relacionado a esta disciplina que está disponível por meio de outras bibliografias e por meio da navegação online. Desejamos a você um excelente módulo e um produtivo ano letivo. Bons estudos! Gestão de EaD LaSalle APRESENTAÇÃO unidade 1 Séries Prezado estudante, Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram organizados com cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo completo e atualizado tanto quanto possível. Leia com dedicação, realize as atividades e tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você, com certeza, alcançará os objetivos propostos para essa disciplina. OBJETIVO GERAL Identificar os conceitos de sequência, série, convergência e demais relacionados. OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Reconhecer a convergência de uma série. • Desenvolver a série de potência para a série geométrica e funções próximas a ela. • Construir e identificar as séries de Taylor de uma função. unidade 1 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH. Parte 1 Séries Infinitas: Sequências CÁLCULO III 12 SÉRIES INFINITAS A teoria das séries infi nitas é um terceiro ramo do Cálculo, além do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. As sé- ries infi nitas nos fornecem uma nova perspectiva das funções e de muitos números interessantes. Dois exemplos são a série de Gregory-Leibniz e a série infi nita da função exponencial A primeira revela que está relacionado com os recíprocos dos inteiros ímpares de uma maneira inesperada, enquanto que a segunda mostra que pode ser expressa como um “polinômio infi nito”. Séries desse tipo são muito utilizadas em aplicações, tanto na parte computacional quanto na análise de funções. Para entender as séries infi nitas, precisamos defi nir precisamente o que signifi ca somar uma infi nidade de parcelas. Assim como no Cálculo Diferencial e Integral, também aqui os limites desempenham um papel fundamental. 11.1 Seqüências As seqüências de números aparecem em situações diversas. Se dividirmos um bolo pela me- tade e, então a metade de novo pela metade, e continuarmos dividindo indefi nidamente pela metade (Figura 1), então a fração de bolo deixada em cada estágio forma a seqüência Isso é a seqüência de valores de , para n = 0, 1, 2, ... . Formalmente, uma seqüência é uma função f (n) cujo domínio é um subconjunto dos inteiros. Os valores são denominados termos da seqüência e n é o índice. Ge- ralmente pensamos numa seqüência informalmente, como uma coleção de valores ou uma lista de termos: Quando for dado por uma fórmula, costumamos dizer que é o termo geral. 1 1 2 1 8 1 4 FIGURA 1 Nosso conhecimento do que são feitas as estrelas é baseado no estudo dos espectros de absorção, que são seqüências de comprimentos de onda absorvidos por gases na atmosfera da estrela. 11 A seqüência , conhecida como “série de Balmer” na Física e Química, desempenha um papel na espectroscopia. Os termos dessa seqüência são os comprimentos de onda de absorção do átomo de hidrogênio em nanômetros. 13 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1 536 CÁLCULO No exemplo seguinte, consideramos uma seqüência cujos termos são defi nidos re- cursivamente. O primeiro termo é dado, e o enésimo termo é calculado usando o termo precedente . ■ EXEMPLO 1 Seqüência defi nida recursivamente Calcule para a seqüência de- fi nida recursivamente por Solução ■ Nosso próximo objetivo é estudar a convergência de seqüências. Uma seqüência converge a um limite L se os termos se aproximam cada vez mais de L quando DEFINIÇÃO Limite de uma seqüência Uma seqüência converge a um limite L, e escrevemos se, para cada , existir um número M tal que , para todo n > M. Se não existir um limite, dizemos que diverge. ■ EXEMPLO 2 Demonstrando a convergência de uma seqüência Seja . Prove, formalmente, que . Solução A defi nição exige que encontremos, para cada , um número M tal que Temos Portanto, se Segue que (1) é válido com . Por exemplo, se , então podemos tomar . Assim, para n = 300, 301, 302, ... ■ Podemos visualizar a seqüência traçando seu “gráfi co”, ou seja, esboçando os pontos (Figura 2). A seqüência converge a um limite L se, para cada , os pontos esboçados acabam sempre fi cando dentro da faixa de largura para cada A seqüência do Exemplo 1 pode ter sido reconhecida como a seqüência de aproximações de produzida pelo método de Newton com valor inicial . Quando n tende ao infi nito, tende a . 1 2 3 4 5 6 7 − + L y n FIGURA 2 Gráfi co de uma seqüência com limite L. Para cada , os pontos sempre acabam fi cando a menos de de L. CÁLCULO III 14 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 537 lado da reta horizontal y = L (Figura 2). A Figura 3 mostra o gráfi co de uma seqüência convergente a L = 1. Entretanto, pode ser mostrado que a seqüência , que apa- rece na Figura 4, não tem limite. FIGURA 3 A seqüência . y n 1410 122 4 6 8 1,5 1 0,5 FIGURA 4 A seqüência n não tem limite. y n 1410 122 4 6 8 1 −1 Observamos o seguinte: O limite não muda se modifi carmos ou ignorarmos um número fi nito de termos da • seqüência. Se • C for uma constante e para todo n sufi cientemente grande, então . Suponha que f (x) seja uma função e que f (x) tenda a um limite L quando . Nesse caso, a seqüência tende ao mesmo limite L (Figura 5). De fato, nesse caso, para todo , podemos encontrar M tal que para todo x > M. Segue, automaticamente, que para todos inteiros n > M. TEOREMA 1 Seqüência defi nida por uma função Seja f (x) uma função defi nida em para alguma constante c. Se existir , então a seqüência , defi nida para , converge e ■ EXEMPLO 3 Encontre o limite da seqüência Solução Essa é a seqüência de termo geral Seja . Então e, pelo Teorema 1, ■ ■ EXEMPLO 4 Calcule , onde . Solução O limite da seqüência é igual ao limite da função , que calcula- mos com a regra de L’Hôpital: ■ O limite dos comprimentos de onda de Balmer defi nidos à margem esquerda na página 535 é importante em Física e Química por determinar a energia de ionização do 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L y x a1 = f (1) a2 = f (2) y = f (x) a3 = f (3) FIGURA 5 Se f (x) convergir a L, então a seqüência também converge a L. 15 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1 538 CÁLCULO átomo de hidrogênio. A Tabela 1 sugere que tende a 364,5 quando . A Figura 6 mostra o gráfi co de e, na Figura 7, os comprimentos de onda são mostrados “se empi- lhando” no valor do limite. ■ EXEMPLO 5 Limite dos comprimentos de onda de Balmer Calcule o limite dos compri- mentos de onda de Balmer , onde . Solução Observe que , onde . Calculamos o limite dividindo o numerador e o denominador por : ■ FIGURA 6 A seqüência e a função tendem ao mesmo limite. y = f (x)b3 b4 b5 3 364,5 200 400 600 800 4 5 6 7 y x FIGURA 7 700 600 500 400 Limit L =364,5 300 Comprimento de onda (nanômetros) UltravioletaV er m el ho A m ar el o V er de A zu l V io le ta Uma seqüência geométrica é uma seqüência da forma , em que c e r são constantes não-nulas. Por exemplo, se c = 2 e r = 3, obtemos a seqüência geométrica O número r é denominado razão comum aos termos. Cada termo é r vezes o termo precedente , ou seja, . Dizemos que diverge, ou tende, a , e escrevemos , se os termos crescem sem cota, ou seja, se, para cada N > 0, temos para todo n sufi cientemente grande (Figura 8). ■ EXEMPLO 6 Limite de uma seqüência geométrica Prove que: Solução Aplicamos o Teorema 1 à função exponencial . Se 0 < r < 1, então (Figura 9) Analogamente, se r > 1, então f (x) tende a quando , de modo que também diverge a (Figura 8). Se r = 1, então para todo n e o limite é 1. ■ TABELA 1 Os comprimentos de onda da série de Balmer tendem ao limite L = 364,5 A seqüência geométrica é a seqüência defi nida pela função exponencial cuja base r é a razão comum aos termos. FIGURA 8 Se , a seqüência geométrica diverge a . 1 2 3 4 5 6 25 50 y x f (x) = rx (r > 1) FIGURA 9 Se , a seqüência geométrica tende a 0. 1 2 3 4 5 6 7 1 y x f (x) = rx (0 < r < 1) CÁLCULO III 16 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 539 A maioria das leis de limites de funções também é válida para seqüências. As de- monstrações são análogas e serão omitidas. TEOREMA 2 Leis de limites de seqüências Suponha que { } e { } sejam seqüências convergentes com Então (i) (ii) (iii) (iv) para qualquer constante c. TEOREMA 3 Teorema do confronto para seqüências Sejam seqüências tais que, para algum número M, Então . ■ EXEMPLO 7 Mostre que, se , então . Solução Temos Como tende a zero, também tende a zero e do Teorema do Confronto decorre . ■ Como mais uma aplicação do Teorema do Confronto, considere a seqüência Tanto o numerador quanto o denominador tendem a infi nito, portanto não é de todo claro se converge. A Figura 10 e a Tabela 2 sugerem que inicialmente cresce, mas depois tende a zero. No próximo exemplo provamos que, dado qualquer R, realmente ten- de a zero. Esse fato será utilizado na discussão de séries de Taylor, na Seção 11.7. ■ EXEMPLO 8 Prove que , para todo R. Solução Pelo resultado do Exemplo 7, podemos supor, sem perda de generalidade, que R > 0. Então existe um único inteiro tal que LEMBRETE O fatorial de , denotado , é o número Por exemplo, . 5 10 15 10 20 y n FIGURA 10 O gráfi co da seqüência . 17 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1 540 CÁLCULO Para n > M, escrevemos como um produto de n fatores: Os primeiros M fatores são e os últimos n − M fatores são < 1. Se agruparmos os pri- meiros M fatores e denotarmos esse produto por C e se omitirmos todos os demais fatores exceto o último fator , obteremos Como , o Teorema do Confronto garante que . ■ Podemos aplicar uma função f (x) a uma seqüência para obter uma nova seqüên- cia . É útil saber que se f (x) for contínua e se , então . Enunciamos esse resultado no teorema seguinte. Ver Apêndice D para uma prova. TEOREMA 4 Se f (x) for contínua e existir o limite , então ■ EXEMPLO 9 Calcule . Solução Temos , onde e . Além disso, Pelo Teorema 4, , ou seja, ■ Agora introduzimos dois conceitos que são importantes para o entendimento de con- vergência: os conceitos de seqüência limitada e o de seqüência monótona. DEFINIÇÃO Seqüências limitadas Uma seqüência é: Limitada superiormente • se existir um número M tal que para todo n. O número M é denominado cota superior. Limitada inferiormente • se existir um número m tal que para todo n. O número m é denominado cota inferior. Se for limitada superior e inferiormente, dizemos que é limitada. Se não for limitada, dizemos que é uma seqüência ilimitada. Cotas inferiores e superiores não são únicas. Se M for uma cota superior, então qualquer número maior do que M também é uma cota superior (Figura 11). Analoga- mente, se m for uma cota inferior, então qualquer número menor do que m também é uma cota inferior. TABELA 2 1 2 3 4 5 6 7 L MCota superior Uma outra cota superior mCota inferior y n FIGURA 11 Uma seqüência convergente é limitada. CÁLCULO III 18 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 541 Parece razoável que uma seqüência convergente deva ser limitada, porque seus termos se aproximam cada vez mais do limite (Figura 11). Isso nos leva ao teorema seguinte. TEOREMA 5 Seqüências convergentes são limitadas Se converge, então é li- mitada. Demonstração Seja . Então existe N > 0 tal que , para todo n > N. Em outras palavras, Se M for qualquer número maior do que L + 1 e também maior do que os números , então para todo n. Assim, M é uma cota superior. Analogamente, qualquer número m menor do que L − 1 e é uma cota inferior. ■ Há duas maneiras pelas quais uma seqüência pode ser divergente. A primeira é se for ilimitada, porque então certamente diverge, pelo Teorema 5. Por exemplo, a seqüência seguinte diverge: Por outro lado, uma seqüência pode divergir mesmo se for limitada, bastando que seus termos fi quem pulando de qualquer jeito sem nunca se aproximar de um limite. Por exem- plo, a seqüência é limitada mas não converge: Quando podemos ter certeza que uma seqüência converge? Uma situação ocorre quan- do for tanto limitada quanto monótona crescente ou decrescente. Intuitivamente, a razão para isso é que se for crescente e limitada superiormente por M, então seus termos devem acabar por tender a um limite L que não pode ser maior do que M (Fi- gura 12). Enunciamos isso formalmente no teorema seguinte, cuja prova é fornecida no Apêndice B. TEOREMA 6 Seqüências monótonas limitadas convergem Se • for não-decrescente e para todo n, então converge e . Se • for não-crescente e para todo n, então converge e . ■ EXEMPLO 10 Verifi que que é decrescente e limitada inferior- mente. Existe ? Solução A função é decrescente porque tem derivada negativa: Segue que também é decrescente (Tabela 3). A seqüência é limitada inferior- mente por m = 0 porque , para todo n. O Teorema 6 garante que existe o limite e (pode ser mostrado que L = 0). ■ Uma seqüência é monótona não-decrescente se • para todo j; não-crescente se • para todo j; crescente se • para todo j; decrescente se • para todo j. FIGURA 12 Uma seqüência crescente com cota superior M tende a um limite L. x 0 a1 a2 a3 a4 a5 L M O limite Uma cota superior TABELA 3 A seqüência é decrescente 19 Séries UNIDADE 1 Séries Infinitas: Sequências PARTE 1 542 CÁLCULO ■ EXEMPLO 11 Mostre que a seqüência seguinte é limitada e crescente: Prove que existe e calcule seu valor. Solução Essa seqüência está defi nida recursivamente por Não seria difícil encontrar o limite L se já soubéssemos que ele existe. Poderíamos, então, proceder da seguinte maneira. A seqüência (a mesma seqüência , mas começando em ) convergiria para o mesmo limite L e, pelo Teorema 4, estabe- leceríamos que Assim, e, portanto, Segue que L = −1 ou L = 2 e, como , concluímos que L = 2 (Tabela 4). Para justi- fi car essa conclusão, devemos provar que o limite L existe. Pelo Teorema 6, basta provar que é limitada superiormente e crescente. Passo 1. Mostrar que é limitada superiormente por M = 2. Inicialmente, observe que Agora podemos provar que , para todo n. Como , (2) implica que . Mas, então, por (2), implica e implica , etc, para todo n (formalmente, isso é uma prova por indução). Passo 2. Mostrar que é crescente. Como é positiva e , Assim, para todo N e é crescente. ■ 11.1 RESUMO Uma • seqüência é uma funçãof (n) cujo domínio é um subconjunto dos inteiros. Escre- vemos para o enésimo termo e denotamos a própria seqüência por ou, simplesmente, . Dizemos que uma seqüência • converge a um limite L, e escrevemos ou se, para cada , existir um número M tal que Se não existir um limite, dizemos que diverge. Seja • f (x) uma função em , para algum número c e seja para . Se , então . TABELA 4 Os termos da seqüência recursiva CÁLCULO III 20 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE. PREZADO ESTUDANTE CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 543 Uma • seqüência geométrica é uma seqüência da forma , em que c e r são não- nulas. As leis básicas dos limites e o Teorema do Confronto são aplicáveis a seqüências. • Se • f (x) for contínua e , então . Dizemos que • é limitada superiormente por M se para todo n e limitada in- feriormente por m se para todo n. Se for limitada superior e inferiormente, dizemos que é limitada. Uma seqüência • é monótona se for não-decrescente ( ) ou não-crescente para todo j. O Teorema 6 afi rma que é convergente qualquer seqüência não-decrescente que for limi- • tada superiormente e qualquer seqüência não-crescente que for limitada inferiormente. 11.1 EXERCÍCIOS Exercícios preliminares 1. Quem é para a seqüência 2. Qual das seqüências seguintes converge a zero? (a) (b) (c) 3. Seja a enésima aproximação decimal de . Ou seja, , , etc. Qual é o ? 4. Qual dessas seqüências está defi nida recursivamente? (a) (b) 5. O Teorema 5 afi rma que toda seqüência convergente é limitada. Quais das afi rmações seguintes decorrem do Teorema 5 e quais são falsas? Se for falsa dê um contra-exemplo. (a) Se é limitada, então é convergente. (b) Se não é limitada, então é divergente. (c) Se é divergente, então não é limitada. Exercícios 1. Combine a seqüência com o termo geral: 2. Seja para n = 1, 2, 3, ... . Escreva os primeiros três termos das seqüências seguintes: (a) (b) (c) (d) Nos Exercícios 3-10, calcule os primeiros quatro termos das seqüên- cias seguintes, começando com n = 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. = enésima aproximação decimal de . 11. Encontre uma fórmula para o enésimo termo da seqüência se- guinte: (a) (b) 12. Suponha que e . Determine: (a) (b) (c) (d) Nos Exercícios 13-26, use o Teorema 1 para determinar o limite da seqüência ou decida que a seqüência diverge. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. unidade 1 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH. Parte 2 Soma de uma Série Infinita CÁLCULO II 22 546 CÁLCULO 11.2 Soma de uma série infi nita Muitas vezes não podemos calcular exatamente as quantidades que aparecem nas aplica- ções. Não sabemos escrever a representação decimal exata de ou dos valores da função seno, como, por exemplo, sen 1. Às vezes, essas quantidades podem ser representadas como somas infi nitas. Por exemplo, Somas infi nitas desse tipo são denominadas séries infi nitas ou séries, simplesmente. O que signifi ca, exatamente, a Equação (1)? Embora seja impossível somar uma infi - nidade de números, podemos calcular as somas parciais , defi nidas como as somas dos N primeiros termos da série. Comparemos as primeiras somas parciais com sen 1: As somas parciais aparentam convergir para sen 1 e, de fato, na Seção 11.7, vamos provar que . É esse o signifi cado preciso da Equação (1). Em geral, uma série infi nita é uma expressão da forma em que é uma seqüência qualquer. Por exemplo, Seqüência Termo geral Série infinita A N-ésima soma parcial é a soma dos N primeiros termos da série: A soma da série infi nita é defi nida como o limite das somas parciais , se esse li- mite existir. As séries infi nitas podem começar com qualquer índice. Por exemplo, Quando não for necessário especifi car o termo inicial, simplesmente escrevemos . Qualquer letra pode ser usada para o índice. Assim, podemos escrever , etc. 23 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 547 DEFINIÇÃO 1 Convergência de uma série infi nita Uma série infi nita converge a S se . O limite S é denominado soma da série e escrevemos . Se o limite não existir, dizemos que a série diverge. É fácil dar exemplos de séries divergentes. Por exemplo, diverge porque as so- mas parciais divergem a : Analogamente, diverge porque as somas parciais fi cam pulando de 1 para 0 e vice-versa: As séries podem ser investigadas numericamente calculando várias somas parciais. Se as somas parciais mostrarem uma tendência de convergência a algum número S, então temos evidência (mas não uma prova) de que a série convirja a S. O exemplo seguinte trata de uma série telescópica convergente, em que as somas parciais são particularmente fáceis de calcular. ■ EXEMPLO 1 Série telescópica Investigue numericamente a série seguinte: Em seguida, calcule a soma S usando a identidade: Solução A Tabela 1 exibe algumas somas parciais calculadas com um sistema algébrico computacional. Esses dados sugerem convergência a S = 1. Para calcular esse limite pre- cisamente, usamos a identidade fornecida para reescrever os termos da série. Verifi camos que, por cancelamento, cada soma parcial colapsa para apenas dois termos: Em geral, Embora exista uma fórmula fácil para as somas parciais no Exemplo 1, isso constitui a exceção, e não a regra. Além das séries telescópicas e das geométricas introduzidas a seguir, geralmente não existe uma fórmula para e, para estudar séries infi nitas, precisamos desenvolver técnicas que não dependam de fórmulas. TABELA 1 Somas parciais de CÁLCULO II 24 548 CÁLCULO Agora podemos calcular a soma S como o limite das somas parciais: ■ É importante lembrar da diferença entre uma seqüência e uma série , que é a soma dos termos da seqüência. ■ EXEMPLO 2 Diferença entre uma seqüência e uma série Discuta a diferença entre e , no caso . Solução A seqüência converge a zero: A série infi nita defi nida por essa seqüência é uma soma infi nita: O valor dessa soma é não-nulo. De fato, a soma parcial dá uma aproximação dessa soma: ■ Um dos tipos mais importantes de séries é o da série geométrica, defi nida como a soma dos termos , em que c e r são números fi xados diferentes de zero: O número r é denominado razão comum ou, simplesmente, razão da série. Para , podemos visualizar a soma da série geométrica (Figura 1): A soma é 1 porque somar termos na série corresponde a avançar passo a passo de 0 a 1, cada passo correspondendo a um movimento para a direita por metade da distância que falta. Existe uma maneira simples de calcular as somas parciais de uma série geométrica: Se , podemos dividir por (1 − r) para obter 10 1 2 + 1 2 3 4 7 8 1 4 + 1 8 + 1 16 15 16 10 1 2 + 1 2 3 4 7 8 1 4 + 1 8 10 1 2 + 1 2 3 4 1 4 10 1 2 1 2 FIGURA 1 As somas parciais de . As séries geométricas são importantes porque elas seguidamente surgem em aplicações; • podem ser calculadas explicitamente; • são usadas para estudar outras séries • não-geométricas (por comparação). 25 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 549 TEOREMA 1 Soma de uma série geométrica Uma série geométrica de razão r converge se e diverge se . Além disso, Demonstração Se , então, pela Equação (2), Se , então e, pela Equação (3), obtemos: Se diverge e, portanto, a série geométrica diverge. Ela também diver- ge nos casos extremos , como vimos na discussão antes do Exemplo 1. Se a série geométrica começar com o termo em vez de , então■ ■ EXEMPLO 3 Calcule . Solução Isso é uma série geométrica com c = 7 e . O termo geral é e a soma começa em n = 3. Pela Equação (4), a soma é ■ Um dos nossos principais objetivos neste capítulo é o desenvolvimento de técnicas que determinem se uma dada série converge ou diverge. Às vezes, é óbvio que uma série divirja. Por exemplo, diverge porque sua N-ésima soma parcial é . É bem menos evidente se a série seguinte converge ou diverge: No Exemplo 4, usando o próximo teorema, mostraremos que essa série diverge. CÁLCULO II 26 550 CÁLCULO TEOREMA 2 Teste da divergência Se não converge a zero, então diverge. Demonstração Usamos a relação para escrever . Se for convergente com soma S, então Assim, se não converge a zero, então deve divergir. ■ ■ EXEMPLO 4 Usando o teste da divergência Será que a série converge? Solução O termo geral não tende a zero. De fato, tende a 1, portanto os termos pares tendem a 1 e os ímpares a −1. Portanto, a série diverge pelo Teorema 2. ■ O teste da divergência só conta uma parte da história. Se não tende a zero, então certamente diverge. Mas o que acontece se convergir a zero? Nesse caso, a série pode convergir, ou não. Aqui temos um exemplo de uma série que diverge embora seus termos tendam a zero. ■ EXEMPLO 5 Uma série divergente cujos termos tendem a zero Mostre que é divergente. Solução Cada termo da N-ésima soma parcial é maior do que ou igual a : Portanto, Como , temos que e a série diverge. ■ Nosso próximo teorema mostra que as séries podem ser somadas ou subtraídas como somas comuns, desde que as séries sejam convergentes. 27 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 551 TEOREMA 3 Linearidade de séries infi nitas Se e são, ambas, convergentes, então e são convergentes (uma constante c qualquer) e Demonstração Essas regras seguem das correspondentes regras de linearidade de limites. Para a primeira regra, temos As demais afi rmações são demonstradas analogamente. ■ ■ EXEMPLO 6 Calcule . Solução Escrevemos a série como a soma de duas séries geométricas. Isso é permitido pelo Teorema 3 porque ambas séries geométricas são convergentes: ENTENDIMENTO CONCEITUAL Às vezes, o seguinte argumento incorreto é dado para a soma de uma série geométrica: Assim, 2S = 1 + S, ou S = 1. A resposta está certa; então, por que o argumento está errado? Está errado porque não sabemos de antemão que a série geométrica converge. Observe o que ocorre quando esse argumento é aplicado a uma série divergente: Isso daria que −S = −1 + S, ou , o que claramente está errado, porque S diverge. Os matemáticos desenvolveram a defi nição formal de soma de uma série infi nita como o limite das somas parciais com o objetivo de evitar conclusões incorretas desse tipo. CÁLCULO II 28 552 CÁLCULO 11.2 RESUMO Uma • série infi nita é uma expressão Dizemos que é o termo geral da série. As séries infi nitas têm sido uma parte do Cálcu- lo desde o início do assunto e, desde então, têm permanecido uma ferramenta indispensável da análise matemática. As séries geométricas já fo- ram usadas por Arquimedes no Século III a.C., num argumento brilhante para determinar a área S de um setor parabólico (a região destacada na Fi- gura 2). O resultado de Arquimedes é equivalente à nossa fórmula para a integral de , mas ele a descobriu 2.000 anos antes da invenção do Cálculo. Arquimedes expressou seu resultado geometricamente em vez de fazê-lo em termos de funções (que ainda não haviam sido inventadas). Dados quaisquer dois pontos A e C numa parábola, podemos escolher B entre A e C de tal modo que a tangente a B seja paralela a . Seja T a área do triângulo . Arquimedes provou que se D for escolhido de maneira similar em relação a e E em relação a , então Essa construção de triângulos pode ser continuada. O próximo passo seria construir os quatro triângu- los dos segmentos de área total , etc. Dessa maneira, obtemos uma infi nidade de triângulos que acabam preenchendo completamente o setor parabólico. Pela Equação (5) e a fórmula de uma série geométrica, Por essa e muitas outras realizações, Arquimedes ocupa a posição de um dos maiores cientistas de todos tempos, no mesmo time de Gauss e Newton. O estudo moderno de séries in- fi nitas começou no Século XVII com Newton, Leibniz e seus contemporâneos. A di- vergência de (denominada série harmô- nica) era conhecida do erudito medieval Nicole d’Oresme (1323-1382), mas sua prova foi perdida por séculos e o resultado foi redescoberto mais de uma vez. Também era sabido que a soma dos quadrados recíprocos convergia e, em tor- no de 1640, o italiano Pietro Mengoli lançou o desafi o de descobrir sua soma. Apesar do esforço dos melhores matemáticos da época, inclusive Leibniz e os irmãos Jakob e Johann Bernoulli, o problema resistiu sem solução por mais de um sé- culo. Em 1735, o grande mestre Leonhard Euler surpreendeu seus contemporâneos provando que Essa fórmula é usada de muitas maneiras em Teoria de Números. Por exemplo, a probabi- lidade p de dois números inteiros aleatoria- mente escolhidos não terem fator comum é (o recíproco do resultado de Euler). Essa aplicação e outras como ela fi cam no cerne da Matemática “pura” e, por centenas de anos, parecia que o resultado de Euler não possuía aplicações no mundo real. Surpreenden- temente, agora existe evidência que suas genera- lizações podem desempenhar um papel na área de Física avançada denominada teoria do campo quântico. A história parece mostrar que mesmo o mais “puro” dos ramos da Matemática está co- nectado com o mundo real. B C A B C A E D Área S Área T FIGURA 2 Arquimedes mostrou que a área S do setor parabólico é , onde T é a área do . Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.), que descobriu a lei da alavanca, disse “Dai-me um ponto de apoio e eu poderei mover a Terra” (citado por Pappus de Alexandria, cerca de 340 d.C.). PERSPECTIVA HISTÓRICA 29 Séries UNIDADE 1 Soma de uma Série Infinita PARTE 2 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 553 (a) (b) (c) (d) Nos Exercícios 3-6, calcule as somas parciais e . 3. 4. A • N-ésima soma parcial é a soma fi nita Se existir o limite , dizemos que a série infi nita é convergente ou converge à soma S. Se o limite não existir, dizemos que a série infi nita é divergente. Teste da Divergência: • se não tende a zero, então diverge. Contudo, uma série pode divergir, mesmo se seu termo geral tender a zero. Uma • série geométrica de razão r satisfazendo |r| < 1 é convergente e A série geométrica diverge se . Existe uma fórmula para a soma parcial: 11.2 EXERCÍCIOS Exercícios preliminares 1. Qual é o papel das somas parciais na defi nição de soma de uma série infi nita? 2. Qual é a soma da série infi nita seguinte? 3. O que acontece se aplicarmos a fórmula da soma de uma série geométrica à série seguinte? A fórmula é válida? 4. André afi rma que porque tende a zero. Esse é um raciocínio válido? 5. Fabiana afi rma que converge porque . Esse é um raciocínio válido? 6. Encontre N tal que para a série . 7. Existe algum N tal que para a série ? Explique. 8. Dê um exemplo de uma série infi nita divergente cujo termo geral tenda a zero. Exercícios 1. Encontre uma fórmula para o termo geral (não da soma par- cial) da série infi nita. (a) (b) (c) (d) 2. Escreva em notação de somatório: ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE. PREZADO ESTUDANTE unidade 1 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH. Parte 3 Convergência de Sériesde Termos Positivos CÁLCULO II 32 556 CÁLCULO 50. Pierre de Fermat utilizou séries geométricas para calcular a área sob o gráfi co de , acima de [0, A]. Para 0 < r < 1, seja F(r) a soma das áreas da infi nidade de retângulos pela direita de extremidades , como na Figura 5. Quando r tende a 1, os re- tângulos fi cam mais estreitos e F(r) tende à área sob o gráfi co. (a) Mostre que . (b) use a Equação (7) para calcular . FIGURA 5 y f (x) = xN r3A r2A rA A x 51. A mesa invisível de Cantor (segundo Larry Knop, do Hamilton College) Tomemos uma mesa de comprimento L (Figura 6). No es- tágio 1, removemos a seção de largura centrada no ponto mé- dio, com o que restam duas seções, cada uma de largura inferior a . No estágio 2, removemos seções de largura de cada uma dessas duas seções, com o que removemos da mesa. Agora res- tam quatro seções, cada uma de largura inferior a . No estágio 3, removemos as quatro seções centrais de largura , etc. (a) Mostre que no estágio N, cada seção que permanece tem largura inferior a e que a quantidade total removida da mesa é (b) Mostre que, no limite quando N → ∞, sobra exatamente uma metade da mesa. Esse resultado é, no mínimo, curioso, porque não resta intervalo de largura positiva algum da mesa (em cada estágio, as seções re- manescentes têm largura inferior a ). Assim, a mesa “desa- pareceu”. No entanto, qualquer objeto de largura superior a pode ser colocado sobre a mesa sem que caia ao chão, pois não conseguirá passar por nenhuma das seções removidas. FIGURA 6 L/16 L/16L/4 52. O fl oco de neve de Koch (descrito em 1904 pelo matemático sueco Helge von Koch) é uma curva “fractal” infi nitamente ás- pera obtida como um limite de curvas poligonais (é contínua, mas não tem reta tangente em ponto algum). Começamos com um triângulo eqüilátero (estágio 0) e obtemos o estágio 1 substi- tuindo cada aresta por quatro arestas, cada uma com um terço do comprimento, arranjados como na Figura 7. Continuamos o pro- cesso e, no enésimo estágio, substituímos cada aresta por quatro arestas, cada uma com um terço do comprimento. (a) Mostre que o perímetro do polígono no enésimo estágio satis- faz . Prove que . O fl oco de neve tem comprimento infi nito. (b) Seja a área do triângulo eqüilátero original. Mostre que no enésimo estágio são acrescentados novos triângulos, cada um com área igual a (para ). Mostre que a área total do fl oco de neve é . Estágio 3Estágio 1 Estágio 2 FIGURA 7 11.3 Convergência de séries de termos positivos Nas três próximas seções, enfocamos o problema de determinar se uma série infi nita con- verge ou diverge. Isso é mais fácil do que encontrar a soma de uma série infi nita, o que só é possível em casos especiais. Nesta seção, consideramos séries positivas , isto é, séries tais que para todo n (ou seja, os termos dessas séries são não-negativos). Os termos de uma série positiva podem ser visualizados como retângulos de largura 1 e altura (Figura 1). A soma parcial é igual à área dos N primeiros retângulos. Existem métodos numéricos poderosos para encontrar aproximações de séries infi nitas. Quando implementados num computador, esses métodos podem ser usados para calcular somas com milhões de casas decimais (Exercícios 75-77). 33 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 557 Uma propriedade crucial das séries positivas é que suas somas parciais formam uma seqüência não-decrescente. Cada soma parcial é obtida da precedente pela adição de um número não-negativo: e, portanto, . Recorde que uma seqüência não-decrescente converge se for limitada superiormente e, caso contrário, diverge (Teorema 6, Seção 11.1). Segue que só existem dois comportamentos possíveis para uma série positiva (nos referimos a isso como uma “dicotomia”). TEOREMA 1 Teorema da dicotomia de séries positivas Se é uma série positiva, então existem duas possibilidades: (i) As somas parciais são limitadas superiormente. Nesse caso, S converge. (ii) As somas parciais não são limitadas superiormente. Nesse caso, S diverge. Hipóteses importam Essa dicotomia não é válida em geral, para séries não-positivas. As so- mas parciais da série não-positiva são limitadas, já que ou 0, mas S diverge. Uma das mais importantes aplicações do Teorema 1 é o teste da integral seguinte, que é útil porque, muitas vezes, é mais fácil calcular uma integral do que uma série. TEOREMA 2 Teste da integral Seja , onde f (x) é positiva, não-crescente e contínua em x ≥ 1. (i) Se converge, então converge. (ii) Se diverge, então diverge. O teste da integral é válido para quaisquer séries , desde que f (x) seja positiva, não-crescente e contínua em , para algum M. A convergência da série é determinada pela convergência de Demonstração Comparamos com a área sob o gráfi co de f (x), acima do intervalo [1, N]. Como f (x) é não-crescente (Figura 2), Se a integral imprópria da direita convergir, então as somas permanecem limitadas. Nesse caso, também permanece limitada e a série infi nita converge pelo teorema da dicotomia (Teorema 1). Isso para (i). Por outro lado (Figura 3), FIGURA 1 A soma parcial é a soma das áreas dos N retângulos destacados. a1 a2 a3 aN x y 3 2 1 1 2 3 N FIGURA 2 a1 a3a2 a4 aN x y N y = f (x) 1 2 3 4 CÁLCULO II 34 558 CÁLCULO Se diverge, então tende a ∞ e (1) mostra que também tende a ∞. Isso prova (ii). ■ ■ EXEMPLO 1 Divergência da série harmônica Mostre que diverge. Solução A função é positiva, decrescente e contínua em , portanto pode- mos usar o teste da integral: A integral diverge e, portanto, a soma também diverge. ■ ■ EXEMPLO 2 Determine se converge. Solução A função é positiva e contínua em e é decrescente, pois é negativa: Portanto, podemos aplicar o teste da integral. Usamos a substituição , du = 2x dx para calcular a integral imprópria: A integral converge e, portanto, também converge. ■ O teste da integral é aplicável à soma dos recíprocos das potências, denominada série p. TEOREMA 3 Convergência de séries p A série converge se p > 1 e, caso contrá- rio, diverge. Demonstração Se , temos Como tende a zero se p > 1 e a ∞ se p < 1, a integral imprópria converge se p > 1 e diverge se p < 1. O mesmo vale para a série p, pelo teste da integral. Para p = 1, a série diverge, como vimos no Exemplo 1. ■ A série infi nita é denominada “série harmônica”. FIGURA 3 a2a1 a3 aN−1 x y N y = f (x) 1 2 3 4 35 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 559 Dois exemplos de séries p são: Um outro método poderoso para determinar a convergência de séries positivas é o da comparação. Suponha que . A Figura 4 sugere que se a soma maior convergir, então a soma menor também converge e, analogamente, se a soma menor divergir, então a soma maior também diverge. TEOREMA 4 Teste da comparação Suponha que exista M > 0 tal que para n ≥ M: (i) Se converge, então também converge. (ii) Se diverge, então também diverge. Demonstração Suponha, sem perda de generalidade, que M = 1. Se conver- ge, então Assim, as somas parciais de são limitadas superiormente por S e converge pelo teorema da dicotomia (Teorema 1). Por outro lado, se diverge, então suas so- mas parciais crescem sem cota e (2) mostra que também diverge. ■ ■ EXEMPLO 3 Mostre que converge. Solução Aplicamos o teste da comparação com e . Isso é permitido porque e, assim, para . A série geométrica converge: Portanto, a série menor converge. ■ ■ EXEMPLO 4 Mostre que converge. A convergência de uma série infi nita não depende de onde a sériecomeça. Portanto, o teste da comparação permanece válido mesmo se a série não começa com n = 1. Em palavras, o teste da comparação afi rma que, para séries positivas: a convergência de séries maiores força • a convergência de séries menores. a divergência de séries menores força • a divergência de séries maiores. FIGURA 4 A série é dominada pela série . b1 b2 b3 bN a1 a2 a3 aN x y 1 2 3 N CÁLCULO II 36 560 CÁLCULO Solução Comparamos com a série geométrica . Para , A série geométrica converge, portanto também converge. ■ ■ EXEMPLO 5 Determine se converge. Solução Comparamos com a série harmônica mostrando que, para , Basta mostrar que f (x) = x − ln x é positiva em . Contudo, f (1) = 1 e é cres- cente, pois para x > 1. Portanto, f (x) > 1 para x > 1, como queríamos mostrar. Como a série harmônica diverge, a série maior também diverge. ■ ■ EXEMPLO 6 Usando corretamente o teste da comparação Estude a convergência de Solução Poderíamos pensar em comparar com a série harmônica usan- do a desigualdade (válida para ) Contudo, diverge, de modo que essa desigualdade não dá informação alguma sobre a série menor . Felizmente, nesse caso podemos usar o teste da integral. A substituição u = ln x dá O teste da integral mostra que converge. ■ Suponha que queiramos estudar a convergência de No Exemplo 5, a série começa com n = 2 porque 1/ln n não está defi nido para n = 1. 37 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 561 Para n grande, o termo geral está muito próximo de : portanto poderíamos comparar S com a série convergente . Contudo, não podemos usar o teste da comparação diretamente porque a desigualdade exata é no sentido errado: Nesse caso, podemos aplicar a variação seguinte do teste da comparação. TEOREMA 5 Teste da comparação no limite Sejam e seqüências positivas. Su- ponha que exista o limite seguinte: (i) Se L > 0, então converge se, e somente se, converge. (ii) Se L = 0 e converge, então converge. ADVERTÊNCIA O teorema da comparação no limite não pode ser aplicado quando a série não for positiva. Ver Exercício 38 na Seção 11.4. Demonstração Inicialmente, mostramos que se converge e L > 0 ou L = 0, então converge. Escolha um número positivo R > L. Como as seqüências são positivas e ten- de a L, temos e, assim, , para todo n sufi cientemente grande. Como também converge, a série converge pelo teste da comparação. Agora suponha que L > 0 e que convirja. Podemos escolher r tal que 0 < r < L. Como tende a L, temos e, assim, , para todo n sufi ciente- mente grande. Desse modo, converge pelo teste da comparação e, portanto, a série converge. ■ ■ EXEMPLO 7 Mostre que converge. Solução Seja . Observamos acima que para n grande, portanto faz sentido aplicar o teste da comparação no limite com : Como existe L e converge, também converge. ■ CÁLCULO II 38 562 CÁLCULO ■ EXEMPLO 8 Determine se converge. Solução Sejam e . Então Como diverge e L > 0, a série também diverge. ■ 11.3 RESUMO As somas parciais • de uma série positiva formam uma seqüência não- decrescente. Teorema da dicotomia: • Uma série positiva S converge se suas somas parciais permane- cem limitadas. Caso contrário, diverge. Teste da integral: • Se f for positiva, não-crescente e contínua, então con- verge (ou diverge) se, para algum M > 0, converge (ou diverge). Série p: • A série converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1. Teste da comparação: • Suponha que exista um M > 0 tal que para . Se converge, então converge; se diverge, então diverge. Teste da comparação no limite: • Sejam e seqüências positivas e suponha que exista o limite seguinte: Se – L > 0, então converge se, e somente se, converge. Se – L = 0 e converge, então converge. 1. Seja . Se as somas parciais forem crescentes, en- tão (escolha a conclusão correta) (a) é uma seqüência crescente; (b) é uma seqüência positiva. 2. Quais são as hipóteses do teste da integral? 3. Qual teste deveríamos usar para determinar se converge? 4. Qual teste deveríamos usar para determinar se converge? 5. Rafael acha que é possível investigar a convergência de comparando-a com . Rafael está no caminho certo? 11.3 EXERCÍCIOS Exercícios preliminares 39 Séries UNIDADE 1 Convergência de Séries de Termos Positivos PARTE 3 ANOTAÇÕES CÁLCULO II 40 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE. PREZADO ESTUDANTE unidade 1 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH. Parte 4 Teste da Razão e da Raiz CÁLCULO II 42 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 571 28. O teste de Leibniz não pode ser aplicado a Por que não? Mostre que essa série converge, usando outro método. 29. Determine se a série seguinte converge condicionalmente: 30. Prove que se converge absolutamente, então tam- bém converge. Em seguida, forneça um contra-exemplo para mostrar que não precisa convergir se for apenas condicionalmente convergente. 31. Prove a variante seguinte do teste de Leibniz: se a seqüência for positiva não-crescente com , então a série converge. Sugestão: mostre que é não-decrescente e limitada por e prossiga como na prova do teste de Leibniz. 32. Use o Exercício 31 para mostrar que a série seguinte converge: 33. Prove a convergência condicional de 34. Mostre que a série seguinte diverge: Sugestão: use o resultado do Exercício 33 para escrever S como a soma de uma série convergente e uma divergente. 35. Hipóteses importam Exiba um contra-exemplo para mostrar que o teste de Leibniz não permanece verdadeiro se tender a zero mas deixarmos de exigir que a seqüência seja não-crescente. Sugestão: considere 36. Prove que, dado qualquer expoente a, a série converge. Sugestão: mostre que é decrescente se x for sufi cientemente grande. 37. Dizemos que é um rearranjo de se tiver os mesmos termos do que , só que em ordem diferente. Mostre que se for um rearranjo de e se convergir abso- lutamente, então também converge absolutamente. (Esse resultado não é válido se S for somente condicionalmente convergente.) Sugestão: prove que as somas parciais são limitadas. Pode ser mostrado, também, que S = T. 38. Hipóteses importam Em 1829, Lejeune Dirichlet indicou que o grande matemático francês Augustin Louis Cauchy havia co- metido um erro num artigo publicado supondo que o teste da comparação no limite fosse válido para séries não-positivas. Eis as duas séries de Dirichlet: Explique como elas fornecem um contra-exemplo do teste da com- paração no limite quando as séries não são tomadas positivas. Compreensão adicional e desafi os 11.5 Testes da razão e da raiz Como veremos na Seção 11.7, o número e tem uma expressão bem conhecida como uma série infi nita: Contudo, os testes de convergência desenvolvidos até aqui não podem ser facilmente apli- cados a essa série. Isso indica a necessidade do teste seguinte, que também é de funda- mental importância no estudo de séries de potências (Seção 11.6). 43 Séries UNIDADE 1 Teste da Razão e da Raiz PARTE 4 572 CÁLCULO TEOREMA 1 Teste da razão Seja uma seqüência e suponha que exista o limite seguinte: (i) Se , então converge absolutamente. (ii) Se , então diverge. (iii) Se , o teste da razão é inconclusivo (a série pode convergir ou divergir). O símbolo , pronunciado “ro”, é a décima sétima letra do alfabeto grego. Demonstração Se , podemos escolher um número rtal que . Como converge a , existe um número M tal que para . Portanto, Em geral, e, portanto, A série geométrica à direita converge, pois , de modo que converge pelo teste da comparação. Assim, converge absolutamente. Se , escolha um número r tal que . Como converge a , existe um número M tal que para . Argumentando como antes, mas com as desigualdades invertidas, obtemos que . Como tende a ∞, vemos que os termos não tendem a zero e, conseqüentemente, diverge. Finalmente, o Exemplo 4 a seguir mostra que ambas convergência e divergência são possíveis quando , de modo que o teste é inconclusivo. ■ ■ EXEMPLO 1 Prove que converge. Solução Calculamos o limite . Seja . Então Como , S converge, pelo teste da razão. ■ CÁLCULO II 44 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 573 ■ EXEMPLO 2 Use o teste da razão para determinar se converge. Solução Seja . Temos Como , a série converge, pelo teste da razão. ■ ■ EXEMPLO 3 Determine se converge. Solução Seja . Então Vemos que a razão dos coefi cientes tende ao infi nito: Como diverge, pelo teste da razão. ■ ■ EXEMPLO 4 Teste da razão inconclusivo Mostre que , tanto para quanto . Conclua que o teste da razão é inconclusivo quando . Solução Para , temos Por outro lado, para , temos Assim, em ambos casos, , mas diverge e converge (uma série p com p = 2). Isso mostra que no caso são possíveis tanto a convergência quanto a divergência. ■ Para algumas séries, é mais conveniente usar o teste da raiz seguinte, que utiliza as raízes enésimas em vez das razões . A prova do teste da raiz, do mesmo modo como o do teste da razão, baseia-se numa comparação com séries geométricas (Exercício 53). 45 Séries UNIDADE 1 Teste da Razão e da Raiz PARTE 4 574 CÁLCULO TEOREMA 2 Teste da raiz Seja uma seqüência e suponha que exista o limite se- guinte: (i) Se L < 1, então converge absolutamente. (ii) Se L > 1, então diverge. (iii) Se L = 1, o teste da raiz é inconclusivo: a série pode convergir ou divergir. ■ EXEMPLO 5 Determine se converge. Solução Seja . Então Como , a série converge. ■ 11.5 RESUMO Teste da razão: • suponha que exista o limite seguinte: Então converge absolutamente se e diverge se . O teste é inconclusivo se . Teste da raiz: • suponha que exista o limite seguinte: . Então con- verge se e diverge se . O teste é inconclusivo se . 1. No teste da razão, é igual a ou a ? 2. O teste da razão é conclusivo para ? É conclusivo para 3. Pode o teste da razão ser usado para mostrar a convergência de uma série que somente é condicionalmente convergente? 11.5 EXERCÍCIOS Exercícios preliminares Nos Exercícios 1-18, aplique o teste da razão para determinar convergên- cia ou divergência, ou então diga que o teste da razão é inconclusivo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Exercícios CÁLCULO II 46 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE. PREZADO ESTUDANTE unidade 1 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH. Parte 5 Séries de Potências CÁLCULO III 48 576 CÁLCULO 55. Seja , onde c é uma constante. (a) Prove que S converge absolutamente se |c| < e e diverge se |c| > e. (b) É sabido que . Verifi que isso numerica- mente. (c) Use o teste da comparação no limite para provar que S diverge se c = e. 11.6 Séries de potências Na introdução deste capítulo, mencionamos que pode ser visto como um “polinômio infi nito” denominado série de potências: Nesta seção, desenvolvemos as propriedades básicas das séries de potências, especial- mente o conceito fundamental de raio de convergência. Uma série de potências centrada no ponto x = c é uma série infi nita da forma Para poder usar uma série de potências, precisamos determinar os valores de x nos quais a série converge. Ela certamente converge em seu centro x = c: Em quais outros valores ela converge? O teorema seguinte afi rma que toda série de potên- cias converge absolutamente num intervalo que é simétrico em torno do centro x = c (o intervalo podendo ser infi nito ou possivelmente reduzido ao único ponto c). TEOREMA 1 Raio de convergência Seja . Existem três possi- bilidades: (i) F(x) converge somente em x = c, ou (ii) F(x) converge em cada x, ou (iii) existe um número R > 0 tal que F(x) converge absolutamente se |x − c| < R e diverge se |x − c| > R; nas extremidades |x − c| = R a série pode convergir, ou não. No caso (i), tomamos R = 0 e no caso (ii) tomamos R = ∞. Dizemos que R é o raio de convergência de F(x). Demonstração Vamos supor que c = 0 para simplifi car a notação. A observação funda- mental é que se F(x) converge em algum valor não-nulo x = B, então ela converge abso- lutamente em cada |x| < B. Para provar isso, observe que se converge, então o termo geral deve tender a zero. Em particular, existe algum M > 0 tal que , para todo n e, portanto, A maioria das funções que aparecem em aplicações podem ser representadas por séries de potências. Isso inclui não só as funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e raízes conhecidas, mas também as funções mais avançadas da Física e Engenharia, como as “funções especiais” de Bessel e as elípticas. 49 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 577 Se |x| < |B|, então |x/B| < 1 e a série à direita é uma série geométrica convergente. Pelo teste da comparação, a série à esquerda também converge e, portanto, F(x) converge ab- solutamente se |x| < |B|. Seja S o conjunto de números x nos quais F(x) converge. Então S contém 0. Se S = {0}, então F(x) converge somente em x = 0 e temos o caso (i). Caso contrário, S contém algum número . Então, pelo que vimos no parágrafo precedente, S con- tém o intervalo aberto (−|B|, |B|). Se S for limitado, então S tem um supremo L > 0 (ver nota ao lado). Como existem números menores do que mas arbitrariamente próximos de L, S contém (−B, B), para todo 0 < B < L. Segue que S contém o intervalo aberto (−L, L). S não pode conter qualquer número x com |x| > L, mas S pode conter uma ou ambas extremidades . Esse é o caso (iii). Se S não for limitado, então S contém intervalos (−B, B), para B arbitrariamente grande. Assim, S = R e temos o caso (ii). ■ De acordo com o Teorema 1, se o raio de convergência R for não-nulo e fi nito, então F(x) converge absolutamente num intervalo centrado em c de raio R (Figura 1). Em alguns casos, o teste da razão pode ser usado para encontrar o raio de convergência. Converge absolutamente DivergeDiverge Convergência possível nas extremidades c − cR + Rc x ■ EXEMPLO 1 Usando o teste da razão Em quais valores de x converge ? Solução Seja e calculemos a razão do teste da razão: Pelo teste da razão, F(x) converge se , ou seja, se |x| < 2. Analogamente, F(x) diverge se , ou |x| > 2. Portanto, o raio de convergência é R = 2. O que acontece nas extremidades? O teste da razão é inconclusivo em , por- tanto devemos conferir esses casos diretamente. Ambas séries divergem: Portanto, F(x) converge somente em |x| < 2 (Figura 2). ■ Propriedade do supremo: se S for um conjunto de números reais com uma cota superior M (ou seja, para todo ), então S tem um supremo. Ver Apêndice B. FIGURA 1 O intervalo de convergência de uma série de potências. FIGURA 2 O intervalo de convergência de x 2 DivergeDiverge Diverge Diverge Converge absolutamente −2 0 CÁLCULO III 50 578 CÁLCULO O método do exemplo precedente pode ser aplicado, mais geralmente, a qualquer série de potências para a qual exista o limite seguinte: Calculamos o limite do teste da razão aplicado a F(x): Pelo teste da razão, F(x) converge se ediverge se . Assim, se r for fi nito e não-nulo, então F(x) converge se e o raio de con- vergência é . Se r = 0, então F(x) converge em cada x e o raio de convergência é . Se , então F(x) diverge em cada e R = 0. TEOREMA 2 Encontrando o raio de convergência Seja e suponha que exista o limite seguinte: Então F(x) tem raio de convergência (onde tomamos se r = 0 e R = 0 se ). ■ EXEMPLO 2 Determine o raio de convergência de . Solução Seja . Então O raio de convergência é . Portanto, a série de potências converge absolutamente se |x − 5| < 1 e diverge se |x − 5| > 1. Em outras palavras, F(x) converge absolutamente no intervalo aberto (4, 6). Nas extremidades, temos Portanto, a série de potências converge no intervalo semi-aberto (4, 6]. ■ ■ EXEMPLO 3 Raio de convergência infi nito Mostre que converge em cada x. 51 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 579 Solução Seja . Então Assim, e a série converge em cada x, pelo Teorema 2. ■ A série geométrica fornece um exemplo importante de série de potências. Lembre que, se |r| < 1, então . Escrevendo x em vez de r, podemos ver essa fórmu- la como uma expansão em série de potências: Os dois próximos exemplos mostram que essa fórmula pode ser adaptada para obter a representação em série de potências de outras funções. ■ EXEMPLO 4 Usando a fórmula das séries geométricas Prove que , se . Solução Substituindo x por 2x na Equação (1): A expansão (1) é válida se |x| < 1 e, portanto, a expansão (2) é válida se |2x| < 1, ou . ■ ■ EXEMPLO 5 Prove que . Para quais x é válida essa fórmula? Solução Inicialmente reescrevemos no formato , para poder usar a Equação (1): Podemos substituir x por na Equação (1), desde que tenhamos , para obter Essa expansão é válida se , ou . ■ Nosso próximo teorema afi rma, essencialmente, que as séries de potências são funções bem comportadas, no seguinte sentido: uma série de potências F(x) é derivável dentro de seu intervalo de convergência e podemos derivar e integrar F(x) como se fosse um polinômio. Quando uma função f (x) é representada por uma série de potências num intervalo I, dizemos que a série de potências é uma “expansão em série de potências” de f (x) em I. Na próxima seção, mostramos que uma função tem, no máximo, uma expansão em série de potências com um dado centro c num intervalo. CÁLCULO III 52 580 CÁLCULO TEOREMA 3 Derivação e integração termo a termo Suponha que tenha um raio de convergência R > 0. Então F(x) é derivável em (c − R, c + R) e sua derivada e antiderivada podem ser calculadas termo a termo. Mais precisamente, para cada , temos Essas séries têm o mesmo raio de convergência R. Ver o Exercício 58 para uma prova da continuidade de F(x). As provas das demais afi rmações são omitidas. ■ EXEMPLO 6 Derivando uma série de potências Prove que se −1 < x < 1. Solução Observando que obtemos o resultado derivando a série geométrica termo a termo com |x| < 1: A expansão (3) é válida em |x| < 1 porque a série geométrica tem raio de convergência R = 1. ■ ■ EXEMPLO 7 A série de potências de f (x) = arc tg x por integração Prove que, para −1 < x < 1, Solução Inicialmente, substituímos x por em (1) para obter: Como a série geométrica tem raio de convergência R = 1, essa expansão é válida em , ou seja, . Agora aplicamos o Teorema 3 para integrar essa série termo a termo, lembrando que arc tg x é uma antiderivada de : 53 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 581 Para determinar a constante A, tomamos x = 0. Obtemos arc tg 0 = 0 = A e, portanto, A = 0. Isso prova a Equação (4) para −1 < x < 1. ■ ENTENDIMENTO GRÁFICO Examinemos grafi camente a expansão do exemplo precedente. As somas parciais da série de potências para f (x) = arc tg x são É de se esperar que forneça uma boa aproximação para f (x) = arc tg x no inter- valo (−1, 1) em que é válida a expansão em série de potências. A Figura 3 confi rma isso: os gráfi cos das somas parciais e são praticamente indistinguíveis do gráfi co de arc tg x em (−1, 1). Assim, podemos usar as somas parciais para apro- ximar os valores do arco tangente. Por exemplo, uma aproximação de arc tg (0,3) é dada por Como a série de potências é alternada, o erro não é maior do que o primeiro termo omitido: A situação muda drasticamente na região |x| > 1, na qual a série de potências diverge. As somas parciais desviam fortemente de arc tg x fora de (−1, 1). 21−2 −1 1 −1 x y y = S50(x) y = arc tg x 21−2 −1 1 −1 x yy = S51(x) y = arc tg x )B()A( Soluções em série de potências de equações diferenciais Na próxima seção, utilizamos a teoria de séries de Taylor para provar que a função ex- ponencial é representada por uma série de potências. Contudo, já podemos mostrar isso com as ferramentas à nossa disposição utilizando a equação diferencial satisfeita por . Recorde que, pelo Teorema 1 da Seção 7.4, é a úni- ca função satisfazendo a equação diferencial , com condição inicial y(0) = 1. Tentemos obter uma série de potências que também satisfaça e P(0) = 1. FIGURA 3 e são praticamente indistinguíveis de arc tg x em (−1, 1). CÁLCULO III 54 582 CÁLCULO Temos Vemos que P(x) satisfaz se Em geral, , ou Dizemos que essa relação é recursiva. Com ela, podemos determinar, sucessivamente, todos coefi cientes a partir do primeiro coefi ciente , que pode ser escolhido arbitraria- mente. Por exemplo, essa relação recursiva fornece Para obter uma fórmula geral de , aplicamos a relação recursiva n vezes: Concluímos que . Como mostramos no Exemplo 3, essa série de potências tem um raio de convergência infi nito e, portanto, P(x) é uma solução de , para todo x. Agora observe que , portanto colocamos e obtemos uma solução satisfazendo a condição inicial y(0) = 1. Agora, como e P(x) ambas satis- fazem a equação diferencial com condição inicial, elas coincidem. Assim, provamos que, para todo x, O método que acabamos de usar é uma ferramenta poderosa no estudo de equações diferenciais. Já sabíamos, de antemão, que é uma solução de , mas diga- mos que tenhamos uma equação diferencial cuja solução seja desconhecida. Podemos tentar encontrar uma solução na forma de uma série de potências . Em casos favoráveis, a equação diferencial leva a uma relação recursiva que nos permite determinar os coefi cientes . ■ EXEMPLO 8 Encontre uma solução em série de potências da equação diferencial com condição inicial . A solução da Equação (6) satisfazendo é denominada “função de Bessel de ordem um”. A função de Bessel de ordem n é uma solução de As funções de Bessel aparecem em muitas áreas da Física e da Engenharia. 55 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 583 Solução Suponha que a Equação (6) tenha uma solução em série de potências. Então Agora substituímos as séries de e na equação diferencial (6) para determinar a relação recursiva satisfeita pelos coefi cientes : Vemos que a equação está satisfeita se Os primeiros termos de cada lado dessa equação são Combinando os coefi cientes de , obtemos Em geral, e, com isso, obtemos a relação recursiva Observe que, por (8), temos . A relação recursiva implica que todos os coefi cientes pares são nulos: Quanto aos coefi cientes ímpares, observe que podemos escolher arbitrariamente . Con- tudo, . Assim, tomamos , com o queP(x) satisfaz a condição inicial . Agora aplicamos a Equação (9): CÁLCULO III 56 584 CÁLCULO Isso mostra o padrão geral dos coefi cientes. Para escrever os coefi cientes numa forma compacta, seja n = 2k + 1. Então e a relação recursiva pode ser escrita como Aplicando essa relação recursiva k vezes, obtemos a fórmula fechada Assim, obtivemos uma representação em série de potências de nossa solução: Uma aplicação direta do teste da razão mostra que P(x) tem um raio de convergência infi - nito. Portanto, P(x) é uma solução do problema de valor inicial para todo x. ■ 11.6 RESUMO Uma • série de potências é uma série infi nita da forma Dizemos que a constante c é o centro da série. Uma série de potências tem um de três comportamentos: • (i) F(x) converge somente em x = c, ou (ii) F(x) converge em cada x, ou (iii) existe R > 0 tal que F(x) converge absolutamente se |x − c| < R e diverge se |x − c| > R. Dizemos que R é o raio de convergência de F(x). A convergência nas extremidades deve ser conferida separadamente. Tomamos R = 0 no caso (i) e R = ∞ no caso (ii). Se existir • , então F(x) tem um raio de convergência (onde R = 0 se r = ∞ e R = ∞ se r = 0). 57 Séries UNIDADE 1 Séries de Potências PARTE 5 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 585 Se • R > 0, então F(x) é derivável em (c − R, c + R) e pode ser derivada e integrada termo a termo: (A é uma constante qualquer). As séries de potências de e têm o mes- mo raio de convergência R. A expansão em série de potências • é válida em . Ela pode ser usada para deduzir expansões de outras funções relacionadas por meio de substituição, integração e derivação. 1. Suponha que convirja em x = 5. Essa série também precisa convergir em x = 4? E em x = −3? 2. Suponha que convirja em x = 10. Essa série tam- bém precisa convergir em qual dos pontos em (a)-(d)? (a) x = 8 (b) x = 12 (c) x = 2 (d) x = 0 3. Suponha que F(x) seja uma serie de potências com raio de con- vergência R = 12. Qual é o raio de convergência de F(3x)? 4. A série de potências tem um raio de convergên- cia R = 1. Qual é a expansão em série de potências de e qual é seu raio de convergência? 1. Use o teste da razão para determinar o raio de convergência de . 2. Use o teste da razão para mostrar que tem um raio de convergência R = 2. Em seguida, determine se a série converge absoluta ou condicionalmente nas extremidades . 3. Mostre que as três séries seguintes têm o mesmo raio de conver- gência. Em seguida, mostre que (a) diverge em ambas extremi- dades, (b) converge numa extremidade mas diverge na outra e (c) converge em ambas extremidades. (a) (b) (c) 4. Repita o Exercício 3 para as séries seguintes: (a) (b) (c) 5. Mostre que diverge em todo . 6. (a) Encontre o raio de convergência de . (b) Determine se a série converge nas extremidades do intervalo de convergência. Nos Exercícios 7-26, obtenha os valores de x nos quais a série de potências dada convirja. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 11.6 EXERCÍCIOS Exercícios preliminares Exercícios CÁLCULO III 58 ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE. PREZADO ESTUDANTE unidade 1 O conteúdo deste livro é disponibilizado por SAGAH. Parte 6 Séries de Taylor CÁLCULO III 60 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 587 11.7 Séries de Taylor Na seção precedente, vimos que funções como e f (x) = arc tg x podem ser representadas como séries de potências. Essas séries de potências fornecem uma com- preensão bastante clara da função representada e nos permitem aproximar os valores de f (x) com qualquer grau de precisão desejado. Assim, é desejável desenvolver métodos gerais de obtenção de representações em séries de potências. Suponha que f (x) tenha uma representação em série de potências centrada em x = c que seja válida para todo x do intervalo (c − R, c + R), com R > 0: 61 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6 588 CÁLCULO Então podemos derivar a série termo a termo (Teorema 3 da Seção 11.6) para obter Tomando x = c em cada uma dessas séries, vemos que Isso mostra que os coefi cientes são dados pela fórmula (provando o Teorema 1 a seguir): Lembre que esses são os coefi cientes dos polinômios de Taylor. Resumindo, A série de potências à direita é denominada série de Taylor de f (x) centrada em x = c. No caso especial em que c = 0, a série de Taylor também é denominada série de Maclaurin: TEOREMA 1 Unicidade da expansão em série de potências Se f (x) for representada por uma série de potências F(x) centrada em c num intervalo (c − R, c + R), com R > 0, então F(x) é a série de Taylor de f (x) centrada em x = c. ■ EXEMPLO 1 Encontre a série de Maclaurin de . Solução Para todo n, a derivada enésima é , de modo que Portanto, os coefi cientes da série de Maclaurin são e a série de Maclaurin é ■ O Teorema 1 nos diz que se quisermos representar f (x) por uma série de potências centrada em c, o único candidato para esse trabalho é a série de Taylor: CÁLCULO III 62 CAPÍTULO 11 Séries Infi nitas 589 Contudo, não há garantia que T(x) convirja para f (x). Para estudar a convergência, consi- deramos a k-ésima soma parcial, que é o polinômio de Taylor de grau k: Lembre que o resto é defi nido por Como T(x) é o limite das somas parciais , vemos que A série de Taylor converge a f (x) se, e somente se, . Embora não exista um método geral para determinar se converge a zero, muitas vezes podemos aplicar o teorema seguinte. TEOREMA 2 Seja f (x) uma função infi nitamente derivável no intervalo aberto I = (c − R, c + R), com R > 0. Suponha que exista tal que, para todo , valha Então f (x) é representada por sua série de Taylor em I: LEMBRETE Dizemos que f (x) é “infi nitamente derivável” se existir para todo n. Demonstração Aplicamos a estimativa do erro de polinômios de Taylor: (Ver Teorema 1, Seção 9.4.) Se , então e Conforme foi visto no Exemplo 8 da Seção 11.1, para qualquer número R, a quanti- dade tende a zero quando . Concluímos que para todo e decorre o Teorema 2. ■ ■ EXEMPLO 2 Expansões de Maclaurin do seno e do cosseno Mostre que as expansões de Taylor seguintes são válidas para todo x: As expansões de Taylor foram estudadas ao longo dos Séculos XVII e XVIII por Euler, Gregory, Leibniz, Maclaurin, Newton, Taylor, dentre outros. Esses desenvolvimentos na Europa e Inglaterra foram antecipados pelo grande matemático hindu Madhava (cerca de 1340-1425) que, séculos antes, descobriu as expansões do seno e cosseno e muitos outros resultados. 63 Séries UNIDADE 1 Séries de Taylor PARTE 6 590 CÁLCULO Solução Para f (x) = sen x, temos Portanto, e . Os coefi cientes de Taylor não-nulos de sen x são . Analogamente para f (x) = cos x, Portanto, e . Os coefi cientes de Taylor não-nulos de cos x são . Em ambos casos, , para todo x e n. Assim, podemos aplicar o Teorema 2 com M = 1 e qualquer R para concluir que as séries de Taylor convergem para f (x) com |x| < R. Como R é arbitrário, as expansões de Taylor são válidas para todo x. ■ ■ EXEMPLO 3 Expansão de Taylor de em x = c Encontre a série de Taylor de em x = c. Solução Temos para todo x e, portanto, Para provar a convergência, observamos que é crescente e, portanto, para qual- quer R, vale para todo . Aplicando o Teorema 2 com , concluímos que T(x) converge a f
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