Aula 5 - Função do primeiro grau

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Função do primeiro grau
APRESENTAÇÃO
Situações aplicadas podem ser modeladas matematicamente a partir de funções. Por exemplo, o 
salário de um trabalhador pode ser uma função do número de horas trabalhadas, o valor pago 
pela energia elétrica é uma função do consumo, entre outras situações.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as funções do primeiro grau por meio de sua 
definição, seus coeficientes e seu gráfico.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir uma função do primeiro grau.•
Identificar os coeficientes angular e linear da função do primeiro grau.•
Desenhar o gráfico da função do primeiro grau.•
DESAFIO
Hoje em dia, a preocupação com a saúde física é crescente já que a obesidade é um mal da 
sociedade moderna. Utilizando kcal (quilocaloria) como unidade de medida para a perda de 
energia após a prática de exercícios físicos, considere que a equação para encontrar o gasto por 
hora de energia (em kcal) para homens entre 18 e 25 anos é dada pela função h(p) = 4,5p, onde p 
indica o peso em kg e, para mulheres nessa mesma faixa de idade, pela função m(p) = 3,2p.
O personal trainner do casal Ricardo e Ana aplicou a equação para homens, e calculou o gasto 
de energia do Ricardo após a prática de musculação, obtendo 573,75 kcal. Sabendo-se que 
Ricardo pesa 85 kg e Ana pesa 72 kg e que ambos têm idade entre 18 e 25 anos, encontre:
a. O tempo que Ricardo praticou musculação para perder 573,75 kcal; 
b. O gasto por hora de energia (kcal) para Ana, com base na função conhecida; 
c. Considerando que o casal praticou o mesmo tempo de musculação, calcule a perda total de 
energia em kcal de Ana.
INFOGRÁFICO
Funções podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos ou algebricamente. Saber 
interpretar corretamente um gráfico pode auxiliar na resolução de problemas envolvendo 
funções. O Infográfico a seguir apresenta os gráficos de uma função do primeiro grau crescente 
e outra decrescente, destacando também os coeficientes linear e angular da função do primeiro 
grau.
CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe trechos extraídos do livro "Matemática Aplicada: Administração, Economia e 
Ciências Sociais e Biológicas", de Harshbarger e Reynolds. Esta obra foi escolhida como base 
teórica da nossa Unidade de Aprendizagem.
Atente-se ao seguinte trecho:
"(...) A coordenada x de tal ponto denomina-se zero da função. Desse modo, vemos que as 
interseções da função com o eixo x coincidem com os seus zeros". (p. 89)
Boa leitura.
A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A
E C I Ê N C I A S S O C I A I S E B I O L Ó G I C A S
7 a e d i ç ã o
Harshbarger • Reynolds
H324m Harshbarger, Ronald J.
 Matemática aplicada [recurso eletrônico] : administração,
 economia e ciências sociais e biológicas / Ronald J.
 Harshbarger, James J. Reynolds ; tradução: Ariovaldo
 Griesi, Oscar Kenjiro N. Asakura; revisão técnica: Helena
 Maria de Ávila Castro, Afrânio Carlos Murolo. – 7. ed. –
 Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2006.
 ISBN 978-85-8055-273-7
 1. Matemática aplicada. 2. Administração. 3. Economia.
 4. Ciências Sociais. 5. Ciências Biológicas. I. Reynolds,
 James J. II. Título.
CDU 51-7
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
88 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
A função na Pré-Aplicação é um exemplo de uma função especial, chamada fun-
ção linear. A função linear é defi nida como segue.
Função Linear Uma função linear é uma função da forma
y = f (x) = ax + b
onde a e b são constantes.
Interseções com os eixos Como o gráfi co de uma função linear é uma reta, são necessários somente dois 
pontos para determinar o seu gráfi co. É freqüentemente possível usar as interse-
ções com os eixos coordenados para desenhar a função linear. O(s) ponto(s) onde 
um gráfi co intercepta o eixo x é (são) chamado(s) ponto(s) de interseção com o 
eixo x, e a coordenada x desse(s) ponto(s) são a(s) interseção(ões) com o eixo x. 
Analogamente, o ponto onde o gráfi co de uma função intercepta o eixo y é o ponto 
de interseção com o eixo y, e a coordenada y do ponto é a interseção com o eixo y. 
Como qualquer ponto no eixo x tem coordenada y = 0 e qualquer ponto no eixo y 
tem coordenada x = 0, encontramos as interseções com os eixos como segue.
Interseções com os eixos (a) Para encontrar as interseções com o eixo y do gráfi co de uma equação, faça x = 0
 na equação e resolva a equação para y.
(b) Para encontrar as interseções com o eixo x, faça y = 0 e resolva a equação para x.
EXEMPLO 1 Interseções com os Eixos
Encontre as interseções com os eixos e desenhe o gráfi co de:
(a) 3x + y = 9
(b) x = 4y
SOLUÇÃO
(a) Para encontrar as interseções com o eixo y, faça x = 0 e resolva para y. 3(0) 
+ y = 9 nos dá y = 9, assim achamos que a interseção com o eixo y é 9. Para 
encontrar as interseções com o eixo x, faça y = 0 e resolva para x. 3x + 0 = 9 
nos dá x =3, assim encontramos que a interseção com o eixo x é 3. Usando as 
interseções com os eixos obtemos o gráfi co mostrado na Figura 1.14.
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
–10
–5
5
10
x
y
3x + y = 9(0, 9)
(3, 0)
(b) Fazendo x = 0 obtemos y = 0, e fazendo y = 0 obtemos x = 0, assim a única 
interseção do gráfi co com os eixos é o ponto (0, 0). É necessário um segundo 
ponto para desenhar a reta. Portanto, se fi zermos y = 1 em x = 4y, obtere-
mos x = 4 e teremos um segundo ponto (4, 1) no gráfi co. É interessante mar-
car um terceiro ponto como verifi cação. O gráfi co é mostrado na Figura 1.15.
Figura 1.14
1.3 Funções Lineares 89
–4 –1 1 2 3 4
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
x
x = 4y
(4,1)
(0, 0)
Observe que a equação desenhada na Figura 1.14 pode ser reescrita como
y = 9 – 3x ou f (x) = 9 – 3x.
Com essa forma funcional, vemos na Figura 1.14 que a interseção (3, 0) com o 
eixo x é o ponto onde o valor da função é zero. A coordenada x de tal ponto de-
nomina-se zero da função. Desse modo, vemos que as interseções da função com 
o eixo x coincidem com os seus zeros.
EXEMPLO 2 Depreciação
Uma propriedade comercial foi adquirida por $ 122.880 e depreciada por um pe-
ríodo de 10 anos. O seu valor y está relacionado ao número de meses de serviço x 
por meio da equação
4096x + 4y = 491.520
Encontre as interseções com os eixos x e y e use-os para esboçar o gráfi co da 
equação.
SOLUÇÃO
interseção com o eixo x: y = 0 nos dá 4.096x = 491.520
 x = 120
Assim, 120 é a interseção com o eixo x.
interseção com o eixo y: x = 0 nos dá 4y = 491.520
 y = 122.880
Desse modo, 122.880 é a interseção com o eixo y = 122.880. O gráfi co é mostrado 
na Figura 1.16 na página seguinte. Observe que as unidades nos eixos x e y são 
diferentes e que a interseção com o eixo y corresponde ao valor da propriedade 
depois de 0 mês da compra. Isto é, a interseção com o eixo y nos dá o preço de 
compra. A interseção com o eixo x corresponde ao número de meses que passa-
ram até o valor ser 0; isto é, a propriedade tem a sua depreciação total após 120 
meses ou 10 anos. Observe que somente valores positivos para x e y fazem sen-
tido nessa aplicação, assim somente a parte do gráfi co no Primeiro Quadrante 
é mostrada.
Figura 1.15
90 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
Meses
D
ól
ar
es
20 40 60 80 100 120 140
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
x
y
4.096x + 4y = 491.880
Apesar de ser fácil usar as interseções com os eixos para desenhar as equações 
lineares, nem sempre este é o melhor método. Por exemplo, retas verticais, retas 
horizontais ou retas que passem pela origem podem ter uma única interseção com 
os eixos e, se a reta tiver ambas as interseções com os eixos muito próximas da 
origem, usá-las pode resultar em gráfi cos pouco precisos.
Coefi ciente Angular de
uma Reta
 Observe que na Figura 1.16, conforme nosmovemos sobre o gráfi co do ponto de 
interseção com o eixo y (0, 122.880) para o ponto de interseção com o eixo x (120, 0), o 
valor de y da reta varia de –122.880 unidades (de 122.880 para 0), enquanto o valor 
x varia 120 unidades (de 0 para 120). Desse modo, a taxa de variação dos valores 
dessa propriedade comercial é
−122 880
120
.
 = –1.024 dólares por mês.
Isso signifi ca que a cada mês o valor da propriedade muda de –$ 1.024 ou o valor 
decresce de $ 1.024/mês. Essa taxa de variação de uma função linear chama-se 
coefi ciente angular da reta que é o seu gráfi co (ver Figura 1.16). Para o gráfi co de 
função linear, a taxa de variação em y correspondente à variação em x mede o coe-
fi ciente angular da reta. Para qualquer reta não vertical, o coefi ciente angular pode 
ser encontrado usando quaisquer dois pontos da reta, como a seguir:
Coefi ciente Angular de 
uma Reta
Se uma reta não vertical passa pelos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), seu coefi ciente 
angular, denotado por m, é encontrado usando
 
m y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
ou, de modo equivalente,
 
m y y
x x
=
−
−
1 2
1 2
O coefi ciente angular de uma reta vertical não é defi nido.
Observe que, para uma dada reta, o coefi ciente angular é o mesmo indepen-
dentemente dos dois pontos usados para seu cálculo; isto ocorre porque os lados 
correspondentes em triângulos semelhantes são proporcionais.
Figura 1.16
y
x
y2
P2(x2, y2)
y1
x1 x2
P1(x1, y1)
x2 − x1
y2 − y1
1.3 Funções Lineares 91
Podemos também escrever o coefi ciente angular usando a notação
m = Δ
Δ
y
x
 (Δy = y2 – y1 e Δx = x2 – x1)
onde Δy é lido como “delta y” e signifi ca “variação em y”, e Δx signifi ca “varia-
ção em x”.
EXEMPLO 3 Coefi cientes Angulares
Encontre o coefi ciente angular da
(a) reta �1 , passando por (–2, 1) e (4, 3)
(b) reta �2 , passando por (3, 0) e (4, –3)
SOLUÇÃO
(a) m = −
− −
= =
3 1
4 2
2
6
1
3( )
 ou, de modo equivalente, m =
−
− −
=
−
−
=
1 3
2 4
2
6
1
3
 Isso signifi ca que um ponto três unidades à direita e uma unidade acima de 
qualquer ponto da reta também está na reta. A reta �1 é mostrada na Figura 
1.17.
(b) m = − −
−
=
−
= −
0 3
3 4
3
1
3( )
 Isso signifi ca que um ponto uma unidade à 
direita e três unidade abaixo de qualquer 
ponto da reta também está reta. A reta 
�2 também é mostrada na Figura 1.17.
 Figura 1.17
Pela discussão anterior, vemos que o coefi ciente angular descreve a direção 
de uma reta como a seguir.
O R I E N TA Ç Ã O D A R E TA E S E U C O E F I C I E N T E A N G U L A R
1. O coefi ciente angular é positivo se a reta 
se inclina para cima quando nos movemos 
para a direita. A função é crescente.
m y
x
=
Δ
Δ
 > 0
2. O coefi ciente angular é negativo se a reta se inclina para 
baixo quando nos movemos para a direita. A função é de-
crescente.
m y
x
=
Δ
Δ
 < 0
(continua)
x
y
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–4
–2
2
4
(–2, 1)
(4, 3)
(4, −3)
(3, 0)
�2
�1
m > 0
x
y
m < 0
x
y
92 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
O R I E N TA Ç Ã O D A R E TA E S E U C O E F I C I E N T E A N G U L A R ( c o n t i n u a ç ã o )
3. O coefi ciente angular de uma reta horizontal é 0, 
porque Δy = 0. A função é constante.
 m y
x
=
Δ
Δ
 = 0
4. O coefi ciente angular de uma reta vertical não é de-
fi nido, porque Δx = 0.
 m y
x
= Δ
Δ
 não é defi nido
Duas retas distintas, não verticais, que têm o mesmo coefi ciente angular são 
paralelas e, reciprocamente, duas retas paralelas não verticais têm o mesmo coefi -
ciente angular.
Retas Paralelas Duas retas distintas não verticais são paralelas se e somente se os seus coefi cientes 
angulares forem iguais.
Em geral, duas retas são perpendiculares se elas se interceptam formando ân-
gulos retos. Porém, este aspecto das retas perpendiculares pode estar oculto quando 
desenhamos as retas, a menos que as escalas dos eixos sejam as mesmas. Observe 
que as retas �1 e �2 da Figura 1.17 aparentam ser perpendiculares. Porém, as mes-
mas retas traçadas com escalas diferentes nos eixos não parecem perpendiculares. 
Para evitar sermos enganados por gráfi cos com escalas diferentes, utilizamos o 
coefi ciente angular para saber quando as retas são perpendiculares. Observe que 
o coefi ciente angular de �1, 13 , é o recíproco negativo do coefi ciente angular de �2, 
–3. De fato, como com as retas �1 e �2, quaisquer duas retas não verticais que sejam 
perpendiculares entre si têm coefi cientes angulares que são recíprocos negativos 
um do outro.
Coefi cientes Angulares de 
Retas Perpendiculares
Uma reta �1 com coefi ciente angular m, onde m ≠ 0, é perpendicular à reta �2 se 
e somente se o coefi ciente angular de �2 for –1/m. (Os coefi ciente angulares são 
recíprocos negativos.)
Como o coefi ciente angular de uma reta vertical não é defi nido, não podemos 
usar o coefi ciente angular em discussão das relações de paralelismo e perpendicu-
larismo que envolvam retas verticais. Duas retas verticais são paralelas e qualquer 
reta horizontal é perpendicular a qualquer reta vertical. 
PONTO DE CONTROLE 1. Determine o coefi ciente angular da reta que passa por (4, 6) e (28, –6).
2. Se uma reta tem coefi ciente angular m = 0, então a reta é _____________. Se 
uma reta não tem o coefi ciente angular defi nido, então a reta é __________.
3. Suponha que a reta 1 tenha coefi ciente angular m1 = 3 e que a reta 2 tenha 
coefi ciente angular m2.
 (a) Se a reta 1 é perpendicular à reta 2, determine m2.
 (b) Se a reta 1 é paralela à reta 2, determine m2.
Escrevendo Equações de Retas Se o coefi ciente angular de uma reta for m, então o coefi ciente angular entre 
um ponto fi xo (x1, y1) e qualquer outro ponto (x, y) na reta também é m. Isto é,
m não definido
y
m = 0
x
y
1.3 Funções Lineares 93
m y y
x x
= −
−
1
1
Isolando y – y1 obtemos a equação da reta na forma ponto-coefi ciente angular.
Forma Ponto-Coefi ciente 
Angular
A equação da reta passando pelo ponto (x1, y1) e com coefi ciente angular m pode 
ser escrita na forma ponto-coefi ciente angular
y – y1 = m ( x – x1)
EXEMPLO 4 Equações de Retas
Escreva a equação para cada reta que passa por (1, –2) e que
(a) tem coefi ciente angular 23 (b) não tem coefi ciente angular defi nido
(c) também passa pelo ponto (2, 3)
SOLUÇÃO
(a) Aqui, m = 23 , x1 = 1 e y2 = –2. A equação da reta é 
y x
y x
y x
− − = −
+ = −
= −
( ) ( )2 2
3
1
2 2
3
2
3
2
3
8
3
 Essa equação também pode ser escrita na forma geral como 2x – 3y – 8 = 0. 
A Figura 1.18 mostra o gráfi co dessa reta; o ponto (1, –2) e o coefi ciente angu-
lar estão destacados.
(b) Como m não é defi nido, não podemos usar a forma ponto-coefi ciente angu-
lar. Essa reta é vertical, de modo que todos os pontos dela têm a coordenada 
x igual a 1. Assim, a equação é x = 1. Observe que x = 1 não é uma função.
(c) Inicialmente use (1, –2) e (2, 3) para encontrar o coefi ciente angular.
m = − −
−
=
3 2
2 1
5( )
–4 –2 2
–6
–4
–2
2
4
x
y
(1, −2)
Δx = 3
Δy = 2
m = Δx
Δy
3
2
 = 
2x − 3y − 8 = 0
Figura 1.18
94 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
 Usando m = 5 e o ponto (1, –2) (o outro ponto poderia também ser usado), ob-
temos
 y – (–2) = 5(x – 1) ou y = 5x – 7
O gráfi co de x = 1 (do Exemplo 4 (b)) é uma reta vertical, conforme mostrado 
na Figura 1.19 (a); o gráfi co de y = 1 tem coefi ciente angular 0, e o seu gráfi co é uma 
reta horizontal, como mostrado na Figura 1.19 (b).
Em geral, as retas verticais não têm coefi cientes angulares defi nidos e a equação é 
da forma x = a, onde a é a coordenada x de cada ponto na reta. As retas horizontais têm 
m = 0 e a equação é da forma y = b, onde b é a coordenada y de cada ponto na reta.
EXEMPLO 5 Apreçamento
Os dados do U.S. Census Bureau indicam que o preço médio p de aparelhos de tele-
visão em cores pode ser expresso como uma função linear do números de aparelhos 
vendidos N (em milhares). Além disso, à medida que N aumenta de 1.000, p decresce 
de $ 10,40 equando 6.485 (mil) aparelhos foram vendidos, o preço médio por apare-
lho era $ 504,39. Escreva a equação da reta determinada por essa informação.
SOLUÇÃO
Vemos que o preço p é uma função do número de aparelhos N (em milhares), as-
sim o coefi ciente angular é obtido por
m = = − = −variação em
variação em
 
 
p
N
10 40
1 000
0 0104,
.
,
Um ponto da reta é (N1, p1) = (6.485, 504,39). Usamos a forma ponto-coefi ciente 
angular adaptada às variáveis N e p.
 p – p1 = m(N – N1)
 p – 504,39 = –0,0104(N – 6485)
 p – 504,39 = –0,0104N – 67,444 
 p = –0,0104N + 571,834
A forma ponto-coefi ciente angular, com o ponto de interseção com o eixo y sendo 
(0, b), pode ser usada para deduzir uma forma especial de equação de uma reta.
y – b = m(x – 0)
 y = mx + b
Forma Coefi ciente 
Angular-Interseção
com o Eixo y
A forma coefi ciente angular-interseção com o eixo y da equação de uma reta com 
coefi ciente angular m e interseção com o eixo y b é
y = mx + b
Observe que se a equação linear tem a forma y = mx + b, então o coefi ciente de x 
é o coefi ciente angular e o termo constante é a interseção com o eixo y.
EXEMPLO 6 Produto Nacional Bruto
Na Pré-Aplicação observamos que a equação linear y = 352,2x + 2.703 expressa 
(aproximadamente) o produto nacional bruto (PNB) dos Estados Unidos, y, em 
bilhões de dólares, como uma função do número de anos após 1980, x.
x
-2
2
-2
2
x = 1
(a)
y
x
y
-2 2
-2
2 y = 1
(b)
Figura 1.19
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
DICA DO PROFESSOR
A função do primeiro grau é um caso particular de função polinomial e pode ser expressa como 
y = ax + b, onde (a) é denominado de coeficiente angular e (b) é chamado de coeficiente linear 
da reta. Acompanhe, nesta Dica do Professor, a definição da função do primeiro grau, a 
descrição de seus coeficientes angular e linear, o cálculo de sua raiz e a sua representação 
gráfica.
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EXERCÍCIOS
1) Determine os coeficientes angular e linear da reta representada pela função f(x) = 3x 
+ 5: 
A) Coeficiente angular a = 3, coeficiente linear b = 5.
B) Coeficiente angular a = -3, coeficiente linear b = 5.
C) Coeficiente angular a = 5, coeficiente linear b = 3.
D) Coeficiente angular a = 3/5, coeficiente linear b = 5.
E) Coeficiente angular a = -5/3, coeficiente linear b = 5.
2) Determine a função do primeiro grau cujo gráfico passa pelos pontos A(0; -1) e B(1; 
2). 
A) y = x + 1.
B) y = x - 1.
C) y = 3x + 2.
D) y = 3x - 1.
E) y = 3x + 1.
3) A função da reta com coeficiente angular 1/2 e interseção com o eixo y igual a –3, é: 
A) y = -3x + 1/2.
B) y = -3x - 1/2.
C) y = 1/2(x) – 3.
D) y = 1/2(x) + 3.
E) y = 1/2(x).
4) O coeficiente angular e a interseção com o eixo y da reta cuja equação é x + 2y = 8 
são, respectivamente: 
A) 1/2 e 4.
B) −1/2 e 4.
C) −1/2 e -4.
D) 4 e −1/2.
E) -4 e 1/2 .
5) Um edifício valendo R$ 360.000 é depreciado pelo seu proprietário. O valor y do 
edifício depois de x meses de uso é y = 360.000 – 1.500x. Quanto tempo (em meses) 
leva para que o edifício seja totalmente depreciado, ou seja, seu valor seja zero? 
A) 1500 meses.
B) 360.000 meses.
C) 240 meses.
D) 0,004 meses.
E) 361.500 meses.
NA PRÁTICA
Alguns problemas aplicados podem ser modelados por meio de uma função do primeiro grau. 
Neste tipo de função y = ax + b, o coeficiente angular (a) indica a taxa de variação e o 
coeficiente linear (b) informa o valor de y quando x for igual a zero. A situação a seguir ilustra 
como a função do primeiro grau pode ser utilizada para interpretar um problema prático.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Funções - O que é uma função? Noção intuitiva
Assista aos vídeos de 1 a 7 do canal "Me Salva" e amplie seus conhecimentos sobre as funções 
do primeiro grau.
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