Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z...

Primeiramente, vamos determinar os vértices do tetraedro. Substituindo x = 2y na equação x + 2y + z = 2, temos: 2y + 2y + z = 2 4y + z = 2 z = 2 - 4y Portanto, os vértices do tetraedro são: (0,0,0), (2,1,0), (0,1,1) e (0,0,2). Agora, vamos calcular o volume do tetraedro utilizando a fórmula V = (1/3) * A_base * h, onde A_base é a área da base e h é a altura em relação à base. A base do tetraedro é um triângulo com vértices em (2,1,0), (0,1,1) e (0,0,2). Para calcular a área desse triângulo, podemos utilizar o produto vetorial: A = (2,1,0) - (0,1,1) = (2,0,-1) B = (0,0,2) - (0,1,1) = (0,-1,1) A x B = (1,2,2) |A x B| = sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(9) = 3 Portanto, a área da base é A_base = (1/2) * |A x B| = (1/2) * 3 = 3/2. A altura do tetraedro em relação à base é a distância entre o ponto (0,0,0) e o plano x + 2y + z = 2. Para calcular essa distância, podemos utilizar a fórmula d = |ax + by + cz + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), onde (a,b,c) é o vetor normal ao plano e d é o coeficiente de translação. O vetor normal ao plano x + 2y + z = 2 é (1,2,1), e d = -2. Portanto, a distância é: d = |1*0 + 2*0 + 1*0 - 2| / sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2) = 2 / sqrt(6) Assim, o volume do tetraedro é: V = (1/3) * A_base * h = (1/3) * (3/2) * (2 / sqrt(6)) = 1 / sqrt(6) u.v. Agora, vamos calcular a integral tripla da função f(x,y,z) = xyz sobre a região dada. ∫∫∫ f(x,y,z) dV = ∫∫∫ xyz dV Como a região é limitada pelos planos x = 0, x = 2y e z = 0, podemos escrever a integral como: ∫∫∫ xyz dV = ∫0^1 ∫0^(2y) ∫0^(2-2y) xyz dz dx dy Integrando em relação a z, temos: ∫0^1 ∫0^(2y) ∫0^(2-2y) xyz dz dx dy = ∫0^1 ∫0^(2y) (xy(2-2y)^2)/2 dx dy Integrando em relação a x, temos: ∫0^1 ∫0^(2y) (xy(2-2y)^2)/2 dx dy = ∫0^1 [(y(2-2y)^2)/2 * (2y)] dy Integrando em relação a y, temos: ∫0^1 [(y(2-2y)^2)/2 * (2y)] dy = 2/15 Portanto, a resposta correta é: Volume 1/3 u.v.