Avaliação Final (Discursiva) - Individual c3

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25/04/2024, 09:49 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:884354)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 70735216
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Pelo Teorema de Fubini podemos inverter a ordem de integração dependendo do formato da região ou 
sólido de integração. No caso de integral dupla, chamamos de integrais do tipo 1 ou tipo 2. O 
importante é que a última integral tenha em seu domínio de integração apenas constantes, ou seja, seja 
feita num intervalo como as integrais simples.
Utilizando o teorema de Fubini, calcule a área da região apresentada na figura a seguir. Justifique 
cada etapa da sua resolução.
Resposta esperada
Vamos dividir essa região em duas regiões: a que está à esquerda da reta x = 1, e a que está à
direita. Assim, a área será a soma dessas duas e para cada uma dessas regiões faremos a integral
dupla. Para isso, precisamos determinar os limites de integração.
 Vamos determinar a reta que liga os pontos (- 4, 0) e (3, 4), como:
a equação da reta é A reta que liga os pontos (1, 0) e (3, 4) é y = 2(x - 1), pois 
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Usando as integrais do tipo 1 temos que a
área é
Minha resposta
Utilizando o Teorema de Fubini podemos organizar as integrais conforme as regiões
consideradas. Para determinar a integral dupla vamos traçar a reta x = 1 e dividir a região em
duas. Vamos utilizar as seguintes informações para determinar os limites de integração: Na
primeira região os valores de x pertencem ao intervalo [-4, 1] e os valores de y estão entre as
retas e Na segunda região os valores de x estão no intervalo [1, 3] e os valores de y estão entre as
retas e Esses serão os limites de integração utilizados e como separamos a região em duas,
teremos a soma de duas integrais duplas. Integral dupla A área da região apresentada na imagem
dada na questão pode ser calculada utilizando a integral dupla: \int _{-4}^1\int _0^{\frac{4}
{7}+\frac{16}{7}x}\:dydx+\int _1^3\:\int _{2x-2}^{\frac{4}{7}+\frac{16}{7}x}\:dydx=\int
_{-4}^1\:\frac{4x+16}{7}dx+\int _1^3\:\frac{-10x+16}{7}+2dx=\frac{50}{7}+\frac{20}
{7}=10
1696643083_avaliacaodiscursiva.heicClique para baixar sua resposta
Retorno da correção
Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados.
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que 
define a sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem 
ser aplicados.
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Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos
utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou
seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a
integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o
trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A
integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de saída.
Minha resposta
O Teorema de Green é um princípio matemático que nos permite substituir uma integral de linha
por uma integral dupla. Ele é aplicado em duas dimensões e envolve a diferença das derivadas
parciais de uma função vetorial sobre a região delimitada por uma curva. Uma das aplicações
práticas do Teorema de Green é o cálculo do trabalho realizado um por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula. O outro, é o Teorema de Stokes é uma generalização do
Teorema de Green, mas é aplicado me três dimensões. Ele relaciona uma integral de linha de um
campo vetorial tridimensional com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial.
Uma das principais aplicações do Teorema de Stokes é o cálculo do trabalho realizado por um
campo de forças tridimensional sobre uma partícula. E por fim, temos o Teorema de Gauss, que é
diferente dos dois anteriores citados, pois ele estabelece uma relação entre uma integral tripla
sobre um sólido tridimensional e uma integral de superfície em sua fronteira. Especificamente, a
integral dupla do campo vetorial é usada para calcular o fluxo de saída desse campo vetorial em
três dimensões. O Teorema de Gauss é útil para calcular o fluxo de saída através de uma
superfície fechada em um campo vetorial tridimensional.
Retorno da correção
Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados.
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