C2_2023_4_Lista11-Atualizada

Prévia do material em texto

CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 11
Questão 1. Considere a função f : R2 → R dada por:
f(x, y) = x2 + y2 − 3x+ 2y
Encontre e classifique os pontos críticos de f e determine se eles correspondem a um
máximo local, mínimo local ou um ponto de sela.
Solução:
Para encontrar os pontos críticos, calculamos o gradiente e igualamos a zero:
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
)
= (2x− 3, 2y + 2).
Igualando a zero:
2x− 3 = 0,
2y + 2 = 0.
Desse modo, temos que:
x =
3
2
e y = −1
Agora calculemos as segundas derivadas aplicadas no ponto crítico e vamos criar a
matriz hessiana para classificar o ponto, assim:
fxx = 2
fyy = 2
fxy = fyx = 0
Hf (x, y) =

∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y2

=
(
2 0
0 2
)
.
Temos que o determinante da Matriz hessiana é igual a 4, ou seja, positivo, então
pelo teste da segunda derivada vemos que fxx(3/2,−1) = 2 é um mínimo local.
Portanto, f(3/2,−1) = −11
2
é um mínimo local.
1
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Questão 2. Considere o conjunto de pontos do plano K definido por:
K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 8}
Encontre os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = 5x2 + 5y2 + 8x − 8y
restrita ao conjunto K. Determine se esses pontos ocorrem nos pontos de fronteira
de K ou em seu interior.
Solução: Primeiro vamos verificar os pontos críticos da f(x, y).
∂f
∂x
= 10x+ 8 = 0 ⇒ x = −4
5
∂f
∂y
= 10y − 8 = 0 ⇒ y =
4
5
O ponto encontrado não está detro da região de restrição. Agora vamos encontrar
os pontos críticos restritos pela região K. Vamos substituir x2 + y2 = 8 na função e
verificar seus pontos críticos. É importante analisar que para x2 + y2 > 8 não há a
possibilidade de encontrarmos um ponto de máximo, já que os limites da função f e
da restrição, quando x e y tendem a ±∞, também tenderá para ∞. Assim, teremos
f(x, y) = 5x2 + 5y2 + 8x− 8y
f(x, y) = 5(x2 + y2) + 8x− 8y
f(x, y) = 5 · 8 + 8x− 8y
f(x, y) = 8x− 8y + 40
Assim, fazendo x =
√
8− y2 e y =
√
8− x2, teremos{
f(y) = 40 + 8
√
8− y2 − 8y
f(x) = 40 +
√
8− x2 + 8y
Derivando, temos 
f ′(y) =
−16y − 16
√
8− y2
2
√
8− y2
= 0
f ′(x) =
16y + 16
√
8− y2
2
√
8− y2
= 0
Resolvendo o sistema, enconrtramos os seguintes pontos (2, 2), (−2, 2), (2,−2) e
(−2,−2). Calculando as imagens, temos f(2, 2) = 40, f(2,−2) = 72, f(−2, 2) = 8
e f(−2,−2) = 40. Portanto, o mínimo é o ponto (−2, 2, 8).
Curiosidade: Caso a região de restrição da questão fosse dada por x2 + y2 ≤ 8,
teríamos a solução a seguir. Para encontrar os valores extremos de f restrita ‘K
comparamos os valores de f nos pontos críticos com os pontos de fronteira.
Como fx = 10x+8 e fy = 10x−8 temos que o único ponto crítico é
(
− 8
10
,
8
10
)
,
portanto, temos que o valor de f no ponto crítico é f
(
− 8
10
,
8
10
)
= −32
5
Agora utilizando multiplicadores de Lagrange encontramos os pontos na fronteira,
para isso resolvemos as equações ∇f = λ∇g e g(x, y) = x2 + y2 = 8, que podemos
escrever como:
fx = λgx −→ 10x+ 8 = 2λx −→ x = − 4
5− λ
Prof. Tiago Coelho 2
Cálculo II Lista de Exercícios 14
fy = λgy −→ 10y − 8 = 2λy −→ y =
4
5− λ
x2 + y2 = 8
Notemos de x = − 4
5− λ
e y =
4
5− λ
que x = −y, que substituindo em 4
x2 + y2 = 8 temos que x = ±2 e y = ±2, desse modo, temos os pontos (2,−2)
e (−2, 2) que quando aplicados em f encontramos f(−2, 2) = 8 e f(2,−2) = 72.
Assim temos como ponto de máximo o ponto fronteiriço f(2,−2) = 72 e de mínimo
o ponto interior f
(
− 8
10
,
8
10
)
= −32
5
quando f é restrita a K.
Questão 3. Encontre os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x2 + 4y2
sujeita à restrição g(x, y) = x+ 2y − 10 = 0.
Solução:
Usando os multiplicadores de Lagrange resolvemos as equações ∇f = λ∇g e
g(x, y) = 0, que podem ser escritas como:
fx = λgx −→ 2x = λ
fy = λgy −→ 8y = 2λ −→ 4y = λ
x+ 2y − 10 = 0 −→ λ
2
+
λ
2
− 10 = 0 −→ λ = 10
Assim, temos que:
x = 5 e y =
5
2
Calculando f nesse ponto temos f(5, 5/2) = 50, agora para verificar se é um ponto
de máximo ou mínimo tomemos o ponto (5, 01, 4, 99/2) que continua pertencente à
restrição g(x, y) e vemos que seu valor em f(x, y) = 50, 0002 que é maior que 50,
portanto temos que f(5, 5/2) é um ponto de mínimo restrita à g(x, y) e quando sujeita
a essa restrição não possui ponto de máximo.
Questão 4. Considere a função f(x, y) = 3x2 − 2y2. Encontre os pontos de máximo
e mínimo dessa função restrita à circunferência x2 + y2 = 4.
Solução:
Usando os multiplicadores de Lagrange resolvemos as equações ∇f = λ∇g e
g(x, y) = 4, que podem ser escritas como:
fx = λgx −→ 6x = 2xλ
fy = λgy −→ −4y = 2λy
x2 + y2 = 4
De 6x = 2xλ temos que x = 0 ou λ = 3. Se x = 0 temos que de x2 + y2 = 4
leva a y = ±2. Se λ = 3 de −4y = 2λy temos que y = 0, e assim por x2 + y2 = 4
temos que x = ±2. Dessa forma, os valores extremos possíveis de f são os pontos
(−2, 0)(2, 0)(0,−2) e (0, 2). Calculando f nesses quatro pontos, temos:
f(−2, 0) = f(2, 0) = 12
f(0,−2) = f(0, 2) = −8
Portanto, o valor máximo de f no círculo x2 + y2 = 4 é f(±2, 0) = 12 e o valor
mínimo é f(0,±2) = −8.
Questão 5. Um engenheiro de estruturas está projetando uma viga retangular para
suportar uma determinada carga. A viga deve ter uma área transversal de A = xy e
uma inércia rotacional de I =
x+ y
xy
, onde x representa a largura da viga e y representa
a altura da viga. No entanto, o custo dos materiais é proporcional à oito vezes a soma
da área A da viga com a inércia rotacional I.
Prof. Tiago Coelho 3
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Encontre as dimensões x e y que minimizam o custo da viga, considerando a
restrição de que a área transversal e a inércia rotacional devem atender às especificações
requeridas.
Solução: Temos que a função custo pode ser escrita como:
C(x, y) = 8xy +
8(x+ y)
xy
Para encontrar os pontos críticos, calculamos o gradiente e igualamos a zero:
∇C(x, y) =
(
∂C
∂x
,
∂C
∂y
)
= (8y − 8
x2
, 8x− 8
y2
).
Igualando a zero:
8y − 8
x2
= 0,
8x− 8
y2
= 0.
Desse modo, temos que:
x = 1 e y = −1
Agora calculemos as segundas derivadas aplicadas no ponto crítico e vamos criar a
matriz hessiana para classificar o ponto, assim:
Cxx =
16
x3
−→ Cxx(1, 1) = 16
Cyy =
16
y3
−→ Cyy(1, 1) = 16
Cxy = Cyx = 8
HC(x, y) =

∂2C
∂x2
∂2C
∂x∂y
∂2C
∂y∂x
∂2C
∂y2

=
(
16 8
8 16
)
.
Temos que o determinante da Matriz hessiana é igual a 192, ou seja, positivo,
então pelo teste da segunda derivada vemos que Cxx(1, 1) = 16 é um mínimo local.
Portanto, C(1, 1) = 24 é um mínimo local. Assim, as dimensões x e y que minimizam
o custo da viga são x = 1 unidade de comprimento e y = 1 unidade de comprimento.
Prof. Tiago Coelho 4