sel310-A23 Guia met planos paral Sel310 612

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Guia Metálico de 2 Planos Paralelos
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia de curso de engenharia de 
computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL30/05/2012
Incidência Normal
x
z
y
X
rE
rH
rk σ →∞
z
x
y
E
rE
rHrk σ →∞
30/05/2012 3SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
iE
iH
ik
SK
n
z
iE
iH ik
n
SK
(a) (b)
Polarização Perpendicular Polarização Paralela
Incidência Oblíqua
x
z
y
X
rE
rH r
k
σ →∞
iθ
z
x
y
E
rE
rH
rk
σ →∞
iθ
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4
iE
iH
ik
(a)
iθ
iE
iH
ik
(b)
iθ
Polarização Perpendicular Polarização Paralela
Guiamento
�Finalidade : Conduzir energia eletromagnética
de um ponto para outro
�Modos de Propagação 
• Arranjo único de campos elétrico e magnético que
• Satisfaz todas as equações de Maxwell
• Satisfaz as condições de contorno impostas pela • Satisfaz as condições de contorno impostas pela 
geometria da estrutura
• Os vários modos correspondem às diferentes soluções 
das equações de onda
�Como obter as soluções 
• Resolvendo a equação de onda
30/05/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Classificação dos Modos-1
Modo TEM (eletro magnético transversal)
0
z z
E H= =
Componentes de E e H diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
30/05/2012 6SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modo TE (elétrico transversal)
0 ; 0E Hz z= ≠
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
Classificação dos Modos-2
Modo TM (magnétrico transversal)
0 ; 0H Ez z= ≠
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
30/05/2012 7SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modos Híbridos HE ou EH
0 ; 0H Ez z≠ ≠
Possuem 5 ou 6 componentes de campos
Classificação dos Modos-3
Modo TM (magnétrico transversal)
0 ; 0H Ez z= ≠
Componentes de E diferentes de zero estão 
no plano transversal ao de propagação
30/05/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modos Híbridos HE ou EH
0 ; 0H Ez z≠ ≠
Possuem 5 ou 6 componentes de campos
Forma e Notação dos Campos-1
Suposições 
Guias sem perdas:
Dielétricos ideais (sem perdas)
Metais condutores perfeitos
exp( )j tωFator de variação temporal: 
exp( )jk z−Fator de variação espacial: 
30/05/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Os campos são da forma
( ) ( ) ( ), , , ( , ) , zjk zx y zE x y z E x y x E x y y E x y z e
− = + + 
 
ɵ ɵ ɵ
exp( )
z
jk z−Fator de variação espacial: 
Forma e Notação dos Campos-2
z
H
jk H j Eω ε
∂
+ =
e
z
j jk
t z
ω
∂ ∂
= = −
∂ ∂
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell H j Dω∇× =
30/05/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
jk H j E
y
H
jk H j E
x
H H
j E
x y
ω ε
ω ε
ω ε
+ =
∂
∂
− − =
∂
∂ ∂
− =
∂ ∂
Forma e Notação dos Campos-3
e
z
j jk
t z
ω
∂ ∂
= = −
∂ ∂
Meio isento de fontes e com
Da equação de Maxwell E j Bω∇× = −
z
E
jk E j Hωµ
∂
+ = −
30/05/2012 11SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
z y x
z
z x y
z x
z
E
jk E j H
y
E
jk E j H
x
E E
j H
x y
ωµ
ωµ
ωµ
∂
+ = −
∂
∂
− − = −
∂
∂ ∂
− =
∂ ∂
Guia metálico e sistema de coordenadas
metal
metal
y
b
→∞
30/05/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z
x
Componentes dos Campos (1)
0
z
z y x
H
jk H j E
y
x
ω ε
∂
+ =
∂
∂
=
∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 13
z
z x y
z x
z y x
z x y
z
x
z
y
k H E
H
j E
y
H
jk H j E
x
H H
j E
x y
ω ε
ω
ω ε
ε εω
∂
− − = →
∂
∂ ∂
−
∂
= −
∂
== → −
∂ ∂ ∂
Componentes dos Campos (2)
0
z
z y x
E
jk E j H
x
ωµ
∂
+ = −
∂
∂
=
∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 14
z
z x y
z y x
z x y
z x x
zz
jk E j H
y
k
E
jk E j H
x
E
E H
E
j
E
j H
x y
H
y
ωµ
ωω µ
ωµ
µ
ωµ
∂
− − = − →
∂
∂ ∂
−
+
= →
∂ ∂
= −
∂
=
∂
= −
∂
Componentes dos Campos (3)
z
z y
z y
x
z
x
x
H
jk H j E
y
k H E
H
j E
y
ω ε
ω ε
ω ε
∂
+ =
∂
= −
∂
= −
∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 15
z
z y x
z x y
x
z
E
jk E j H
y
k E H
E
j
y
H
y
ωµ
ωµ
ωµ
∂
+ = −
∂
=
∂
= −
∂
∂
Componentes dos Campos (4)
z
x
y x
z
k
H E
E
H
y
j
µ
ω
ω
µ
=
∂
=
∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16
z
y x
z
x
k
E H
Hj
E
y
y
ω
ω
ε
ω
µ
ε
=
∂
∂
= −
∂
Equações de onda
 ; z
z
z
x
y
x
x
y
z
H
jk
k Ej
H j E
y
H E H
yωµ ωµ
ω ε
∂
= =
∂
∂
+ =
∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 17
( )
2
2 2
2
, 0
z
y
x
x
x
z y
k E H
y
ωµ ωµ
ω µε
 ∂ + − = 
∂
∂ 
Soluções TE e TM
 ; ; Modos 
 ; ; Modos M
TE
T
x
y
z
z
y
x
H E E
E H H
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18
z
y
x
b
→∞
Soluções TE e TM
( )
2
2 2
2
Modos TE 
0
 ;z x
y
z x
x z
k Ej
H E H
y
k E
y
ω µε
ωµ ωµ
 ∂ + − = ∂ 

 ∂ = = ∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
( )
2
2 2
2
Modos
 ; 
 T
0
 M
z x
y
z x
x z
y
k H
k Hj
E H E
y
y
ωε ωε
ω µ
ωµ ωµ
ε
 ∂
∂
= − =
 + − =
∂


∂ 
∂
Soluções TE-1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, sen cos exp
Condições de contorno
, 0
x
x y y z
E
E y z A k y B k y jk z
y z
 = + −  
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 20
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0,
, exp
, sen
0
, 0
0
exp
y
x y
x
x z
z
y b
E
E y z B jk z
E y z A k
y z
y jk z
B
=
=
= − = →
= −
=
=
Soluções TE-2
( ) ( ) ( )
( )
0,
, sen exp
Condições de contorno
, 0
x y
b
x
y
z
E y z A k y jk z
yE z
=
=
=
−
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 21
( ) ( ) ( )
( )
, se
: nº de onda 
n exp
sen 0 , 0,1,2
transversal
y b
x y z
y
y y
E y z A k b jk z
k b m
k
b
m
k
π
=
= −
= =→ = …
Soluções TE-3
( ) ( ) ( ) 10 V m
 
, sen exp 
x y z
E y z E k y jk z
m
k
π
−− ⋅=
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 22
 
1,2 ( 0 é solução 
: nº de onda transv
triv
ersa
al)
l
i
y
y
m
m
k
b
k
m
π
=
=
=…
Relação de dispersão
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
1
2
2
0
0
V m, sen exp 
x y z
z x
k E
y
E y z E k y jk z
ω µε
−
 ∂ + − = ∂ 
⋅
∂
→ −
= −
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
( )
2
2
2
2 2
2
2
2
0
: r0 elação de dispers oã
z
x
y
y
y z
k
k
y
k k E
kµ
ω µ
ω ε
ε
∂
→ −
∂
 − + − =
− − =
  
Constante de propagação
2 2
2
2
2
1
0
y z
m
kkω
π
µε
−
  = −
− − =
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24
2
2
2
1 m
z
m
k k
b
k ω
π
µε
−
  = −
=
  
Velocidade de fase
1 m s
z
f
v
k
ω −⋅=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 25
( )
2
2
1m 
z
m
k
b
π
ω µε −
  = −   
Frequência de corte
( )
2
2
1
2 2
Condição de propagação: deve ser nº real e positivo
m
: condição de corte0
z
z
z
k
m
k
b
k
π
ω µε −
  = −   
   
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 26
( ) ( )
2 2
2 2
 , 
1
2
2
 Hz
: característica do meio entre, 
c
c
c
m m
f
m
f
b
b b
µε
π π
ω µ ε
µ ε
ε π µ
      = =       
=

 os planos metálicos
Velocidade de fase
( )
2
2
1
1
1/2
2
 Hz
 Reescrevendo m
m , : frequência de operação2 1
1
2
 
z
c
c
f
k f
m
f
b
m
k
b
f
µε
π µε
π
ω εµ −
−
  = −   
=
    = − 
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 27
1
1/2
2
m , : frequência de operação
A velo
2 1
cidade de fase é 
 m
1
1 s
f
z
c
c
f
z
f
k f
f
f
v
f
f
v
k
π µε
µ
ω
ε
−
−
=
    = − 
  = −      
    
⋅

1−
Comprimento de onda de corte
( )
1/2
2
1
 Hz
 m s
Para e 
1
, / =0
1
2
1
1
c c
c
c
f
fc
m
f
b
f
f f f f v
v
f
µ
µε
µ
ε
ε
−
−
=
    = −      
⋅
=≫
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 28
( )
( )
Notar que é a velocidade de fase
de onda 
 
plana em meio , sem fronteiras 
m
1
Ma
2
s, 
c c
fc
c c
fc
c
c
fc c
v
v f
m
b
f
µ ε
λ
µε
µ
λ
ε
λ =
=
→=
Modo principal (fundamental)
1
Modo com a menor frequência de corte
1: 1 meia senóide na direção 
 Hz
TE
1
m x
f
=
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 29
 Hz
m2 
: frequência de operação
1
2
c
c
f
b
f
b
λ
µε
=
=
Modos TE: Resumo
1/2
2
1
1/2
2
1m : constante de propagação
 m s : velocidade de fase
1
1
2 1
f
c
z
c
f
k
f
v
f
f
f
µε
π µε −
−
−
    = −    
    = −      

⋅
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 30
 Hz: frequência de corte
m: comprimento de 
1
onda
2
 
2
 
c
c
f
m
f
b
b
m
µε
µε
λ
   
=
=
 
de corte
: frequência de operação; 1,2f m = …
Propagação e corte
2
2
 : propagação
 : condição de corte
m
b
m
b
π
ω µε
π
ω µε
>
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 31
2
 : condição de corte
 : não há propagação (atenuação)
b
m
b
ω µε
π
ω µε
=
<
Abaixo da condição de corte
( )
( )
2
1
2
2
2
2
 : atenuação
m 
z
m
b
m
m
k
b
π
ω µε
π
π
ω µε −
 
  = −   
<
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 32
( )
( ) ( ) ( )
'
'
2
'
'
 , = >0
Campos são proporcionais a
exp exp
decaimento exponencial na direção de propagação
exp
zz z
z zz
m
k
b
jk
k jk
jk k zz j z
π
ω µε
   −   
 − → − =
= −
−
 
−
Campo eletromagnético modos TE
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
0
, sen exp 
sen exp 
Modos 
V m
V m
TE
x y z
zz
E y z E k y jk z
k
H E k y jk z
k
E
−
−
⋅
= = ⋅−
−=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 33
( ) ( )
( ) ( )
1
1
0
0
sen exp 
cos exp 
V m
A m
z
y y z
y
z y
z
x
z
x
H E k y jk z
k
E
Ej
y
H j E k y jk z
ωµ
ω
µ
µ
ω
ωµ
−
−
= = ⋅
∂
−
=
∂
− ⋅=
Modelo de propagação modo TE (1)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
1, sen exp 
,
V m
, exp
2
y y
y z y z
x y z
j k y k z j k y
jk y jk y
x z
k z
E
E y z j e e j
E y z E k y j
k
k z
z
E
E y z j e e
−
− +
− + + −
= −
 
= − 
⋅
= − −
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 34
( ) ( ) ( )
( )
( )
0,
2
 
 
: sentido 
: sentido
: coeficiente de reflex o1 ã
y z
y z
y z y z
j k y k z
j k y k z
x
e y
e y
R
E y z j e e
+ −
− +
+
−
= −
 
= − 
  
Modelo de propagação modo TE (2)
XX
XX
●●●● XX
E
E
H
H
z
ɵ
y
ɵ
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 35
z
k
y
k
y
k
z
k
z
k
y
k
y
k
z
k
Constante de propagação vs. frequência
m
freq. corte
(x108 Hz)
1 1,5
2 3,0
3 4,5
4 6,0
5 7,5
15
20
25
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(
1
/
c
m
)
1/2
2
1m
 Hz
100 cm; ar
2 1
1
2
z
c
c
m
f
k
f
f
b
f
b
µε
π µε −
    = −      
=
=
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 36
5 7,5
z
y
x
b
→∞
0 2 .108 4 .108 6 .108 8 .108 1 .109
0
5
10
frequência (Hz)
C
o
n
s
t
a
n
t
e
 
d
e
 
p
r
o
p
a
g
a
ç
ã
o
 
(
1
/
c
m
)
5m =4321
TEM
modo
principal
Soluções TM (1)
( )
2
2 2
2
0
 z
z x
k
E H
k H
y
ω µε
 ∂ + − =
= −



∂
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 37
 
x
z
y x
z
k
E H
Hj
E
yωε
ωε
∂
= −
=
∂
Soluções TM (2)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
1
0
 
cos exp
A m
=
cos exp
 z
y z
z
x
x
y
y z
k
H k y jk
k
H
Hj
z
k
H H k y j
E
k z
ωε ωε
−⋅
= −
∂
= −
− −
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 38
( ) ( )0sen ex
, n=0,
p
1,2
y
y z
y
z
x
Hj
E
y
n
k
k
j H k y jk z
b
ωε
π
ωε
∂
−= = −
∂
= …
Soluções TM (3)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
cos exp
cos exp = 
se
0 0
n exp
exp
exp
0
x
y
y z
z
z
z
y zy z
y
H k y jk z
k
H k y jk z
k
j H k y jk
H H jk z
k
E H jk
n k
z
E z
ωε ωε
→
= − =
= − −
= −
= =
−
−
−
− =
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 39
( ) ( )0se
0, 0, 0
Campos 0 no plano tran
0 e 0 Modo T
n exp
Assim
0
sversal a 
M
,
E
z z
x y z
z y z
j H k y jk
H E E
z
E
E z
E
ωε
=
≠
−
≠ =
≠
= = →
− =
Modelo de propagação modo TE (2)
××
××
●●●● ××
E E
HH
z
ɵ
y
ɵ
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 40
z
k
y
k
y
k
z
k
z
k
y
k
y
k
z
k
Modelo de propagação modos TE e TM
z
ɵ
y
ɵ
XX
XX
●●●● XX
E
E
H
H
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 41
××
××
●●●● ××
E E
HH