Álgebra Linear - Tema 13 - Exercício de Fixação

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Exercícios de Fixação - Tema 13
	Iniciado em
	domingo, 17 Out 2021, 17:54
	Estado
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	Concluída em
	domingo, 17 Out 2021, 17:57
	Tempo empregado
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Questão 1
Incorreto
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Texto da questão
A combinação linear entre vetores ocorre quando há um conjunto de escalares que gera uma associação entre estes vetores; assim, cada vetor torna-se uma projeção dos outros vetores neste mesmo conjunto.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
Considere um escalar k1=4,2k1=4,2. Dentre as opções que se seguem, assinale a que representa adequadamente dois vetores que formam uma combinação linear a partir deste escalar.
Escolha uma opção:
a. v(20,21)v(20,21) e v1(84,42)v1(84,42)
b. v(10,5)v(10,5) e v1(21,42)v1(21,42)
c. v(10,42)v(10,42) e v1(42,10)v1(42,10)
d. v(84,21)v(84,21) e v1(20,5)v1(20,5)
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Sua resposta está incorreta.
Para que o escalar mencionado forme uma combinação linear entre dois vetores, a equação da combinação linear deve ser satisfeita: v=k1∗v1v=k1∗v1.
Assim, pela propriedade da multiplicação entre escalares, o vetor v(84,21)v(84,21) corresponde ao produto entre o escalar k1k1 e o vetor v1v1:
v(84,21)=4,2∗v1(20,5)v(84,21)=4,2∗v1(20,5)
Pois 4,2∗20=844,2∗20=84 e 4,2∗5=214,2∗5=21. Logo, os vetores apresentados formam combinação linear quando o escalar k1k1 é igual a 4,2
A resposta correta é: v(84,21)v(84,21) e v1(20,5)v1(20,5)
Questão 2
Incorreto
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Texto da questão
As relações de dependência linear mostram se um conjunto de vetores pode apresentar alguma associação entre si. Caso esta situação seja positiva, dizemos que estes vetores são linearmente dependentes, ou seja, relacionados entre si por alguma forma de combinação linear.
BARBOSA, José Augusto Trigo. Noções sobre Álgebra Linear. Porto: FEUP Edições, 2012. 
Com base no conteúdo exposto, analise as afirmativas a seguir.
I. Um conjunto vetorial que contenha apenas um elemento é linearmente dependente em qualquer circunstância.
II. O vetor nulo é LI em relação a outros vetores inscritos em um mesmo conjunto onde o mesmo esteja inserido.
III. Se um vetor nulo está inscrito em um conjunto com mais de um vetor, os vetores deste conjunto serão do tipo LD. 
Agora, assinale a opção que contém as afirmativas corretas.
Escolha uma opção:
a. Apenas I e II. 
b. Apenas II.
c. Apenas III.
d. Apenas I e III.
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Sua resposta está incorreta.
Dadas as propriedades de dependência linear entre vetores, entendemos que, quando há um conjunto de vetores, inscrito em um espaço vetorial e que contenha mais vetores além do vetor nulo O, este conjunto (e, por extensão, os vetores que o compõem) será linearmente dependente (LD) entre si. A propriedade é chamada ‘Conjunto com vetor nulo’.
A resposta correta é: Apenas III.
Questão 3
Correto
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Texto da questão
Suponha, para esta questão, que haja um espaço vetorial simbolizado por V, no qual está contido um conjunto de vetores com notação igual a C, e que é expresso por v(6,−2,1)v(6,−2,1), v1(0,2,4)v1(0,2,4) e v2(−1,4,0)v2(−1,4,0). Deseja-se verificar a possibilidade de independência linear entre estes vetores.
Assinale a opção que contém a informação correta.
Escolha uma opção:
a. Os vetores apresentados são linearmente dependentes quando há escalares que o multiplicam, com valor k1=3k1=3 e k2=4k2=4.
b. Os vetores serão linearmente independentes apenas se neste conjunto estiver também incluso o vetor nulo.
c. Os vetores são linearmente independentes. 
d. Os vetores mencionados são LD para k1=1k1=1 e k2=5k2=5.
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Sua resposta está correta.
Se um conjunto de vetores é do tipo LI, ou seja, linearmente independente, é preciso que seja satisfeita a seguinte equação: k1∗v1+k2∗v2+k3∗v3+⋯+kn∗vn=0k1∗v1+k2∗v2+k3∗v3+⋯+kn∗vn=0
Ou seja, que a soma dos produtos entre um conjunto de escalares e um conjunto de vetores traga o vetor nulo como resultado. Assim, temos: k1∗(6,−2,1)+k1∗(0,2,4)+k1∗(−1,4,0)=(0,0,0)k1∗(6,−2,1)+k1∗(0,2,4)+k1∗(−1,4,0)=(0,0,0) 
O sistema linear associado a esta equação é dado por:
         6k1+0k2−1k3=06k1+0k2−1k3=0
{-2     k1+2k2+4k3=0k1+2k2+4k3=0
         k1+4k2+0k3=0k1+4k2+0k3=0
Ou seja,
         6k1+1k3=06k1+1k3=0
{        −2k1+2k2+4k3=0−2k1+2k2+4k3=0
         k1+4k2=0k1+4k2=0
Isolando a variável k3k3 da primeira equação, temos que:
〖6k〗1=k3→k1=k3/6〖6k〗1=k3→k1=k3/6
Substituindo o valor de  k1k1  na terceira equação, temos que:
k1+〖4k〗2=0→k3/6=−〖4k〗2k1+〖4k〗2=0→k3/6=−〖4k〗2
Se tomarmos k1=2k1=2, por exemplo, teremos que k3=12k3=12.
E nesta circunstância, k3/6=−〖4k〗2→12/6=−〖4k〗2→2→k2=−1/2k3/6=−〖4k〗2→12/6=−〖4k〗2→2→k2=−1/2
Efetuando a substituição dos valores destas variáveis na segunda equação, veremos o seguinte:
−2k1+〖2k〗2+4k3=0→(−2∗2)+(2∗−1/2)+(4∗12)=0→−4−1+48=0→43=0∄−2k1+〖2k〗2+4k3=0→(−2∗2)+(2∗−1/2)+(4∗12)=0→−4−1+48=0→43=0∄
A equação apresentada é inválida (∄)(∄), logo, apenas a solução trivial (0,0,0) poderá resolver este sistema. Assim, os vetores são linearmente independentes.
A resposta correta é: Os vetores são linearmente independentes.
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Considere a existência de um espaço vetorial de notação V e de dimensão R³, ou seja, formado por três variáveis (x,y,z). Neste espaço vetorial estão inclusos, dentro de um conjunto C, os vetores v(1,−3,0)v(1,−3,0), v1(0,4,−7)v1(0,4,−7) e v2(−3,0,5)v2(−3,0,5). Sabe-se, ainda, que neste conjunto estão contidos outros vetores, do tipo LI.
Analise as opções a seguir e assinale a correta.
Escolha uma opção:
a. Os vetores apresentados e inclusos no conjunto C são do tipo LD.
b. Os vetores mencionados são dependentes para k1=2;k2=4;k3=1k1=2;k2=4;k3=1
c. A existência de dependência linear entre os vetores apresentados é negativa. 
d. Se no conjunto C estiver incluso o vetor nulo, os vetores mencionados são LI.
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Sua resposta está correta.
Pelas propriedades da dependência linear, temos que se um conjunto de vetores C∈VC∈V (ou seja, contido em um espaço vetorial V) é linearmente independente (LI), logo, qualquer subdivisão de C também será LI. O exercício nos mostra que uma subdivisão do conjunto C é linearmente independente; logo, os demais vetores nele contidos também serão do tipo LI.
A resposta correta é: A existência de dependência linear entre os vetores apresentados é negativa.
Questão 5
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Considere a existência de um espaço vetorial V, onde está inscrito um conjunto finito de vetores expresso por C. Em C, estão contidos os vetores v(17,8,13)v(17,8,13), v1(4,1,2)v1(4,1,2) e v2(3,2,3)v2(3,2,3). Sabe-se que o vetor v é uma combinação linear dos outros dois.
Assinale a opção que demonstra corretamente os escalares que tornam possível esta combinação linear.
Escolha uma opção:
a. Os vetores formam combinação linear quando k1=2k1=2 e k2=3k2=3
b. Os escalares k1=3k1=3 e k2=−2k2=−2 fazem com que os vetores mencionados gerem combinação linear entre si.
c. Os vetores formam combinação linear quando k1=1k1=1 e k2=−2k2=−2
d. Os vetores mencionados não formam combinação linear em nenhuma circunstância. 
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Sua resposta está incorreta.
Se os dois vetores apresentados, e v1(4,1,2)v1(4,1,2) e v2(3,2,3)v2(3,2,3)  formam uma combinação linear de v(17,8,13)v(17,8,13), é preciso que seja satisfeita a equação:
v=k1∗v1+k2∗v2v=k1∗v1+k2∗v2
Assim, deve haver dois escalares (k1,k2k1,k2) que formem a combinação linear. Logo, dadas as coordenadas dos vetores, é preciso que seja válida a equação:
(17,8,13)=k1∗(4,1,2)+k2∗(3,2,3)(17,8,13)=k1∗(4,1,2)+k2∗(3,2,3)
Pela propriedade do produto de vetores por um escalar, obtemos o seguinte:
(17,8,13)=(4k1,〖1k〗1,2k1)+(〖3k〗2,2k2,3k2)(17,8,13)=(4k1,〖1k〗1,2k1)+(〖3k〗2,2k2,3k2)
Somando as coordenadas dos vetores, temos:
(17,8,13)=(4k1+3k2;〖1k〗1+2k2,2k1+3k2)(17,8,13)=(4k1+3k2;〖1k〗1+2k2,2k1+3k2)
Pela condiçãoda igualdade entre vetores, cada coordenada do vetor v(17,8,13)v(17,8,13) deve ser igual à coordenada do vetor-resultado; assim, podemos formar um sistema linear, da seguinte forma:
             4k1+3k2=174k1+3k2=17
      {      1k1+2k2=81k1+2k2=8
             2k1+3k2=132k1+3k2=13
A equação nos mostra a relação entre escalares:
k1=8−2k2k1=8−2k2
Substituindo o escalar k1k1 na primeira equação, temos o seguinte:
4∗(8−2k2)+〖3k〗2=17→32−8k2+〖3k〗2=17→〖5k〗2=15→k2=34∗(8−2k2)+〖3k〗2=17→32−8k2+〖3k〗2=17→〖5k〗2=15→k2=3
Retomando a relação entre escalares, temos que:
k1=8−2k2=8−2∗3=2k1=8−2k2=8−2∗3=2
Portanto, podemos concluir que o vetor v(17,8,13)v(17,8,13) é uma combinação linear dos vetores v1(4,1,2)v1(4,1,2) e v2(3,2,3)v2(3,2,3) quando os escalares têm valor k1=2k1=2 e k2=3k2=3
A resposta correta é: Os vetores formam combinação linear quando k1=2k1=2 e k2=3k2=3