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EXPOENTE12
MATEMÁTICA A
Daniela Raposo
Luzia Gomes
Cláudia Mendes Araújo 
(Universidade do Minho)
DE ACORDO COM
NOVO PROGRAMA E
METAS CURRICULARES
VOL. 1
MANUAL DO
PROFESSOR
APRESENTAÇÃO
NOTAS
SÍNTESES
do essencial a reter,
acompanhadas de exemplos
e remissões para a teoria.
Desafio – Festa no campo de futebol
Estamos a ver um importante jogo de futebol.
No campo estão 11 jogadores de uma equipa, mais 11 jogadores da outra e ainda o árbitro.
Qual será a probabilidade de, nesse grupo de 23 pessoas, haver pelo menos duas a fazer
anos no mesmo dia?
Primeiro, faz uma estimativa de qual será esta probabilidade. Depois, tenta determinar
o seu valor.
José Paulo Viana
1. Revisões
2. Propriedades das operações sobre conjuntos
3. Introdução ao cálculo combinatório
4. Triângulo de Pascal e binómio de Newton
TEMA I
Cálculo Combinatório
38
TEMA I Cálculo Combinatório
11. Resolve a equação = 21, n ≥ 4.
n + 1C5
n – 1C3
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
= 21 (observa que a expressão só tem significado se n + 1 ≥ 5 ∧ n – 1 ≥ 3 ⇔ n ≥ 4)
⇔ = 21 ⇔ = 21
⇔ = 21 
⇔ = 21
⇔ = 21
⇔ (n + 1) ¥ n = 420
⇔ n2 + n – 420 = 0
⇔ n = 
⇔ n = 
⇔ n = 20 ∨ n = –21 n = 20, pois n ≥ 4.
n + 1C5
n – 1C3
(n + 1)!
5!(n – 4)!
(n – 1)!
3!(n – 4)!
(n + 1)! ¥ (n – 4)! ¥ 3!
(n – 4)! ¥ 5! ¥ (n – 1)!
(n + 1)! ¥ 3!
5! ¥ (n – 1)!
(n + 1) ¥ n ¥ (n – 1)! ¥ 3!
5! ¥ (n – 1)!
(n + 1) ¥ n ¥ 6
120
–1 ± √∫1∫ ∫– ∫ ∫4∫ ∫¥∫ ∫(∫– ∫4∫2∫0∫)
2
–1 ± 41
2
De quantas maneiras é
possível selecionar cinco
cartas de um baralho de
52 cartas de forma que: 
a) quatro sejam figuras e
uma seja ás?
b) (*) duas sejam figuras e
três sejam cartas de
espadas? 
(*) Grau de dificuldade elevado
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
61
Resolve a equação.
n + 1A4 = 4A4 ¥ nC2, n ≥ 3
62
3
2
Numa gelataria podem
confecionar-se 78 taças
diferentes com dois
sabores distintos em cada
taça. Quantos sabores
distintos existem nessa
gelataria?
63
Soluções
61. a) 1980 b) 53 820 
62. n = 5
63. 13
PROFESSOR
(*) Os graus de dificuldade elevados
correspondem a desempenhos que não
serão exigíveis à totalidade dos alunos.
CC12_2.10
Nos problemas de contagem há dois aspetos que deves ter em conta:
• se a ordem pela qual consideras os elementos influencia ou não a contagem;
• se é possível ou não que os elementos se repitam.
Esquematizando / Resumindo
nA’p = nP
nAp = 
n!
(n – p)!
nAn = n!
nCp = 
n!
p!(n – p)!
Interessa a
ordem?
Sim
Arranjos
Com
repetição
Caso particular:
(Arranjos
com repetição)
(Arranjos
sem repetição)
(n = p)
(Permutações)
Não
Combinações
Sem
repetição
Sem
repetição
Págs. 54, 55, 59, 60, 62,
63 e 64
Exercícios 11, 12, 18, 37,
40, 42, 43, 44, 52, 53, 54,
55, 56, 57, 58, 59, 60 e 61
APRENDE FAZENDO
Págs. 11 e 12
Exercícios 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16 e 17
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
Apresentação
“Introdução ao cálculo combinatório”
Teste interativo
“Introdução ao cálculo combinatório” 
UNIDADE 4
Triângulo de Pascal e binómio 
de Newton
UNIDADE 4 Triângulo de Pascal e binómio de Newton
4.1. Triângulo de Pascal
Considera a experiência que consiste em repartir um baralho de 52 cartas pelo João e
pela Joana. O João fica com dez cartas e a Joana fica com as restantes. 
Sabemos que 52C10 é o número de conjuntos diferentes, de dez cartas, que o João pode
receber. Como restam 52 – 10 = 42 cartas, 52C42 é o número de conjuntos diferentes que
a Joana pode receber. Por um lado, repara que:
52C10 = = e 52C42 = = 
ou seja, 52C10 = 52C42.
Por outro lado, se pensarmos em 52C10 como o número de maneiras distintas de escolher
dez cartas de entre 52 e em 52C42 como o número de maneiras distintas de escolher 42
cartas de entre 52, facilmente se percebe que são iguais, pois por cada subconjunto de
dez cartas fica automaticamente definido um outro subconjunto de 42 cartas.
Destes raciocínios decorre a seguinte propriedade:
52!
10! ¥ (52 – 10)!
52!
10! ¥ 42!
52!
42! ¥ (52 – 42)!
52!
42! ¥ 10!
Demonstração
Em geral, sejam n e p números naturais, com p ≤ n:
nCp = 
nCn – p = = =
= = 
Logo, nCp = nCn – p.
Justifiquemos, agora, esta propriedade utilizando um argumento combinatório:
Seja A um conjunto com n elementos. A cada escolha de p elementos, para formar um
subconjunto de A, corresponde um outro subconjunto, com n – p elementos, formado
pelos elementos de A que não foram escolhidos. Existem, assim, tantos subconjuntos de
A com p elementos (nCp) como com n – p elementos (nCn – p).
n!
p! ¥ (n – p)!
n!
(n – p)! ¥ (n – (n – p))!
n!
(n – p)! ¥ (n – n + p)!
n!
(n – p)! ¥ p!
n!
p! ¥ (n – p)!
39
Propriedade
Dados dois números naturais n e p, com p ≤ n, tem-se que:
nCp = nCn – p
Determina m tal que: 
a) 20C5 = 20Cm
b) 30Cm + 2 = 30C2m + 4
64
CC12_3.1
Soluções
64. 
a) m = 5 ∨ m = 15
b) m = –2 ∨ m = 8
PROFESSOR
Resolução
Todos os exemplos de triângulo de
Pascal e binómio de Newton
Simulador
GeoGebra: Propriedades do triângulo
de Pascal
24
TEMA I Cálculo Combinatório
Soluções
31.
a) 362 880 b) 2880
c) 5760 d) 17 280
e) 100 800
PROFESSOR
Como calcular 5! na máquina de calcular?
Casio fx-CG 10/20
“RUN MAT” " ”OPTN” (no teclado) " ”PROB” " ”5” " ”x!” " ”EXE”
Texas TI-nspire
“Calculator” " “MENU” " “5: Probabilidade” " ”1: Fatorial (!)”
Texas TI-84 Plus
Na opção “MATH”:
Observa alguns erros comuns na utilização da definição anterior:
• 4! + 5! = 9!
Erro!
Repara que:
4! + 5! = 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 + 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 24 + 120 = 144 
é diferente de:
9! = 9 ¥ 8 ¥ 7 ¥ 6 ¥ 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 362 880
• 4! ¥ 5! = 20!
Erro!
Repara que:
4! ¥ 5! = 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 ¥ 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 24 ¥ 120 = 2880 
é diferente de:
20! = 20 ¥ 19 ¥ … ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 2 432 902 008 176 640 000
• = !
Erro!
Repara que = = 5 e ! não está definido…
�����
�����
5!
4!
5
4
�����
h
i
j
h
i
j
5!
4!
5 ¥ 4!
4!
h
i
j
5
4
h
i
j
ERRO TÍPICOCinco raparigas e quatro
rapazes vão colocar-se
lado a lado para tirarem
uma fotografia. Determina
de quantas maneiras
diferentes se podem
dispor os nove amigos se:
a) não houver restrições;
b) se cada rapaz ficar
entre duas raparigas; 
c) se os jovens do mesmo
sexo ficarem juntos; 
d) se os rapazes ficarem
juntos;
e) se estiver uma rapariga
em cada uma das
extremidades.
31
Resolução
Essencial para o Exame – exercício 31
Síntese
3. Introdução ao cálculo combinatório
Princípios fundamentais de contagem
Cardinal da união de conjuntos disjuntos
Dados dois conjuntos A e B, tais que A ∩ B = ∅, tem-se
que #(A ∪ B) = #A + #B.
Princípio geral da adição
Se para realizar um processo existirem duas alternativas
que se excluem mutuamente, e se existirem n1 maneiras
de realizar a primeira alternativa e n2 maneiras de reali-
zar a segunda, então o processo pode ser realizado de
n1 + n2 maneiras.
Cardinal do produto cartesiano de conjuntos finitos
#(A ¥ B) = #A ¥ #B
Princípio geral da multiplicação
Consideremos um processo constituído por duas etapas.
Se existirem n1 maneiras de realizar a primeira etapa 
e se, para cada uma destas, existirem n2 maneiras de rea-
lizar a segunda etapa, então todo o processo pode ser
realizado de n1 ¥ n2 maneiras diferentes.
Págs. 13 a 18
Exemplos
#(A ∪ B) = #A + #B = 4 + 3 = 7
Quantos são os números naturais entre 1
e 22 que são múltiplos de 3 ou de 10?
Existem sete números naturais entre 1 e 22
que são múltiplos de 3: 
3, 6, 9, 12, 15, 18 e 21
Existem dois números naturais entre 1 e 22
que são múltiplos de 10: 
10 e 20
Assim, existem nove números naturais entre
1 e 22 que são múltiplos de 3 ou de 10.
Note-se que, entre 1 e 22, não existem nú-
meros que são simultaneamente múltiplos
de 3 e de 10 e que temos 9 = 7 + 2 núme-
ros naturais nessas condições.
#(A ¥ B) = #A ¥ #B = 4 ¥ 3 = 12
Lança-se uma moeda de 1 euro e um
dado equilibrado com as faces numera-
das de 1 a 6. Quantas configurações dife-
rentes podem surgir?
Moeda Dado
2 ¥ 6 = 12 configurações
A ∪ BA B
⇒
A ¥ BA B
(❋, ●)●
❋ (❋, ●)●
(❋, ●)●
(❋, ●)●
❋ (❋, ●)●
(❋, ●)●
(❋, ●)●
❋ (❋, ●)●
(❋, ●)●(❋, ●)●
❋ (❋, ●)●
(❋, ●)●
49
CALCULADORA
apresentam-se explicações de procedimentos
com calculadoras gráficas dos seguintes
modelos: Texas TI-84 Plus; Texas TI-nspire 
e Casio fx-CG 10/20.
ESQUEMATIZANDO/
RESUMINDO
sínteses intercalares.
ERRO TÍPICO
alerta para erros que são
frequentemente cometidos
e que se devem evitar.
SEPARADOR
DE TEMA
com referência
às unidades que
o compõem.
O Manual Expoente 12 é constituído por
três volumes. 
No 1.o volume apresentam-se os temas
Cálculo Combinatório e Probabilidades.
O 2.o volume inclui os temas Funções
Reais de Variável Real e Trigonometria e
Funções Trigonométricas.
No 3.o volume encontram-se os temas
Funções Exponenciais e Funções
Logarítmicas, Primitivas e Cálculo
Integral e Números Complexos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
exemplos de aplicação dos conteúdos
que estão a ser estudados. São um
auxiliar útil para a resolução dos
exercícios propostos na margem.
DESAFIOS
motivadores da autoria de 
José Paulo Viana. 
As resoluções destes desafios 
são apresentados no final do tema.
Nas atividades assinaladas
com este símbolo não
escrevas no manual.
REMISSÕES PARA 
O “APRENDE FAZENDO” 
E PARA O CADERNO 
DE EXERCÍCIOS E TESTES
60
Aprende Fazendo
Itens de construção
TEMA I Cálculo Combinatório
O jogo da sueca joga-se com um baralho de 40 cartas: a um conjunto de dez cartas chama-se mão.
Determina o número de mãos distintas com:
a) seis figuras; b) quatro ases; c) pelo menos duas damas.
41
Soluções: a) 18 918 900 b) 1 947 792 c) 216 900 552
A Alexandra, que é uma grande apreciadora de café, tem em casa doze cápsulas de café, todas com
o mesmo tamanho e forma. Dessas doze cápsulas, quatro são de cores diferentes (vermelho, verde,
azul e amarelo) e as restantes oito são pretas. 
a) Uma amiga ofereceu à Alexandra uma caixa com 
vinte compartimentos para ela colocar as cápsulas, 
como mostra a figura. Em cada compartimento 
cabe apenas uma cápsula. Considera que a 
caixa está vazia e que a Alexandra pretende 
lá colocar as doze cápsulas.
Quantas configurações visualmente diferentes se podem obter, quando se colocam as doze cápsulas
na caixa?
b) Supõe agora que as doze cápsulas estão numeradas de 1 a 12.
i) Se as cápsulas se encontrarem todas misturadas num frasco e se a Alexandra retirar, simultanea-
mente, quatro, ao acaso, em quantos casos poderá retirar exatamente três cápsulas pretas?
ii) Se se dispuserem as doze cápsulas em fila, em quantas dessas disposições as cápsulas pretas
ficam todas juntas?
43
O João está a tentar adivinhar em que mês fazem anos cinco dos seus novos amigos.
a) Quantas são essas possibilidades?
b) Em quantas dessas possibilidades todos os amigos fazem anos no mesmo mês?
c) Em quantas dessas possibilidades os amigos fazem todos anos, em meses diferentes?
d) Em quantas dessas possibilidades três e só três amigos fazem anos no mesmo mês?
42
Soluções: a) 248 832 b) 12 c) 95 040 d) 13 200
Considera o seguinte problema: Durante as férias de verão, a Patrícia comprou quatro colares e três
pulseiras diferentes para oferecer às suas amigas. No entanto, ela tem nove amigas e não comprou
presentes para todas. De quantas maneiras diferentes pode a Patrícia presentear as amigas?
9A4 ¥ 5A3 e 9C7 ¥ 7A4 ¥ 3! são duas respostas corretas para o problema.
Numa pequena composição, explica o raciocínio que te permite chegar a cada uma delas.
44
Soluções: a) 1 496 523 600 b) i) 224 ii) 4 838 400
Teste Final
Grupo I
Para qualquer universo U e quaisquer subconjuntos A e B de U,
A ∩ [√A ∪ (A –∪ √–B )] é igual a:
(A) U (B) ∅ (C) √A ∪ B (D) A ∩ √B
1
Solução: Opção (B)
Um código é constituído por seis algarismos. Quantos códigos diferentes existem em que o alga-
rismo 5 aparece exatamente três vezes e os restantes algarismos são diferentes?
(A) 504 (B) 14 580 (C) 10 080 (D) 14 400
2
Solução: Opção (C)
Na figura está representado um tabuleiro com nove casas, dispostas em
três filas horizontais e três filas verticais. Pretende-se dispor cinco fichas
(numeradas de 1 a 5) no tabuleiro, de modo que cada ficha ocupe uma
única casa e que cada casa não seja ocupada por mais do que uma ficha.
De quantas maneiras diferentes é possível dispor as cinco fichas, de tal
forma que as que têm número primo ocupem uma fila horizontal?
(A) 90 (B) 180 (C) 270 (D) 540
3
Solução: Opção (D)
Sejam a e b dois números naturais tais que a = 2018C20 e b = 2018C21. Qual é o valor de a + 2b?
(A) 2019C20 + 2019C21 (B) 2018C20 + 2018C21
(C) 2019C21 + 2018C21 (D) 2019C21 + 2018C20
4
Solução: Opção (C)
Sabe-se que nCi = 4096 (n ∈N). Considera as seguintes proposições:
(I) n – 1C4 = 330
(II) n + 2Ci = 16 384 
Em relação às proposições anteriores, pode afirmar-se que:
(A) são ambas verdadeiras. (B) são ambas falsas.
(C) (I) é verdadeira e (II) é falsa. (D) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 12.º ano
∑
n
i = 0
∑
n + 2
i = 0
5
Solução: Opção (A)
66
Resolução
Exercícios do Teste Final
PROFESSOR
APRENDE FAZENDO
conjunto de exercícios 
de aplicação e de consolidação;
organizados em itens de seleção e
itens de construção e com grau
de dificuldade identificado.
12
TEMA I Cálculo Combinatório
PROFESSOR
CC12_1.5
Sejam A, B e C conjuntos de
um universo U. Prova que:
a) B–\–A = A ∪ √B
b) (A ∪ √B) ∩ √A = A –∪ – B
c) (A –∪ – B) ∪ B = √A ∪ B
d) A ∩ (B ∪ √A) = A ∩ B
e) √B –∪ (√ –A ∩ – B) = A ∩ B
f) (√B –∪ √C)– ∪ –(√A ∩– B) =
= A ∩ B ∩ C
g) √A –∪ (–A ∩– B) = A\B
h) (A –∩– B) –∪ (√A– ∪– √B) = ∅
7
Prova que se A ∩ B = ∅,
então (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = C.
5
Sejam A, B e C conjuntos
de um universo U. Prova
que se A ∪ B = U, então 
(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = C.
6
Demonstração
(A ∪ B) ¥ C = {(x, y): x ∈A ∪ B ∧ y ∈C} =
= {(x, y): (x ∈A ∨ x ∈B) ∧ y ∈C} =
= {(x, y): (x ∈A ∧ y ∈C) ∨ (x ∈B ∧ y ∈C)} =
= {(x, y): x ∈A ∧ y ∈C} ∪ {(x, y): x ∈B ∧ y ∈C} =
= (A ¥ C) ∪ (B ¥ C)
De forma análoga se prova que C ¥ (A ∪ B) = (C ¥ A) ∪ (C ¥ B).
Teorema
Dados três conjuntos A, B e C, tem-se que:
• (A ∪ B) ¥ C = (A ¥ C) ∪ (B ¥ C) 
• C ¥ (A ∪ B) = (C ¥ A) ∪ (C ¥ B)
Sejam A e B dois conjuntos de um universo U. Prova que:
a) A ∪ (B ∩ √A ) = A ∪ B b) (A– ∩ –B) ∪ A = U
c) (A– ∪ –√B ) ∩ √B = ∅ d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ √B ) = A
Exercício resolvido
Sugestão de resolução
a) A ∪ (B ∩ √A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ √A ) (distributividade da reunião em relação
à interseção)
= (A ∪ B) ∩ U (acontecimento contrário de A)
= A ∪ B (elemento neutro da interseção)
b) (A– ∩ –B) ∪ A = (√A ∪ √B ) ∪ A (lei de De Morgan)
= (√A ∪ A) ∪ √B (associatividade e comutatividade)
= U ∪ √B (acontecimento contrário de A)
= U (elemento absorvente da reunião)
c) (A– ∪ –√B ) ∩ √B = (√A ∩ √√B ) ∩ √B (lei de De Morgan)
= (√A ∩ B) ∩ √B (acontecimento contrário de √B)
= √A ∩ (B ∩ √B ) (associatividade)
= √A ∩ ∅ (acontecimento contrário de B)
= ∅ (elemento absorvente da interseção)
d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ √B ) = A ∪ (B ∩ √B ) (distributividade da reunião em relação
à interseção)
= A ∪ ∅ (acontecimento contrário de B)
= A (elemento absorvente da reunião)
Recorda
Dados dois conjuntos A e B,
chama-se produto
cartesiano de A por B
ao conjunto 
{(a, b): a ∈A ∧ b ∈B} 
dos pares ordenados (a, b)
tais que a e b pertencem,
respetivamente, a A e a B.
Representa-se por A ¥ B.
Exemplo 
Sejam A = {�, �, ☺} e 
B = {�, �} dois conjuntos.
Então:
A ¥ B = {(�, �), (�, �), 
(�, �), (�, �), (☺, �), 
(☺, �)}
Pág. 9
Exercícios 1, 2, 3 e 4
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
Págs. 56 e 58
Exercícios 22 e 34
APRENDE FAZENDO
19
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
3.2. Arranjos com repetição
Dado o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, quantas sequências de três elementos desse conjunto,
não necessariamente distintos, se podem formar? 
(1, 2, 5), (2, 5, 1), (2, 2, 3), … são alguns exemplos do tipo de sequências que preten-
demos contar. Utilizando o princípio geral da multiplicação, já estudado, sabemos que:
1.º elemento 2.º elemento 3.º elemento
5 ¥ 5 ¥ 5 = 53 = 125 sequências
125 é o número totalde sequências de três elementos, não necessariamente distintos,
escolhidos de entre cinco elementos dados. Diz-se que existem 125 arranjos com repe-
tição de 5 elementos 3 a 3. Simbolicamente, escreve-se 5A’3, que é igual a 53 = 125.
Este exemplo ilustra o conceito e a propriedade seguintes:
Vejamos agora um outro problema, que, apesar de ter um enunciado diferente, é igual
ao exemplo que acabámos de estudar.
Considerando uma caixa com cinco bolas numeradas de 1 a 5, indistinguíveis ao tato,
averiguemos de quantas maneiras distintas podemos extrair, sucessivamente e com repo-
sição, três dessas bolas.
Utilizando o princípio fundamental de contagem já estudado, tem-se:
1.ª extração 2.ª extração 3.ª extração
5 ¥ 5 ¥ 5 = 53 = 125 maneiras
53 é o número de formas distintas de, dadas cinco bolas, se efetuarem três extrações 
sucessivas de uma dessas bolas, repondo a bola escolhida após cada uma das extrações.
53 é igual, como já vimos, a arranjos com repetição de 5 elementos 3 a 3.
5 4 31 2
Propriedade
nA’p = np
Definição
Chama-se arranjos com repetição de n elementos p a p ao número de sequências
de p ∈N0 elementos, não necessariamente distintos, escolhidos num conjunto de
cardinal n ∈N. Representa-se por nA’p.
Com as 26 letras do
alfabeto, quantas
sequências constituídas
por três letras se podem
formar? 
21
Um teste é composto por
dez questões de escolha
múltipla, sendo que, para
cada uma delas, existem
cinco alternativas de
resposta. Quantas são as
chaves possíveis?
22
CC12_2.4
Soluções
21. 17 576
22. 9 765 625
PROFESSOR
Propriedade
Dados n objetos, existem exatamente nA’p formas distintas de efetuar p extrações suces-
sivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações.
TESTE FINAL
para consolidação
das aprendizagens.
SOLUÇÕES
exclusivas da Edição do Professor,
surgem no fim de cada página.
NO FINAL DO MANUAL
• Soluções
RECORDA
DEFINIÇÕES
destacadas para uma 
mais fácil identificação.
EXERCÍCIOS
de aplicação direta dos
conteúdos trabalhados
na página.
CONTEXTUALIZAÇÃO
HISTÓRICA
enquadramento histórico
dos conteúdos tratados.
Apresentação ................................................................................................................................................ 2
TEMA I
Cálculo Combinatório
1. Revisões ...................................................................................................................................................... 8
2. Propriedades das operações sobre conjuntos ................................................................................. 10
2.1. Inclusão .................................................................................................................................................. 10
2.2. Interseção e reunião ............................................................................................................................... 11
3. Introdução ao cálculo combinatório..................................................................................................... 13
3.1. Princípios fundamentais de contagem .................................................................................................... 13
3.2. Arranjos com repetição ......................................................................................................................... 19
3.3. Permutações ........................................................................................................................................ 23
3.4. Arranjos sem repetição ......................................................................................................................... 27
3.5. Combinações ........................................................................................................................................ 30
4. Triângulo de Pascal e binómio de Newton .......................................................................................... 39
4.1. Triângulo de Pascal ................................................................................................................................ 39
4.2. Binómio de Newton ............................................................................................................................... 45
Síntese ............................................................................................................................................................. 48
Aprende Fazendo .............................................................................................................................................. 52
Desafio ............................................................................................................................................................. 65
Teste Final ........................................................................................................................................................ 66
TEMA II
Probabilidades
1. Revisões .................................................................................................................................................... 70
1.1. Experiência aleatória e espaço amostral.................................................................................................. 70
1.2. Acontecimentos...................................................................................................................................... 72
1.3. Operações com acontecimentos ............................................................................................................ 73
1.4. Lei de Laplace ......................................................................................................................................... 74
ÍNDICE
2. Espaços de probabilidade...................................................................................................................... 75
2.1. Probabilidade no conjunto P(E) e espaço de probabilidade ..................................................................... 75
2.2. Acontecimentos e regra de Laplace ....................................................................................................... 77
2.3. Propriedades das probabilidades .......................................................................................................... 87
3. Probabilidade condicionada.................................................................................................................. 94
3.1. Conceito de probabilidade condicionada ................................................................................................ 94
3.2. A probabilidade condicionada como uma probabilidade em P(E) ........................................................... 96
3.3. Acontecimentos independentes ........................................................................................................... 107
3.4. Teorema da probabilidade total ............................................................................................................. 112
Síntese ............................................................................................................................................................ 113
Aprende Fazendo ............................................................................................................................................. 116
Desafio ........................................................................................................................................................... 133
Teste Final ....................................................................................................................................................... 134
Soluções ...................................................................................................................................................... 140
TEMA V – Funções Exponenciais e
Funções Logarítmicas
TEMA VI – Primitivas e Cálculo Integral
TEMA VII –Números Complexos
VOL. 3
TEMA III – Funções Reais de Variável 
Real
TEMA IV – Trigonometria e Funções
Trigonométricas
VOL. 2
Desafio – Festa no campo de futebol
Estamos a ver um importante jogo de futebol.
No campo estão 11 jogadores de uma equipa, mais 11 jogadores da outra e ainda o árbitro.
Qual será a probabilidade de, nesse grupo de 23 pessoas, haver pelo menos duas a fazer
anos no mesmo dia?
Primeiro, faz uma estimativa de qual será esta probabilidade. Depois, tenta determinar
o seu valor.
José Paulo Viana
1. Revisões
2. Propriedades das operações sobre conjuntos
3. Introdução ao cálculo combinatório
4. Triângulo de Pascal e binómio de Newton
TEMA I
Cálculo Combinatório
UNIDADE 1
Revisões
O cálculo combinatório é a área da matemática que estuda métodos de contagem.
Comecemos por rever os conceitos de conjuntos já estudados no 10.º ano de escolaridade.
Os conjuntos representam-se, geralmente, por letras maiúsculas, A, B, C, …, X, Y, Z e
os seus elementos por letras minúsculas, a, b, c, …, x, y, z.
Sejam A um conjunto e x um objeto:
• se x é um dos elementos de A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈A;
• se x não é um dos elementos de A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x ∉A.
Os conjuntos A e B dizem-se iguais, e escreve-se A = B, se e somente se:
∀x, x ∈A ⇔ x ∈B
Ao único conjunto que não tem qualquer elemento chamamos conjunto vazio e repre-
sentamos por { } ou por ∅.
Um conjunto pode ser definido enumerando explicitamente os elementos que o cons-
tituem; diz-se, neste caso, que estamos a definir o conjunto por extensão.
Por exemplo, o conjunto A, com um número reduzido de elementos, 0, 1 e 2, pode ser
representado por:
A = {0, 1, 2}
Um conjunto pode também ser definido por uma condição que é verificada por todos
os seus elementos.
Por exemplo, B = {x ∈N: x é primo} descreve o conjunto dos números naturais primos.
Diz-se que estamos a definir o conjunto por compreensão.
Se todo o elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, diz-se
que A é um subconjunto de B e escreve-se A ⊂ B se:
∀ x, x ∈A ⇒ x ∈B
A
B
TEMA I Cálculo Combinatório
8
Resolução
Todos os exercícios de “Revisões” 
PROFESSOR
9
UNIDADE 1 Revisões
Dados um universo U e dois conjuntos A e B desse universo:
Operações com conjuntos
Complementar de um
conjunto A
√A ou CA é o conjunto de
todos os elementos de U
que não pertencem a A.
√A = {x: x ∉A} A
U
A
Interseção de A com B
A ∩ B é o conjunto de
todos os objetos que
satisfazem a condição 
de pertencer
simultaneamente 
a A e a B.
A ∩ B = {x: x ∈A ∧ x ∈B}
A
U
B
A∩B
Reunião de A com B
A ∪ B é o conjunto de
todos os objetos que
satisfazem a condição de
pertencer a pelo menos
um dos conjuntos A e B.
A ∪ B = {x: x ∈A ∨ x ∈B}
B
U
A
A ∪ B
Diferença entre A e B
A\B é o conjunto de
todos os objetos de A
que não pertencem a B.
A\B = {x ∈A: x ∉B} A\B
BA
U Soluções
1.
a) [8, +∞[
b) ]–∞, 5[ ∪ ]9, +∞[
c) [5, 8[
d) [5, +∞[
e) ]–∞, 5[
f) [8, 9]
g) [5, √∫3∫0[ ∪ [8, 9]
PROFESSOR
Considera, no universo R,
os conjuntos A = ]–∞, 8[, 
B = [5, 9] e C = [√∫3∫0, +∞[.
Determina:
a) √A
b) √B
c) A ∩ B
d) B ∪ C
e) A\B
f) B\A
g) B\(A ∩ C) 
1
Nota
Decorre naturalmente da
definição de complementar
de um conjunto A que:
• √A ∩ A = ∅
• √A ∪ A = U
• √√A = A
Apresentação
“Revisões”
Teste interativo
“Revisões” 
10
UNIDADE 2
Propriedades das operações sobre
conjuntos
Vejamos algumas das propriedades mais importantes que envolvem operações com
conjuntos.
Estas propriedades facilmente se compreendem obser-
vando o diagrama de Venn ao lado: 
Assim, se A ⊂ B, então A ∩ B = A e se A ∩ B = A, então
A ⊂ B.
As propriedades acima, que facilmente reconheces por observação de um elementar
diagrama de Venn, podem ser demonstradas através da definição de inclusão de conjuntos
e das propriedades das operações lógicas que estudaste em anos anteriores.
Provemos que A ⊂ B se e somente se A ∩ B = A.
Analogamente, provaríamos que A ⊂ B se e somente se A ∪ B = B.
Demonstração 
Comecemos por provar que p ⇒ q é equivalente a (p ∧ q) ⇔ p, utilizando uma tabela
de verdade:
Observa-se que as colunas correspondentes às proposições p ⇒ q e (p ∧ q) ⇔ p são
iguais. Logo, p ⇒ q é equivalente a (p ∧ q) ⇔ p. 
Sejam A e B conjuntos tais que A ⊂ B, ou seja, por definição, ∀x, x ∈A ⇒ x ∈B, o que
vimos ser equivalente a ∀x, x ∈A ∧ x ∈B ⇔ x ∈A.
Pelas definições de interseção e de igualdade de conjuntos, vem que A ∩ B = A.
TEMA I Cálculo Combinatório
Considera, no universo R,
os conjuntos A = ]–2, π[ e
B = [–√∫5, 4]. Determina:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) √A
d) √B
e) √A ∩ √B
f) √A ∪ √B
2
Soluções
2.
a) A
b) B
c) ]–∞, –2] ∪ [π, +∞[
d) ]–∞, –√∫5[ ∪ ]4, +∞[
e) √B
f) √A
PROFESSOR
CC12_1.1
2.1. Inclusão 
Teorema
Dados dois conjuntos A e B:
• A ⊂ B se e somente se A ∩ B = A.
• A ⊂ B se e somente se A ∪ B = B.
Nota
Um caso particular dos
teoremas ao lado acontece
quando B = U. Nesse caso,
porque A ⊂ U, obtemos 
A ∩ U = A e A ∪ U = U.
p q p ⇒ q p ∧ q (p ∧ q) ⇔ p
V V V V V
V F F F F
F V V F V
F F V F V
A
B
U
Resolução
Todos os exercícios de “Propriedades
das operações sobre conjuntos” 
11
UNIDADE 2 Propriedades das operações sobre conjuntos
CC12_1.1
CC12_1.2
CC12_1.3
CC12_1.4
O resultado acima é facilmente ilustrado pelos seguintes diagramas de Venn:
Consideremos A, B e C três conjuntos de um universo U. Tem-se:
De facto, se tal não fosse verdade, existiria um elemento x ∈∅ tal que x ∉A, o que é
impossível.
Teorema
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A.
Teorema
Dados dois subconjuntos A e B de um conjunto U, A ⊂ B se e somente se √B ⊂ √A.
Considera, no universo R,
os conjuntos A = ]–2, 1[ e
B = – , +∞ . 
Determina, por dois
processos distintos:
a) A –∩ –B
b) A –∪ –B
3
2
3
ÈÍÎ
ÈÍÎ
2.2. Interseção e reunião 
Soluções
3.
a) –∞, – ∪ [1, +∞[
b) ]–∞, –2]
4. a) U b) U c) ∅
2
3
ÈÍÎ
ÈÍÎ
PROFESSOR
Augustus De Morgan
(1806-1871)
Matemático e lógico
britânico, formulou as Leis
de De Morgan e introduziu
e tornou rigorosa a noção
de “indução matemática”. 
O seu maior contributo
para a ciência consistiu na
reforma da lógica, abrindo
o caminho para o
nascimento da lógica
simbólica.
Contextualização histórica
Propriedades Interseção Reunião
Comutatividade A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
Associatividade (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Existência de
elemento neutro
U é o elemento neutro da 
interseção:
U ∩ A = A ∩ U = A
∅ é o elemento neutro da 
reunião: 
∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A
Existência de
elemento absorvente
∅ é o elemento absorvente da 
interseção:
∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅
U é o elemento absorvente da
reunião:
U ∪ A = A ∪ U = U
Idempotência A ∩ A = A A ∪ A = A
Distributividade da
interseção em relação
à reunião
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Distributividade da
reunião em relação à
interseção
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Leis de De Morgan
para conjuntos A –∩ –B = √A ∪ √B A –∪ –B = √A ∩ √B
Nota
Repara que, conciliando os dois teoremas acima, como o conjunto vazio está contido
em qualquer conjunto, obtemos ∅ ∩ B = ∅ e ∅ ∪ B = B.
A
B
U
A
B
U
A ⊂ B B ⊂ A
A
B 
Apresentação
“Propriedades das operações sobre
conjuntos”
Teste interativo
“Propriedades das operações sobre
conjuntos” 
Simplifica.
a) √A – ∩ – A
b) √B ∪ (A ∪ B)
c) √B ∩ (A ∩ B)
4
12
TEMA I Cálculo Combinatório
PROFESSOR
CC12_1.5
Sejam A, B e C conjuntos de
um universo U. Prova que:
a) B–\–A = A ∪ √B
b) (A ∪ √B) ∩ √A = A –∪ – B
c) (A –∪ – B) ∪ B = √A ∪ B
d) A ∩ (B ∪ √A) = A ∩ B
e) √B –∪ (√ –A ∩ – B) = A ∩ B
f) (√B –∪ √C)– ∪ –(√A ∩– B) =
= A ∩ B ∩ C
g) √A –∪ (–A ∩– B) = A\B
h) (A –∩– B) –∪ (√A– ∪– √B) = ∅
7
Prova que se A ∩ B = ∅,
então (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = C.
5
Sejam A, B e C
subconjuntos de um
universo U. Prova que se
A ∪ B = U, então 
(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = C.
6
Demonstração
(A ∪ B) ¥ C = {(x, y): x ∈A ∪ B ∧ y ∈C} =
= {(x, y): (x ∈A ∨ x ∈B) ∧ y ∈C} =
= {(x, y): (x ∈A ∧ y ∈C)∨ (x ∈B ∧ y ∈C)} =
= {(x, y): x ∈A ∧ y ∈C} ∪ {(x, y): x ∈B ∧ y ∈C} =
= (A ¥ C) ∪ (B ¥ C)
De forma análoga se prova que C ¥ (A ∪ B) = (C ¥ A) ∪ (C ¥ B).
Teorema
Dados três conjuntos A, B e C, tem-se que:
• (A ∪ B) ¥ C = (A ¥ C) ∪ (B ¥ C) 
• C ¥ (A ∪ B) = (C ¥ A) ∪ (C ¥ B)
Sejam A e B dois conjuntos de um universo U. Prova que:
a) A ∪ (B ∩ √A ) = A ∪ B b) (A– ∩ –B) ∪ A = U
c) (A– ∪ –√B ) ∩ √B = ∅ d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ √B ) = A
Exercício resolvido
Sugestão de resolução
a) A ∪ (B ∩ √A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ √A ) (distributividade da reunião em relação
à interseção)
= (A ∪ B) ∩ U (acontecimento contrário de A)
= A ∪ B (elemento neutro da interseção)
b) (A– ∩ –B) ∪ A = (√A ∪ √B ) ∪ A (lei de De Morgan)
= (√A ∪ A) ∪ √B (associatividade e comutatividade)
= U ∪ √B (acontecimento contrário de A)
= U (elemento absorvente da reunião)
c) (A– ∪ –√B ) ∩ √B = (√A ∩ √√B ) ∩ √B (lei de De Morgan)
= (√A ∩ B) ∩ √B (acontecimento contrário de √B)
= √A ∩ (B ∩ √B ) (associatividade)
= √A ∩ ∅ (acontecimento contrário de B)
= ∅ (elemento absorvente da interseção)
d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ √B ) = A ∪ (B ∩ √B ) (distributividade da reunião em relação
à interseção)
= A ∪ ∅ (acontecimento contrário de B)
= A (elemento absorvente da reunião)
Recorda
Dados dois conjuntos A e B,
chama-se produto
cartesiano de A por B
ao conjunto 
{(a, b): a ∈A ∧ b ∈B} 
dos pares ordenados (a, b)
tais que a e b pertencem,
respetivamente, a A e a B.
Representa-se por A ¥ B.
Exemplo 
Sejam A = {�, �, ☺} e 
B = {�, �} dois conjuntos.
Então:
A ¥ B = {(�, �), (�, �), 
(�, �), (�, �), (☺, �), 
(☺, �)}
Pág. 9
Exercícios 1, 2, 3 e 4
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
Págs. 56 e 58
Exercícios 22 e 34
APRENDE FAZENDO
UNIDADE 3
Introdução ao cálculo combinatório
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
3.1. Princípios fundamentais de contagem 
Nesta unidade vais aprofundar o conhecimento de técnicas de contagem que te permi-
tirão determinar o número de elementos de conjuntos formados de acordo com certas
regras, sem que seja necessário especificar os seus elementos.
Na verdade, o primeiro contacto que qualquer criança tem com a matemática é “con-
tar”, ou seja, enumerar os elementos de um conjunto, de maneira a determinar o seu nú-
mero. Quando nas suas atividades de contagem (contar objetos, pessoas, …) a criança
utiliza, por exemplo, os dedos das mãos ou a lista “um, dois, três, …”, ela está a estabe-
lecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto cujos elementos se pretende con-
tar e um conjunto cujo cardinal já é conhecido.
Estes processos elementares de contagem baseiam-se no seguinte princípio:
Dois conjuntos A e B têm o mesmo cardinal se e somente se existir uma bijeção de A
sobre B.
Exemplo
Conjuntos com o mesmo cardinal dizem-se equipotentes.
Um outro princípio básico de contagem é o princípio geral da adição:
Este princípio pode ser ilustrado de acordo com a
figura ao lado:
Assim:
Este princípio pode ser generalizado a um qualquer número de alternativas.
PROFESSOR
CC12_2.1
CC12_2.2
13
Nota
O número de elementos 
do conjunto A pode
representar-se por #A e 
lê-se cardinal de A.
Dados dois conjuntos A e B tais que A ∩ B = ∅, tem-se que #(A ∪ B) = #A + #B.
Se para realizar um processo existirem duas alternativas que se excluem mutuamente,
e se existirem n1 maneiras de realizar a primeira alternativa e n2 maneiras de realizar
a segunda, então o processo pode ser realizado de n1 + n2 maneiras. 
A ∪ BA B
⇒
A B
#A = #B
Resolução
“Introdução ao cálculo combinatório” 
14
TEMA I Cálculo Combinatório
Apresentamos agora o cardinal do produto cartesiano:
O cardinal do produto cartesiano conduz ao seguinte princípio, designado por princípio
geral da multiplicação:
Este princípio pode ser generalizado a um processo com um qualquer número de etapas.
Analisemos os seguintes exercícios, onde se aplicam os princípios que acabámos de
estudar e que são ferramentas essenciais para resolver problemas de contagem.
Consideremos um processo constituído por duas etapas. Se existirem n1 maneiras de
realizar a primeira etapa e se, para cada uma destas, existirem n2 maneiras de realizar
a segunda etapa, então todo o processo pode ser realizado de n1 ¥ n2 maneiras dife-
rentes. 
Dados dois conjuntos A e B de cardinais respetivamente iguais a n ∈N e a m ∈N,
tem-se que o cardinal do produto cartesiano A ¥ B é igual a n ¥ m.
Soluções
8. a) 12 b) 4 
9. 132
10. 240
PROFESSOR
CC12_2.3
A Ana está a almoçar na
Taberna do Manuel e o
empregado de mesa
informa-a de que o menu
do dia tem as seguintes
opções: duas escolhas
para a sopa (canja ou sopa
de legumes), três escolhas
para o prato principal
(pescada, frango ou tofu) e
duas escolhas para a
sobremesa (ananás ou
mousse). A Ana tem de
escolher uma sopa, um
prato principal e uma
sobremesa. 
a) Quantos são os menus
possíveis?
b) Quantos são os menus
possíveis cujo prato
principal seja frango?
8
De um conjunto de 
12 pessoas, de quantas
maneiras diferentes
podem ser escolhidas
duas, uma para presidente
e outra para secretária de
um clube de futebol?
9
Cinco casais sentam-se ao
acaso à mesa, como a da
figura. 
De quantas maneiras
distintas o podem fazer de
modo que cada rapaz
fique à frente da sua
namorada e todas as
raparigas fiquem do
mesmo lado?
10
1. Para fazer uma viagem Porto-Lisboa-Porto podemos usar como meios de transporte
o comboio, o automóvel ou o avião. De quantos modos distintos podemos esco-
lher fazer esse trajeto, se não pretendermos usar no regresso o mesmo meio de
transporte usado na ida?
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
Podemos representar o problema através de um diagrama de árvore, que es-
quematiza as várias possibilidades e que permite contá-las:
Há, assim, três modos distintos de escolher o transporte de ida. Por cada uma
dessas opções, há duas alternativas para o regresso, uma vez que não preten-
demos usar o mesmo transporte que na ida. 
A resposta é, então, 3 ¥ 2 = 6 modos distintos de realizar a viagem.
Ida Volta
3 ¥ 2 = 6
Ida
Comboio
Volta
Automóvel
Avião
Comboio
Avião
Comboio
Automóvel
Resultados possíveis
(Comboio, Automóvel)
(Comboio, Avião)
(Automóvel, Comboio)
(Automóvel, Avião)
(Avião, Comboio)
(Avião, Automóvel)
Automóvel
Avião
Elon Lages Lima nasceu a
9 de julho de 1929, em
Maceió. Foi presidente da
Sociedade Brasileira de
Matemática. Escreveu 25
livros, alguns dos quais
dedicados ao ensino da
Matemática. Em 2011, foi
membro titular da Academia
Brasileira de Ciências e
pesquisador titular do
Instituto Nacional de
Matemática Pura e Aplicada
(IMPA), instituição da qual
foi diretor. 
Contextualização histórica
15
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
De quantos modos
distintos se podem sentar
três pessoas:
a) num banco de três
lugares?
b) num banco de cinco
lugares?
11
A Ana, a Berta, os
respetivos namorados
(Carlos e Duarte) e o
amigo Eduardo vão
passear de automóvel.
Apenas as raparigas têm
carta de condução. 
De quantas maneiras
diferentes podem ocupar
os cincos lugares, dois à
frente e três atrás, de
modo que ao lado da
condutora viaje o
respetivo namorado? 
12
Soluções
11. a) 6 b) 60 12. 12 
PROFESSOR
(continua)
2. Quantos números naturais de três algarismos distintos (base decimal) existem?
Sugestão de resolução
O primeiro algarismo pode ser escolhido de nove maneiras distintas (repara
que não podemos usar o zero, porque, fazendo-o, o número natural obtido
passaria a ter dois algarismos e não três). Depois, para o segundo algarismo
temos nove opções de escolha (podemos usar todos os algarismos, exceto o
usado anteriormente). Depois de escolhidos os dois primeiros algarismos,
temos oito modos distintos de escolher o terceiro algarismo (não podemos usar
os dois algarismos já utilizados anteriormente).
Assim, existem 9 ¥ 9 ¥ 8 = 648 números naturais nas condições pretendidas.
1.º algarismo 2.º algarismo 3.º algarismo
9 ¥ 9 ¥ 8 = 648
Observa um dos erros mais comuns na resolução do exercício anterior:
1.º algarismo2.º algarismo 3.º algarismo
8 ¥ 9 ¥ 10 = 720
#
Erro!
Se começarmos pelo último algarismo, temos 10 opções de escolha. Para o pe-
núltimo restam nove possibilidades (não podemos usar o algarismo utilizado
anteriormente), mas para o primeiro algarismo… depende! 
• se o algarismo zero já tiver sido usado num dos dois últimos lugares, a res-
posta é oito (pois não podemos usar esses dois algarismos);
• se o algarismo zero não tiver sido usado, então restam sete hipóteses (não
podemos usar os dois algarismos utilizados anteriormente nem o zero).
A contagem, começando pelo último algarismo, seria:
• se o último algarismo é zero, temos nove escolhas para o segundo e oito esco-
lhas para o primeiro (8 ¥ 9 casos);
• se o último algarismo não é zero, mas o segundo é zero, temos nove possibi-
lidades para o último e oito possibilidades para o primeiro (mais 8 ¥ 9 casos);
• se nenhum algarismo é zero, temos nove possibilidades para o último, oito pos-
sibilidades para o segundo e sete possibilidades para o primeiro (7 ¥ 8 ¥ 9 casos).
O número total de casos é 8 ¥ 9 + 8 ¥ 9 + 7 ¥ 8 ¥ 9 = 9 ¥ 8 ¥ 9 = 648, como
quando contamos pela outra ordem…
Repara que este impasse não surgiu na resolução por nós apresentada, pois co-
meçamos por escolher o algarismo mais “problemático” – o único que apre-
senta uma restrição e que não pode ser zero.
Daí a sugestão do matemático Elon Lages Lima:
Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em grandes dificuldades. Se alguma de-
cisão é mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar.
ERRO TÍPICO
16
TEMA I Cálculo Combinatório
Exercícios resolvidos
5. Considerando as 26 letras do alfabeto, quantas sequências de três letras todas dis-
tintas se podem formar, começando com uma vogal e acabando numa consoante?
6. Considera todos os números naturais entre 2000 e 3999, inclusive. Quantos deles
são capicuas? Nota que capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da es-
querda para a direita ou da direita para a esquerda dá o mesmo número natural.
Sugestão de resolução
Para a primeira letra temos cinco opções (vogais) e para a última temos 21 (21
consoantes). Para a segunda letra restam-nos 24 opções (pois das 26 letras já
utilizamos duas). Assim, existem 5 ¥ 24 ¥ 21 = 2520 sequências.
Vogal 2.ª letra Consoante
5 ¥ 24 ¥ 21 = 2520
Um código é composto
por seis carateres, dos
quais três são vogais e três
são algarismos. As vogais
e os algarismos
encontram-se alternados.
Quantos códigos existem
nestas condições? 
13
Os códigos dos cofres
fabricados por uma
determinada empresa
consistem numa
sequência de quatro
algarismos, como, por
exemplo, 0141. 
Um cliente vai comprar
um cofre a essa empresa 
e pede que o respetivo
código satisfaça as
seguintes condições:
• tenha exatamente três
algarismos 8;
• a soma dos seus quatro
algarismos seja inferior
a 27.
Quantos códigos
diferentes existem
satisfazendo estas
condições?
14
Soluções
13. 250 000
14. 12
PROFESSOR
3. A Margarida tem dez livros distintos: cinco de romances, dois de banda desenhada
e três de aventura. Ela pretende escolher dois desses livros, de géneros diferentes,
para ler nas férias. Quantas escolhas diferentes pode a Margarida fazer?
Sugestão de resolução
Para que a Margarida escolha dois livros de géneros diferentes, existem três
hipóteses mutuamente exclusivas: um romance e um livro de banda desenhada,
ou um romance e um livro de aventura, ou um livro de banda desenhada e
um livro de aventura.
Existem, assim, 5 ¥ 2 + 5 ¥ 3 + 2 ¥ 3 = 31 possibilidades de escolha diferentes.
4. Quantos números naturais de quatro algarismos (base decimal) menores que 5000
e divisíveis por 5 podem ser formados, usando-se apenas alguns ou todos os alga-
rismos 2, 3, 4 e 5?
Sugestão de resolução
Para ser divisível por 5, o último algarismo só admite uma possibilidade – o 5;
para o primeiro algarismo existem três hipóteses – qualquer algarismo exceto
o 5, uma vez que o número tem que ser menor que 5000; o segundo e o ter-
ceiro algarismos admitem quatro hipóteses. Logo, existem 3 ¥ 4 ¥ 4 ¥ 1 = 48
números naturais nas condições pretendidas.
1.º algarismo 2.º algarismo 3.º algarismo 4.º algarismo
3 ¥ 4 ¥ 4 ¥ 1 = 48
17
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
8. Quantos são os números naturais pares que se podem escrever (na base decimal)
com quatro algarismos distintos?
Sugestão de resolução
• Número de maneiras diferentes de pintar o círculo com duas cores:
5 ¥ 4 ¥ 1 ¥ 1 = 20
• Número de maneiras diferentes de pintar o círculo com quatro cores:
5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 = 120
Assim, existem 20 + 120 = 140 maneiras diferentes de pintar o círculo.
A opção correta é a (A).
Sugestão de resolução
O último algarismo pode ser um de entre cinco opções (0, 2, 4, 6 ou 8) – repara
que começámos pelo algarismo com mais restrições. 
Pretende-se fazer uma
bandeira com três faixas
horizontais, como a que
se apresenta na figura
abaixo. 
Estão disponíveis dez cores
diferentes para pintar a
bandeira, incluindo a cor
vermelha. Pretende-se que
sejam respeitadas as
seguintes condições:
• todas as faixas devem
ser pintadas;
• cada faixa é pintada
com uma única cor;
• duas faixas adjacentes
não podem ser da
mesma cor;
• só pode haver repetição
de cor se houver pelo
menos uma faixa
vermelha.
Quantas bandeiras
diferentes se podem fazer?
15
Com quatro algarismos
diferentes, quantos
números naturais
compreendidos entre
1000 e 4600 podemos
formar?
16
Soluções
15. 738 
16. 1792
17. 650
PROFESSOR
(continua)
De um baralho completo,
extraem-se, sucessivamente
e sem reposição, três
cartas. Quantas extrações
são possíveis, de forma
que a primeira carta seja
de copas, a segunda seja
um rei e a terceira seja 
de espadas. 
17
Sugestão de resolução
Todos os números naturais entre 2000 e 3999, inclusive, são números que co-
meçam no 2 ou no 3. Assim, temos duas possibilidades para o primeiro alga-
rismo e uma possibilidade para o último algarismo.
Por cada uma destas possibilidades, temos dez hipóteses para escolher o se-
gundo algarismo e uma hipótese para o terceiro algarismo, pois este tem que
ser igual ao escolhido para segundo algarismo.
1.º algarismo 2.º algarismo 3.º algarismo 4.º algarismo
2 ¥ 10 ¥ 1 ¥ 1 = 20
Assim, existem 2 ¥ 10 ¥ 1 ¥ 1 = 20 capicuas entre 2000 e 3999.
7. Na figura está representado um círculo dividido em quatro
setores circulares diferentes, numerados de 1 a 4. Estão
disponíveis cinco cores para pintar este círculo.
Pretende-se que sejam respeitadas as seguintes condições: 
• todos os setores devem ser pintados;
• cada setor é pintado com uma única cor;
• setores com um raio em comum não podem ficar pintados com a mesma cor;
• o círculo deve ficar pintado com duas cores ou com quatro cores.
De quantas maneiras diferentes pode o círculo ser pintado?
(A) 140 (B) 230 (C) 310 (D) 390
Adaptado de Teste Intermédio, dezembro de 2008
1
4
3
2
18
TEMA I Cálculo Combinatório
Exercícios resolvidos
Em seguida, de quantas maneiras se pode escolher o primeiro algarismo? 
A resposta vai depender do algarismo escolhido para último lugar: 
• se o zero foi usado como último algarismo, para o primeiro algarismo exis-
tem nove possibilidades (só não podemos usar o zero);
• se o zero não foi usado como último algarismo, então, para o primeiro alga-
rismo existem oito opções (não podemos usar o zero nem o algarismo esco-
lhido para a última casa).
1.º algarismo 2.º algarismo 3.º algarismo 4.º algarismo
9 ou 8 5 
De modo a resolver este impasse, vamos contar separadamente:
• Números que têm zero como último algarismo: 
Neste caso, só existe uma forma de escolher o último algarismo, nove de es-
colher o primeiro, oito de escolher o segundo e sete maneiras de escolhero
terceiro.
1.º algarismo 2.º algarismo 3.º algarismo zero
9 ¥ 8 ¥ 7 ¥ 1 = 504
• Números cujo último algarismo é diferente de zero:
Neste caso, temos quatro possibilidades de escolher o último algarismo (2,
4, 6 ou 8), oito de escolher o primeiro, oito de escolher o segundo (dos dez
algarismos já utilizámos dois) e sete de escolher o terceiro (dos dez algaris-
mos já utilizámos três).
1.º algarismo 2.º algarismo 3.º algarismo 2, 4, 6 ou 8
8 ¥ 8 ¥ 7 ¥ 4 = 1792
Assim, o total pretendido é 504 + 1792 = 2296 números.
Sugestão de resolução
Por exemplo, 30 = 21 ¥ 31 ¥ 51, 20 = 22 ¥ 30 ¥ 51, 1 = 20 ¥ 30 ¥ 50, 2400 = 
= 25 ¥ 3 ¥ 52, … são alguns dos divisores de 2400. 
Repara que, cada divisor do número 2400 é do tipo 2a ¥ 3b ¥ 5c, onde 
a ∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}, b ∈{0, 1} e c ∈{0, 1, 2}. 
Portanto, o número de divisores é o número de ternos ordenados (a, b, c), com
a ∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}, b ∈{0, 1} e c ∈{0, 1, 2}.
Logo, pelo princípio geral da multiplicação, o número de divisores de 2400 é:
6 ¥ 2 ¥ 3 = 36
9. Quantos divisores naturais tem o número 2400 = 25 ¥ 3 ¥ 52?
Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 12.º ano
Soluções
18. a) 18 b) 49 c) 279
19. a) 3864 b) 1567 c) 560
20. a) 16 b) 24 c) 120 
PROFESSOR
Utilizando os algarismos
do conjunto A = {1, 2, 3,
4, 5, 8, 9}, quantos
números de três
algarismos é possível
formar de modo que: 
a) tenham exatamente dois
algarismos iguais a 3? 
b) os números sejam
múltiplos de 5? 
c) (*) o produto dos
algarismos seja um
número par? 
(*) grau de dificuldade elevado
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
18
Quantos números naturais
de quatro algarismos são
maiores que 2400 e:
a) têm os algarismos todos
diferentes?
b) não têm os algarismos
3, 5 nem 6?
c) satisfazem
simultaneamente as
condições das alíneas
anteriores?
19
Quantos divisores naturais
tem o número:
a) 210?
b) 1716?
c) 75 600? 
20
(*) Os graus de dificuldade elevados
correspondem a desempenhos que não
serão exigíveis à totalidade dos alunos.
Págs. 52, 55, 56, 58 e 59
Exercícios 1, 2, 4, 17, 23,
24, 25, 35 e 36
APRENDE FAZENDO
19
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
3.2. Arranjos com repetição
Dado o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, quantas sequências de três elementos desse conjunto,
não necessariamente distintos, se podem formar? 
(1, 2, 5), (2, 5, 1), (2, 2, 3), … são alguns exemplos do tipo de sequências que preten-
demos contar. Utilizando o princípio geral da multiplicação, já estudado, sabemos que:
1.º elemento 2.º elemento 3.º elemento
5 ¥ 5 ¥ 5 = 53 = 125 sequências
125 é o número total de sequências de três elementos, não necessariamente distintos,
escolhidos de entre cinco elementos dados. Diz-se que existem 125 arranjos com repe-
tição de 5 elementos 3 a 3. Simbolicamente, escreve-se 5A’3, que é igual a 53 = 125.
Este exemplo ilustra o conceito e a propriedade seguintes:
Vejamos agora um outro problema, que, apesar de ter um enunciado diferente, é igual
ao exemplo que acabámos de estudar.
Considerando uma caixa com cinco bolas numeradas de 1 a 5, indistinguíveis ao tato,
averiguemos de quantas maneiras distintas podemos extrair, sucessivamente e com repo-
sição, três dessas bolas.
Utilizando o princípio fundamental de contagem já estudado, tem-se:
1.ª extração 2.ª extração 3.ª extração
5 ¥ 5 ¥ 5 = 53 = 125 maneiras
53 é o número de formas distintas de, dadas cinco bolas, se efetuarem três extrações 
sucessivas de uma dessas bolas, repondo a bola escolhida após cada uma das extrações.
53 é igual, como já vimos, a arranjos com repetição de 5 elementos 3 a 3.
5 4 31 2
Propriedade
nA’p = np
Definição
Chama-se arranjos com repetição de n elementos p a p ao número de sequências
de p ∈N0 elementos, não necessariamente distintos, escolhidos num conjunto de
cardinal n ∈N. Representa-se por nA’p.
Com as 26 letras do
alfabeto, quantas
sequências constituídas
por três letras se podem
formar? 
21
Um teste é composto por
dez questões de escolha
múltipla, sendo que, para
cada uma delas, existem
cinco alternativas de
resposta. Quantas são as
chaves possíveis?
22
CC12_2.4
Soluções
21. 17 576
22. 9 765 625
PROFESSOR
Propriedade
Dados n objetos, existem exatamente nA’p formas distintas de efetuar p extrações suces-
sivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações.
20
TEMA I Cálculo Combinatório
O código morse utilizava
sequências constituídas
por um até quatro
símbolos. Os símbolos 
são um ponto e um traço.
Quantas sequências
existem no código morse? 
23
Num determinado
concurso há quatro
candidatos e cinco
examinadores, devendo
cada examinador votar
num dos candidatos. 
De quantas maneiras
distintas podem os votos
ser distribuídos? 
24
Soluções
23. 30 
24. 1024
25. 81
PROFESSOR
1. Quantos códigos distintos de multibanco é possível formar, sabendo que cada um
é formado por uma sequência de quatro algarismos?
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
Sabendo que cada código é formado por uma sequência de quatro algarismos,
admitindo repetição e podendo o zero ser o primeiro dígito, temos que 
10A’4 = 104 = 10 000 é o número total de códigos de multibanco.
Podias ter optado por resolver o exercício utilizando o princípio fundamental
de contagem já estudado:
1.º dígito 2.º dígito 3.º dígito 4.º dígito
10 ¥ 10 ¥ 10 ¥ 10 = 104 = 10 000
2. Os números de telefone de uma certa região são formados por uma sequência de
nove algarismos, sendo os três primeiros 321 (por esta ordem).
Quantos números de telefone podem existir nessa região?
Sugestão de resolução
Sabendo que cada número é constituído por uma sequência de nove algaris-
mos, admitindo repetição, e que os três primeiros dígitos são 321, resta-nos
ter em conta os últimos seis algarismos da sequência.
Assim, temos que 10A’6 = 106 = 1 000 000 é o número total de números de te-
lefone.
Podias ter optado por resolver o exercício utilizando o princípio fundamental
de contagem já estudado:
3 2 1 4.º dígito 5.º dígito 6.º dígito 7.º dígito 8.º dígito 9.º dígito
1 ¥ 1 ¥ 1 ¥ 10 ¥ 10 ¥ 10 ¥ 10 ¥ 10 ¥ 10 =
= 106 = 1 000 000 
Sugestão de resolução
Sabendo que, em cada um dos cinco dias úteis da semana, o Joaquim tem quatro
hipóteses diferentes de se deslocar para o trabalho, podendo haver obviamente
repetição, temos que 4A’5 = 45 = 1024 é o número total de tabelas diferentes
que o Joaquim pode fazer.
Conte quantas sequências
diferentes se podem
formar inserindo quatro
missangas num fio,
sabendo que as missangas
têm três cores possíveis:
vermelho, verde e azul. 
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
25
3. O Joaquim tem várias possibilidades de se deslocar até ao emprego: a pé, de
metro, de autocarro ou de carro. No final de cada semana, o Joaquim faz uma ta-
bela com a forma como se deve deslocar para o emprego em cada dia da semana
(de segunda a sexta-feira). Quantas tabelas diferentes pode o Joaquim fazer?
21
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
Repara que, mais uma vez podias ter optado por resolver o exercício utilizando
o princípio fundamental de contagem já estudado:
2.ª feira 3.ª feira 4.ª feira 5.ª feira 6.ª feira
4 ¥ 4 ¥ 4 ¥ 4 ¥ 4 = 45 = 1024
Nota que, neste exemplo, p > n.
4. Quantos subconjuntos tem o conjunto E = {a, b, c, d, e, f}?
Sugestão de resolução
Podemos associar a cada subconjunto do conjunto E um código formado por
uma sequência de zeros e uns, com comprimento 6.
Por exemplo, ao subconjunto {a, c, d} associamos o código 101100, em que
o 1 significa que o elemento pertence ao subconjunto e 0 significa que o ele-
mento não pertence ao subconjunto, como ilustrado no esquema abaixo:
a b c d e f
U U U U U U
1 0 1 1 0 0
Vejamos outros exemplos:
• {a, b, c} corresponde a 111000;
• {f, d} corresponde a 000101;
• ∅ corresponde a 000000;
• {a, b, c, d, e, f} correspondea 111111.
Por outro lado, por exemplo, ao código 101010 corresponde o subconjunto
{a, c, e}.
Atendendo que a cada subconjunto do conjunto E corresponde um e um só
código, e que, dada uma sequência de zeros e uns, com comprimento 6, existe
um e um só subconjunto de E que tem essa sequência como código, então o
número de subconjuntos de E é igual ao número de sequências de zeros e uns,
com comprimento 6.
Assim, o número de subconjuntos do conjunto E é 2A’6 = 26 = 64.
Solução
26. 128
PROFESSOR
Quantos subconjuntos
tem o conjunto 
E = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 10}?
26
22
TEMA I Cálculo Combinatório
O processo de resolução do exercício anterior pode ser aplicado a qualquer conjunto
com um número finito de elementos. Assim, dado um conjunto com p elementos, o nú-
mero de subconjuntos desse conjunto é dado por 2A’p = 2p.
Ou seja, #P(E) = 2#E.
Nos dois exemplos anteriores, temos que:
• #P(A) = 2#A = 23 = 8 • #P(B) = 2#B = 24 = 16
Propriedade
Seja E um conjunto. Se E tiver p ∈N0 elementos, então P(E) tem 2p elementos.
Definição
Seja E um conjunto. Designa-se por conjunto das partes de E o conjunto formado
pelos subconjuntos de E e representa-se por P(E).
Exemplos
1. Seja A = {♣, ♦, ♠}. 
∅ " Único conjunto constituído por zero elementos.
{♣}, {♦}, {♠} " Todos os conjuntos constituídos por um elemento. 
{♣, ♦}, {♣, ♠}, {♦, ♠} " Todos os conjuntos constituídos por dois elementos.
{♣, ♦, ♠} = A " Único conjunto constituído por todos os elementos.
Então, P(A) = {∅, {♣}, {♦}, {♠}, {♣, ♦}, {♣, ♠}, {♦, ♠}, {♣, ♦, ♠}}.
2. Seja B = {1, 2, 3, 4}. Então:
P(B) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4},
{1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
Numa sala existem cinco lâmpadas iguais. Cada lâmpada pode ser acesa sem que
as outras o sejam. Quantas possibilidades existem de iluminar a sala?
Exercício resolvido
Sugestão de resolução
A sala pode ser iluminada utilizando apenas uma ou duas ou três ou quatro
ou cinco lâmpadas. Portanto, pretendemos determinar o número de subcon-
juntos de um elemento, de dois elementos, de três elementos, de quatro ele-
mentos e de cinco elementos do conjunto das cinco lâmpadas da sala.
Sabemos que 25 é o número total de subconjuntos de um conjunto com cinco
elementos. Como não interessa contabilizar o conjunto vazio (que corresponde
a zero lâmpadas acesas), o número de possibilidades de iluminar a sala é 
25 – 1 = 31.
Um bar possui 12 bebidas
diferentes para preparar
cocktails. 
Sabendo que cada
cocktail é uma mistura de
duas ou mais bebidas,
quantos cocktails
diferentes podem ser
servidos nesse bar? 
27
O casal Raposo tem sete
cães de raças distintas. 
O casal vai passear ao
parque da cidade e quer
levar pelo menos dois
desses cães. De quantas
maneiras diferentes pode
o casal escolher os cães
que os vão acompanhar? 
28
Soluções
27. 4083
28. 120
PROFESSOR
CC12_2.5
23
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
3.3. Permutações
De quantas maneiras é possível ordenar os três elementos 1, 2, 3? 
Facilmente enumeramos as seis diferentes ordenações dos elementos 1, 2, 3:
1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1
Utilizando o princípio geral da multiplicação já estudado, sabemos que:
1.º elemento 2.º elemento 3.º elemento
3 ¥ 2 ¥ 1 = 6 ordenações
6 é o número total de permutações de 3 elementos. 
De um modo geral, se pretendermos ordenar n elementos de um dado conjunto, temos
n formas distintas de escolher o elemento que ocupará o primeiro lugar, n – 1 formas de es-
colher o elemento que ocupará o segundo lugar, n – 2 formas de escolher o elemento que
ocupará o terceiro lugar, …, 1 forma de escolher o elemento que ocupará o último lugar.
Assim, n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ … ¥ 2 ¥ 1 é o número de formas de ordenar os elementos
de um conjunto de cardinal n ≥ 1.
Propriedade
O número de permutações de n elementos de um conjunto de cardinal n ≥ 1 é igual
a n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ … ¥ 2 ¥ 1 e representa-se por n! (lê-se n fatorial).
Definição
A uma maneira de ordenar n elementos distintos dá-se o nome de permutação dos n
elementos.
De quantas formas
diferentes se podem
arrumar:
a) quatro carros num
parque de quatro
lugares? 
b) oito carros num parque
de oito lugares?
29
Seis jovens, a Ana, 
a Beatriz, o Carlos, a
Dália, o Eduardo e a
Filipa, vão concorrer a 
um sorteio de seis viagens:
Barcelona, Berlim,
Londres, Madrid, Paris e
Roma. Supondo que cada
jovem vai ganhar uma
viagem, de quantas
maneiras diferentes pode
resultar este sorteio? 
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
30
Exemplos
1. 1! = 1
2. 2! = 2 ¥ 1 = 2
3. 3! = 3 ¥ 2 ¥ 1 = 6
4. 4! = 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 24
5. 5! = 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 120
6. 6! = 6 ¥ 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 720
Repara que 6! = 6 ¥ 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 6 ¥ 5!
5!
�������
Em geral, para qualquer n ∈N, tem-se: n! = n ¥ (n – 1)!
Por convenção, tem-se que 0! = 1, sendo esta definição a única para a qual a igualdade
n! = n ¥ (n – 1)! é válida para n = 1.
CC12_2.6
CC12_2.7
Soluções
29.
a) 24 
b) 40 320
30. 720
PROFESSOR
24
TEMA I Cálculo Combinatório
Soluções
31.
a) 362 880 b) 2880
c) 5760 d) 17 280
e) 100 800
PROFESSOR
Como calcular 5! na máquina de calcular?
Casio fx-CG 10/20
“RUN MAT” " ”OPTN” (no teclado) " ”PROB” " ”5” " ”x!” " ”EXE”
Texas TI-nspire
“Calculator” " “MENU” " “5: Probabilidade” " ”1: Fatorial (!)”
Texas TI-84 Plus
Na opção “MATH”:
Observa alguns erros comuns na utilização da definição anterior:
• 4! + 5! = 9!
Erro!
Repara que:
4! + 5! = 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 + 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 24 + 120 = 144 
é diferente de:
9! = 9 ¥ 8 ¥ 7 ¥ 6 ¥ 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 362 880
• 4! ¥ 5! = 20!
Erro!
Repara que:
4! ¥ 5! = 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 ¥ 5 ¥ 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 24 ¥ 120 = 2880 
é diferente de:
20! = 20 ¥ 19 ¥ … ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 2 432 902 008 176 640 000
• = !
Erro!
Repara que = = 5 e ! não está definido…
�����
�����
5!
4!
5
4
�����
h
i
j
h
i
j
5!
4!
5 ¥ 4!
4!
h
i
j
5
4
h
i
j
ERRO TÍPICOCinco raparigas e quatro
rapazes vão colocar-se
lado a lado para tirarem
uma fotografia. Determina
de quantas maneiras
diferentes se podem
dispor os nove amigos se:
a) não houver restrições;
b) se cada rapaz ficar
entre duas raparigas; 
c) se os jovens do mesmo
sexo ficarem juntos; 
d) se os rapazes ficarem
juntos;
e) se estiver uma rapariga
em cada uma das
extremidades.
31
Resolução
Essencial para o Exame – exercício 31
25
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
1. De quantas maneiras diferentes se podem sentar nove pessoas numa fila de nove
lugares?
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
Pretendemos sentar nove pessoas em nove lugares, isto é, pretendemos deter-
minar o número de permutações de nove elementos.
Assim, 9! = 362 880 é o número de maneiras diferentes de se sentarem nove
pessoas numa fila de nove lugares.
2. Quantos são os anagramas da palavra LINDA? 
Sugestão de resolução
Cada anagrama de LINDA é uma sequência formada pelas cinco letras distintas
L, I, N, D e A. 
Assim, o número de anagramas da palavra LINDA é 5! = 120.
Quantos anagramas tem a
palavra:
a) LOBA;
b) XADREZ. 
32
Soluções
32. a) 24 b) 720
33. 86 400
34. a) 479 001 600 
b) 414 720 
c) 207 360 
PROFESSOR
Nota
Anagramas de uma palavra
são as diferentes sequências
que se podem formar com
as letras dessa palavra.
(continua)
3. A Margarida tem dez livros distintos para colocar numa estante: seis são de Fernando
Pessoa e quatro são de José Saramago. Dispondo todos os livros ao acaso, de
quantas formas distintas podem ficar juntos todos os livros do mesmo autor?
Sugestão de resolução
Pretende-se que os seis livros de Fernando Pessoa fiquem juntos e os quatro li-
vros de José Saramago também. Podemos pensar nos seis livros de Fernando
Pessoa como um bloco, dentro do qual existem 6! maneiras distintas de os dis-
por. Da mesma forma, os quatro livros de José Saramago constituem outro
bloco, dentro do qual existem 4! maneiras distintas de os dispor.Existem, ainda, duas maneiras distintas de colocar estes blocos, uma vez que
podemos permutar a ordem dos blocos, ou seja, colocar o bloco José Saramago
seguido de bloco Fernando Pessoa ou vice-versa.
 P P P P P P S S S S 
6! ¥ 4!
ou:
 S S S S P P P P P P 
4! ¥ 6!
Assim, o número pretendido é 2 ¥ 6! ¥ 4! = 34 560.
De quantas maneiras
distintas se podem colocar
em fila quatro rapazes e
seis raparigas de modo
que as raparigas fiquem
sempre juntas? 
33
De quantas formas é
possível colocar numa
prateleira seis livros de
Matemática, quatro livros
de Física e dois livros de
Biologia, todos diferentes
entre si, se:
a) não houver restrições?
b) os livros de Matemática
ficarem todos juntos,
bem como todos os de
Física?
c) todos os livros da
mesma disciplina
ficarem juntos?
34
����������� �������
������������������
26
TEMA I Cálculo Combinatório
Exercícios resolvidos
4. Calcula, sem recurso ao fatorial da calculadora.
a) 10 ¥ 3! + 4! b) c) d) e) – 8!
7!
50!
45!
10! + 8!
8!
100!
99!
99!
98!
Sugestão de resolução
a) 10 ¥ 3! + 4! = 10 ¥ (3 ¥ 2 ¥ 1) + 4 ¥ 3 ¥ 2 ¥ 1 = 10 ¥ 6 + 24 = 60 + 24 = 84
b) = = 8
c) = = 50 ¥ 49 ¥ 48 ¥ 47 ¥ 46 = 254 251 200
d) = + = + 1 = 10 ¥ 9 + 1 = 91 
e) – = – = 100 – 99 = 1 
8!
7!
8 ¥ 7!
7!
50!
45!
50 ¥ 49 ¥ 48 ¥ 47 ¥ 46 ¥ 45!
45!
10! + 8!
8!
10!
8!
8!
8!
10 ¥ 9 ¥ 8!
8!
100!
99!
99!
98!
100 ¥ 99!
99!
99 ¥ 98!
98!
6. Escreve os seguintes produtos na forma , com a e b números naturais.
a) 7 ¥ 6 ¥ 5 b) 1000 ¥ 999 ¥ 998 ¥ 997
c) 17 ¥ 18 ¥ 19 ¥ 20 d) n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2), n ≥ 3
a!
b!
Sugestão de resolução
a) 7 ¥ 6 ¥ 5 = = 
b) 1000 ¥ 999 ¥ 998 ¥ 997 = = 
c) 17 ¥ 18 ¥ 19 ¥ 20 = = 
d) n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) = = 
7 ¥ 6 ¥ 5 ¥ 4!
4!
7!
4!
1000 ¥ 999 ¥ 998 ¥ 997 ¥ 996!
996!
1000!
996!
20 ¥ 19 ¥ 18 ¥ 17 ¥ 16!
16!
20!
16!
n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ (n – 3)!
(n – 3)!
n!
(n – 3)!
Determina, sem recurso
ao fatorial da calculadora.
a)
b)
b)
35
10!
7!
2017!
2016!
20! + 18!
17!
Soluções
35.
a) 720 b) 2017 c) 6858
36.
a) n b) 
c) 
37. 5 
38.
a) b) 
c) d) 
e) 
1
n3 + 3n2 + 2nn2 + n + 1
n
12!
8!
2017!
2014!
(n + 2)!
(n – 1)!
n!
(n – 5)!
n!
(n – p)!
PROFESSOR
CC12_2.10
Determina n, número
inteiro não negativo, 
tal que:
12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!
37
Considerando n um
número natural, simplifica:
a)
b)
c)
36
n!
(n – 1)!
(n – 1)!
(n + 2)!
(n + 1)! + (n – 1)!
n!
Escreve os seguintes 
produtos na forma , com
a e b números naturais.
a) 12 ¥ 11 ¥ 10 ¥ 9
b) 2015 ¥ 2016 ¥ 2017
c) (n + 2) ¥ (n + 1) ¥ n, n ≥ 1
d) n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥
¥ (n – 3) ¥ (n – 4), n ≥ 5
e) n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ …
× (n – p + 1), n ≥ p
38
a!
b!
5. Simplifica.
a) , n ≥ 2 b)n!
(n – 2)!
n!
(n + 2)!
Sugestão de resolução
a) = = n ¥ (n – 1) = n2 – n
b) = = = 
n!
(n – 2)!
n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2)!
(n – 2)!
n!
(n + 2)!
n!
(n + 2) ¥ (n + 1) ¥ n!
1
(n + 2) ¥ (n + 1)
1
n2 + 3n + 2
Pág. 57
Exercício 26
APRENDE FAZENDO
27
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
CC12_2.8
Soluções
39. 15 600
40. 132
PROFESSOR
3.4. Arranjos sem repetição
Dado o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, quantas sequências de três elementos distintos desse
conjunto podemos formar?
(1, 2, 5), (2, 5, 1), (1, 2, 3), … são alguns exemplos do tipo de sequências que preten-
demos contar. Utilizando o princípio geral da multiplicação já estudado, sabemos que:
1.º elemento 2.º elemento 3.º elemento
5 ¥ 4 ¥ 3 = 60 sequências
60 é o número total de sequências de três elementos distintos, escolhidos de entre os
cinco elementos dados. Diz-se que existem 60 arranjos (sem repetição) de 5 elementos
3 a 3. Simbolicamente, escreve-se 5A3, que é igual a 5 ¥ 4 ¥ 3 = = 60.
Este exemplo ilustra o conceito e as propriedades seguintes:
5!
2!
O número de arranjos (sem repetição) de n elementos p a p representa-se por nAp.
De um modo geral, o primeiro termo de uma sucessão particular de p elementos distintos
de um determinado conjunto, com n ≥ p elementos, pode ser escolhido de n maneiras
distintas. Em seguida, sobram apenas n – 1 objetos para escolher como segundo elemento
e para terceiro elemento já só há n – 2 objetos, ou seja, há no total n(n – 1)(n – 2) maneiras
distintas de escolher os três primeiros elementos da sucessão.
Reproduzindo este raciocínio até se chegar ao termo de ordem p da sucessão haverá,
no total, n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ … ¥ (n – (p – 1)) = n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ … ¥ (n – p + 1)
maneiras de escolher todos os termos de uma tal sucessão (quando se vai fazer a p-ésima
escolha já só sobram n – (p – 1) elementos no conjunto, já que se fizeram previamente p – 1
escolhas), número que, como já viste na alínea e) do exercício 38, pode ser representado
por . 
1.º elemento 2.º elemento 3.º elemento … p-ésimo elemento
n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2) ¥ … ¥ (n – (p – 1))
(p – 1) extrações
n!
(n – p)!
�������������������
Definição
Chama-se (número de) arranjos (sem repetição) de n elementos p a p ao número de
sequências de p ∈N0 elementos distintos, escolhidos num conjunto de cardinal n ∈N,
com n ≥ p.
Com as 26 letras do
alfabeto, quantas
sequências constituídas
por três letras diferentes se
podem formar? 
39
Propriedades
• nAp = n ¥ (n – 1) ¥ … ¥ (n – p + 1), com 0 ≤ p ≤ n.
• nAp = , com 0 ≤ p ≤ n.
n!
(n – p)!
Uma associação é
composta por 12 membros.
De quantos modos
diferentes podem ser
escolhidos um presidente
e um secretário?
40
28
TEMA I Cálculo Combinatório
Solução
41. 720
42. 360
PROFESSOR
CC12_2.8
Propriedade
Dados n objetos, existem exatamente nAp formas distintas de efetuar p extrações su-
cessivas de um desses objetos, sem repor o objeto escolhido após cada uma das ex-
trações.
Texas TI-84 Plus
Na opção “MATH”:
Vejamos agora um outro problema, que, apesar de ter um enunciado diferente, é igual
ao exemplo que acabámos de estudar.
Consideremos uma caixa com cinco bolas numeradas de 1 a 5, indistinguíveis ao tato,
e averiguemos de quantas maneiras distintas podemos extrair sucessivamente e sem re-
posição três dessas bolas.
Utilizando o princípio geral da multiplicação já estudado, tem-se:
1.ª extração 2.ª extração 3.ª extração
5 ¥ 4 ¥ 3 = 60 maneiras
60 é o número de formas distintas de, dadas cinco bolas, efetuar três extrações suces-
sivas de uma delas, não havendo reposição da bola escolhida após cada uma das extra-
ções, que é igual, como já vimos, a arranjos sem repetição de 5 elementos 3 a 3.
3 4 51 2
Como calcular 5A3 na máquina de calcular?
Casio fx-CG 10/20
“RUN MAT” " ”OPTN” " ”PROB” " ”5” " ”nPr” " ”3” " ”EXE”
Texas TI-nspire
“Calculator” " “MENU” " “5: Probabilidade” " “2: Permutações”
Dez atletas vão fazer uma
corrida. Conta de quantas
maneiras diferentes se
poderão colocar três deles
no pódio. 
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
41
Numa fila com seis
cadeiras, de quantas
formas distintas é que se
podem sentar quatro
pessoas?
42
29
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
Soluções
43. 57 600
44. a) 11 520 b) 114 244
c) 281 216
PROFESSOR
Uma carruagem de metro
tem dez bancos
individuais, estando cinco
deles virados para a frente
e os outros cinco virados
para a traseira do veículo.
De dez passageiros,
quatro preferem sentar-se
de frente, dois preferem
sentar-se de costas e os
restantes não têm
preferência. De quantas
formas distintas se podem
sentar os passageiros,
respeitando as
preferências de cada um?
43
Foram extraídas,
sucessivamente e com
reposição, quatro cartas de
um baralho de 52 cartas.
Determina de quantas
maneiras diferentes é
possível obter: 
a) por esta ordem, um ás,
duas figuras e um
número superior a 5;
b) primeiro duas cartas
vermelhas e depois
duas cartas de espadas;
c) um rei e três cartas
pretas, não
necessariamente por
esta ordem.
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
44
1. Numa corrida participaram seis pessoas. Não havendo empates, de quantas formas
distintas se podem distribuir as três medalhas (ouro, pratae bronze)?
2. De um baralho completo extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição,
quatro cartas e dispõem-se em fila. Determina o número de disposições de forma
que as quatro cartas retiradas sejam figuras.
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
Destas seis pessoas interessa-nos escolher, ordenadamente (dado que é dife-
rente receber medalha de ouro, prata ou bronze) e sem repetição, três delas
(uma vez que a mesma pessoa não pode receber mais do que uma medalha). 
Assim, 6A3 = 120 é o número de maneiras distintas de distribuir as três medalhas.
Podias ter optado por resolver o exercício utilizando o princípio geral da mul-
tiplicação já estudado:
Ouro Prata Bronze
6 ¥ 5 ¥ 4 = 120 
Sugestão de resolução
Pretende-se saber o número de maneiras distintas de escolher, ordenadamente
e sem repetição, quatro cartas de entre as 12 figuras existentes no baralho. 
Assim, 12A4 = 11 880 é o número pretendido.
Sugestão de resolução
a) nA2 = 30 
⇔ = 30
⇔ = 30
⇔ n2 – n – 30 = 0
⇔ n = 
⇔ n = 
⇔ n = 6 ∨ n = –5
n = 6, pois n ≥ 2.
n!
(n – 2)!
n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2)!
(n – 2)!
1 ± √∫1∫ ∫–∫ ∫4∫ ∫¥∫ ∫(∫–∫3∫0∫)
2
1 ± √∫1∫2∫1
2
3. Resolve, em N, as seguintes equações.
a) nA2 = 30 b) nA2 = 15 – 3n
b) nA2 = 15 – 3n
⇔ = 15 – 3n
⇔ = 15 – 3n
⇔ n2 + 2n – 15 = 0
⇔ n = 
⇔ n = 
⇔ n = 3 ∨ n = –5
n = 3, pois n ≥ 2.
n!
(n – 2)!
n ¥ (n – 1) ¥ (n – 2)!
(n – 2)!
–2 ± √∫4∫ ∫–∫ ∫4∫ ∫¥ ∫ ∫(∫–∫1∫5∫)
2
–2 ± √∫6∫4
2
Nota
Um baralho de cartas
completo é constituído por
52 cartas, repartidas por
quatro naipes (espadas,
copas, ouros e paus). 
Em cada naipe há 13 cartas:
um ás, três figuras (rei,
dama e valete) e mais nove
cartas (do 2 ao 10).
(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 5) (1, 3, 4) (1, 3, 5) (1, 4, 5) (2, 3, 4) (2, 3, 5) (2, 4, 5) (3, 4, 5)
(1, 3, 2) (1, 4, 2) (1, 5, 2) (1, 4, 3) (1, 5, 3) (1, 5, 4) (2, 4, 3) (2, 5, 3) (2, 5, 4) (3, 5, 4)
(2, 1, 3) (2, 1, 4) (2, 1, 5) (3, 1, 4) (3, 1, 5) (4, 1, 5) (3, 2, 4) (3, 2, 5) (4, 2, 5) (4, 3, 5)
(2, 3, 1) (2, 4, 1) (2, 5, 1) (3, 4, 1) (3, 5, 1) (4, 5, 1) (3, 4, 2) (3, 5, 2) (4, 5, 2) (4, 5, 3)
(3, 1, 2) (4, 1, 2) (5, 1, 2) (4, 1, 3) (5, 1, 3) (5, 1, 4) (4, 2, 3) (5, 2, 3) (5, 2, 4) (5, 3, 4)
(3, 2, 1) (4, 2, 1) (5, 2, 1) (4, 3, 1) (5, 3, 1) (5, 4, 1) (4, 3, 2) (5, 3, 2) (5, 4, 2) (3, 4, 5)
{1, 2, 3}{1, 2, 4}{1, 2, 5}{1, 3, 4}{1, 3, 5}{1, 4, 5}{2, 3, 4}{2, 3, 5}{2, 4, 5}{3, 4, 5}
30
TEMA I Cálculo Combinatório
Considera o conjunto 
{a, e, i, o, u}. Quantos
subconjuntos constituídos
por dois elementos podem
ser formados?
45
Um conjunto tem oito
elementos. Determina o
número de subconjuntos
diferentes que se podem
definir a partir deste
conjunto e que tenham: 
a) dois elementos; 
b) seis elementos; 
c) oito elementos.
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
46
Soluções
45. 10
46. 
a) 28 b) 28 c) 1
PROFESSOR
CC12_2.9
3.5. Combinações
Dado o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, quantos subconjuntos de três elementos desse conjunto
podemos formar?
Procuramos, então, determinar o número de subconjuntos de três elementos escolhidos
de entre cinco elementos dados. A cada um desses conjuntos chama-se combinação de
5 elementos 3 a 3.
Para o fazer, comecemos por listar todas as sequências (arranjos) de três elementos dis-
tintos: 
Definição
Chama-se (número de) combinações de n elementos p a p ao número de subcon-
juntos de p elementos (0 ≤ p ≤ n) de um conjunto de n ∈N0 elementos.
Cada coluna diz respeito a uma única combinação, para a qual existem seis sequências
distintas, uma vez que as sequências diferem apenas na ordem pela qual os números
estão escritos, dando origem apenas a uma combinação.
Assim, a última linha do quadro apresenta todas as combinações possíveis. 
Repara que o número de arranjos é seis vezes superior ao número de combinações, 
o que significa que podemos obter o número de combinações de 5, 3 a 3, dividindo o
número de arranjos de 5, 3 a 3, por 6 (número de permutações de três elementos):
5C3 = = = 10
Logo, 10 é o número de subconjuntos de três elementos de um conjunto de cinco ele-
mentos. 
Este exemplo ilustra o conceito e a propriedade seguintes:
5A3
6
5A3
3!
O número de combinações de n elementos p a p representa-se por nCp, Cnp ou .
n
p
h
i
j
h
i
j
Recorda
• {1, 2} = {2, 1}
• (1, 2) ≠ (2, 1)
combinações
de 5 elementos,
3 a 3
5A3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
31
UNIDADE 3 Introdução ao cálculo combinatório
De um modo geral, o número de subconjuntos de p elementos de um conjunto A, com
n elementos, pode obter-se dividindo o número total de sequências de elementos de A e
comprimento p por p!, isto é, nCp = = = .
nAp
p!
n!
p!(n – p)!
n!
(n – p)!
p!
Vejamos agora um outro problema, que, apesar de ter um enunciado diferente, é igual
ao exemplo que acabámos de estudar.
Considerando uma caixa com cinco bolas numeradas de 1 a 5, indistinguíveis ao tato,
averiguemos de quantas maneiras distintas poderemos extrair simultaneamente três dessas
bolas.
Por se tratar de uma extração simultânea, não interessa considerar a ordem das bolas,
mas sim quais as três bolas escolhidas. Assim, o número de formas distintas de, dadas
cinco bolas, escolher três é igual ao número de subconjuntos de três elementos de um
conjunto com cinco elementos, que é igual a 5C3 = 10 .
3 1 25 4
Propriedade
nCp = = , com 0 ≤ p ≤ n.
nAp
p!
n!
p!(n – p)!
Propriedade
Dados n objetos, existem exatamente nCp formas distintas de escolher p (p ≤ n) desses
objetos.
Notas
1. nC0 = 1, pois, se p = 0, então nC0 representa o conjunto vazio, que é o único
subconjunto de zero elementos de um qualquer conjunto. 
Tem-se ainda que nC0 = = = 1.
2. nCn = 1, pois, se p = n, então nCn representa o próprio conjunto, já que, dado um
conjunto com n elementos, só existe um seu subconjunto com n elementos. 
Tem-se ainda que nCn = = = = 1.
3. O quociente é um número natural, pois representa o número de sub-
conjuntos de p elementos de um conjunto com n elementos.
n!
0!(n – 0)!
n!
1 ¥ n!
n!
n!(n – n)!
n!
n! ¥ 0!
n!
n! ¥ 1
n!
p!(n – p)!
Justifica que 
é um número natural.
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
47
180 ¥ 179 ¥ … ¥ 142 ¥ 141
40!
CC12_2.9
Soluções
47. =
= =
= , que é igual a 180C40
(ou 180C140), que é um número
natural, pois representa o
número de subconjuntos de 40
elementos de um conjunto com
180 elementos (ou o número de
subconjuntos de 140 elementos
de um conjunto com 180
elementos).
180 ¥ 179 ¥ … ¥ 142 ¥ 141
40!
180 ¥ 179 ¥ … ¥ 142 ¥ 141 ¥ 140!
40! ¥ 140!
180!
40! ¥ 140!
PROFESSOR
Pág. 10
Exercícios 5 e 6
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
32
TEMA I Cálculo Combinatório
Os 25 alunos de uma
turma vão participar num
torneio de andebol de
cinco, sendo distribuídos
por cinco equipas,
identificadas pelas letras
A, B, C, D e E. 
De quantas maneiras
diferentes poderá ser feita
a distribuição dos alunos
pelas equipas? 
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
49
Num jogo da sueca,
quantas mãos de dez
cartas se podem obter a
partir de um baralho com
40 cartas?
48
Soluções
48. 847 660 528
49. 25C5 ¥ 20C5 ¥ 15C5 ¥ 10C5
PROFESSOR
Texas TI-84 Plus
Na opção “MATH”:
Como calcular 5C3 na máquina de calcular?
Casio fx-CG 10/20
“RUN MAT” " “OPTN” " “PROB” " “5” " “nCr” " “3” " “EXE”
Texas TI-nspire
“Calculator” " “MENU” " “5: Probabilidade” " “3: Combinações”
1. Quantas saladas de fruta distintas, contendo exatamente quatro variedades de fru-
tas, podemos fazer dispondo de 11 variedades de frutas diferentes?
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
Para fazer esta salada basta escolher, de entre as 11 variedades de fruta dispo-
níveis, quatro. Repara que a ordem pela qual são escolhidas não é importante.
Assim, existem 11C4 = 330 saladas de fruta diferentes.
2. De entre os 20 alunos de uma turma, de quantas maneiras diferentes podemos
escolher:
a) um delegado, um subdelegado e um secretário?
b) uma comissão de três elementos?
c) um delegado, um subdelegado e três relações públicas?
Sugestão de resolução
a) Pretendemos escolher