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1 COORDENADORIA DE MATEMÁTICA Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica LISTA DE EXERCÍCIOS DE PRODUTO ESCALAR 1. Sendo u = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular: a) (3 u – 2 v )2 b) (2 u -3 v )•( u +2 v ) 2. Sendo a =(2,–1,1), b =(1,–2,–2) e c =(1,1,–1). Calcular um vetor v =(x,y,z), tal que v • a = 4, v • b = –9 e v • c = 5. 3. Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). 4. Os vetores u e v formam um ângulo de 600. Sabe-se que u =8 e v =5, calcule: a) u + v b) u – v 5. Determinar o valor de x para que os vetores 1v = x i –2 j +3k e 2v =2 i – j +2k , sejam ortogonais. 6. Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a =(2,6,–1) e b =(0,–2,1). 7. Seja �⃗� = (3,1). Determine as coordenadas de um vetor �⃗⃗⃗�, de módulo 2, que faz com o vetor �⃗� um ângulo de 30º. 8.Mostre que A (3,0,2), B(4,3,0) e C (8,1,-1) sao vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto? 9. Determine o módulo da projeção do vetor �⃗� = (−1,2, −4)sobre o vetor �⃗⃗⃗� = (2, −1,2). 10. Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v . 11. O vetor 2,1,1v forma um ângulo de 600 com o vetor BA , onde A (0,3,4) e B(m,1,2). Calcular o valor de m. 12. Os vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗� formam um ângulo 𝛽 = 30º. Calcule o ângulo 𝛼 entre os vetores �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗�, se �⃗� = �⃗� + �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� = �⃗� − �⃗⃗�, sabendo que |𝑎|⃗⃗⃗⃗ = √3, e |𝑏⃗⃗⃗⃗ | = 1. 13. Dados u =(2,–3,–6) e v =3 i –4 j –4k , determine: a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u ); b) 0 vetor projeção de v sobre u . 14.Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor HM , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 2 GABARITO 1. RESP: a) 66 b) –205 2. RESP: v =(3,4,2) 3. RESP: –1 ou 5 13 4. RESP: a) 129 b)7 5. RESP: x= – 4 6. RESP: 3 2 , 3 1 , 3 2 c 7. RESP: �⃗⃗⃗⃗� = ( 𝟑√𝟑𝟎+√𝟏𝟎 𝟏𝟎 , √𝟑𝟎−𝟑√𝟏𝟎 𝟏𝟎 ) 𝒐𝒖 ( 𝟑√𝟑𝟎−√𝟏𝟎 𝟏𝟎 , √𝟑𝟎+𝟑√𝟏𝟎 𝟏𝟎 ) 8. RESP: B 9. RESP: 4 u.c 10. RESP: 4 6 , 4 6 , 2 1 v ou 4 6 , 4 6 , 2 1 11. RESP: m=–34 ou m=2 12. RESP: 𝛼 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝟐 √𝟕 ≅ 𝟒𝟎, 𝟗º 13. RESP: a)6 b) 6,3,2 7 6 14. RESP: HM = (2,2,1)