Cálculo II - Exercícios Resolvidos

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CÁLCULO II
Prof. Tiago Coelho
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 15
Questão 1. Como realizar a conversão das coordenadas cartesianas (x, y, z) para
coordenadas cilíndricas (r, θ, z), considerando que r representa a distância radial do
ponto ao eixo z, θ representa o ângulo formado entre o ponto e o eixo x, e z representa
a altura do ponto em relação ao plano xy?
Solução: No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimen-
sional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e θ são as coordenadas
polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P .
Para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas usamos:
r2 = x2 + y2
tg θ =
y
x
z = z
Questão 2. Calcule a integral tripla∫ ∫ ∫
(x2 + y2 + z2) dV
sobre a região delimitada pelo cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 2, utilizando coor-
denadas cilíndricas.
Solução: Inicialmente precisamos conhecer a região E sobre a qual a integral será
calculada, para isso note que a projeção de E sobre o plano é o disco x2 + y2 ≤ 4, ou
seja, temos r variando de 0 a 2 e θ sendo uma volta completa, e a superfície inferior
de E é o cone z =
√
x2 + y2 e a superfície superior é o plano z = 2. Assim em
coordenadas cilíndricas, temos:
E = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ 2π; r ≤ z ≤ 2}
Agora podemos escrever nossa integral em coordenadas cilíndricas como:∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
r
(r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + z2)rdzdrdθ =∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
r
(r2(cos2 θ + sen2 θ) + z2)rdzdrdθ =∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
r
(r2 + z2)rdzdrdθ =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
r
r3 + z2rdzdrdθ =∫ 2π
0
∫ 2
0
[
r3z +
z3r
3
]2
r
drdθ =
∫ 2π
0
∫ 2
0
2r3 +
8r
3
− r4 − r4
3
drdθ =∫ 2π
0
[
r4
2
+
4r2
3
− r5
5
− r5
15
]2
0
dθ =∫ 2π
0
8 +
16
3
− 32
5
− 32
15
dθ =
∫ 2π
0
24
5
dθ =
[
24θ
5
]2π
0
=
48π
5
1
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Questão 3. Determine o valor da integral tripla
∫ ∫ ∫
(x2+y2+z2) dV sobre a região
delimitada pelo cilindro x2+ y2 = 1 e os planos z = 0 e z = 4, utilizando coordenadas
cilíndricas.
Solução: Inicialmente precisamos conhecer a região E sobre a qual a integral será
calculada, para isso note que a projeção de E sobre o plano é o disco x2 + y2 ≤ 1, ou
seja, temos r variando de 0 a 1 e θ sendo uma volta completa, e a superfície inferior
de E é o plano z = 0 e a superfície superior é o plano z = 4. Assim em coordenadas
cilíndricas, temos:
E = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ z ≤ 4}
Agora podemos escrever nossa integral em coordenadas cilíndricas como:∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ 4
0
(r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + z2)rdzdrdθ =∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ 4
0
(r2 + z2)rdzdrdθ =
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ 4
0
r3 + z2rdzdrdθ =∫ 2π
0
∫ 1
0
[
r3z +
z3
3
r
]4
0
drdθ =∫ 2π
0
∫ 1
0
4r3 +
64r
3
drdθ =∫ 2π
0
[
r4 +
64r2
6
]1
0
dθ =∫ 2π
0
1 +
64
6
dθ =
∫ 2π
0
70
6
dθ =
[
35θ
3
]2π
0
=
70π
3
Questão 4. Como realizar a conversão de uma função em coordenadas esféricas
(ρ, θ, ϕ) para coordenadas cartesianas (x, y, z), considerando que ρ representa a dis-
tância do ponto à origem, θ representa o ângulo formado entre o ponto e o eixo x, e
ϕ representa o ângulo formado entre o ponto e o eixo z?
Solução: No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P no espaço tridimensional
é representado pela tripla ordenada (ρ, θ, ϕ), onde ρ é a distância da origem à P , θ é
o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas e ϕ é o ângulo entre o eixo z positivo
e o segmento de reta OP . Para converter de coordenadas esféricas para retangulares
usamos: 
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
ρ2 = x2 + y2 + z2
Questão 5. Calcule a integral tripla da função f(x, y, z) =
e
√
x2+y2+z2
x2 + y2 + z2
sobre a
região R no espaço, onde R é definida em coordenadas esféricas como ρ ∈ [0, 2],
θ ∈ [0, π
2
], e ϕ ∈ [0, π].
Solução: Inicialmente precisamos converter nossa integral de coordenadas retangu-
lares para coordenadas esféricas, assim:∫∫∫
e
√
x2+y2+z2
x2 + y2 + z2
dV =∫ π
0
∫ π
2
0
∫ 2
0
eρ
ρ2
ρ2 senϕdρdθdϕ =
∫ π
0
∫ π
2
0
∫ 2
0
eρ senϕdρdθdϕ
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∫ π
0
∫ π
2
0
e2 senϕ− senϕdθdϕ =∫ π
0
πe2 senϕ
2
− π senϕ
2
dϕ =
[
−πe2 cosϕ
2
+
π cosϕ
2
]π
0
=
πe2
2
− π
2
+
πe2
2
− π
2
= πe2 − π
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