PROVA PRESENCIAL - 1 CHAMADA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

Prévia do material em texto

Gabarito
×
Questão 1
Analise os itens que seguem com base nas propriedades sobre transformada de Laplace.
I- A transformada de Laplace da função y(t) = t4 é
.
II- A transformada de Laplace da função y(t) = cos(2t) é
.
III- A transformada de Laplace da função y(t) = e2t é
.
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas o item II está correto.
B) Apenas os itens I e III estão corretos.
C) Apenas os itens I e II estão corretos.
D) Apenas o item I está correto.
E) Apenas o item III está correto.
Questão 2
O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano
associado à transformação, relacionando as variáveis do sistema de coordenadas original, que em
geral consiste em coordenadas cartesianas, com as variáveis do novo sistema.
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = v + w² , y = w + u² , z = u + v²
e que
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita:
A) J = 1+ 2uvw.
B) J = 1.
C) J = 1+ 8uvw.
D) J = 8uvw.
E) J = 0.
Questão 3
Supondo que para resolver um problema envolvendo o cálculo de uma integral tripla, foi adotada
a mudança de variáveis considerando as seguintes relações
x = u² , y = v , z = w²
de modo a converter o sistema de coordenadas cartesianas em um novo sistema. Sabe-se que o
jacobiano associado a mudança de variável é dado por:
Considerando as relações apresentadas, assinale a alternativa que contém o jacobiano associado
à essa mudança de coordenadas.
A) J = 4uvw.
B) J = 2w.
C) J = 2u.
D) J = 2uw.
E) J = 4uw.
Questão 4
Encontrar as transformadas de Laplace pode ser útil pra resolver problemas de Matemática,
Computação, Engenharias, Física e outras ciências aplicadas. Considere a função
determine a transformada de Laplace da função f(t).
Observação:
Assinale a alternativa correta.
A) A transformada é dada por .
B) A transformada é dada por .
C) A transformada é dada por .
D) A transformada é dada por .
E) A transformada é dada por .
Questão 5
Para o cálculo de integrais triplas é fundamental identificar os limites de integração corretos para
as variáveis x ,y e z envolvidas de modo a caracterizar corretamente a região de integração. Com
base em informações sobre integrais triplas analise as afirmações apresentadas.
I- O cálculo da massa de uma lâmina envolve o cálculo da integral tripla da função densidade
sobre uma região.
II- Centroide é o nome dado ao centro de massa quando a densidade do sólido é uma função
qualquer.
III- As coordenadas do centro de massa é dada pela razão dos momentos em relação ao três
planos coordenados e a massa.
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas o item II está correto.
B) Apenas o item I está correto.
C) Apenas o item III está correto.
D) Apenas os itens I e II estão corretos.
E) Apenas os itens I e III estão corretos.
Questão 6
As integrais triplas tem aplicações na engenharia, na física entre outras áreas. Uma das
aplicações dessas integrais é o cálculo do volume de regiões tridimensionais.
Considere a caixa retangular E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], assinale a alternativa que contém o
volume dessa região.
A) 4 u.v.
B) 10 u.v.
C) 9 u.v.
D) 0 u.v.
E) 12 u.v.
Questão 7
O modelo criado por Malthus assume que o crescimento de uma população é proporcional à
população em cada instante, e que este se daria por uma progressão geométrica enquanto os
meios de sobrevivência cresceriam em progressão aritmética.
A partir desse modelo, considere que a estimativa, daqui a t meses, para a população de certa
cidade tem uma variação segundo a taxa de:
pessoas por mês. Sabe-se também que a população atual desta cidade é de 8000 pessoas, sendo
esse o instante considerado como o inicial.
Com base nessas informações, qual das seguintes alternativas corresponde aproximadamente à
população dessa cidade daqui a 10 meses?
A) 11250
B) 10300
C) 9200
D) 8282 (resposta correta)
E) 15500
Questão 8
Deseja-se calcular o volume da esfera S de raio 3 centrada na origem dada pela equação
e cuja representação no espaço cartesiano é dada por
O volume será calculado empregando integrais triplas em coordenadas esféricas.
Considerando as relações que podem ser estabelecidas entre diferentes sistemas de coordenadas,
assinale a alternativa que apresenta corretamente a descrição de S em coordenadas esféricas:
A) A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
B) A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
C) A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
D) A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
E) A região S pode ser descrita em coordenadas esféricas como
Questão 9
A função custo marginal é definida como a taxa de variação de C em relação à x. Sabe-se que o
custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um eletrodoméstico é dado por 60 +
3x². Se o custo da produção de uma unidade é R$ 100,00, determine a função custo para x = 3.
Assinale a alternativa que contém a resposta correta.
A) R$ 97,00.
B) R$ 246,00.
C) R$ 70,00.
D) R$ 87,00.
E) R$ 125,00.
Questão 10
Para representar determinados fenômenos, bem como para auxiliar no estudo de máximos e
mínimos de funções de duas variáveis, podemos utilizar o recurso de determinar planos
tangentes. Sabe-se que
Considerando o ponto de coordenadas P(6,3,2) pertencente ao plano π e o vetor normal n =
(-2,1,5), assinale a alternativa que contém a equação do plano π.
A) 2x – y + 3z + 2 = 0.
B) -2x + y + 5z -1= 0
C) 2x + y + 5z +1= 0
D) x + y + z + 6 = 0.
E) -x - y - 5z -1= 0
Questão 11
Na resolução de um problema envolvendo massa e centro de massa, um aluno precisa calcular a
integral tripla dada por
Para determinar a integral tripla em questão, inicialmente, foi necessário identificar corretamente
a região de integração, com as variações correspondentes para x, y e z.
Assinale a alternativa que descreve corretamente a região de integração S, cujos limites de
integração foram indicados em M.
A) A região de integração S é dada por
B) A região de integração S é dada por
C) A região de integração S é dada por
D) A região de integração S é dada por
E) A região de integração S é dada por
Questão 12
A mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas faz-se necessário em
algumas situações envolvendo o cálculo de integrais triplas. Com base em informações sobre esse
tipo de mudança de coordenadas, analise os itens que seguem.
I- A função f(x,y,z) = x+y em coordenadas cilíndricas é representada por
.
II- A função f(x,y,z) = y em coordenadas cilíndricas é representada por
III- A função f(x,y,z) = x² em coordenadas cilíndricas é representada por
.
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas os itens II e III estão corretos.
B) Apenas os itens I e II estão corretos.
C) Apenas o item I está correto.
D) Apenas o item II está correto.
E) Apenas o item III está correto.