Aula 3 - Equação do primeiro grau

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Equação do primeiro grau
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos equação do primeiro grau, por meio de sua 
definição, seus termos e exemplos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir uma equação do primeiro grau.•
Identificar os termos da equação do primeiro grau.•
Resolver problemas envolvendo equações do primeiro grau.•
DESAFIO
Joana não conseguiu fechar o ano anterior com suas contas em dia e começou 2016 já com três 
grandes contas a pagar que totalizam R$2.800,00 conforme a seguir: 
• Mensalidade da faculdade: R$530,00. 
• Prestação do carro: R$150,00 a mais que a mensalidade da faculdade. 
• Prestação do apartamento: a definir.
Ajude a Joana a definir o valor que ela deve da prestação do apartamento.
INFOGRÁFICO
O infográfico a seguir reforça a definição e termos da equação do primeiro grau.
CONTEÚDO DO LIVRO
Para aprofundar os seus conhecimentos sobre o assunto desta unidade, leia o capítulo Equação 
do primeiro grau do livro Fundamentos de Matemática.
Boa leitura. 
FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA
Rafael Stefani
Equação do primeiro grau
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir uma equação do primeiro grau.
 � Identificar os termos da equação do primeiro grau.
 � Resolver problemas envolvendo equação do primeiro grau.
Introdução
Neste capítulo, trataremos de outro tema importante para a matemática: 
a utilização de letras no lugar de números. Mas, afinal, do que estamos 
falando?
Imaginamos a seguinte situação: Fernando é encanador e vive às 
voltas com vazamentos, canos furados, paredes com infiltrações, etc. Ele 
cobra 15 reais para fazer o orçamento (ou seja, para analisar o problema) 
e mais 12 reais por hora de trabalho. Em determinado dia, Fernando foi 
chamado para reparar uma pia que estava vazando. Na visita de orça-
mento, ele calculou que gastaria duas horas para consertá-la. Assim, o 
preço cobrado foi 39 reais. Qual a relação que existe entre os valores 
cobrados por Fernando e a equação do primeiro grau?
Equação do primeiro grau
Conforme Giovanni e Parente (1999), primeiramente, é preciso compreender 
que toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma 
ou mais letras que representem números, é denominado equação. Cada letra 
é chamada de variável ou incógnita.
Um exemplo numérico do que foi dito acima é a seguinte equação: 
–4x + 10 = 3x – 1
A expressão situada à esquerda do sinal de igual é chamada de primeiro 
membro da equação (–4x + 10), e a expressão à direita do sinal é chamada 
segundo membro da equação (3x – 1).
Antes de voltarmos para o problema do encanador, precisamos percorrer, 
ainda, outros conceitos que envolvem a ideia de equação. Primeiramente, 
consideraremos o seguinte problema.
Quais são os elementos do conjunto U = {–4, 1, 2, 4} que tornam a equação 
x2 = 16 uma sentença verdadeira?
Se x =–4, temos que (–4)2 = 16 ou 16 = 16, o que é uma afirmação 
verdadeira.
Se x = 1, temos que (1)2 = 16 ou 1 = 16, o que é uma afirmação falsa.
Se x = 2, temos que (2)2 = 16 ou 4 = 16, o que é uma afirmação falsa.
Se x = 4, temos que (4)2 = 16 ou 16 = 16, o que é uma afirmação 
verdadeira.
Dessa forma, os números –4 e 4 são chamados de raízes ou solução de 
uma equação. Para Giovanni e Parente (1999), raízes de uma equação são os 
elementos do conjunto universo que, substituídos na incógnita (nesse caso, o 
x2), tornam essa equação uma sentença verdadeira.
Já o conjunto solução da equação é formado pelas raízes da equação (caso 
existam). No problema acima, o conjunto solução é S = {–4, 4}. Mas, por que 
isso ocorre? Ora, porque –4 e 4 são os números do conjunto universo U {–4, 
1, 2, 4} que tornam x2 = 16 uma sentença verdadeira. Em outras palavras, não 
podemos dizer que 12 = 16, assim como não podemos dizer que 22 = 16 — são 
afirmações falsas. A afirmação verdadeira para o conjunto universo U = {–4, 
1, 2, 4} é que apenas (–4)2 e 42 são valores iguais a 16 e, portanto, consideradas 
a solução da equação.
Agora, considere um conjunto universo U = {2, 4}. 
Qual elemento tornará a sentença 3x – 1 = 5 verdadeira?
Vejamos o número 2, substituindo-o na sentença:
3 · (2) – 1 = 5 6 – 1 = 5 5 = 5
Teremos como resultado que 5 = 5, portanto sabemos de antemão que 2 
está inserido no conjunto solução.
Vamos ao segundo elemento, o número 4:
3 · (4) – 1 = 5 12 – 1 = 5 11 ≠ 5
Equação do primeiro grau2
Substituindo a incógnita, agora, pelo número 4, para verificar se a sentença 
é verdadeira, chegamos à conclusão que 11 ≠ 5. Portanto, o conjunto solução 
nesse caso é S = {2}.
Agora que já entendemos como se resolve uma equação, mergulharemos 
no mundo da equação do primeiro grau.
Segundo Pesco e Arnaut (2010), equação do primeiro grau é toda sentença 
aberta em uma variável real x, que pode ser expressa na forma ax + b = 0, onde 
a e b são o números reais e a ≠ 0. Comprovar essa afirmação determinando o 
conjunto-solução da equação ax + b = 0:
ax + b = 0 ⇔ ax = –b ⇔ x = –b/a, a ≠ 0.
Agora, podemos voltar ao nosso amigo Fernando e entender de que forma 
a equação do primeiro grau entra no nosso cotidiano.
Vamos ao problema sob o viés matemático.
A visita de orçamento é igual a R$ 15,00.
Fernando diagnosticou que gastaria duas horas para realizar o trabalho.
Então, como chegamos ao valor de R$ 39,00?
15 + 12 × 2 = 39
visita
de
orçamento
preço
por
hora
horas
de
trabalho
Utilizaremos a letra x, por exemplo, para representar a quantidade de horas 
trabalhadas. Logo, a expressão algébrica ficará da seguinte maneira:
15 + 12 × X = 39
visita
de
orçamento
preço
por
hora
horas
de
trabalho
Ou, de forma habitualmente aceita, 15 + 12x.
A letra x é chamada de variável de expressão. Ainda, essa expressão algé-
brica permite-nos calcular o custo de qualquer serviço realizado por Fernando. 
Vamos a outro exemplo prático: quanto custaria um serviço a ser realizado 
em 14 horas de trabalho? Se soubermos que x representa a quantidade de horas 
de trabalho, basta substituí-lo na expressão algébrica:
3Equação do primeiro grau
15 + 12x = ?
15 + 12 · 14= 183
Logo, Fernando cobraria R$ 183,00 por esse serviço.
Uma das mais importantes ferramentas de que a matemática dispõe para a resolução 
de problemas ligados a situações concretas são as equações. O inglês Isaac Newton, 
um dos maiores cientistas que a humanidade conheceu, escreveu: “para resolver 
problemas referente a números, ou relações entre quantidades, basta traduzir tal 
problema da linguagem corrente para a linguagem da álgebra, isto é, a linguagem 
das equações” (GIOVANNI; PARENTE, 1999). E foi exatamente isso que fizemos no caso 
do encanador Fernando. 
Termos da equação do primeiro grau 
Já mencionamos, na seção anterior, que uma equação é dividida em membros. 
Compreenderemos um pouco melhor esta característica.
De forma resumida, na seguinte equação, a incógnita é x; tudo que antecede 
o sinal de igualdade denomina-se 1° membro da equação, e o que sucede, 2° 
membro. 
2x – 8 = 3x – 10
Portanto, 2x – 8 caracteriza o primeiro membro da equação, e 3x – 10 
apresenta-se como segundo membro da equação.
Ademais, cada uma das parcelas que compõem o membro de uma equação 
é chamada de termo da equação.
No exemplo acima, é possível observar os seguintes termos:
2x – 8 = 3x – 10
> termos da equação.
Logo, é possível afirmar que essa equação contém quarto termos.
Observe o Quadro 1, a seguir.
Equação do primeiro grau4
Incógnitas 1° membro
2° 
membro
termos
4x – 3 = 5 x 4x - 3 5 4x | -3 | 5
a – 3b = 5 - a a e b a – 3b 5 - a a | -3b | 5 | -a
5x – 3y = 2x – 1 x e y 5x – 3y 2x – 1 5x | – 3y | 
2x | – 1
5a – 2b + 3c = 0 a, b e c 5a – 2b + 3c 0 5a | – 2b | 3c | 0
 x – = x(y – 1)1
3
x e y
X – 1
3
x(y – 1) x | – | x(y – 1)
1
3
Quadro 1. Incógnitas, membros e termos da equação do primeiro grau
Passaremos a resolver problemas usando equação do primeiro grau com 
uma incógnita,mas traduziremos da linguagem corrente para a algébrica. Em 
seguida, “armaremos” a equação que representa o problema, para, por fim, 
resolvê-la. Além disso, destacaremos as incógnitas, seus membros e termos. 
Veja o Quadro 2, a seguir.
Linguagem corrente Linguagem das equações
Uma pessoa tinha certa 
quantia em dinheiro.
X
No primeiro dia, gastou 
1
3
x
3
No segundo dia, gastou 1
5
 
do que ainda dispunha.
x
3
x –
5
E verificou que ainda lhe 
sobraram R$ 48,00. x – – = 48x
3
x
3
x –
5
Qual era a quantia inicial 
que a pessoa tinha?
X = ?
Quadro 2. Problemas usando equação do primeiro grau
5Equação do primeiro grau
Para encontrar a quantia procurada, basta resolver a equação obtida:
x – x3
x – x3– = 485
Desta equação, podemos inferir que:
 � há apenas uma incógnita x;
 � o primeiro membro apresenta-se como: x – x3
x – x3– 5 
 � o segundo membro apresenta-se como: 48;
 � a equação contém quatro termos: 
x – x3
x – x3– = 485
são os quatro termos da equação.
Finalmente, vamos à resolução.
Primeiro, partimos da equação que foi “armada”, considerando o problema 
proposto: 
x – x3
x – x3– = 485
Iniciamos resolvendo a fração x – x3 da equação. Partimos do MMC de 1 e 3:
1 3 | 3
1 1 | 
Portanto, o MMC (1, 3) = 3.
Aplicando o MMC, teremos uma nova equação que toma a seguinte forma:
3x – x
3
2x
3= ⇔
Equação do primeiro grau6
Agora, podemos resolver a equação principal, que toma outra forma:
x – x3 – = 48
2x
15
Novamente, temos uma operação (subtração) envolvendo frações com 
denominadores diferentes. O primeiro passo, como fizemos anteriormente, 
será realizar a redução ao mesmo numerador.
Aplicando a técnica do MMC, teremos:
1, 3, 15 | 3
1, 1, 5 | 5
1, 1, 1 | 3 x 5 = 15
Portanto, o MMC (1, 3, 5) = 15.
Após acharmos o MMC entre os denominadores diferentes, utilizamos 
o resultado do novo denominador (nesse caso = 15) para dividir pelo antigo 
e multiplicar pelo numerador correspondente. A nova equação fica assim:
15x
15
5x
15
2x
15 =
720
15– –
Agora, temos uma nova equação em que os denominadores são iguais (15). 
Quando isso ocorre, para achar o resultado, basta conservar o denominador 
e adicionar ou subtrair os numeradores de acordo com a operação indicada. 
Portanto, temos outra equação que se constitui da seguinte maneira:
15x –5x –2x = 720
O próximo passo será fatorar os termos da equação. Teremos, então:
8x = 720
Finalmente, um último, porém importante, passo. A constante (8) está 
multiplicando a incógnita (x). De acordo com as regras matemáticas, quando 
existe uma multiplicação que apresenta essa característica (8x), a constante 
passa para o outro lado do sinal de igual, dividindo (se, ao contrário, a cons-
tante estiver dividindo, ela deverá passar para o outro lado do sinal de igual, 
multiplicando): x = 7208
x = 90
7Equação do primeiro grau
Como esse valor satisfaz as condições do problema, temos que a quantidade 
inicial era de R$ 90,00.
Há muito tempo, as equações vêm sendo empregadas para resolver problemas. A 
primeira referência ao uso das equações está no papiro de Rhind, um documento 
egípcio escrito há mais ou menos 4.000 anos. As equações ganharam importância 
a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e 
letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XV. Para 
saber mais, acesse:
https://goo.gl/4WgTWt
Problemas envolvendo equação do primeiro 
grau
Com o conhecimento adquirido até aqui resolvermos alguns exercícios. Ini-
ciamos com as equações equivalentes, as quais apresentam o mesmo conjunto 
de solução S = {6}.
2x – 4 = 8 
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos em forma de 
fração, por exemplo, a/b, onde a e b são números inteiros e b é diferente de 
zero. Portanto, uma equação racional é qualquer uma que envolva pelo menos 
uma equação racional.
Os números irracionais, por outro lado, não podem ser expressos em forma 
de fração. São números cuja expressão decimal tem um número infinito de 
algarismos que não se repetem de forma periódica.
Podem ser, ainda, inteiras ou fracionárias:
2x – 16 = 0 ⇔ equação racional inteira
2
x + 1 = 5, x ⇔ equação fracionária
Equações inteiras possuem um conjunto de solução contido no conjunto 
dos inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2…), ou seja, um conjunto que não contém casas 
decimais. Já a equação fracionária é aquela que ao menos uma incógnita 
aparece no denominador de uma fração.
Há, ainda, as equações numéricas e literais:
x – 5 = -2x + 22 equação numérica
3ax – 5 = ax + 4 equação literal com variável x
A equação numérica é uma expressão matemática que possui números, 
uma incógnita e uma igualdade. Já a equação literal possui como característica 
alguns coeficientes ou termos independentes indicados por outras letras. 
Equações possíveis e determinadas:
X – 2(x + 1) = –3 (admite apenas o número 1 como solução, e seu conjunto 
de solução é unitário (possui apenas um elemento S = {1})
Equações possíveis e indeterminadas:
5x – 2y = 105 admite infinitas soluções
9Equação do primeiro grau
Por fim, há as equações impossíveis:
x + 2 = x + 3 x – x = -2 + 3 0 = 1 (não há igualdade, e o conjunto-solução 
será S = {} ou conjunto vazio)
Para resolver uma equação do primeiro grau, deve-se levar em consideração 
que, ao mudar as variáveis (incógnitas) e os valores numéricos de posição na 
equação, a igualdade deve continuar sendo verdadeira. Também devemos ficar 
atentos ao sinal de cada variável ou valor numérico, pois, para que a igualdade 
continue valendo, devemos inverter a operação ao mudar o lado da equação 
apenas quando se trata de uma adição ou subtração.
Dessa forma, uma multiplicação passa para o outro lado, dividindo, e uma 
divisão passa multiplicando. Utilizando a mesma regra, uma subtração passa 
somando e uma adição passa subtraindo. 
Buscamos encontrar o valor de x na equação 3x + 2 = x + 1.
Passo 1:
Passar os termos que são comuns para o mesmo lado da equação. Nesse 
exemplo, os valores de x ficarão separados em um membro, e os números 
ficam separados em outro membro da equação. Então, teremos:
3x – x = 1 – 2
Lembre-se de que as variáveis e valores devem mudar a operação quando 
for adição ou subtração.
Passo 2:
Operando os termos:
3x – x = 2x
e
1 – 2 = –1
Logo, 
2x = –1
Equação do primeiro grau10
Passo 3:
Após operar os termos, se for necessário mudar de membro um número que 
está multiplicando, esse necessariamente precisará transformar-se em uma 
divisão. Do contrário, caso tenhamos uma divisão que precise mudar de 
membro, essa transformar-se-á em uma multiplicação. 
2x = –1
x =
–1
2
Dessa forma, o valor da variável x que torna a equação verdadeira é –12
Tomamos outro exemplo: –5x = –5
Passo 1: 
Passar os termos comuns para o mesmo membro, o que já está definido na 
própria equação.
–5x = –5
Passo 2: 
Operar os termos, o que também já está definido nesta equação.
–5x = –5
Passo 3: 
Mudar os membros e a solução.
x = = 1
–5
–5
Note que -5 do primeiro membro estava multiplicando x e quando mudou 
de membro, não sofreu alteração no sinal.
Vamos a mais um exemplo:
6x + 3 = 4x + 5
11Equação do primeiro grau
Passo 1: 
Passar os termos comuns para o mesmo membro.
6x – 4x = 5 – 3
Passo 2: 
Operar os termos.
2x = 2
Passo 3: 
Mudar os membros e a solução.
x = = 1
2
2
Vamos a um último problema. Em um campeonato de surfe, os três primei-
ros colocados receberão prêmios em dinheiro. Da quantia total a ser distribuída, 
o primeiro colocado levará metade, o segundo colocado levará 30% e o terceiro 
colocado levará R$ 10.000. Qual é o valor total da premiação?
Nesse caso, a primeira tarefa será transformar um problema coloquial em 
linguagem matemática.
 � Sabemos que o valor total da premiação é x.
 � A partir dessa afirmação, podemos considerar que o primeiro colocado 
levará metade: 0,5x.
 � Ainda nessa linha de raciocínio, o segundo colocado levará 30% ou 0,3x.
 � Finalmente, o terceirocolocado levará R$ 10.000.
Agora, podemos “armar” a equação, que ficará da seguinte maneira:
x = 0,5x + 0,3x + 10.000
Então, resolveremos utilizando os “passos” já abordados acima. 
Equação do primeiro grau12
Passo 1: 
Passar os termos comuns para o mesmo membro. Lembre-se de que, se for 
necessário mudar de membro determinado termo, seu sinal deverá ser invertido. 
Nesse exemplo, precisamos manter as incógnitas e as constantes (números) 
em membros distintos. Portanto, quando mudamos os termos de membro, 
seus sinais deverão ser mudados para seu inverso. 
x – 0,5x – 0,3x = 10.000
Passo 2: 
Agora, será necessário operar os termos da equação. 
0,2x = 10.000
Passo 3: 
Mudar os membros e a solução.
x = = 50.000
10.000
0,2
Note que 0,2 mudou de membro. Saiu do lado esquerdo do sinal de igual 
para a sua direita. Com isso, há a necessidade de mudarmos o sinal para seu 
inverso. Do lado esquerdo da igualdade, ele estava multiplicando (0,2 · x) e, 
quando passou para o lado direito da igualdade, a operação passa a ser de 
divisão.
Então, o valor total da premiação é de R$ 50.000.
Diofante de Alexandria, matemático que viveu por volta de 250 D.C., ficou famoso por 
uma coleção de livros que escreveu, A Arithmetica, inteiramente dedicada ao estudo 
das equações. Nessa obra, foram apresentados 189 problemas e suas soluções. Por 
esse motivo, Diofante disputa com o francês Viète o título de pai da álgebra. Conta-se 
que o problema a seguir, escrito em forma de dedicatória no túmulo de Diofante, teria 
sido dedicado por um de seus alunos:
13Equação do primeiro grau
GIOVANNI, J. R.; PARENTE, E. Aprendendo matemática. São Paulo: FTD, 1999.
PESCO, D. U.; ARNAUT, T. Matemática básica. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
Leituras recomendadas
FIRMO, S. Lições de matemática básica. 2012. Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/
sergio/provas/mat/Firmo2012.pdf>. Acesso em: 03 jan. 2018.
SILVA, M. N. P. História das equações. c2019. Disponível em: <https://mundoeducacao.
bol.uol.com.br/matematica/historia-das-equacoes.htm>. Acesso em: 03 jan. 2019.
SOUSA, J. C. M. O homem que calculava. São Paulo: Círculo do Livro, 1983.
Sua formosa infância durou um sexto de sua vida; e mais doze 
avos havia transcorrido quando os pêlos lhe cobriram o rosto; casou-
-se passados mais um sétimo de sua existência; cinco anos mais
tarde nasceu sua única filha; que viveu metade dos anos que viveu 
o pai; Diofantes morreu quarto anos após sua filha. Com quantos
anos morreu Diofante?
Considerando a idade com que morreu Diofante por x, teremos:
x =
x
6
x
12
x
7
x
2
+ + + 5 + + 4
Logo, Diofante morreu com 84 anos.
Equação do primeiro grau14
Conteúdo:
 
DICA DO PROFESSOR
Assista ao vídeo a seguir sobre equação do primeiro grau, com exemplos práticos.
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EXERCÍCIOS
1) Carlos está fazendo a compra de material escolar para seu filho e comprou 03 
cadernos e 05 livros. Ele pagou pela compra o valor total de R$380,00. Sabendo que 
cada caderno custa R$25,00, qual o valor de cada livro?
A) R$305,00
B) R$61,00
C) R$75,00
D) R$76,00
E) R$91,00
2) Paulo juntou o valor de que precisa para pagar a conta mensal da padaria. O saldo 
devedor é R$89,00, e ele separou 5 notas de R$10,00, 7 de R$5,00 e ainda necessita de 
notas de R$2,00 para completar o pagamento. Determine quantas notas de R$2,00 
Paulo precisará para saldar o valor a pagar.
A) 2
B) 4
C) 8
D) 37
E) 87
3) Se somarmos as idades de Antônio e de seu filho Mário, teremos 84 anos. Sabendo-se 
que a idade do pai é o dobro da idade do filho, qual é a idade de cada um?
A) Mário e Antônio têm 42 anos.
B) Mário tem 56 anos, e Antônio tem 28 anos.
C) Mário tem 28 anos, e Antônio tem 56 anos.
D) Mário tem 21 anos e Antônio tem 63 anos.
E) Mário tem 14 anos, e Antônio tem 28 anos.
4) Marta e Ana ganharam de seus pais o valor de R$302,00. No entanto, Marta ficou 
com o triplo da importância que Ana ganhou. Determine quanto recebeu cada uma.
A) Ana ganhou R$100,67 e Marta ganhou R$201,33.
B) Ana ganhou R$151,00 e Marta ganhou R$151,00.
C) Ana ganhou R$201,33, e Marta ganhou R$100,67.
D) Ana ganhou R$75,50, e Marta ganhou R$226,50.
E) Ana ganhou R$226,50, e Marta ganhou R$75,50.
5) José comprou um carro novo, mas como não dispunha do valor total à vista, ele 
negociou o pagamento do valor total de R$23.500,00 em uma entrada de R$5.500,00 e 
o restante em 48 parcelas mensais iguais sem juros. Determine o valor de cada uma 
das prestações mensais que José terá que pagar.
A) R$375,00
B) R$489,58
C) R$114,58
D) R$604,17
E) R$18.000,00
NA PRÁTICA
Veja a seguir um exemplo de aplicação das equações de primeiro grau.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Modelo com equações de primeiro grau
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Matemática - Equações do 1º Grau - Introdução
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