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Exercícios de Fixação - Tema 16
Iniciado em
terça, 19 Out 2021, 12:35
Estado
Finalizada
Concluída em
terça, 19 Out 2021, 12:36
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49 segundos
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Questão 1
Correto
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Texto da questão
A fim de viabilizar os procedimentos de transformação linear, é importante recuperar alguns conceitos matemáticos, tais como o de imagem, domínio e contradomínio de uma função. As relações entre variáveis, específicas das funções que envolvem elementos de cálculo (como as funções logarítmicas, quadráticas e polinomiais, por exemplo) são conceitos que se aplicam também aos espaços vetoriais euclidianos.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
A partir do conteúdo proposto, analise as afirmativas que se seguem:
I. ∀u1,u2∈U,F(u1)=F(u2),∀u1=u2∀u1,u2∈U,F(u1)=F(u2),∀u1=u2 (função bijetora).
II. Se G = Im(z), ∀g∈G,ház∈Z,∴∀g∈G,ház∈Z,∴, F(z) = g (função sobrejetora).
III. Pela regra da função injetora, ∀kn,km∈K,F(kn)=F(km),∀n≠m∀kn,km∈K,F(kn)=F(km),∀n≠m.
IV. Toda função bijetora é sobrejetora, e qualquer função injetora é bijetora.
Agora, assinale a opção que contenha a(s) afirmativa(s) correta(s):
Escolha uma opção:
a. Apenas II e III.
b. Apenas I e IV.
c. Apenas I, III e IV.
d. Apenas II.
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Sua resposta está correta.
A segunda afirmativa está correta, pois a regra da função sobrejetora nos mostra a correspondência entre cada elemento do domínio e da imagem de uma função, conceito que será usado também para as transformações lineares. Deste modo, se uma variável é uma imagem (contradomínio) da outra, como G é imagem de Z, para qualquer elemento g que pertença a este contradomínio existe um elemento z no domínio da função, de modo que F(z) = Z.
A resposta correta é: Apenas II.
Questão 2
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Considere a transformação F:R³⇒R²F:R³⇒R², definida por F(x1,x2,x3)=(x2,x1+x3)F(x1,x2,x3)=(x2,x1+x3). Em R³, considere a base canônica e1,e2,e3=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)e1,e2,e3=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). E em R², há a base h1,h2=(2,1),(1,0)h1,h2=(2,1),(1,0).
Nestas condições, qual a matriz representativa da transformação F?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
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Sua resposta está incorreta.
Devemos calcular primeiro as transformações relativas à base canônica, para depois verificarmos as combinações lineares que a base canônica exerce com a base de dimensão R². Portanto:
F(e1)=F(1,0,0)=F(x1,x2,x3)=(x2,x1+x3)F(e1)=F(1,0,0)=F(x1,x2,x3)=(x2,x1+x3)
Substituindo os valores de (x1,x2,x3)(x1,x2,x3) por (1,0,0)(1,0,0), gera-se o vetor em R²:
F(e1)=(0,1+0)=(0,1)F(e1)=(0,1+0)=(0,1)
A partir da informação sobre a base h1,h2h1,h2, deve-se descrever e1e1 e e2e2 e e3e3 como combinações lineares em função desta base, assim, temos:
F(e1)=F(1,0,0)=(0,1)=ah1+bh2F(e1)=F(1,0,0)=(0,1)=ah1+bh2
Você pode encontrar esta resposta efetuando um sistema linear:
A resposta correta é:
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Supondo a existência de um espaço vetorial R, organizado pelos vetores dispostos na base ( B={r_1,r_2,…,r_n} \), e a base C=s1,s2,…,snC=s1,s2,…,sn, associada ao espaço S que forma a imagem de R, descreva a forma geral que demonstra a transformação F(rj)F(rj):
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. ϕϕ
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Sua resposta está correta.
Como o espaço vetorial S é a imagem do espaço R, formando assim o seu contradomínio, a transformação linear ocorre em função de R, para todos os n elementos de R, que formam uma combinação linear com os elementos de S. Portanto, temos:
F(r1)=α11s1+α12s2+⋯+α1msmF(r1)=α11s1+α12s2+⋯+α1msm
F(r2)=α21s1+α22s2+⋯+α2msmF(r2)=α21s1+α22s2+⋯+α2msm
F(rn)=αn1s1+αn2s2+⋯+αnmsmF(rn)=αn1s1+αn2s2+⋯+αnmsm
O processo F(rn)F(rn) nos mostra que cada elemento de R é uma combinação linear de S, por meio da soma dos produtos entre coeficientes lineares (que podem ser dispostos na forma matricial, com n linhas e m colunas) e as coordenadas vetoriais dos elementos de S(s1,s2,…,sn)S(s1,s2,…,sn).
Portanto, temos:
A resposta correta é:
Questão 4
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Suponha a transformação , definida por F(x1,x2,x3)=(3x1,〖2x〗2+x3)F(x1,x2,x3)=(3x1,〖2x〗2+x3). Em R³, considere a base e1,e2,e3=(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1)e1,e2,e3=(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1). E em R², temos a base h1,h2=(2,1),(1,0)h1,h2=(2,1),(1,0).
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
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Sua resposta está incorreta.
Vamos obter as transformações relativas à base e1,e2,e3=(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1)e1,e2,e3=(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1), e posteriormente verificar as combinações lineares que esta base realiza com a base h1,h2h1,h2.
F(e1)=F(0,1,0)=F(x1,x2,x3)=(3x1,〖2x〗2+x3)F(e1)=F(0,1,0)=F(x1,x2,x3)=(3x1,〖2x〗2+x3)
Substituindo os valores de (x1,x2,x3)(x1,x2,x3) por (0,1,0)(0,1,0), gera-se o vetor em R²:
F(e1)=(3∗0,(2∗1)+0)=(3,2)F(e1)=(3∗0,(2∗1)+0)=(3,2)
A partir da informação sobre a base h1,h2h1,h2, deve-se descrever e1e1 e e2e2 e e3e3 como combinações lineares em função desta base. Assim, temos:
F(e1)=F(1,0,0)→(3,2)=xh1+yh2→(3,2)=x(2,1)+y(1,0)F(e1)=F(1,0,0)→(3,2)=xh1+yh2→(3,2)=x(2,1)+y(1,0)
Efetuando o sistema:
Portanto, F(e1)=2h1−1h2F(e1)=2h1−1h2
Agora, em e2e2
F(e2)=F(1,0,0)=(3,0)F(e2)=F(1,0,0)=(3,0)
(3,0)=x(2,1)+y(1,0)(3,0)=x(2,1)+y(1,0)
No sistema linear, temos:
Assim, temos:
F(e2)=0h1+3h2F(e2)=0h1+3h2
Por fim, em e3e3:
F(e3)=F(1,0,1)=(3,1)F(e3)=F(1,0,1)=(3,1)
(3,1)=x(2,1)+y(1,0)(3,1)=x(2,1)+y(1,0)
No sistema linear, temos:
x=1;y=1x=1;y=1
Assim, temos:
F(e3)=1h1+1h2F(e3)=1h1+1h2
Portanto, a matriz representativa da transformação F é dada por:
A resposta correta é:
Questão 5
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Quando a relação entre espaços vetoriais envolve mais de uma relação de correspondência entre domínio e imagem (ou contradomínio), pode-se afirmar a existência de uma composição de transformações lineares, onde uma transformação se expressa em função de outra.
CALLIOLI, Carlos Alberto; DOMINGUES, Hygino Hugueros; COSTA, Roberto Celso Fabrício. Álgebra Linear e Aplicações. 6. ed, 19 reimpr. São Paulo: Atual, 2013.
Com base no exposto, considere a composição. Sob quais condições este processo é uma transformação linear?
Escolha uma opção:
a. (HoJ)(β2x)≠β2(HoJ)(x).(HoJ)(β2x)≠β2(HoJ)(x).
b. (HoJ)(β2x)=J(Hβ2x)(HoJ)(β2x)=J(Hβ2x)
c. (HoJ)(β2x)=(β(HoJ)(x))2.(HoJ)(β2x)=(β(HoJ)(x))2..
d. (HoJ)(β2x)=β2(HoJ)(x).(HoJ)(β2x)=β2(HoJ)(x).
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Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: (HoJ)(β2x)=β2(HoJ)(x).
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