CALCULO_3_SERIES_IFBA_2014

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ANOTAÇÕES SOBRE 
SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS 
NUMÉRICAS E FUNCIONAIS 
 
 
 
 
 
 
 
ERON 
 
 
 
 
 
SALVADOR, 2015. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande 
problema, mas há uma semente de descoberta na solução de 
qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se 
ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua capacidade 
inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá 
experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta.” 
 
George Polya (1887–1985). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 3 
APRESENTAÇÃO 
 
As sequências e as séries são conceitos muito importantes em várias áreas da Matemática e 
das ciências em geral. Em Cálculo, surgem da ideia de representar funções como somas 
infinitas. Por exemplo, para obter áreas frequentemente integra-se uma função expressando-
a primeiro como uma soma infinita. Em diversas áreas da Física como óptica, relatividade 
especial e eletromagnetismo, os fenômenos são analisados trocando uma função pelos 
primeiros termos da série que a representa, assim como em Matemática, Química e 
Engenharias acontece o mesmo com diversos tipos de funções. Logo, estes conteúdos são 
indispensáveis a uma boa formação de todo profissional versado em Matemática e/ou Física. 
 
O principal objetivo é que tenhamos um material para acompanhar as aulas, e assim, 
adquirir maior flexibilidade e dinâmica nas mesmas. Para os cursos de Licenciatura em 
Matemática e Física do IFBA (Campus Salvador), este texto completa a ementa da 
disciplina Cálculo Diferencial e Integral III e consta dos seguintes tópicos: 
 
 Sequências numéricas infinitas 
 Séries numéricas infinitas 
 Séries de potências (Taylor) 
 Séries trigonométricas (Fourier) 
 
Assumo a responsabilidade por todos os erros aqui contidos e agradeço a quem indicar 
correções, críticas e sugerir melhorias. Como sempre, no final, há uma lista com as 
referências bibliográficas e outras indicações de leituras complementares. 
 
Salvador, março de 2015. 
 
Eron 
eronsouza@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
mailto:eronsouza@gmail.com
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 4 
SEQUENCIAS E SÉRIES – UM POUCO DE HISTÓRIA 
 
Zenon de Eléa (490–425 a.C.) escreveu um livro com 40 paradoxos relativos ao 
contínuo e ao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram bastante o 
desenvolvimento da matemática a explicar fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não 
sobreviveu até os tempos modernos e conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes. 
Os paradoxos de Zenon sobre o movimento desconcertaram matemáticos por séculos. No 
final, soube-se que envolvem a soma de um número infinito de termos positivos cujo 
resultado é um número, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de 
números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das propriedades das 
sequências e das séries infinitas. Este ensaio destaca as contribuições de alguns daqueles 
matemáticos que estudaram estes conceitos. 
Zenon não foi o único matemático da antiguidade a trabalhar com sequências. Vários 
dos matemáticos gregos da antiguidade usaram seu método de exaustão (um argumento 
sequencial) para medir áreas de figuras e regiões. Usando sua técnica refinada de raciocínio 
chamada de “método”, Arquimedes (287–212 a.C.) alcançou vários resultados importantes 
envolvendo áreas e volumes de várias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários 
exemplos e tentou explicar como somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus 
vários resultados estava que a área sob um arco parabólico é sempre dois terços da base 
vezes a altura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso, como daqueles matemáticos 
que vieram depois e desenvolveram sequências e séries como Newton e Leibniz, mas foi tão 
impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstruído pela falta de precisão e 
notação eficiente, foi capaz de descobrir muitos dos elementos da análise moderna de 
sequências e séries. 
O próximo contribuinte importante para esta área da matemática foi Fibonacci 
(1170–1240). Ele descobriu uma sequência de inteiros na qual cada número é igual à soma 
dos dois antecessores  1,1,2,3,5,8,... , introduzindo-a em termos de modelagem de uma 
população reprodutiva de coelhos. Esta sequência tem muitas propriedades curiosas e 
interessantes e continua sendo aplicada em várias áreas da matemática moderna e ciência. 
Durante o mesmo período, astrônomos chineses desenvolveram técnicas numéricas para 
analisar resultados experimentais. Durante os séculos XIII e XIV, matemáticos chineses 
usaram a ideia de diferenças finitas para analisar tendências em seus dados. Hoje, métodos 
como os deles são usados para entender o comportamento a longo prazo e os limites de 
sequências infinitas. Este trabalho inicial na Ásia levou a mais investigação e análise de 
várias progressões e séries mas teve pouca influência sobre os matemáticos europeus. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 5 
Oresme (1325–1382) estudou taxas de variação, como velocidade e aceleração, usando 
uma aproximação sequencial. Seu principal trabalho, De configurationibus, foi o primeiro a 
apresentar gráficos de velocidade. O argumento que usamos para mostrar a divergência da 
série harmônica foi inventado por Oresme em sua publicação. Duzentos anos depois, Stevin 
(1548–1620) avançou a matemática criando uma simbologia mais fácil de se compreender. 
Ele entendeu os conceitos físicos e matemáticos da aceleração devido à gravidade. Somou 
séries e analisou sequências, mas parou um pouco antes de definir ou explicar limites e 
convergência. O contemporâneo de Stevin, Galileu (1564–1642), aplicou matemática às 
ciências, especialmente astronomia. Baseado no seu estudo de Arquimedes, Galileu melhorou 
a compreensão de hidrostática, desenvolveu os resultados para o movimento em queda livre 
sob a ação da gravidade e os movimentos dos planetas. Até sugeriu que poderia existir uma 
terceira propriedade entre o finito e o infinito. Galileu deixou seus sucessores com conselhos 
e desafios encontrados nas duas citações a seguir: 
Onde os sentidos falham, a razão deve entrar. 
Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, o primeiro por 
conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles são 
quando combinados. 
À medida que o desenvolvimento do cálculo foi tomando forma, o progresso no 
entendimento de séries infinitas teve um papel no desenvolvimento do cálculo diferencial e 
integral. Pascal (1623–1662) era fascinado pelos resultados impressionantes que vinham das 
somas infinitas mas era confundido pelo seu conceito. Para ele, o infinito era alguma coisa 
para admirar, mas impossível de entender. Pascal preferiu a abordagem geométrica de St. 
Vincent (1584–1667) para séries e sua convergência em vez da nova abordagem analítica de 
Fermat (1601–1665) e Descartes (1596–1650) que não conseguia visualizar ou entender. 
Apesar da limitação de Pascal para entender séries, ele, junto com Descartes e Fermat, usou 
cálculos com séries nas contribuições aos fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral. 
Até a metade do século XVII, matemáticos tinham desenvolvido e analisado séries de 
números. O tempo tinha chegado para investigar sequências e séries de funções. Ambos, 
Newton (1642–1727) e Leibniz (1646–1716)desenvolveram representações de séries para 
funções. Usando métodos algébricos e geométricos, Newton calculou as séries para as funções 
trigonométricas senx e cosx e para a função exponencial. Estes resultados são encontrados 
nos trabalhos de Newton intitulados Method of Fluxions and Infinite Series e Analysis with 
Infinite Series. Newton utilizou séries para desenvolver muitos resultados de cálculo, tais 
como área, comprimento de arco e volumes. Leibniz somou sequências de recíprocas de 
números poligonais e, seguindo o trabalho de St. Vincent, somou e analisou várias 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 6 
sequências geométricas. Leibniz usou uma abordagem sequencial de valores infinitamente 
próximos para explicar o conceito de limite. Embora nunca tenha pensado na derivada como 
um limite, descobriu muitos dos resultados que agora estudamos em cálculo usando limites. 
Brook Taylor (1685–1731) não foi o primeiro a inventar a estrutura e o processo que 
chamamos de série de Taylor, e a série de Maclaurin não foi desenvolvida por Colin 
Maclaurin (1698–1746). James Gregory (1638–1675) estava trabalhando com séries de 
Taylor quando Taylor tinha apenas alguns anos de idade. Gregory também publicou a série 
de Maclaurin para muitas funções trigonométricas antes que Maclaurin tivesse nascido. 
Taylor não conhecia o trabalho de Gregory quando publicou seu livro Methodus 
incrementorum directa et inversa, o qual continha o que chamamos agora de série de 
Taylor. Ele tinha desenvolvido independentemente um método baseado em cálculo para 
gerar representações de funções em séries. Posteriormente, Maclaurin citou um trabalho de 
Taylor em um livro de cálculo que escreveu em 1742. O livro de Maclaurin popularizou 
representações de funções em séries, e embora Maclaurin nunca tenha afirmado que as tinha 
descoberto, a série de Taylor centrada em 0a  tornou-se posteriormente conhecida como 
série de Maclaurin. Johann Bernoulli (1667–1748) também fez uma descoberta independente 
do teorema de Taylor. 
Euler (1707–1783) usou séries infinitas em seu trabalho para desenvolver novos 
métodos ou para modelar problemas aplicados. Publicou Mechanica em 1736, onde aplicou 
sistematicamente o cálculo à mecânica e desenvolveu novos métodos para resolver equações 
diferenciais usando séries de potências. Estabeleceu a notação de somatório que usamos hoje, 
usando sigma para o símbolo da soma. 
D’Alembert (1717–1783) escreveu cinco artigos lidando com métodos para integrar 
equações diferenciais. Embora tenha recebido pouca educação científica formal, é claro que 
ele conhecia os trabalhos de Newton, L’Hospital e dos Bernoullis. D’Alembert publicou 
muitos trabalhos sobre matemática e física matemática, culminado com seu trabalho 
principal, Traité de dynamique. Considerou a derivada como um limite da diferença de 
quocientes, o que o colocou à frente dos seus pares no entendimento do cálculo. Também 
desenvolveu o teste da razão para determinar a convergência de muitas séries. Através do 
trabalho de D’Alembert, a natureza da pesquisa sobre séries estava mudando de cálculos 
práticos para uma fundamentação mais teórica. 
Lagrange (1736–1813) estendeu o trabalho de Euler nas equações de movimento e o 
entendimento da energia potencial. Publicou Mécanique analytique (1787), que aplicava 
cálculo ao movimento de objetos. O maior trabalho de Lagrange foi na teoria e aplicação do 
cálculo. Ele sentiu que a série de Taylor desempenhava um papel fundamental no 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 7 
entendimento do cálculo, embora ainda evitasse o limite e as propriedades de convergência 
de sequências e séries. Bolzano (1781–1848) confrontou este assunto, apontando que a 
convergência era importante para entender e usar séries. Tentou explicar convergência 
associando-a com a ideia de subconjuntos limitados. Bolzano acreditava no método de 
Lagrange para usar séries de Taylor como a base para o cálculo. Fourier (1768–1830) fez 
contribuição ao estudo e cálculo da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. 
Théorie analytique de la chaleur (Teoria Analítica do Calor, 1822) contém uso extenso de 
séries consistindo de funções trigonométricas que hoje chamamos de séries de Fourier. 
Apesar disso, contribuiu muito pouco para a teoria destas séries, as quais eram conhecidas, 
muito antes, por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange. 
Finalmente, a comunidade matemática foi motivada a estabelecer fundamentos mais 
teóricos para as ideias de limite e convergência de sequências e séries. Cauchy (1789–1857) 
foi o primeiro a definir por completo os conceitos de convergência e convergência absoluta de 
séries infinitas. Este trabalho foi feito em conjunto com o desenvolvimento de uma análise 
rigorosa do cálculo. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para 
números complexos e a transformada de Fourier para equações diferenciais. Contudo, ambos 
Cauchy e seu colega Niels Henrik Abel (1802–1829) ignoraram a utilidade das séries 
divergentes. Abel escreveu em 1828: “séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma 
vergonha basear nelas qualquer demonstração”. 
Runge (1856–1927) desenvolveu o método de resolução baseado em sequências para 
solucionar numericamente equações diferenciais junto com M. W. Kutta (1867–1944). 
Sequências e séries tornaram-se ferramentas padrão para aproximar funções e calcular 
resultados em computação numérica. 
O matemático indiano autodidata Srinivasa Ramanujan (1887–1920) usou sequências 
e séries de potências para desenvolver resultados em teoria de números. O trabalho de 
Ramanujan era teórico e produziu numerosos resultados importantes usados por 
matemáticos no século XX. Seus colaboradores britânicos Godfrey Harold (G.H.) Hardy 
(1877–1947) e John Littlewood (1885–1977) usaram seu conhecimento de séries para 
produzir avanços importantes em teoria de números e estenderam a utilidade das séries para 
muitas áreas da matemática. 
 
George B. Thomas Cálculo, vol I e II. Pearson Education. 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 8 
CAPÍTULO 1 – SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS INFINITAS 
 
Na linguagem cotidiana, o termo sequência significa uma sucessão de coisas em uma ordem 
determinada: ordem cronológica, de tamanho, ou lógica, por exemplo. Em Matemática o 
termo sequência é usado comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é 
determinada por uma lei ou função. 
 
Informalmente, uma sequência numérica infinita, ou, mais simplesmente, uma sequência é 
uma sucessão infinita de números, chamados termos. Entende-se que os termos têm uma 
ordem definida. Tipicamente uma sequência é escrita como 1 2 3, , ,...a a a , onde os pontos são 
usados para indicar que a sequência continua indefinidamente. 
 
1.1 Definição. Uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto dos naturais, 
:f   que faz ( )n f n . Especificamente, veremos a expressão  
1n n
a


 ou 
simplesmente  na como notação alternativa para a função ( ) nf n a , 1,2, 3,...n  . 
 
Exemplos 
1)     1,2,3,4,5,...na n  2)  
1 1 1 1 1
1, , , , ,...
2 3 4 5n
b
n
        
 
3)  
1( 1) 1 1 1 1
1, , , , ,...
2 3 4 5
k
kc k
            
 4)    1 ( 1) 0,2, 0,2, 0,2,...iia     
5)   1 2 3 4, , , ,...
1 2 3 4 5j
j
a
j
        
 6)   2 4 2 42,2, , , ,...
! 3 3 15
n
na n
          
 
 
Gráficos das sequências apresentadas nos exemplos acima: 
             













 n
 na
 
          










 n
 
nb
 
  1,2,3,4,5,...n  1 1 1 1 11, , , , ,...
2 3 4 5n
        
 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 9 
          











 k
 
kc
 
          










 i
 
ia
 
1( 1) 1 1 1 1
1, , , , ,...
2 3 4 5
k
k
            
  1 ( 1) 0,2,0,2, 0,2,...i   
 
          











 
ja
 j
 
          










 na
 n
 
1 2 3 4 5
, , , , ,...
1 2 3 4 5 6
j
j
        
 
2 4 2 4
2,2, , , ,...
! 3 3 15
n
n
          
 
 
1.2 Sequência convergente. Considere  na uma sequência de números reais, dizemos que 
 na é convergente se lim nn a L   . Isto é, 0, 0; .nN n N a A         
Caso contrário, ( lim nn
a

 ou lim nn
a

  ), a sequência diverge. 
 
Notação: lim nn
a L

 , lim na L ,  na L ou ainda na L . 
 
Exemplos – Para as sequências dadas, tem-se: 
1)     1,2,3,4,5,...na n  diverge, pois lim limnn na n    . 
2)   1 1 1 1 11, , , , ,...
2 3 4 5n
b
n
        
 converge para 0 , pois 
1
lim lim 0nn n
b
n 
  . 
3)  
1( 1) 1 1 1
1, , , ,...
2 3 4
k
kc k
            
 converge para 0 , pois 
1( 1)
lim lim 0
k
kk k
c
k

 

  . 
4)    1 ( 1) 0,2, 0,2,...iia     diverge, pois 0 se ímparlim lim 1 ( 1) 2 se pariii i
i
a
i 
        
 
não existe, pelo teorema de unicidade do limite. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 10 
5)   1 2 3 4, , , ,...
1 2 3 4 5j
j
a
j
        
 converge para 1 , pois lim lim 1
1jj j
j
a
j 
 

. 
6)   2 4 2 42,2, , , ,...
! 3 3 15
n
na n
          
 não podemos dizer o comportamento dessa sequência 
através do limite. No entanto, com outros conceitos, veremos que converge. 
 
7) A sequência constante     , , , ,...na c c c c c  , onde c   é constante converge para c . 
Pois, lim limnn n
a c c
 
  . 
 
1.3 Teorema (Limite de sequências e funções). Seja : ,f     uma função tal que 
lim ( )
x
f x L

 , então a sequência de termo geral ( )na f n , n   é convergente e 
lim n
n
a L

 . Se lim ( )
x
f x

 então a sequência é divergente. 
             
  11,a
  22,a
  33,a
  44,a
  , nn a
 
 Gráfico de ( ) f x
 L
 
Demonstração. Pela definição de limite no infinito para funções reais definidas em 
intervalos, segue que para cada 0 , existe um número real 0N  , tal que ( )f x L   , 
x N  . Considerando a sequência de termo geral ( )na f n , n   é uma “função 
restrição” de ( )f x , escolhemos um índice 0n N e teremos ( )f n L   , 0n n  .  
 
Com o Teorema 1.3, o cálculo de limites de sequências torna-se relativamente simples já que 
podemos utilizar os resultados já conhecidos do cálculo de limites de funções tais como a 
Regra de L’Hospital e os limites fundamentais. 
 
Exemplos – Utilize o cálculo de limite para estudar o comportamento de cada sequência. 
a) Considere a sequência   2
5
n n
n
a
        
. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 11 
Uma função real extensão dessa sequência é dada por : 1,f     definida por 
2
( )
5x
x
f x  . Sendo assim, tem-se que: 
2 2
lim ( ) lim lim 0
5 5 ln5x xx x x
x
f x
  
   . 
Então, pelo Teorema 1.3 
2
lim lim 0
5
n nn n
n
a
 
  , ou seja, a sequência   2
5
n n
n
a
        
 
converge para 0 . 
 
b) Considerando  
ln( 1)j
j
b
j
        
 tem-se uma extensão dessa sequência é a função 
: 1,f     definida por ( ) ln( 1)
x
f x
x


. Sendo assim, tem-se que: 
1
lim ( ) lim lim lim ( 1)
ln( 1) 1
1
x x x x
x
f x x
x
x
   
     


. 
Então, pelo Teorema 1.3 lim lim
ln( 1)jj j
j
b
j 
  

, ou seja, a sequência 
 
ln( 1)j
j
b
j
        
 diverge. 
 
 
c)  
3
2
1
4
k
ka k
               
 
 
 
1.4 Propriedades das sequências convergentes. Sejam  na e  nb sequências convergentes 
com lim nn
a A

 e lim nn
b B

 , onde , e A B k   . Então, 
 
P1) lim
n
k k

 
P2) lim ( ) limn nn n
ka k a kA
 
  
P3)  lim lim limn n n nn n na b a b A B       
P4) lim lim limn n n nn n n
a b a b AB
  
  
P5) 
lim
lim , 0
lim
nnn
n
n nn
aa A
B
b b B



   
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 12 
 
1.5 Teorema. Uma sequência  na converge para L se, e somente se, as sequencias dos 
termos de posição par e ímpar convergem ambas para L . 
 
Em síntese:      2 2 1 e n n na L a L a L    . 
 
Exemplos e contra-exemplos 
 
 
 
Em muitas situações é importante saber se uma dada sequência converge sem dar 
importância para o valor do limite. 
 
1.6 Sequência monótona. Uma sequência  na é monótona: 
 crescente, se 1, n na a n  . 
 decrescente, se 1, n na a n  . 
 
No caso de 1, n na a n  , a sequência  na é dita constante. 
 
Exemplos 
a) Mostre que   2 4 2 42,2, , , ,...
! 3 3 15
n
na n
        
 é monótona decrescente. 
b) Mostre que  
1n
n
b
n
        
 é monótona crescente. 
c)   2
1
1
ja
j
        
 
d)   !
(2 1)!k
k
b
k
        
 
 
1.7 Sequência Limitada. Uma sequência  na é limitada se existem ,M N   tais que 
, nM a N n   . Os números M e N são chamados limitante inferior e superior, 
respectivamente. 
 
Exemplos 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 13 
a) Mostre que   2
!
n
na n
        
 é limitada. 
 
b) Mostre que a sequencia   ( 1)
n
nb n
        
 é limitada. 
 
Existem sequências para as quais não podemos utilizar o Teorema 1.3 para determinar o 
comportamento. O teorema (não faremos a demonstração) a seguir é uma ferramenta 
importante para estes tipos de sequências. 
1.8 Teorema. Toda sequência monótona e limitada é convergente. 
 
Exemplos 
a) A sequência   2
!
n
na n
        
 é convergente, pois mostramos que ela é monótona e limitada. 
 
b) Verifique, usando o Teorema 1.7 se a sequência   !
(2 1)!k
k
a
k
        
 é convergente. 
 
 
1.9 Algumas consequências do Teorema 1.8: 
i) Toda sequência  na convergente é limitada. 
ii) Sequência  na convergente não implica sequência  na monótona. 
iii) Sequência  na monótona não implica sequência  na convergente. 
iv) Sequência  na limitada não implica sequência  na convergente. 
 
Exemplos 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM – SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
1 – Verdadeiro ou Falso? 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 14 
a) [__] Toda sequência  na convergente é limitada. 
b) [__] Sequência  na limitada não implica sequência  na convergente. 
c) [__] Seja  na uma sequênciaentão 1lim limn nn na a   . E, mais geral, tem-se que 
 lim limn n kn n
a a  
 , para k  fixo. 
d) [__] Sequência  na convergente não implica sequência  na monótona. 
e) [__] Se  na é uma sequência convergente e  nb divergente então    n n nc a b é 
 divergente. 
f) [__] Sequência  na monótona não implica sequência  na convergente. 
g) [__] A sequência de termo geral 
1
1ka k
  é monótona e convergente. 
h) [__] Toda sequência convergente é necessariamente monótona. 
i) [__] Soma de duas sequências divergentes pode ser convergente. 
j) [__] Toda sequência decrescente e limitada converge para zero. 
k) [__] A sequência de termo geral 1 ( 1)nna    é não monótona e limitada. 
l) [__] A sequência de termo geral 
1k
k
a
k


 é crescente e limitada. 
m) [__] A sequência numérica infinita 
1
j
j
j 
        
 é monótona e divergente. 
n) [__] Se lim nn
b

  e lim 0nn
a

 então  lim n nn a b não existe. 
 
2 – Qual das sequências abaixo possui todos os seus termos, em valor absoluto, entre 3 e 4? 
11 1a) ( ) ( 1) b) ( ) 3 c) ( ) 2 d) ( ) 4
2
n nn n
n n
      
 
3 – Qual das seguintes expressões representa o termo geral da sequência 0,3,2,5, 4,... ? 
1
a) ( ) b) ( ) 1 ( 1) c) ( ) ( 1) d) ( ) 3 3n n n n
n
     
 
4 – Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira: 
(1) sequência limitada ( ) 1,n na a n  . 
(2) sequência constante ( ) 1,n na a n  . 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 15 
(3) sequência de termos alternados ( ) 1,n na a n  . 
(4) sequência monótona crescente ( ) ,nL a M n   e ,L M   . 
(5) sequência monótona decrescente ( )  
1
( 1)n n
n
a


 
 
5 – A sequência de termo geral 
1n
n
a
n


 pode ser classificada em: 
a) ( ) Decrescente e limitada. b) ( ) Crescente e ilimitada. 
c) ( ) Crescente e limitada. d) ( ) Decrescente e ilimitada. 
 
6 – Para 1n  , o maior e o menor valor atingido pela sequência de termo geral 
1 ( 1)nna    são, respectivamente: 
a) ( ) 2 e 1 b) ( ) 1 e 1 c) ( ) 2 e 0 d) ( ) 2 e 2  
 
7 – Considere os naturais 1n  , expresse o termo geral, na , de cada sequência abaixo: 
a) 
1 1 1 1
1, , , , ,...
2 3 4 5
 b) 
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 16
 
c) 1,0,1,0,1,0,... d) 0,2,0,2,0,2,... 
e) 1,9,25,49,81,... f) 0,3,2,5,4,... 
g) 
4 6 8
2,1, ,1, ,1, ,1,...
3 5 7
 h) 
3 2 5 4
0, , , , ,...
2 3 4 5
  
 
8 – Estude a convergência das sequências abaixo: 
a) 
3
3
3 1
2 2
n
n
       
 b)  1n n  
c) 
ne
n
         
 d) 
ln
n
n
       
 
e)  2 cosn n f)  n n 
g) 
3 2
4
n n
n
         
 h) 
sen
n
n n
       
 
i) 
1( 1) 2
3 5
n n
n
       
 j) 1
na
n
           
 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 16 
k)  1n an l) cos 3
n            
 
m) 
3
2
sen
2
n
nn

             
 n)  ln( 2)ne n  
o) 
! 1
! 1
n
n
       
 p) 
1 3 5 (2 1)
2 4 6 (2 )
n
n
          


 
 
9 – Considere a sequência tal que 1 2a  e 1 2n na a   . Enumere alguns dos primeiros 
termos dessa sequência e calcule seu limite. 
 
Nota. Dizemos que uma sequência é formada por recorrência [ou é definida por recursão] 
quando cada termo da sequência é gerado utilizando o(s) termo(s) anterior(es). Existem 
muitas sequências interessantes geradas por recorrência, alguns dos próximos exercícios 
envolvem sequências desse tipo. 
 
10 – Suponha 0p  . Dado 1x arbitrário. Defina  nx por 1
1
, 1
2n n n
p
x x n
x
      
. 
Mostre que se lim nn
x L

 então L p  . 
 
11 – Defina a sequência  na indutivamente, pondo 1 2 1a a  e 2 1n n na a a   para 
todo 1n  . Escreva 
1
n
n
n
a
x
a 
 e prove que lim nn
x c

 , onde c é o único número 
positivo tal que 
1
1
c
c


. O termo na chama-se o n –ésimo número de Fibonacci e 
5 1
2
c

 é o número de ouro da Geometria Clássica. 
 
12 – Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170–1250) colocou o seguinte problema: suponha que 
coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada ar produza um novo par, que se torna 
reprodutivo com 2 (dois) meses de idade. Se começarmos com um par recem nascido, 
quantos pares de coelhos tem-se no n –ésimo mês? Mostre que a resposta é a sequência 
 nf , onde  nf é a sequência de Fibonacci definida no Exercício 11 anterior. 
 
13 – Se R $1000,00 é investido a 6% de juros compostos anualmente, então depois de n 
anos o investimento rende 1000(1,06)nna  reais. 
a) Determine os primeiros cinco termos dessa sequência; 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 17 
b) Essa sequência converge ou diverge? Explique. 
 
14 – O tamanho de uma população de peixes pode ser modelada pela fórmula 
1
n
n
n
bp
p
a p


, onde np é a população depois de n anos e as constantes , 0a b  dependem 
do meio ambiente e da espécie de peixes. Suponha que a população no ano 0 é 0 0p  . 
Mostre que  np converge e determine os possíveis valores de seu limite. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 – SÉRIES NUMÉRICAS INFINITAS 
 
As séries infinitas são somas que envolvem um número infinito de termos e desempenham 
papel fundamental na Matemática e nas ciências em geral. Elas são usadas, por exemplo, 
para aproximar funções trigonométricas e logarítmicas; para resolver equações diferenciais; 
para efetuar integrais complicadas; para criar novas funções e para construir modelos 
matemáticos de leis físicas. 
 
2.1 Definição. Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma: 
1 2 3
1
n n
n
a a a a a


       . 
Os números 1 2 3, , , ..., , ...na a a a são chamados termos da série. 
 
Exemplos – 
a) 
1
1 1 1 1
1
2 3 4n n


      
b) 1
1
( 1) 1 1 1 1n
n



       
c) 
1
1 1 1 1 1
2 4 8 162nn


      
d) 
1
1 1 1 1
1
! 2! 3! 4!n n


      
e) 
1
cos cos cos cos cos
2 3 4n n
   



          
  
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 18 
 
2.2 Sequência de somas parciais. Seja ns a soma dos n primeiros termos da série. Assim 
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3 1
 
n n n n
s a
s a a
s a a a
s a a a a s a

 
  
      


 
O número ns é chamado de n-ésima soma parcial da série e a sequência   1n ns


 é chamada 
de sequência das somas parciais. 
Exemplo – Determine os quatro primeiros termos e a sequência de somas parciais da série 
1
1 1 1 1 1 1
( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6n n n


     
      . 
1 1
2 1 2
3 2 3
4 3 4
1
2
1 1 2
2 6 3
2 1 3
3 12 4
3 1 4
4 20 5
 
1n
S a
S a a
S S a
S S a
n
S
n
 
    
    
    



 
Com a “fórmula” 
1n
n
S
n


 podemos calcular a soma de 
uma quantidade qualquer de termos da série. Exemplos 
A soma dos 100 primeiros termos é dada por: 
100
100 100
0,9901
100 1 101
S   

. 
A soma dos 1000 primeiros termos é dada por: 
1000
1000 1000
0,9990
1000 1 1001
S   

. 
Como queremos a soma dos infinitos termos, ou seja, n   , tem-se: 
lim lim 1
1nn n
n
S S
n  
  

. 
Isto significaque 
1
1 1 1 1 1
1
( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5n n n


     
      . 
 
2.3 Série Convergente. Seja 
1
n
n
a


 uma série e  ns a sua sequência de somas parciais. Se 
lim , nn
s S S

  então a série 
1
n
n
a


 converge à sua soma S . Denota-se este fato por: 
1
n
n
a S


 . Caso contrário, a série 
1
n
n
a


 diverge, e, portanto, não tem soma. 
 
Exemplos com significado geométrico. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 19 
 
1 1 1 1 1
1
2 4 8 16 2n
        . 
Soma infinita convergente. 
1 1 1 1
1
2 3 4 n
         . 
Soma infinita divergente. 
Exemplos 2.3 – Para cada série dada, determine: 
i) os quatro primeiros termos da série; 
ii) a sequência de somas parciais; 
iii) a soma da série, se possível. 
A) 
1
1
(2 1)(2 1)n n n

  
 
B) 
1
ln
1n
n
n


      
 
C) 
1
1 ( 1)n
n


     
 
Observação. A definição em (2.3) é equivalente a dizer que 
1
n
n
a


 converge se 
1 1
lim
n
n jnn j
a a

 
  , 
 quando o limite existe (é um número). 
 
A série harmônica diverge 
A série harmônica 
1
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6n n


        tem sua sequência de somas parciais 
definida por: 
1 1 1 1 1
1
2 3 4 5n
S
n
       . 
Mostraremos que  nS é não limitada, e, portanto, divergente. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 20 
1
2
4
8
16
32
2
1
1
1
2
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1
2 3 4 2 4 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1
2 3 4 5 6 7 8 2 4 4 8 8 8 8 2
4
1
2
5
1
2
 
1
2
n
S
S
S
S
S
S
n
S

 
                       
                                                       
 
 
 

 
Explique porque dessa última desigualdade pode-se concluir a divergência de  nS . O que 
significa que a série harmônica 
1
1 1 1 1 1
1
2 3 4 5n n


       é divergente. 
Nota. Essa demonstração é devida ao estudioso francês Nicole Oresme (1323–1382). 
 
 
Teorema. Se 
1
n
n
a


 converge então lim 0nn a  . 
 
Demonstração. Pelo fato de que 
1
n
n
a


 converge temos que a sequência de somas parciais 
 ns também converge, ou seja, lim nn s s  , para um s  . Como 1n n ns s a  e 
1lim limn nn n
s s s 
  , temos 1lim lim limn n nn n n
s s a  
  , isso implica que 
lim nn
s s a

  , ou seja, lim 0nn
a

 .  
 
2.4 Teste da Divergência (TD). Se lim 0nn
a

 então 
1
n
n
a


 diverge. 
 
Exemplos 2.4 – Mostre que as séries dadas são divergentes, pois lim 0nn
a

 . 
a) 
1
1
3 4
n
n

 
b) 
1
1
senk
k
     
 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 21 
c) 
2 ln
n
n
 
d) 
1
1
n
a
n
     
 
 
Atenção! 
Observe que se lim 0nn
a

 nada podemos afirmar sobre a série 
1
na . Lembre que 
1
lim 0
n n
 e, no entanto, 
1
1
n n


 diverge. 
 
Podemos sintetizar o que vimos até agora sobre convergência de séries numéricas no 
diagrama abaixo. 
 
1
1 1
 divergente diverge Fim
 0 diverge Fim
lim
0 ??
n n
n
n n
n n
nn
a a
a L a
a L
L


 
 

                              

  
 
 
2.5 Série Geométrica (SG). A série geométrica 1 2 3
1
n
n
ar a ar ar ar

      , onde 
0 ,a r   . Quanto à convergência: 
i) Se 1r  a série geométrica converge e tem soma 
1
a
r
, ou seja, 1
1 1
n
n
a
ar
r



 ; 
ii) Se 1r  a série geométrica diverge. 
 
 
Demonstração. Observamos que se 1r  , temos 1lim 0n
n
ar a

   e se 1r  temos 
1lim n
n
ar 

  . Portanto, pelo TD, a série geométrica 1
1
n
n
ar 

 diverge para 1r  . 
Considere então 1r  e a sequência de somas parciais  ns da série geométrica que é dada 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 22 
por 2 1nns a ar ar ar
     (I) e 2 3 1n nnrs ar ar ar ar ar
      (II). 
Fazendo (I) (II) temos 
1
1
n
n
r
s a
r



, daí 
0
1
lim lim
1 1
n
n
n n
r a
s a
r r

 

 
 
.  
 
Exemplos 
1 – Calcule a soma das séries abaixo, se possível: 
a) 
1
1
3
5
n
n


     
 
 
b) 
1
1
4( 2)
3
n
n
n


 
 
2 – Usando séries, expresse as decimais não finitas abaixo na forma de um número racional: 
a) 2,13131313... 
b) 0,25411411411... 
 
3 – Uma bola é derrubada de uma altura de 9m . Cada vez que ela toca no chão, sobe 
novamente a uma altura de aproximadamente 2/3 da altura da qual ela caiu. Mostre que a 
distância total percorrida pela bola até parar é de 45m . 
 
 
2.6 Propriedades das séries 
P1) Seja k  e 
1
n
n
a


 uma série numérica convergente. Então 
1 1
n n
n n
ka k a
 
 
  converge. 
P2) Seja k  e 
1
n
n
a


 uma série numérica divergente. Então 
1 1
n n
n n
ka k a
 
 
  diverge. 
P3) Se 
1
n
n
a


 e 
1
n
n
b


 são séries convergentes. Então  
1
n n
n
a b


 converge. 
P4) Seja 
1
n
n
a


 uma série convergente e 
1
n
n
b


 divergente. Então a série  
1
n n
n
a b


 
diverge. 
P5) Sejam as séries 
1
n
n
a


 e 
1
k
k
b


 tais que k nb a a partir de algum n . Então ambas as 
séries tem o mesmo comportamento. 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 23 
 
Exemplos (propriedade P5) 
a) 
1
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7n n


         e 
1
1 1 1 1
4 5 6 7n n


   
  divergem. 
b) 
1
1
1 1 1 1
1
3 3 9 27
n
n


          
  e 
3
1
1 1 1 1
9 3 1
3 3 9 27
n
n


            
  convergem. 
 
[Isto significa que retirar ou introduzir um número finito de termos numa série infinita não 
altera a convergência ou divergência dessa série.] 
 
Observação. Se 
1
n
n
a


 e 
1
n
n
b


 são séries divergentes. Nada podemos afirmar sobre 
 
1
nn
n
a b


 . 
 
Exemplos (da observação acima) 
a) 
1
1
n n


 e 
1
1
1n n

 
 divergem e, no entanto, mostramos que 
1 1
1 1 1
1 ( 1)n nn n n n
 
 
        
  
converge. 
 
b) 1
1
4n
n



 diverge e  1 1 1
1 1
4 4 2 4n n n
n n
 
  
 
   que também diverge. 
 
Nota. Todas as propriedades podem ser demonstradas utilizando os conceitos de 
convergência e divergência de séries e de sequências. Consulte a bibliografia. 
 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 – SÉRIES NUMÉRICAS INFINITAS 
1 – Para cada série dada, determine: (i) os quatro primeiros termos da série; (ii) a sequência 
de somas parciais; (iii) a soma da série, se possível. 
a) 
1
1
( 1)( 2)n n  
b) 
1n
n

 (sugestão: (1 )1 2 3
2n
n n
s n

      ) 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 24 
c) 
1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 7 9
S     
   
 
d) 
1 ( 1)!
n
n  
 
2 – Encontre uma série cuja ésiman  soma parcial é dada por: 
a) 
2
3 1n
n
s
n


 b) 
2
1n
n
s
n


 c) 
1
2
n n
s  
 
3 – Utilize série geométrica para obtera soma das séries abaixo, se possível: 
a) 
3 9 27
1
2 4 8
A     b) 
2 2
1
( 1) 2
3
n n
n
  
c) 
1
2
3
k
k
k
e

 d) 
1 1 1 1 1 1
1
2 3 5 25 125 625
       
 
4 – Nos ítens abaixo, escreva as dízimas periódicas como séries geométricas e obtenha a 
fração geratriz de cada uma delas (expressar cada dízima como quociente de dois inteiros). 
a) 0,366 c) 3,2515 
 
5 – A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume 
total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo 
tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do 
cubo precedente. 
 
 
6 – Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa 
a quicar ao atingir o solo, como indica a figura ao lado. A 
altura máxima atingida pela bola após cada batida no 
solo é igual a três quartos da altura da queda 
correspondente. Calcule a distância vertical total 
percorrida pela bola até parar. 
 
7 – Pode-se dizer que o significado da representação decimal de um número 1 2 30, ...d d d (onde 
o dígito id é um dos números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9 ) é que: 
1 2 3 4
1 2 3 4 2 3 4
0, ...
10 10 10 10
d d d d
d d d d     . 
Mostre que esta série sempre converge. 
 
 
CÁLCULO 3 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS E FUNCIONAIS ERON 25 
8 – Na figura temos uma espiral formada por semicírculos cujos centros pertencem ao eixo 
das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é 
igual à metade do anterior, determine o comprimento total da espiral e a abscissa do ponto 
P (ponto assintótico da espiral).