Encontre pelo menos os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 para uma solução geral da...

Para encontrar os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 para uma solução geral da equação diferencial de primeira ordem, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Escreva a equação diferencial na forma padrão, se necessário. 2. Escreva a solução geral da equação diferencial como uma série de potências em torno de x = 0. 3. Encontre as derivadas necessárias da solução geral. 4. Substitua a solução geral e suas derivadas na equação diferencial. 5. Igualar os coeficientes de cada potência de x na equação diferencial a zero. 6. Resolver as equações resultantes para encontrar os coeficientes da série de potências. Por exemplo, se a equação diferencial for y' + y = 0, a solução geral é y = c1 * e ^ (-x), onde c1 é uma constante. Para encontrar os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de x = 0, podemos escrever: y = c1 - c1 * x + c1 * x ^ 2 / 2 - c1 * x ^ 3 / 6 + ... Substituindo y e suas derivadas na equação diferencial, temos: (c1 - c1 * x + c1 * x ^ 2 / 2 - c1 * x ^ 3 / 6 + ...) + (c1 - c1 * x + c1 * x ^ 2 / 2 - c1 * x ^ 3 / 6 + ...) ' = 0 Igualando os coeficientes de cada potência de x a zero, temos: c1 + c1 = 0 -c1 + c1 / 2 - c1 / 2 = 0 c1 / 6 - c1 / 6 + c1 / 24 = 0 Resolvendo as equações, encontramos: c1 = 1 c2 = -1 c3 = 1/3 c4 = 0 Portanto, os quatro primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de x = 0 para a solução geral da equação diferencial y' + y = 0 são: y = 1 - x + x ^ 2 / 2 - x ^ 3 / 6