Trabalho - Estudo de sinais biomédicos - Análise em tempo-frequência e Transformada de Fourier

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Universidade Federal de Uberlândia 
 Faculdade de Engenharia Elétrica 
 Curso de Engenharia Biomédica 
 
 
 
 
 
 
“Estudo de sinais biomédicos: Análise em tempo-frequência e Transformada de 
Fourier (FT)”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uberlândia, 05 de dezembro de 2011. 
 Universidade Federal de Uberlândia 
 Faculdade de Engenharia Elétrica 
 Curso de Engenharia Biomédica 
 
 
 
 
 
 
“Estudo de sinais biomédicos: Análise em tempo-frequência e Transformada de 
Fourier (FT)”. 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo: Jhone Roberto G. Santos 11111EBI012 
 Luiza Assis 11111EBI016 
 Rodrigo Côrtes 11111EBI019 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
O objetivo desse trabalho é apresentar como conceitos básicos da disciplina de 
funções de variáveis reais I são integrados ao trabalho do profissional em engenharia 
biomédica. 
Nesse trabalho serão apresentadas as técnicas clássicas de processamento de 
sinais biomédicos, utilizando a representação no domínio do tempo e à representação no 
domínio da frequência. Relacionando-as através da transformada de Fourier. 
Primeiramente, vamos definir o que seja um sinal biomédico. Entende-se por 
sinal a representação gráfica de um conjunto de dados ou informações codificadas por 
traços, pontos e a combinação desses. E também pode ser definido como uma função de 
variáveis independentes. Temos em nosso cotidiano inúmeros exemplos de aparelhos 
que decodifica, ou seja, de alguma forma lê esses sinais e reproduz a informação 
contida. Por exemplo, o aparelho de áudio que decodifica a informação armazenada em 
um CD e o reproduz em forma de ondas sonoras, caracterizando o que chamamos de 
som. 
O sinal biomédico pode ser representado da mesma forma. Pois, é um sinal que 
tem codificado informações a respeito de alguma atividade do nosso corpo. Através 
dessa informação podemos analisar se tal órgão está funcionado regularmente, detectar 
anomalias e irregularidades no seu comportamento. 
Em um modo geral, a detecção desse sinal é feito através de eletrodos inseridos 
superficialmente ou internamente ao corpo, depende do tipo de sinal que se deseja 
detectar, que envia o sinal a um software que fará a filtragem, a amplificação, a 
representação e o tratamento desse sinal. 
Não poderíamos deixar de citar também um breve histórico sobre o “criador” da 
transformada de Fourier. 
Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em 21 de março de 1768, e morreu em 16 
de maio de 1830. Foi um matemático francês conhecido principalmente pela sua 
contribuição à análise matemática do fluxo de calor. Ao longo de sua vida Fourier 
demonstrou o seu interesse em matemática e físicas matemáticas. Ele ficou famoso pela 
sua Theorie analytique de la Chaleur (1822), um tratamento matemático da teoria de 
calor que mais tarde ficou conhecida com série de Fourier. Ele estabeleceu a equação 
diferencial parcial administrando a difusão de calor e resolveu isto usando série infinita 
de funções trigonométricas. Embora estas séries já tivessem sido usadas antes, Fourier 
as investigou em detalhe muito maior. 
A Transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma 
função em termos de funções de base sinusoidal, ou seja, como soma de funções 
sinusoidais multiplicadas por coeficientes (amplitudes). Hoje a análise de Fourier é uma 
das técnicas matemáticas com maior número de aplicações práticas. Além de ser 
utilizada extensivamente em cálculo numérico nas áreas mais diversas das ciências 
aplicadas e engenharias, a análise de Fourier constitui ainda a base do processamento de 
sinais. Tem por isso um papel central nas telecomunicações modernas e também no 
processamento de imagens digitais. 
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Exemplos de sinais biomédicos 
Existem alguns sinais biomédicos que são mais comuns de se trabalhar, 
principalmente para o engenheiro biomédico. 
Sinais estes como Fonocardiograma (PCG): Som do coração proveniente da 
atividade cardíaca. 
 Eletrocardiograma (ECG): Manifestação elétrica da atividade de contração do coração. 
 
Pulso da carótida: Indica a variação da pressão e volume do sangue arterial com 
o batimento do coração. 
 
Eletromiograma (EMG): Provocado pela contração muscular. 
 
 
 
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Técnicas clássicas, análise em tempo-frequência e transformada de Fourier. 
As técnicas clássicas de processamento de sinal apresentam duas alternativas no 
que diz respeito à representação do mesmo, com intuito de através delas se conhecerem 
a especificidades que o caracterizam. Referimo-nos à representação no domínio do 
tempo e à representação no domínio da frequência. 
A representação temporal s(t), indica de que forma a amplitude do sinal varia 
com o tempo, e em certos casos, fornece algumas indicações acerca da variação do 
conteúdo em frequência do sinal. A representação no domínio das frequências permite 
averiguar a existência de diferentes componentes de frequência no sinal, bem como 
obter informação sobre a magnitude dessas componentes. Segue abaixo um exemplo de 
representação temporal s(t): 
 
Estas duas representações relacionam-se através da transformada de Fourier (FT) 
definida por: 
 
Ou pela transformada inversa de Fourier (IFT) 
 
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A transformada inversa de Fourier indica que o sinal „s‟ pode ser obtido pela 
soma de exponenciais complexas com diferentes frequências, cujas amplitudes são os 
valores S obtidos na TF. 
A representação espectral clássica do sinal é obtida pelo quadrado da amplitude 
da transformada de Fourier | S( f ) | ², e permite reter informações sobre outras 
características do sinal a que a representação temporal é alheia. 
A transformada de Fourier do sinal é uma quantidade complexa que pode ser 
definida em termos de magnitude ou de fase. A representação em termos de magnitude 
indica quais as componentes em termos de frequência que estão presentes no sinal e de 
que forma variam as respectivas amplitudes. 
Esta análise clássica apresenta algumas limitações que levaram ao 
desenvolvimento de outras formas de representação dos sinais onde se pode extrair a 
informação necessária de forma mais eficaz e não enviesada. 
Temos, então, as representações em tempo-frequência que é capaz de revelar se 
o sinal é monocomponente ou multicomponente, isto é, se existe uma ou mais 
frequências associadas ao mesmo. Abaixo segue um exemplo de uma representação em 
tempo-frequência: 
 
A abordagem mais simplista para se obter uma representação em tempo-
frequência passa pelo cálculo das suas localizações médias. Para tal consideremos um 
sinal „s‟ com energia finita definida por: 
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Podemos definir o tempo médio por: 
 
E a frequência média por: 
 
Associando a cada uma destas variáveis um domínio, respectivamente T e F. A 
representação em tempo-frequência deste sinal de energia pode descrever-se no domínio 
T x F. Este tipo de representação possui um limite inferior para o produto T x F, 
consequência do uso da transformada de Fourier. 
Existem vários métodos para se obter representações em tempo-frequência, 
como exemplo a transformada de Fourier por janelas STFT – Short Time Fourier 
Transform e a análise de wavelets. Contudo, tais métodos não estão nos limites do 
objetivo deste trabalho por serem um tanto complexos de serem detalhados sem um 
amplo conhecimento a respeito de conceitos avançados em cálculo. 
 
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Conclusão 
Como podemos claramente observar, todo processo de análise e representação 
de sinais biomédicos remetem ao conceito de construção de gráficos, funções, domínio, 
imagem, integrais definidas e impróprias e outros conceitos quesão totalmente 
integrados na disciplina de funções de variáveis reais. 
Em uma análise mais profunda da transformada de Fourier verificamos que ela 
representa um papel extremamente importante no processamento de sinais, pois fornece 
um método de transformar os sinais representando-os em outro “domínio” onde podem 
ser manipulados. Possibilitando uma diferente interpretação dos sinais e dos sistemas. 
 
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Bibliografia 
 
Manuel da Fonseca Pinto, Rui. Tese de doutoramento em Engenharia Biomédica e 
Biofísica: Novas abordagens ao estudo de sinais biomédicos. Universidade de Lisboa. 
2009. 
http://www.feelt.ufu.br/pastas/Processamento_de_Sinais_Biomedicos/NotasAulaPDS_
Cap1_2_3.pdf