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Universidade Federal de Pernambuco 
Departamento de Expressão Gráfica 
 
 
Apostila 
Volume Teórico 
 
GEOMETRIA GRÁFICA 
TRIDIMENSIONAL 
 
 
Autoras: 
Profª Andiara Lopes 
Prof ª Mariana Gusmão 
 
 
 
2019 
APRESENTAÇÃO e AGRADECIMENTOS 
Caro(a) Estudante(a), 
 Esta é uma apostila desenvolvida especialmente para os alunos da disciplina 
Geometria Gráfica Tridimensional, ministrada no Ciclo Básico do Curso de Engenharias da 
Universidade Federal de Pernambuco. 
Essa apostila surgiu da necessidade de registrar soluções didáticas encontradas em 
sala de aula e discussões posteriores realizadas periodicamente por uma equipe de 
professores que ministram essa disciplina desde 2009. Vale salientar que essa equipe de 
professores não é fixa e, portanto, não há como registrar nominalmente cada um dos 
membros que contribuiu com as discussões. 
 Essa apostila aborda três tipos de projeções bastante utilizadas em desenho técnico: 
Cavaleira, Desenho Isométrico e Sistema Mongeano. Além disso, aborda temas como Vistas 
Auxiliares, Verdadeira Grandeza e o estudo da Seção Plana nos sólidos básicos. 
 A apostila está dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo é introdutório e aborda 
algumas noções básicas sobre desenho, representação, projeção e perspectiva, bem como 
materiais de desenho e sua utilização. O segundo capítulo trata da Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira. O terceiro capítulo aborda o Desenho Isométrico, que é uma simplificação da 
Perspectiva Cilíndrica Isométrica. O quarto capítulo tem como tema o Sistema Mongeano de 
Representação. Finalmente, o quinto e sexto capítulos tratam dos estudos de Verdadeira 
Grandeza e Seção Plana, respectivamente. 
Os exercícios foram retirados, em parte, de livros e apostilas, especialmente do livro 
do professor Mário Duarte e da apostila anterior da disciplina, do professor João Duarte. Outra 
parte dos exercícios foi retirada de provas anteriores elaboradas pela equipe de professores já 
citada acima. Nessa versão , 2019, as imagens do capítulo seis foram produzidas pela 
professora Ana Carolina Puttini Iannicelli. 
Agradecemos a todos que de alguma forma participaram da elaboração desse 
trabalho, que tem como objetivo principal compartilhar e disseminar o conhecimento na área 
da Geometria Gráfica. 
Atenciosamente, 
Andiara Lopes e Mariana Gusmão 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
 
 
1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 4 
1.2. Instrumentos de Desenho 4 
1.3. Elementos Básicos do Desenho 6 
1.4. O Desenho como Linguagem 7 
1.5. Ortoedro de Referência 9 
1.6. Sistema de Projeção 11 
1.7. Tipos de Projeção 12 
1.7.1. Projeção Cônica 13 
1.7.2. Projeção Cilíndrica 15 
1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 16 
 
CAPÍTULO 2 – Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 
 
2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 19 
2.2. Eixos Coordenados 19 
2.3. O Eixo y 21 
2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 22 
2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) 22 
2.4.2. Fator de Deformação (K) 23 
2.5. Rotação da Peça 24 
2.5.1. Diferença entre Rotação e Variação do Quadrante de Projeção do 
Eixo y 
25 
2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 26 
2.6. Trabalhando com Arestas que não Estão Paralelas aos Eixos Coordenados 
2.7. Cilindros e Cones 28 
2.7.1. Cilindros 29 
2.7.2. Cones 30 
2.7.3. O Desenho da Elipse 31 
 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
 
 
3.1. Caracterização da Axonometria 36 
3.2. Caracterização do Desenho Isométrico 37 
3.3. Desenho Isométrico na Prática 38 
3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência 39 
3.4. 1. A Visualização de Todas as Faces 39 
3.4.2. Rotação da Peça 40 
3.5. Cilindros e Cones 40 
3.5.1. O Desenho da Elipse e da Oval 42 
3.6 Furo Cilíndrico 47 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
 
 
4.1. Introdução 49 
4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica 
 Ortográfica 
 
50 
4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção 52 
4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros 53 
4.3.2. Segundo e Quarto Diedros 54 
4.3.3. Sistemas Alemão e Americano 54 
4.4. As Seis Vistas 55 
4.5. Os Eixos Coordenados 59 
4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça 60 
4.7. A Escolha das Vistas 61 
4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano 62 
4.8.1. Exercícios Passando de Vista para Perspectiva 65 
4.9. Os Sólidos Básicos: Prismas, Pirâmides, Cilindros, Cones e Esferas 66 
4.9.1. Prisma 67 
4.9.2. Pirâmides 68 
4.9.3. Cilindros 70 
4.9.4. Cones 72 
4.9.5. As Geratrizes de Limites de Visibilidade nos Cilindros e Cones 74 
4.9.6. Esferas 80 
4.9.7. Partes da Esfera 83 
 
CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
 
5.1. Definições e Usos 88 
5.1.1. Compreendendo as Três Posições Básicas: Paralela, pendicular e 
 Oblíqua 
88 
5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar 90 
5.3. Mudança de Plano 93 
5.4. Caso 1 93 
5.5. Caso 2 95 
5.6. Caso 3 97 
 
CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
 
6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e 
 Interseção 
 
100 
6.1.1. Superfície e Sólido 100 
6.1.2. Interseção e Seção 102 
6.2. Seção Plana de Sólidos Geométricos Básicos 103 
6.2.1. Seção Plana de Prismas 103 
6.2.2. Seção Plana de Pirâmides 106 
6.2.3. Seção Plana de Cilindros 111 
6.2.4. Seção Plana de Cones 117 
 
 
 
 
 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
4 
 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
 
1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 
 
O conteúdo dessa disciplina é importante para os estudantes de engenharia porque a prática 
profissional inclui a resolução de problemas que envolvem a visualização e representação de objetos 
e construções em diversas escalas nos projetos de engenharia. 
O principal objetivo da disciplina Introdução ao Desenho é desenvolver as habilidades de 
visualização espacial, expressão e interpretação gráficas. Isso quer dizer que ao final do semestre, se 
espera que os alunos possam visualizar sólidos geométricos, se expressar graficamente e representar 
objetos em cavaleira, desenho isométrico e no sistema mongeano. 
Para tanto, a metodologia utilizada na disciplina inclui aulas expositivas e resolução de 
exercícios em sala. No entanto, para atingir um nível satisfatório na disciplina é necessário que o 
aluno reserve tempo extra-aula para complementar com resolução de exercícios. 
A disciplina será divida em três unidades: I) cavaleira e desenho isométrico; II) sistema 
mongeano e; III) verdadeira grandeza e seção plana. Ao final de cada unidade será realizada uma 
prova. O assunto é cumulativo. O calendário do curso é fixo, portanto as datas das provas são 
definidas no início do semestre. As informações e materiais trocados entre professor e aluno deverão 
ser feitas em sala de aula e através de e-mail. 
 
1.2. Instrumentos de Desenho 
 
É muito importante que os alunos das disciplinas de desenho tenham total domínio do uso dos 
instrumentos básicos de desenho. 
 
1. Lapiseira: recomenda-se o uso de lapiseira com grafite do tipo HB com espessura de 0,5 mm, 
para evitar perda de tempo e imprecisão. 
2. Borracha: recomenda-se o uso de borracha branca macia, se possível borracha específica para 
desenho técnico. 
3. Régua: recomenda-se o uso de régua transparente de plástico ou acrílico, com 15 ou 20 cm. 
4. Compasso de Metal: recomenda-se o uso de compasso de metal. O compasso é um 
instrumento utilizado para desenhar arcos e circunferências, mas ele também pode ser usado 
para transportar medidas e ângulos. 
5. Par de Esquadros: recomenda-se o uso de um par de esquadros que não tenham marcação 
de escala. No par, um deve ter dois ângulos de 45ᵒ e o outro um ângulo de 60ᵒ e um de 30ᵒ. 
Veja as figuras 1.1 e 1.2. O tamanho dos esquadros é medido pelo lado maior, a hipotenusa 
do triângulo formado pelo esquadro de 45ᵒ e o lado de tamanho médio, cateto maior, do 
esquadro de 60ᵒ. 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
5 
 
 
Fig. 1.1 
 
 
Fig. 1.2 
 
Os esquadros são vendidosem pares por duas razões: primeiro porque um serve de 
apoio para o outro no traçado de linhas paralelas e perpendiculares e segundo, porque 
quando usados em conjunto com a régua T ou a régua paralela, seus ângulos permitem a 
formação de diversos outros ângulos. Ver figura 1.3. 
 
Fig. 1.3 
 
6. Papel: recomenda-se o uso de papel branco com formato A4. A quantidade a ser utilizada é 
de aproximadamente meia resma. O formato básico de papel designado de A0 (A zero) 
considera um retângulo de 841 mm (altura “a”) por 1.189 mm (largura “l”) correspondente a 
1 m² de área. Deste formato derivam-se os demais formatos na relação l = a√ 2 , conforme 
figura 1.4. 
 
Fig. 1.4 
http://blog.creativecopias.com.br/simplificando-o-tamanho-e-formato-dos-papeis/ 
 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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1.3. Elementos Básicos do Desenho 
 
O desenho possui quatro elementos básicos por meio dos quais podemos expressar ideias. 
São eles: o ponto, a linha, a superfície e o volume. Esses elementos são conceitos ou ideias, portanto 
são abstratos. Quando desenhamos um ponto, uma linha, uma superfície ou um volume esses 
conceitos deixam de ser conceitos e passam a ser formas ou representações. 
 
1. O Ponto: É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele indica uma posição, 
não possui formato ou dimensão, não ocupa um lugar no espaço. É também o lugar do 
cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. É 
representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino (A, B, D, K). Observe as figuras 1.5, 
1.6 e 1.7. 
 
 
Fig. 1.5 
 
Fig. 1.6 
 
Fig. 1.7 
 
2. A linha: À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma linha. Assim, a linha é o 
enfileiramento de pontos unidos. Possui apenas uma dimensão (comprimento); mas possui 
posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, 
conforme veremos. É representada por uma letra minúscula do alfabeto latino (a, b, c, r, p, q, 
v, x). A linha define os limites de uma superfície e podem ser classificadas de acordo com o 
Formato e de acordo com o Traço. 
 
Nessa disciplina utilizaremos, com relação ao formato, linhas retilíneas e linhas curvas. 
Com relação ao tipo de traço, utilizaremos três tipos de linhas, conforme o quadro abaixo. 
 
NOME DO 
LAYER TIPO 
ESPESSURA 
(LAPISEIRA) 
USO 
CAVALEIRA E ISOMETRIA MONGEANO 
Linha de 
construção 
Contínua fina 
0,3 
 
Representar linhas auxiliares 
e/ou de construtivas gerais, 
arestas não visíveis e Ortoedro 
de Referência 
Ortoedro de Referência 
Linha de 
aresta visível 
Contínua grossa 0,5 Representar as arestas visíveis Representar as arestas visíveis 
Linha de 
chamada 
Contínua fina 
0,3 
 
- 
Representar a projeção das 
projetantes 
Linha de terra Contínua 
+grossa 
0,7 - 
Representar as linhas de terra, 
i.e., o encontro dos planos 
mongeanos 
Linha de 
aresta não 
visível 
Tracejada 
grossa 
0,5 - 
Representar as arestas não 
visíveis 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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3. A superfície: Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção 
intrínseca, se torna uma superfície. Assim, a superfície é o enfileiramento de linhas unidas. As 
superfícies possuem apenas duas dimensões, profundidade e largura. A superfície define os 
limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, 
conforme veremos. É representada por uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ, λ, π, φ). 
 
4. O Volume: A trajetória de uma superfície em uma direção, que não seja a sua direção 
intrínseca, se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três 
dimensões: largura, altura e profundidade. No espaço o volume é limitado por planos. Ver 
figura 1.8. 
 
Fig. 1.8 
 
1.4. O Representação Gráfica como Linguagem 
 
De maneira geral, a representação gráfica é uma forma de linguagem. Em outras palavras, 
pode-se dizer que um dos interlocutores usam-na para representar uma ideia e, assim, transmiti-la 
para o outro. No campo das engenharias, ela adquire um caráter específico, uma vez que precisa 
representar a forma, dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada 
projeto. Para os desenhos dessa natureza dá-se o nome de Desenho Técnico. 
Nas engenharias, como em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de se criar 
formas, desde um parafuso até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de 
criação, sendo seu produto um projeto. Esse último consiste na representação daquilo que está no 
plano das ideias, para que essas sejam compreendidas e executadas pelos outros profissionais 
envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer 
maneira, deve obedecer a alguns padrões e procedimentos que visem sua universalização. Dessa 
maneira, o desenho técnico cumpre sua função, que é a de estabelecer a comunicação entre as 
partes envolvidas no processo de criação e execução de objetos. 
Em um desenho artístico a representação é uma escolha do artista, este não tem compromisso 
com o que é real, sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no 
contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e 
quanto mais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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artístico, o desenho técnico é comprometido com a representação da realidade. Essa sua 
característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no processo de produção de um 
objeto através da linguagem universal. Observe as figuras abaixo e reflita um pouco sobre as 
diferenças entre o desenho artístico, à esquerda, e o desenho técnico, à direita. 
 
 
Kandinsky, Arch and Point, 1923 
http://www.invisiblebooks.com/Kandinsky.htm 
Fig. 1.9 
 
 
http://aordemsinequanonoide.blogspot.com.br/2010/12/desenho-
tecnico-mecanico.html 
Fig. 1.10 
 
Para representar um objeto é importante perceber que todos os objetos que estão a nossa 
volta possuem três dimensões: largura, altura e profundidade. Quando vamos fazer a representação 
desse objeto, as dimensões precisam ser desenhadas em uma superfície com apenas duas 
dimensões, como é o caso do papel ou da superfície da tela do computador. Como fazer essa 
representação é exatamente o objetivo dessa disciplina. 
É importante salientar, mais uma vez, que a representação para o desenho técnico, não pode 
ser feita de maneira aleatória, ela deve obedecer a normas específicas para garantir a universalidade 
da linguagem. Tanto quem desenha como quem lê o desenho precisa falar a mesma língua, ou seja, 
dominem a representação na qual o desenho foi feito. Visando padronizar as possíveis 
representações de um objeto foram criados sistemas de representação. 
Os sistemas de representação são como linguagens a qual os profissionais da área dominam. 
Quem desenha e que lê o desenho sabem em qual sistema de representação o objeto foi desenhado, 
sabe retirar/interpretar do próprio desenho as informações necessárias para a sua construção. As 
representações dentro dos Sistemas de Representação são chamadas de perspectivas. 
O principal objetivo perspectivas é representar em uma superfície bidimensional as três 
dimensões de um objeto. Existem duas etapas nessa representação. A primeira diz respeito ao 
processo cognitivo de transpor a imagem do objeto real para a representação do mesmo no papel. A 
outra etapa é, exatamente, percorrer o caminho inverso, o qual consiste em perceber a 
tridimensionalidade do objeto quando ele está representado em duas dimensões, ou seja, no papel. 
Ambos os processos requerem o domínio das regras que diferenciam asperspectivas. 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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A palavra perspectiva possuiorigem grega e deriva da palavra Perspicere, que significa “ver 
através de”. A maneira mais simples de definir perspectiva é: Perspectiva é a representação de um 
objeto ou paisagem – que possui três dimensões – em desenho, ou pintura, ou outra forma de 
representação gráfica, em duas dimensões. Ou ainda, a representação de três dimensões em duas 
dimensões. 
PERSPECTIVA = 3D 2D 
 
Abaixo estão diferentes representações de um mesmo objeto utilizadas no desenho técnico, 
figuras 1.11, 1.12, 1.13 e 1.14. 
 
 
 
 
 
Axonometria Cônica 
Fig. 1.11 
 
Isometria 
Fig. 1.12 
 
Cavaleira 
Fig. 1.13 
 
Mongeano 
Fig. 1.14 
 
 
Essas representações se diferenciam em função de dois aspectos: 
1°) Posicionamento do ORTOEDRO DE REFERÊNCIA, que imaginariamente envolve o objeto, 
em relação ao plano de projeção e; 
2°) Tipo de projeção. 
A seguir será explicado o significado de cada um desses termos. 
 
1.5. Ortoedro de Referência 
 
A utilização do ortoedro de referência é uma técnica muito útil quando se trabalha com 
representações em geral. Ela consiste em imaginarmos o objeto que queremos desenhar dentro de 
uma caixa, mas não de uma caixa qualquer. Essa caixa também pode ser chamada de ortoedro 
auxiliar, ortoedro envolvente, ou ainda, de paralelepípedo de referência. Ver figura 1.15. 
O ortoedro de referência possui características que facilitam a visualização espacial do objeto, 
são elas: 
1. Todas as suas arestas são paralelas a algum dos três eixos coordenados x, y e z, largura, 
profundidade e altura, respectivamente; 
2. Possui faces retangulares; 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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3. As faces formam ângulos retos umas com as outras; 
4. As faces opostas são iguais entre si. 
 
 
Fig. 1.15 
 
As figuras 1.16 e 1.17 mostram um mesmo objeto inserido em dois ortoedros de referência 
diferentes. Esse exemplo nos mostra como o mesmo objeto pode ter interpretações diferentes, 
dependendo da colocação do ortoedro. Na figura 1.16 a face ABC está perpendicular ao chão, colada 
com a face frontal do ortoedro. Já na figura 1.17 a face ABC está inclinada, ou oblíqua ao chão, como 
uma rampa. 
 
Figura 1.16 
 
Figura 1.17 
 
A técnica do ortoedro de referência é um artifício que utilizamos para desenhar objetos 
quaisquer. É muito importante que ortoedro envolva o objeto completamente e, além disso, que 
fique bem “colada” ao objeto, de modo que possibilite a coincidência de faces e arestas do objeto 
com faces do ortoedro. Dessa maneira, o ortoedro de referência seria a MENOR CAIXA POSSÍVEL 
capaz de conter o objeto que queremos desenhar. 
Muitas vantagens podem ser vistas quando usamos o ortoedro de referência: 
1. O ortoedro é um objeto simples de ser desenhado; 
2. O uso do ortoedro faz com que possamos controlar quais faces queremos mostrar, porque 
primeiro decidimos como fica o desenho do ortoedro e só então colocamos o objeto 
dentro dele; 
3. Como o ortoedro possui todas as suas arestas paralelas a um dos três eixos coordenados, 
é fácil fazer uma correlação entre as medidas do objeto e as medidas do ortoedro; 
4. Qualquer objeto pode ser colocado, ou imaginado, dentro de um ortoedro, especialmente 
os objetos com faces curvas ou muito detalhadas. Quando mais detalhado é o objeto mais 
precisamos do ortoedro de referência. A figura 1.18 mostra um objeto qualquer e a figura 
1.19 mostra o mesmo objeto inserido no Ortoedro. 
 
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Fig. 1.18 
 
 
Fig. 1.19 
 
1.6. Sistema de Projeção 
 
As representações têm em seu arcabouço sistemas de projeção. Para entender como funciona 
um sistema de projeção o exemplo mais comumente utilizado é o da sombra. Ver figura 1.20. 
 
http://well31.comunidades.net/index.php?pagina=1305455344 
Fig. 1.20 
Na figura 1.18, da fonte de luz (F) saem os raios luminosos que iluminam o objeto e a parede 
atrás do objeto. A sombra acontece porque os raios que iluminam o objeto não chegam até a parede, 
deixando a projeção da imagem do objeto na superfície bidimensional da parede. 
Um sistema de projeção funciona de forma semelhante. Para representar um objeto 
primeiramente é necessário projetá-lo. O processo de projeção funciona como uma cena, para 
compreendê-la precisamos conhecer alguns elementos básicos que a compõe. São eles: 
a. Observador: centro de projeção; 
b. Objeto: o objeto é o que queremos representar; 
c. Projetantes: raios visuais que partem dos olhos do observador; 
d. Plano de Projeção: é o plano onde será desenhada a projeção. 
A cena funciona da seguinte maneira: o observador observa o objeto. Para perceber o objeto, 
dos olhos do observador partem raios visuais, ou projetantes, que conectam os olhos do observador 
aos limites do objeto, projetando o objeto no plano de projeção. Os pontos, onde as projetantes 
“passam” ou “tocam” no plano de projeção definem o desenho da projeção do objeto, que consiste 
em uma imagem bidimensional proporcional ao objeto tridimensional. 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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Na figura 1.21 abaixo o centro de projeção está representado pela lanterna, os raios de luz 
que saem da lanterna (projetantes) incidem sobre o objeto projetando-o no plano do quadro (plano 
de projeção). 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.21 
Na situação anterior o exemplo foi dado a partir de um objeto real, porém, podemos imaginar 
uma situação na qual o objeto é virtual, ou seja, existente apenas como uma ideia. Sendo assim, é 
necessário um grau de abstração relativamente maior para imaginar toda essa cena primeiramente 
em nossa mente, para, só então, representar no papel a projeção final do processo. 
 
1.7. Tipos de Projeção 
 
Existem dois tipos de projeção bastante conhecidos e utilizados, a PROJEÇÃO CÔNICA e a 
PROJEÇÃO CILÍNDRICA. Nessa disciplina serão abordadas as projeções Cilíndricas: cavaleira, isometria 
e sistema mongeano. Observe abaixo um quadro síntese que mostra o mesmo objeto sendo 
representado em cada um dos tipos de projeção. 
 
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1.7.1. Projeção Cônica 
 
Na projeção Cônica o centro de projeção é chamado de PRÓPRIO, isso porque ele está a uma 
distância finita do objeto. Esse sistema é bem semelhante ao exemplo dado anteriormente, que 
comparou o centro de projeção com uma lanterna. No exemplo da figura 1.22 é fácil perceber que as 
projetantes que partem dos olhos do observador formam um feixe cônico. Por essa razão o sistema é 
chamado de Cônico. Esse feixe projeta o objeto, a esfera, no plano de projeção, ficando a imagem 
projetada em forma de circunferência. 
TIPOS DE 
PROJEÇÃO 
1 FUGA 
PROJEÇÃO 
CÔNICA 
2 FUGAS 
3 FUGAS 
PROJEÇÃO 
CILÍNDRICA 
SISTEMA 
MONGEANO
O 
AXONOMETRIA 
CAVALEIRA 
DIMETRIA 
TRIMETRIA 
ISOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
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Na figura 1.23 temos um exemplo da uma projeção cônica de um objeto bidimensional, o 
triângulo ABC, o qual projetado segundo um centro de projeção O, forma a imagem A’B’C’. 
 
Projeção cônica 
Fig. 1.22 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção cônica 
Fig. 1.23 
 
Nesse curso nós não estudaremos esse tipo de projeção. Mas é importante sabermos que a 
projeção cônica imita a visão humana. Por isso, seu desenho é mais facilmente percebido, mesmo 
por pessoas que não conhecem o desenho. 
Nas figuras 1.24 e 1.25 temos a mesma cena vista de ângulos diferentes. A cena mostra uma 
projeção cônica com o plano de projeção localizado entre o observador e o objeto. Ao observarmos 
as duas imagens, podemos perceber claramente a relação entre observador, projetantes, objeto e 
sua imagem. 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.htmlFig. 1.24 
 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
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http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html 
Fig. 1.25 
 
 
1.7.2. Projeção Cilíndrica 
Na projeção Cilíndrica o observador está uma distância infinita do objeto. Nesse caso o centro 
çde projeção é IMPRÓPRIO, ver figura 1.26. 
As projetantes ao invés de serem concorrentes (num ponto que é o centro de projeção), como 
ocorre no sistema cônico de projeção, elas são paralelas. Isto é, as projetantes partem do centro de 
projeção num feixe em forma de cilindro, é por essa razão que esse sistema de projeção é chamado 
de cilíndrico. Um exemplo que ilustra bem a mecânica desse sistema de projeção é o dos raios 
luminosos que partem do sol. O sol está a uma distância tão grande da terra que ao chegar à sua 
superfície os raios luminosos estão quase paralelos entre si e aí projetam a sobra dos objetos sobre a 
superfície terrestre de forma cilíndrica. 
 
 
 
 
http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-
conicas.html 
Fig. 1.26 
 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
16 
 
 
No sistema cilíndrico de projeção podemos ter as projeções cilíndricas oblíquas (figura 1.27) e 
as projeções cilíndricas ortogonais (figura 1.28). O que diferencia uma da outra é exatamente o 
ângulo de incidência das retas projetantes no plano de projeção. Nas projeções cilíndricas oblíquas o 
ângulo é diferente de 90° e nas projeções cilíndricas ortogonais esse ângulo é igual a 90°. Reparem a 
diferença: 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção Cilíndrica Oblíqua 
Fig. 1.27 
 
 
 
http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 
Projeção Cilíndrica Ortogonal 
Fig. 1.28 
 
 
 
1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 
 
Uma coisa muito importante e motivadora para aprender um novo assunto é saber sobre a 
aplicabilidade do que se está aprendendo. Uma pergunta sempre válida diante de um novo 
conhecimento é “Que usos esse assunto possui?”. No caso dessa disciplina a pergunta seria? Que 
usos a representação de objetos tridimensionais em duas dimensões pode ter para um futuro 
engenheiro? 
A primeira aplicação seria a representação de objetos que muitas vezes estão apenas no plano 
das ideias. Quando é necessário comunicar uma ideia para outros, apenas palavras não explicam 
tudo, especialmente quando as ideias tratam de formas. 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
17 
 
 As Perspectivas Cilíndricas são indispensáveis para todas as áreas do conhecimento que 
trabalham ou estudam a FORMA: Arquitetura, Engenharia, Arte, Design, Expressão Gráfica, entre 
outras. Tal tipo de representação é a base do desenho técnico. 
Outra aplicação das Perspectivas Cilíndricas está presente em manuais de equipamentos 
sejam de móveis, de máquinas e até de brinquedos. Esses se utilizam das perspectivas cilíndricas tipo 
cavaleira ou axonometria (usualmente o desenho isométrico) para representar peças e 
equipamentos. Veja a figura 1.29 de um manual virtual para montagem de um brinquedo. Observe 
que desde as peças do menu até a representação da peça a ser montada estão em desenho 
isométrico. 
 
 
http://www.baixaki.com.br/download/lego-digital-designer.htm 
Fig. 1.29 
 
Uma terceira forma de aplicação das perspectivas está nos ambientes virtuais de jogos e 
manuais. Nesse ambiente a visão isométrica é um recurso amplamente utilizado, como mostra a 
figura 1.30. 
 
 
http://www.tecmundo.com.br/1085-o-que-e-visao-isometrica-.htm 
Fig. 1.30 
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CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 
18 
 
 
 
Na área das Engenharias a aplicabilidade das perspectivas em geral é quase uma 
obrigatoriedade, porque não há como falar de objetos, sejam reais ou virtuais, sem lançar mão do 
uso de algum tipo de representação da forma (ver figura 1.31). As perspectivas nesse caso são o 
recursos que estabelecem a comunicação na área. Nesse caso é possível utilizar tanto as perspectivas 
feitas à mão livre, quanto as feitas com esquadros e compasso, até mesmo as feitas com o auxílio de 
softwares especializados. Independentemente de como as perspectivas são elaboradas, para 
desenhá-las são necessários conhecimentos específicos sobre o assunto. 
 
 
HTTP://WWW.NAVAL.COM.BR/BLOG/2012/03/09/AVISOS-HIDROCEANOGRAFICOS-FLUVIAIS-AVHOFLU-RIO-SOLIMOES-E-RIO-
NEGRO/ 
 Fig. 1.31 
 
Muitos acreditam que com o amplo uso do computador não será mais necessário aprender 
certos conceitos, essas pessoas esquecem que o computador não realiza procedimentos sozinho. 
Para que o desenho seja feito com softwares é preciso efetuar comandos, caso contrário, mesmo 
com os mais avançados softwares disponíveis no mercado, o desenho pode findar incorreto ou 
incompleto. 
 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
19 
 
CAPÍTULO 2 – PERSPECTIVA CILÍNDRICA CAVALEIRA 
2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 Conforme visto no item 1.4 do capítulo anterior, as representações de objetos em perspectiva 
se diferenciam em função de dois aspectos: 
1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 
2. Tipo de projeção. 
No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, que está representada na figura 2.1, a posição 
característica ortoedro de referência é tal que sua face frontal SEMPRE ficará paralela ao plano de 
projeção. 
Já a projeção é do tipo CILÍNDRICA OBLÍQUA, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre 
si, porque o observador está em um ponto impróprio, e essas encontram o plano de projeção de 
forma oblíqua, fazendo, portanto, um ângulo diferente de 90ᵒ, como aparece na figura 2.1. 
 
Fig. 2.1 
Fonte: DUARTE, 2008. 
 
Fig. 2.2 
 
A análise da figura 2.2, que traz a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do objeto 
da figura 2.1, mostra que os ângulos retos existentes na face frontal são mantidos em sua verdadeira 
grandeza, ou seja, a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira mantém a VG das medidas angulares, bem como 
lineares na face frontal da peça. Lembrando que isso ocorre porque a face frontal encontra-se 
paralela ao plano de projeção. Além disso, as arestas referentes às profundidades e às alturas são 
paralelas entre si. 
2.2. Eixos Coordenados 
A visualização de objetos tridimensionais se dá com mais facilidade quando se utilizam os 
eixos coordenados, uma vez que eles funcionam como uma estrutura que dá suporte a todo o 
desenho. A figura 2.3 traz um desenho esquemático dos três eixos coordenados. Nele está o eixo x, 
que é o eixo referente às larguras; o eixo y que é o eixo referente às profundidades, e o eixo z, que é 
o eixo referente às alturas. Dessa forma, todas as larguras da peça ficarão paralelas ao eixo x, todas 
as profundidades ficarão paralelas ao eixo y e todas as alturas ficarão paralelas ao eixo z. 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
20 
 
 
Posicionamento das Faces 
A figura 2.4 mostra um dado desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e referenciado 
pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado é a FACE SUPERIOR do objeto, a 
face que contém o número dois é a FACE FRONTAL e a face que contém o número três é a FACE 
LATERAL DIREITA. A face oposta à face frontal é a FACE POSTERIOR, já a face oposta à face superior é 
a FACE INFERIOR e, finalmente, a face oposta à face lateral direita é a FACE LATERAL ESQUERDA. 
 
ATENÇÃO! 
É muito comum confundir a denominação das faces laterais, esquerda e direita. 
A face lateral esquerda fica do lado esquerdo de quem observa. Consequentemente, a face 
lateral direita fica do lado direito. 
Lembrem-se de que desenhos são inanimados, eles não possuem consciência e referência próprias. 
O observador é quem denomina as partes, direções e demais elementos do desenho. Portanto,é o 
referencial de quem observa que é levado em consideração. 
 
Quando os eixos coordenados são desenhados, como na figura 2.3, é possível perceber alguns 
aspectos particulares desse tipo de Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. O primeiro deles é a manutenção 
da ortogonalidade entre os eixos x e z. Se considerarmos o espaço tridimensional, é possível afirmar 
que todos os eixos fazem 90ᵒ entre si. No entanto, se considerarmos a representação em Perspectiva 
Cilíndrica Cavaleira só enxergamos 90ᵒ de fato entre os eixos x e z. Essa característica confere à 
Perspectiva Cilíndrica Cavaleira um aspecto importante que é o fato dos ângulos e medidas contidas 
na face frontal e posterior do ortoedro de referência manterem suas verdadeiras grandezas (VG), isto 
é, as medidas do desenho são iguais às medidas do objeto real. É por essa razão que se diz que na 
Perspectiva Cilíndrica Cavaleira as faces paralelas ao plano de projeção estão em VG. Já as outras 
faces sofrem algum tipo de deformação, fato que será estudado com mais detalhes adiante. Dessa 
maneira, quando se desenha uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira os eixos x e z SEMPRE fazem 90ᵒ 
entre si, ou seja, eles ficam fixos nessa posição, já o eixo y não tem uma posição fixa. A variação da 
direção do eixo y e as implicações dela serão estudadas no próximo item. 
 
Fig. 2.3 
 
Fig. 2.4 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
21 
 
2.3. O Eixo y 
As perspectivas sempre mostram três faces. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira a 
face frontal, que fica paralela ao plano de projeção, SEMPRE é mostrada. Esta é, em geral, a 
principal face da peça. Usualmente, são mostradas as três faces que contêm mais detalhes ou as 
três que melhor definem o objeto. Sendo assim, podemos ter apenas as seguintes combinações: 
 Frontal, lateral direita e superior; 
 Frontal, lateral esquerda e superior; 
 Frontal, lateral direita e inferior, e; 
 Frontal, lateral esquerda e inferior. 
A representação de um ou de outro conjunto de faces, acima listados, depende da direção 
escolhida para projetar o eixo coordenado y, pois, como foi mencionado, os eixos x e z ficam fixos, 
fazendo 90° entre si. Assim, caso a direção escolhida para o eixo y seja como a que está na figura 2.5, 
as faces mostradas são a FRONTAL, a LATERAL ESQUERDA e a SUPERIOR. Já se a direção de y for 
como na figura 2.6 as faces mostradas são FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. 
 
Fig. 2.5 
 
Fig. 2.6 
A figura 2.7 traz a síntese das quatro possíveis direções que o eixo y pode assumir, bem como 
as faces que são mostradas em cada caso. Quando a direção escolhida para a projeção do eixo y é a 
que está no quadrante 1, são mostradas as faces: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e INFERIOR. No 
quadrante 2 são as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. No quadrante 3, as faces: 
FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR; e, finalmente, no quadrante 4, as faces mostradas são: 
FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e SUPERIOR. 
 
Fig. 2.7 
1 
4 3 
2 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
22 
 
2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
 Para que uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira possa ser elaborada dois parâmetros precisam 
ser previamente definidos: a direção da Cavaleira (α) e o fator de deformação (k). 
 
A figura 2.8 apresenta a projeção de um 
objeto em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. 
Nessa representação podemos perceber que 
as arestas referentes à largura (ex.: AC) e à altura (ex.: 
AD) são paralelas ao plano de projeção e quando 
projetadas aparecem nesse plano exatamente com a 
mesma medida que possuem no real. Isso significa 
que na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira elas estão em 
VG. 
No entanto, as arestas referentes à 
profundidade (ex.: AB), que no espaço estão 
perpendiculares ao plano de projeção, quando 
projetadas, aparecem de maneira deformada. Essa 
deformação vai depender da direção tomada pelas 
retas projetantes (ex.: AA’). Tal direção pode ser 
determinada por dois ângulos (α e β). No próximo 
item tais ângulos e as relações que eles têm com os 
parâmetros determinantes da Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira serão estudados. 
 
 
Fig. 2.8 
Fonte: DUARTE, J., 2008. 
2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) 
DEFINIÇÃO: O ângulo α pode ser definido como sendo o ângulo formado pela horizontal da projeção 
(ex.: A’C’) e pela projeção da profundidade do objeto (ex.: A’B’), como podemos ver na figura 2.8. 
Não existe uma medida definida para α, ou seja, uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira pode ser 
desenhada com α medindo qualquer ângulo entre 0ᵒ e 90ᵒ. No entanto, a medida de α vai influir na 
porção vista das faces. Na prática, os ângulos existentes nos esquadros (30ᵒ, 45ᵒ e 60ᵒ) acabam 
sendo, pela praticidade, os ângulos mais utilizados na elaboração de Perspectivas Cilíndrica Cavaleira, 
mas nada impede que outras medidas sejam adotadas. Veja nas três figuras abaixo uma comparação 
mostrando o que acontece quando variamos os valores de α. 
 
Fig. 2.9 
 
Fig. 2.10 
 
Fig. 2.11 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
23 
 
O que podemos concluir após a análise das figuras acima é que mesmo que estejam sendo 
mostradas as mesmas faces (FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR), quando o ângulo α varia, 
porções diferentes das faces FRONTAL e LATERAL DIREITA são mostradas. No entanto, o mesmo não 
ocorre com a face FRONTAL, a qual aparece da mesma forma nas três figuras. Isso acontece porque 
ela está paralela ao plano de projeção e, consequentemente, em VG. Dessa forma, suas medidas 
lineares e angulares são resguardadas mesmo depois da sua projeção. 
Na figura 2.9, α mede 30°, e a face LATERAL DIREITA aparece com bem mais destaque do que 
a face SUPERIOR. Já na figura 2.10, onde α mede 45ᵒ, ambas as faces aparecem com o mesmo 
destaque. Finalmente, na figura 2.11, que tem α medindo 60°, vemos uma porção bem menor da 
face LATERAL DIREITA do que da face SUPERIOR. O mesmo pode ser feito com as outras combinações 
de faces. 
ATENÇÃO! 
 Ao escolher a medida de α, evite os ângulos 90ᵒ e 180ᵒ, porque com esses valores só é 
possível mostrar duas das faces do ortoedro. 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.12 
 Fonte: DUARTE, J., 2008. 
 
2.4.2. Fator de Deformação (K) 
DEFINIÇÃO: O fator de deformação (K) consiste na relação constante entre o comprimento real de 
um segmento (ex.: AB, da figura 2.13) e o comprimento dele depois de projetado (ex.: A’B’). 
 Essa relação também é dada pela tangente do 
ângulo β, o qual está contido no triângulo AOA’ da figura 
2.13. 
DEMONSTRAÇÃO: K = tg (β) 
 
tg (β) = cateto oposto = A’O = A’B’ 
 cateto adjacente AO AB 
 
Assim: K = A’B’ 
 AB 
 A’B’ = K x AB 
 
Se K = 1; A’B’ = AB 
Se K = 0,5; A’B’ = 0,5 x AB 
Fig. 2.13 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
24 
 
 
ATENÇÃO! 
O fator de deformação (K) atua apenas nas projeções das arestas que são paralelas ao eixo 
coordenado Y, ou seja, aquelas que no espaço, são ortogonais ao plano de projeção. As projeções 
das arestas paralelas ao plano de projeção permanecem com o tamanho real. 
O fator de deformação (K) é utilizado nos casos em que se quer mostrar uma face em 
detalhes. Muitas vezes o desenho da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira sem deformação (K=1), ou seja, 
com as medidas iguais às do objeto real faz com que porções de uma determinada face não 
apareçam, ver figura 2.14. Se uma face não estiver sendo vista completamente é possível aplicar o 
fator de deformação (K) de forma que essaface seja mostrada completamente, ver exemplo das 
figuras 2.14 e 2.15. Na primeira figura K = 1 e na segunda k = 0,4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.2.14 
Fonte: DUARTE, J., 2008 
Fig.2.15 
Fonte: DUARTE, J., 2008 
 
ATENÇÃO! 
 A prática mostrou que se o fator de deformação (K) variar entre 0,5 e 1 a representação da 
peça se assemelha bastante ao aspecto real da mesma. Portanto, para que a perspectiva se 
assemelhe à peça real utilize esses valores. 
Quando uma peça está representada em perspectiva cavaleira e não está indicado acima dela 
qual é o seu fator de deformação K devemos assumir que o K=1. 
 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
25 
 
2.5. Rotação da Peça 
A rotação é uma operação gráfica utilizada 
no aprendizado da visualização espacial. Uma 
maneira de realizar essa rotação ainda no plano das 
ideias é utilizar os eixos coordenados como 
referência e imaginar o objeto sendo rotacionado 
em torno de um dos eixos, ver figura 2.16. 
Dessa forma, a rotação depende: 
1. do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 
2. do sentido da rotação, se horário ou anti-
horário, e; 
3. da extensão da rotação, ou seja, com 
quantos graus deverá ser feito o giro. 
 
Fig. 2.16 
 
As figuras 2.17 e 2.18 mostram um exemplo de rotação. Na primeira figura tem-se a peça na 
posição original, já a figura 2.18 mostra a representação da mesma peça após uma rotação de 90ᵒ, 
em torno do eixo z, no sentido anti-horário. 
 
2.5.1. Diferença entre ROTAÇÃO e VARIAÇÃO DA DIREÇÃO DA PROJEÇÃO DO EIXO Y 
É importante não confundir a ROTAÇÃO, discutida no item 2.5, com a VARIAÇÃO DA DIREÇÃO 
DA PROJEÇÃO DO EIXO Y, discutido no item 2.3. Tais procedimentos podem ocorrer em comandos 
distintos, ou num mesmo comando. Se esse for o caso, a rotação ocorrerá primeiro e somente no 
plano das ideias (mentalmente), ou seja, o objeto será rotacionado em torno de um dos eixos e, em 
seguida, serão escolhidas as faces que serão mostradas após a rotação. Essa escolha dependerá da 
direção tomada pela projeção do eixo y. 
A peça da figura 2.17 após rotacionada 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário, pode 
ser representada de quatro maneiras, conforme mostra a figura 2.19. É possível perceber na figura 
abaixo que os quatro desenhos mostram a peça na mesma posição, porém as faces mostradas 
variam. 
 
Figura 2.17 
 
Figura 2.18 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
26 
 
 
 
Fig. 2.19 
2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 
 Existe uma diferença entre FACES e 
VISTAS. A face pertence ao objeto, enquanto que 
a vista é própria do ortoedro de referência. 
 As vistas do ortoedro de referência se 
configuram num referencial fixo de 
posicionamento. Por exemplo, na figura 2.20, a 
face do objeto que contém o número um 
corresponde à vista SUPERIOR do ortoedro de 
referência. Da mesma maneira, a face do objeto 
que contém o número dois corresponde à vista 
FRONTAL do ortoedro. Já a face do objeto que 
contém o número três corresponde à vista 
LATERAL DIREITA do ortoedro. 
 
 
Fig. 2.20 
 
 
2.6 Trabalhando com Arestas que não Estão Paralelas aos Eixos Coordenados 
Em inúmeras situações precisaremos trabalhar com arestas e planos que não estão paralelas a 
uns dos três eixos coordenados. O melhor exemplo desse tipo de arestas e planos são as rampas. 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
27 
 
 
Fig. 2.21: prisma mostrando as vistas F, S e LD. Fig. 2.22: prisma mostrando as vistas F, I, e LD. 
 
As figuras 2.21 e 2.22 acima nos mostram o mesmo prisma representado com vistas 
diferentes. na primeira figura vemos as vistas F, S e LD. Já na segunda figura podemos ver as vistas F, 
I, e LD. A única diferença é que escolhemos trocar a vista Superior pela Inferior. Observe que não 
rotacionamos nem modificamos o alfa nem o “K” da peça. 
Observando a Face ABCD na primeira figura podemos ver que as arestas AB e CD possuem 
uma dimensão, esta dimensão não está paralela a nenhum dos eixos coordenados. Agora, 
comparando a dimensão das arestas AB e CD em ambas as figuras podemos facilmente perceber que 
as dimensões mudam de uma figura para a outra. No caso as arestas AB e CD ficam bem menores na 
segunda figura. 
Mas o que aconteceu? O que ocorre é que as arestas que não estão paralelas aos eixos 
coordenados não têm dimensões confiáveis, porque elas podem variar devido ao efeito da 
perspectiva. Foi o que acabamos de ver, apenas ao trocar a mostrada da vista superior pela vista 
inferior causou uma mudança de dimensão na representação das arestas AB e CD. 
Mas como trabalhar com esse tipo de aresta então? A resposta é: trabalhar com os 
invariantes! Mas o que são invariantes? Nesse caso, os invariantes são as arestas que estão paralelas 
aos eixos coordenados AP, PB, DQ e QC. Observe que essas arestas que acabamos de citar não têm 
suas dimensões modificadas de uma figura para a outra. A aresta AP está paralela ao eixo z; a aresta 
PB está paralela ao eixo y; a aresta DQ está paralela ao eixo z e a aresta QC está paralela ao eixo y. 
Na prática podemos trabalhar com esse tipo de aresta? Para traçar a aresta AB, você deve 
partir de um dos pontos. Por exemplo, se você localizou o vértice A, para chegar em B você vai 
percorrer a aresta AP e depois PB, quando localizar o vértice B você terá segurança para traçar, 
finalmente, a aresta AB. 
Além disso, uma outra percepção que ajuda é ver que os vértices A e B possuem a mesma 
coordenada x, assim como os vértices C e D também possuem a mesma coordenada x. em ambos os 
casos devemos então trabalhar com as outras coordenadas variantes, em ambos os casos, y e z. É por 
isso que é tão importante utilizar o Ortoedro de Referência (ou Ortoedro Envolvente) porque 
podemos facilmente visualizar essas relações uma vez que temos o Ortoedro. 
O que aprendemos sobre a representação de arestas que não estão paralelas aos eixos 
coordenados será aplicado para as perspectivas cilíndricas isométricas, mais especificamente o 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
28 
 
desenho isométrico (ver Capítulo 3) bem como para o Sistema de representação Mongeano (ver 
Capítulo 4). 
 
2.7. Cilindros e Cones 
 
 
Fig. 2.21 
 Cilindros e cones são sólidos geométricos 
gerados segundo algumas “leis de geração”. 
 Pode-se dizer, por exemplo, que o cilindro é 
uma superfície gerada por uma reta (geratriz) 
paralela a um eixo, a qual se desloca em torno de 
uma circunferência (diretriz), como aparece na 
figura 2.21. 
 Outra forma de gerar uma superfície 
cilíndrica é quando uma circunferência (geratriz) se 
desloca ao longo de um eixo. Esse movimento, 
também, gera uma superfície cilíndrica. 
 Portanto, um cilindro possui geratrizes retas 
(primeiro exemplo), bem como geratrizes curvas 
(segundo exemplo). 
 
 
 
 
 
 
Superfícies cônicas podem ser geradas de 
forma semelhante à descrita acima. No primeiro 
caso, tem-se uma reta g (geratriz) apoiada num 
eixo Hh que se desloca em torno de uma 
circunferência (diretriz). Outra forma de gerar 
um cone é quando uma circunferência (geratriz) 
se desloca ao longo de um eixo, e na medida em 
que se desloca tem seu raio diminuído até 
chegar ao vértice, onde o raio é igual a zero. Ver 
figura 2.22. 
 
Fig. 2.22 
http://www.solucaomatematica.com.br/?p=1873 
 
Nesta disciplina trataremos apenas de Cilindros e de Cones de Revolução. Eles são casos 
particulares dos cilindros e cones uma vez que possuem uma propriedade específica que diz que todo 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
29 
 
plano perpendicular ao eixo desses sólidos cortará a superfície desse sólido segundo uma 
circunferência. Na representação de objetos em forma de cilindros e cones de revolução em 
Perspectiva Cilíndrica Cavaleirasão utilizados segmentos curvos (circunferências e elipses) para 
representar as faces planas, e segmentos retos para representar a superfície curva. Tais segmentos 
retos são chamados de geratrizes de limite de visibilidade. Elas, em geral, estão paralelas a um dos 
eixos coordenados. Na figura 2.23 as geratrizes de limite de visibilidade estão paralelas ao eixo z, 
enquanto que na figura 2.24 elas estão paralelas ao eixo x, já na figura 2.25 elas estão paralelas ao 
eixo y. 
 
Fig. 2.23 
 
 
 
Fig. 2.24 
 
 
Fig. 2.25 
 
No caso da representação de objetos em forma 
de cones de revolução as geratrizes de limite de 
visibilidade concorrem em um ponto chamado vértice. 
Tais elementos serão estudados mais adiante. 
 
2.7.1. Cilindros 
No espaço, um objeto em forma de cilindro possui duas faces planas e uma superfície curva. O 
desenho das faces planas em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira é composto por circunferências e arcos 
de circunferência. É preciso chamar a atenção para o fato de que as faces planas do cilindro possuem 
forma de circunferência quando estão no espaço. No entanto, quando são representadas em duas 
dimensões, elas podem permanecer com forma de circunferência ou tomar forma de elipse, 
dependendo da posição dessas faces em relação aos eixos coordenados, como mostram as figuras 
2.27 e 2.28. 
 
geratriz de 
limite de 
visibilidade 
Fig. 2.26 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
30 
 
 
Fig. 2.27 
 
 
Fig. 2.28 
 
 
A figura 2.29 traz a representação de um cilindro cujas faces planas são paralelas aos eixos x e 
y. Nessa situação, as curvas assumem a forma de elipse. Situação semelhante ocorre com o cilindro 
da figura 2.30, onde as curvas aparecem como elipses. Nessa figura, as faces planas são paralelas aos 
eixos y e z. Já na figura 2.31, as faces planas aparecem como circunferências, nesse caso, elas estão 
paralelas aos eixos x e z. 
É importante destacar que as faces que aparecem como circunferências estão paralelas ao 
plano de projeção, portanto em VG. Quando estão perpendiculares a este plano, elas aparecem 
como elipse, uma vez que sofrem deformação causada pelo eixo y. 
 
 
Fig. 2.29 
 
 
 
Fig. 2.30 
 
 
Fig. 2.31 
 
 
2.7.2. Cones 
Situações semelhantes ocorrem na representação de objetos em forma de cone. As figuras 
2.32, 2.33 e 2.34, mostram que a face plana do cone pode aparecer em forma de circunferência ou 
de elipse pelas mesmas razões explicadas acima para o cilindro. 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
31 
 
 
Fig. 2.32 
 
Fig. 2.33 
 
Fig. 2.34 
Na figura 2.32 a face plana do cone aparece como uma circunferência porque ela está paralela 
ao plano de projeção, portanto em VG. Já os cones das figuras 2.33 e 2.34 têm suas faces planas 
representadas em forma de elipses. Essas faces estão perpendiculares ao plano de projeção, 
portanto sofrem deformação. 
 
2.7.3. O Desenho da Elipse 
Existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. A seguir serão apresentados 
dois deles para a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira: o procedimento dos 8 pontos, também chamado de 
procedimento das diagonais, e o procedimento dos “n” pontos. 
Procedimento dos 8 Pontos 
Para desenhar uma elipse parte-se de parâmetros que valem para uma circunferência inscrita 
em um quadrilátero, ou seja: a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em quatro 
pontos, os pontos 1, 2, 3 e 4 da figura 2.35. Esses quatro pontos são os pontos médios dos lados do 
quadrado. As diagonais do quadrado interceptam a circunferência inscrita nele em outros quatro 
pontos, que são os pontos 5, 6, 7 e 8 da figura 2.36. 
 
Fig. 2.35 
 
Fig. 2.36 
Colocados os parâmetros que valem para a circunferência, é possível transpô-los para a 
representação da circunferência em perspectiva, ou seja, da elipse. Ver figura 2.37. Vamos começar 
pelo desenho do quadrado em perspectiva, que será um paralelogramo posicionado de forma 
perpendicular ao plano de projeção, ou seja, paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo, desenham-
se os mesmos parâmetros vistos acima para o quadrado, ou seja, as retas que ligam os pontos 
médios dos lados e as diagonais. Dessa maneira, encontram-se os primeiros quatro pontos, que são 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
32 
 
os pontos de tangência da elipse no paralelogramo: pontos 1’, 2’, 3’ e 4’ da figura 2.37. Esses pontos 
estão localizados nos pontos médios de cada lado do paralelogramo e correspondem aos pontos 1, 2, 
3 e 4 do quadrado. 
 
Fig. 2.37 
 
Fig. 2.38 
 
Para encontrar os pontos correspondentes aos pontos 5, 6, 7 e 8 do quadrado, é necessário 
levá-los para o paralelogramo por meio de duas linhas, uma paralela ao eixo z, que liga os pontos 6 e 
7 e outra paralela ao eixo y, que ao cruzar com as diagonais do paralelogramo, liga os pontos 6’ e 7’, 
como aparece na figura 2.38. O mesmo procedimento é feito para encontrar os pontos 5’ e 8’. 
 
 
Fig. 2.39 
 
Fig. 2.40 
 
Para determinar a elipse traçamos a mão livre uma linha curva que passe pelos oito pontos 
encontrados anteriormente, ver figura 2.39. Para desenhar uma elipse na face lateral direita do 
objeto procede-se de maneira análoga, como mostra a figura 2.40. 
Um exercício muito interessante, que pode ser realizado tanto com o procedimento que 
acabou de ser apresentado, quanto com o procedimento que será apresentado a seguir, consiste em 
desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro de referência. 
DICA IMPORTANTE! 
É possível determinar os pontos correspondentes aos pontos 5’, 6’, 7’ e 8’ do exemplo 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
33 
 
anterior sem que seja necessário desenhar um quadrado com uma circunferência circunscrita 
previamente. 
Para isso encontra-se o segmento AB, da figura 2.41, através da fórmula: AB = r x 0,3. 
A justificativa desse procedimento se baseia no fato de que: 
AB = OB – OA = r – r cos (45o) 
AB = r (1 - cos (45o)) = r (1 - 0,707) 
AB = 0,293 x r, ou seja, AB = r x 0,3 
O ponto D do paralelogramo corresponde ao ponto C do quadrado. 
 
Fig. 2.41 
Fonte: DUARTE, J. 2008. 
 
Procedimento dos “n” Pontos 
Existe outro procedimento que determina pontos da elipse, auxiliando a construção dessa 
curva, o chamado procedimento dos “n” pontos. Com esse procedimento é possível determinar 
quantos pontos se desejar, ou seja, “n” pontos. Enquanto que o procedimento anterior determina no 
máximo oito pontos da elipse. Quanto mais pontos da elipse forem conhecidos, mais precisa será a 
construção da mesma, sobretudo se o desenho for feito à mão livre. Portanto, a vantagem desse 
procedimento é o desenho mais preciso da circunferência em perspectiva. 
Partimos do paralelogramo que circunscreve a elipse que se quer construir. Em seguida, 
determinam-se os quatro pontos médios dos lados do paralelogramo: M1, M2, M3 e M4. A partir 
desses pontos, divide-se o paralelogramo em quatro quadrantes. 
 
Fig. 2.42 
 
Fig. 2.43 
Dividem-se os segmentos destacados na figura 2.44 em qualquer quantidade de partes iguais. 
Nesse exemplo, os segmentos foram divididos em três partes iguais. É muito importante que os 
segmentos sejam divididos no mesmo número de partes. Ver na página seguinte como se divide um 
segmento em partes iguais. Não importa que largura, altura ou profundidade, tenha o paralelogramo 
que envolve a elipse, os dois segmentos que formam cada quadrante devem ser divididos no mesmo 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
34 
 
número de partes. Depois, enumeram-se os segmentos destacados da mesma forma como aparece 
na figura 2.44 e 2.45. 
 
Fig. 2.44 
 
Fig. 2.45 
 Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante (fig. 
2.46) e, depois, repeti-lo nos demais quadrantes. Liga-se o ponto A ao ponto 1 do segmento oblíquoe o ponto B ao ponto 1 do segmento horizontal. O cruzamento dos segmentos A1 e B1 é um dos 
pontos da elipse, o ponto C. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, repita a operação 
anterior ligando o ponto A ao ponto 2 do segmento oblíquo e o ponto B ao ponto 2 do segmento 
horizontal, o cruzamento dos segmentos A2 e B2, resulta no ponto D, figura 2.47. 
 
Fig. 2.46 
 
Fig. 2.47 
Já é possível traçar à mão livre a elipse nesse quadrante. Para isso, inicia-se o traçado no 
ponto B (que é um dos ponto de tangência da elipse com o quadrilátero que a circunscreve), e segue-
se traçando o arco de elipse até o ponto D, em seguida, segue-se ao ponto C e finaliza-se o arco de 
elipse no ponto O (que é outro ponto de tangência da elipse com quadrilátero que a circunscreve), 
ver a figura 2.49. 
 
Figura 2.49 
 
Fig. 2.50 
 
Para traçar a elipse nos outros quadrantes, inicia-se o traçado em um dos pontos de tangência 
da elipse e procede-se analogamente, como mostra a figura 2.49. A elipse completa fica como na 
figura 2.50. 
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CAPÍTULO 2 - Cavaleira 
35 
 
 
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS 
Tomamos como exemplo o segmento AB (figura 2.51), que será dividido em “n” partes iguais. 
 
Fig. 2.51 
 
Fig. 2.52 
 
O primeiro procedimento consiste na construção de uma linha auxiliar partindo de uma das 
extremidades do segmento AB, formando um ângulo qualquer com o segmento AB, figura 2.52. Em 
seguida, divide-se a linha auxiliar no número de partes que queremos dividir o segmento AB (nesse 
exemplo dividiremos em três partes iguais). Essa divisão pode ser feita com escala ou utilizando uma 
mesma abertura no compasso, como mostra a figura 2.52. 
Em seguida, liga-se a extremidade da última divisão à extremidade do segmento, nesse caso 
o ponto A, traçando assim o segmento 3A, como mostra a figura 2.53. Para finalizar deve-se traçar 
segmentos paralelos ao segmento 3A passando pelos pontos 1 e 2. Dessa maneira, os segmentos 
traçados irão interceptar o segmento AB dividindo-o em 3 partes iguais, como se vê na figura 2.54. 
 
Fig. 2.53 
 
 
Fig. 2.54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
36 
CAPÍTULO 3 – DESENHO ISOMÉTRICO 
 
3.1. Caracterização daAxonometria 
A isometria faz parte de um sistema de representação chamado AXONOMETRIA. Conforme foi 
explicitado no capítulo 1, os sistemas de representação se diferenciam por duas características: 
1. Posição de ortoedro de referência com relação ao plano de projeção; 
2. Tipo de projeção. 
 
Na axonometria a projeção é CILINDRICA ORTOGONAL, ou seja, as retas projetantes são paralelas 
entre si e formam um ângulo de 90° com o plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.2 
 
 
 
No caso da axonometria o ortoedro de referênciaestá posicionado de tal maneira com relação 
ao plano de projeção que se as três arestas que partem de um mesmo vértice A forem prolongadas 
todas elas encontrarão o plano de projeção nos pontos E, F e G (ver figura 3.1). Diferente da 
cavaleira, na qual apenas uma das três arestas encontraria o plano de projeção caso fossem 
prolongadas. Quando todas as faces do objeto são projetadas obtém-se uma imagem como mostra a 
figura 3.2. Como não existem faces paralelas ao plano de projeção, pois estão todas oblíquas em 
relação a ele, não existe nenhuma face em VG, ou seja, as três faces sofrem deformação ao serem 
projetadas. 
Como cada face, ao ser projetada, faz com o plano do desenho um determinado ângulo 
podem ocorrer três situações:(1) se os três ângulos são diferentes entre si, temos a TRIMETRIA, onde 
as faces que têm maiores ângulos têm menos destaque, ver figura 3.3; (2) se dois dos ângulos são 
iguais e apenas um deles é diferente, temos a DIMETRIA, onde duas faces terão mais destaque do 
que a outra, ver figura 3.4;(3) se os três ângulos são iguais, temos a ISOMETRIA, onde as três faces 
sofrem a mesma deformação. O ângulo que as faces fazem com o plano de projeção é igual a 120° 
(pois 360°/3 = 120°, ver figura 3.5). 
Fig. 3.1 
Fonte: Duarte, 2008 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
37 
 
Fig. 3.3 
 
Fig. 3.4 
 
Fig. 3.5 
 
3.2. Caracterização doDesenho Isométrico 
Dentre as projeções axonométricas, a isometria é a mais utilizada. Principalmente a 
perspectiva isométrica na sua forma simplificada, o DESENHO ISOMÉTRICO ou ISOMETRIA 
SIMPLIFICADA, que não carece de coeficientes de redução. 
O termo isométrico significa igual medida. Nos desenhos de perspectiva isométrica, o objeto 
está oblíquo em relação ao plano de projeção, conforme mostra a figura 3.5. Essa obliquidade em 
relação ao plano de projeção faz com que a projeção das dimensões do objeto no plano de projeção 
seja reduzida igualmente em cada direção dos eixos.Dessa maneira, na isometria, todas as arestas da 
peça que possuem direção igual a uma das direções das arestas de um ortoedro envolvente (AB, AC 
ou AD) têm a mesma inclinação em relação ao plano de projeção. Portanto as projeções ortogonais 
dessas arestas têm a mesma deformação (nesse caso, uma redução): 
 
A’B’= 0,816 x AB 
A’C’= 0,816 x AC 
A’D’= 0,816 x AD 
 
Veja a demonstração na figura 3.6: 
Os pontos E, F e G são as interseções dos 
prolongamentos das arestas AB, AC e AD 
com o plano de projeção. Traçando por A 
e B perpendiculares a EG determina-se o 
segmento A’’ B’’. 
A’’B’’ = AB x cos(45o) = A’B’ x cos(30o)  
A’B’= cos(45o) / cos(30o) x AB = 0,816 x AB 
 
 
 
 
 
Sendo assim, o desenho da projeção fica como a figura 3.6 Com todas as arestas reduzidas 
com relação à peça real. Observe abaixo a diferença entre a perspectiva isométrica e o desenho 
isométrico feito para a mesma peça. O DESENHO ISOMÉTRICO, figura 3.7 é maior porque não há 
redução das arestas. O Desenho Isométrico é muito utilizado para o ensino de disciplinas 
introdutórias de desenho e para o desenho em softwares. 
 
 
 Fig. 3.6 
Fonte: Duarte, J. 2008 
 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repetindo: No Desenho Isométrico as projeções das arestas não são reduzidas (A’B’= AB, 
A’C’= AC e A’D’= AD). Os desenhos feitos com esquadros nessa disciplina serão executados 
adotando o Desenho Isométrico. 
 
3.3. Desenho Isométrico na prática 
Na prática, a construção do ortoedro envolvente em desenho isométrico começa com o 
desenho de uma linha horizontal de referência. Em seguida é escolhido um ponto nessa linha para a 
partir dele desenharmos duas linhas formando 30o com a linha horizontal (ver figura3.9). 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9 
Para desenhar as linhas com 30° comece desenhando uma reta vertical e posicione os 
esquadros como indicado na fig. 3.10 Desloque o esquadro de 30o na direção da seta e desenhe a 
reta destacada. Em seguida posicione os esquadros como indicado na fig. 3.11 e desenhe a reta 
destacada nessa figura. 
 
 
 
Fig. 3.10 Fig. 3.11 
 
Fig. 3.7 
Fonte: Duarte, J. 2008 
Fig. 3.8 
Fonte: Duarte, J. 2008 
Isometria Exata Desenho Isométrico 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
39 
 
Determine a altura, a largura e a espessura da peça de acordo com os eixos coordenados e 
complete o ortoedro traçando as paralelas indicadas, conforme veremos no próximo item. 
 
3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência 
Da mesma forma como foi demonstrado para a perspectiva cavaleira, podemos visualizar as 
peças desenhadas com mais facilidade quando relacionamos suas dimensões com os eixos 
coordenados. Ao pensarmos que tudo a nossa volta possui três dimensões facilitamos a transposição 
do objeto real para o objeto desenhado no papel.Dessa maneira, teremos o eixo das larguras, o eixo 
x; o eixo das profundidades, o eixo y e o eixo das alturas, oeixo z. Observe o exemplo abaixo. 
As figura 3.12 mostra como fica a posição dos eixos coordenados no desenho isométrico. Na 
literatura o eixo z sempre aparece localizado verticalmente, porém, não há um consenso com relação 
ao posicionamento dos eixos coordenados x e y. Algumas vezes é adotado o eixo x posicionado à 
esquerda e o eixo y à direita. No entanto, muito autores da área (Duarte, M. 1996; Duarte, J., 2008 e 
Bortolucci) adotam o eixo x posicionado à direita e o eixo y à esquerda. Nessadisciplina adotaremos 
esse último posicionamento, conforme mostra a figura 3.12. 
A representação padrão exibe o objeto como na figura 3.13, que mostra um dado desenhado 
em isometria e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado 
corresponde àvista superior do ortoedro de referência;a face que contém o número dois do dado 
corresponde à vistafrontal do ortoedro de referência e, consequentemente, a face que contém o 
número três do dado corresponde à vista lateral direita do ortoedro de referência.Todas as peças 
desenhadas em desenho isométrico seguirão essa mesma convenção. 
 
Fig. 3.12 
3.13 
 
3.4.1. Visualização de Todas as Faces 
A exemplo da Perspectiva Cavaleira, no Desenho Isométrico são sempre mostradas três faces 
do ortoedroenvolvente. Na figura 3.13 foram mostradas as faces frontal, lateral direita e superior, 
sendo esta a forma mais usual de apresentação na isometria. No entanto, é possível, embora não 
seja muito usual para isometria, mostrar as outras faces do objeto, podemos ter as seguintes 
combinações: 
• Frontal, lateral direita e superior (default); 
• Frontal, lateral esquerda e superior; 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
40 
• Frontal, lateral direita e inferior, e; 
• Frontal, lateral esquerda e inferior. 
 
Dada a peça da figura 3.14, desenhada em Desenho Isométrico, que mostra as vistas: frontal, 
superior e lateral direita do ortoedro de referência, podemos representá-la de forma a mostrar as 
outras faces da peça, conforme mostram as peças da figura 3.15. Nesse caso, tem-se que 
rotacionar a peça em torno de algum dos eixos coordenados ou variar a posição do eixo y, como foi 
visto para a Perspectiva Cavaleira. 
 
 
 
 
3.4.2. Rotação da Peça 
 
Fig. 3.16 
 
No Desenho Isométrico a rotação de uma peça 
pode ocorrer da mesma maneira como vimos na 
Perspectiva Cavaleira. Porém, deve ser observada a 
posição dos eixos coordenados. Observe a figura 3.16 
ao lado e veja como fica a rotação para cada um dos 
eixos coordenados. 
Dessa forma, a rotação depende: 
1. Do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 
2. Do sentido da rotação, se horário ou anti-horário; 
3. Da extensão, em graus, da rotação. 
 
 
3.5. Cilindros e Cones 
As propriedades geométricas dos cilindros e cones não se alteram em funcão do tipo de 
representação escolhida. Assim, a conceituação para leis de geração e geratrizes de limite de 
visibilidade se aplicam para o Desenho Isométrico da mesma forma como foi visto para o desenho da 
Perspectiva Cavaleira. 
Fig. 3.14 
 
Fig. 3.15 
 
x
x 
x 
x 
y y 
y 
y 
z z 
z z 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
41 
 Na representação do cilindro e do coneem 
Desenho Isométrico as faces que têm forma de 
circunferência, quando são representadas em 
duas dimensões sempre irão tomar forma de 
elipse, porque no caso do Desenho Isométrico 
nenhuma das faces do ortoedro de referência 
está paralela ao plano de projeção. 
 
 
 Fig. 3.17 
 
Fig. 3.18 
 
 
O cilindro pode assumir três posições básicas no desenho isométrico, com relação aos eixos 
coordenados. 
 
Fig. 3.19 
 
Fig. 3.20 
 
Fig. 3.21 
 
Na figura 3.19, a face plana do cilíndro, que possui forma de circunferência quando está no 
espaço, está representada paralela aos eixos y e x, tomando forma de uma elipse. Atenção ao 
ortoedro envolvente para facilitar a visualização. Na figura 3.20 quando a face plana do cilíndrofica, 
na representação, paralela aos eixos x e z toma a forma de uma elipse. Nesse caso, diferentemente 
da cavaleira, na qual a face em forma de circunferência do cilindro fica na forma de 
circunferência.Por último, na figura 3.21a face plana do cilíndro, está representada paralela aos eixos 
y e z e, também, toma forma de elipse. 
 
 
 
 
 
 
Pode-seaplicar para o caso do cone o mesmo que foi visto para o cilindro, uma vez que as 
situações são semelhantes. 
Na primeira figura, 3.22, a face plana do cone está paralela aos eixos x e y. Vai acontecer o 
mesmo que aconteceu com o cilindro, ou seja, a face em forma de circunferência vai aparecer na 
perspectiva como uma elipse. 
Em Isometria e também em Desenho Isométrico a circunferência sempre toma forma de 
elipse, não importa a que eixos a face em forma de circunferência ou arco de circunferência 
esteja paralela. Isso ocorre porque em Isometria todos ou eixos estão oblíquos com relação ao 
plano de projeção. 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
42 
 
 
Fig. 3.22 
 
Fig. 3.23 
 
Fig. 3.24 
 
No segundo caso, figura 3.23, a face plana do cone está paralela aos eixos y e z e, a exemplo 
do cilindro, também se torna uma elipse.No último caso, figura 3.24, a face curva do cone agora está 
paralela aos eixos x e z, nesse caso a circunferência também tomará a forma de elipse. 
3.5.1. Desenho daElipsee da Oval 
A exemplo da Perspectiva Cavaleira existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da 
elipse. Veremos três deles para o Desenho Isométrico. Os dois primeiros tipos são semelhantes aos 
procedimentos já vistos para a Perspectiva Cavaleira: o traçado da elipse com 8 pontos, usando as 
diagonais e o traçado da elipse com “n” pontos, usando a divisão do quadrilátero em quadrantes. O 
terceiro procedimento não é utilizado na Perspectiva Cavaleira, ele é utilizado apenas na Isometriae 
no Desenho Isométrico, que é o desenho da oval regular de quatro centros. 
Procedimento dos 8 pontos 
Para desenhar a elipse em Desenho Isométrico, a exemplo do que aprendemos para a 
Perspectiva Cavaleira, serão utilizados parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um 
quadrilátero, ou seja: 
 
Na figura 3.25: 
1) a circunferência tangencia o quadrado na 
qual está inscrita em 4 pontos: 1, 2, 3 e 4. 
Esses 4 pontos são os pontos médios dos lados 
do quadrado, e; 
2) as diagonais do quadrado cruzam com a 
circunferência inscrita em mais 4 pontos: 5, 6, 
7 e 8. 
 
 
Fig.3.25 
Esse mesmos parâmetros são transpostos para realizar o desenho da elipse em Desenho 
Isométrico. O primeiro procedimento é o do desenho do quadrilátero em desenho isométrico, que 
será um paralelogramo paralelo aos eixos x e y.No paralelogramo são desenhados os mesmos 
parâmetros do quadrado. Assim encontram-se os primeiros 4 pontos, que são os pontos de tangência 
da elipse no quadrilátero, pontos M1, M2, M3 e M4, como na figura 3.26. Esses pontos estão 
localizados nos pontos médios de cada lado do quadrilátero e equivalem aos pontos 1, 2, 3 e 4. 
UFPE – Departamento de Expressão Gráfica 
CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
43 
O segundo procedimento, figura 3.27, é encontrar os equivalente dos pontos 5, 6, 7 e 8 para a 
elipse, através do traçado das diagonais. Observe que no desenho isométrico as diagonais ficam na 
vertical e na horizontal. 
 
Fig.3.26 
 
Fig.3.27 
 
Para determinar os pontos 5, 6, 7 e 8, não é necessário desenhar a circunferência. Basta 
utilizar o parâmetro: AB = r x 0.3, da mesma forma como vimos na Perspectiva Cavaleira, ou seja, 
mede-se o raio, multiplica-o por 0,3 e descobre-se o tamanho do segmento AB. Em 
seguida,posiciona-se o segmento AB em uma das arestas do ortoedro e, assim, determinam-se os 
pontos 5, 6, 7 e 8, conforme a figura 3.28. 
 
 
Fig.3.28 
 
Fig.3.29 
 
Para determinar a elipse traça-se uma 
curva à mão livre prestandobastante atenção 
para que essa passe por todos os pontos 
determinados, ver figura 3.29. 
Um exercício muito interessante e que 
ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é 
desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro, 
como mostra a figura 3.30. 
 
 
Fig. 3.30 
 
 
 
AB 
AB 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
44 
 
Procedimento dos “n” pontos 
O outro procedimento, demonstrado para a Perspectiva Cavaleira, também pode ser utilizado 
na Isometria. Ele permite determinar não apenas 8, mas sim inúmeros pontos da elipse. Essa é a 
vantagem da utilização desse procedimento, pois quanto mais pontos forem utilizados para dar 
suporte ao traçado da curva à mão livre, mais preciso fica o desenho da curva. 
Parte-se de alguns princípios semelhantes 
ao procedimento anterior, ver figura 3.31: 
1. A elipse será desenhada inscrita em um 
quadrilátero; 
2. Determinam-se 4 pontos de tangência nesse 
quadrilátero, sendo as tangentes e seus pontos 
médios; 
3. O quadrilátero é divididoem 4 quadrantes. 
 
 
Fig.3.31 
Os quadrantes são trabalhadosum a um, como mostram as figuras 3.32 e 3.33. No primeiro 
quadrante dividem-se suas laterais em um número de partes iguais. Nesse exemplo dividiu-se ambos 
os segmentos em 3 partes iguais. É muito importante queos dois segmentos que formam cada 
quadrante sejam divididos no mesmo número de partes, ou seja, se dividirmos um em duas partes, 
devemos dividir o outro também em duas partes. 
Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante e 
depois repetí-lo nos demais quadrantes. Ligue o ponto A ao ponto 1 do segmento mais próximo e o 
ponto B ao ponto 1 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A1 e B1 será um ponto da 
elipse, o ponto C. Observe na figura 3.32. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, ligue 
o ponto A ao ponto 2 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 2 do outro segmento, o 
cruzamento dos segmentos A2 e B2 será outro ponto da elipse, o ponto D. Observe na figura 3.32. Já 
é possível traçar, à mão livre, a elipse nesse quadrante. 
Para fazer isso inicie o traçado no ponto B (que é um ponto de tangência da elipse no 
quadrilátero envolvente), siga traçando o arco de elipse até o ponto D e depois ao ponto C e finalize o 
arco de elipse no ponto 0 (que também é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero 
envolvente). 
Quando esse procedimento é repetido nos outros três quadrantes o resultado é como o da 
figura 3.33. 
 
Fig.3.32 
Fig.3.33 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
45 
 
Desenho da Oval 
No caso daIsometriae do Desenho Isométrico, o desenho da elipse pode ser realizado 
utilizando uma curva chamada de ovalregular de quatro centros. Como a oval é muito semelhante a 
elipse, ela também é conhecida como falsa elipse. 
Muitas pessoas preferem desenhar a oval a desenhar elipse, porque a oval pode ser 
desenhada totalmente com instrumentos (esquadros e compasso), eliminando assim a parte do 
traçado à mão livre que precisa ser feita quando se desenha uma elipse. 
 Para desenhar a oval parte-se da mesma ideia 
inicial dos procedimentos anteriores, ou seja, da divisão 
do quadrilátero em 4 quadrantes. Sendo os pontos M1, 
M2, M3 e M4 os pontos médios de cada lado, como 
mostra a figura 3.34. Ao final do procedimento serão 
desenhados com o compasso quatro arcos de 
circunferências com quatro centros diferentes, um em 
cada quadrante. 
 
Fig. 3.34 
 
O primeiro centro de arco, o ponto C1, é definido 
no vértice de maior ângulo do quadrilátero, desse 
primeiro centro C1são traçados dois segmentos de reta 
ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M1 e M2, 
ver figura 3.35. 
 
 
 
Fig.3.35 
O procedimento descrito acima é repetido no vértice oposto nomeando-o de C2. De C2 são 
traçados mais dois segmentos de reta ligando-o aos pontos médios dos lados opostos M3 e M4, 
como mostra a figura 3.36. 
O cruzamento de C1M1 com C2M4 gera o ponto C3, que será o centro de um dos arcos que 
compõe a oval. Da mesma forma, o cruzamento de C1M2 com C2M3 gera o ponto C4, que será o 
centro de um dos arcos que compõe a oval, ver figura 3.36.Agora já é possível a traçar a oval. 
Resumindo: 
1. C1 e C2 são centros de dois arcos maiores de mesmo raio; 
2. C3 eC4 são centros de dois arcos menores de mesmo raio; 
3. Todos os arcos começam e terminam nos pontos médios do quadrilátero. 
Para traçar a oval regular de quatro centros basta colocar a ponta seca do compasso em C1 e 
fazer uma abertura (raio) até M1, em seguida, traçar um arco até M2. De forma semelhante, 
mantendo a mesma abertura (raio), centrar a ponta seca do compasso em C2 e traçar um arco de M3 
até M4, conforme a figura 3.37. 
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CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 
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Fig.3.36 
Fig.3.37 
 
Para concluir a oval, centra-se a ponta 
seca do compasso em C3, faz-se uma abertura 
(raio) até M1 e traça-se um arco até M4. De 
forma semelhante, mantendo a mesma abertura 
(raio) centra-se a ponta seca do compasso em C4 
e traça-se um arco de M3 até M2conforme a 
figura 3.38. 
 
 
Fig.3.38 
 
 
Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é desenhar 
a oval regular de quatro centros em todas as faces do ortoedro, como na figura 3.39. 
 
Fig.3.39 
 
 
 
 
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3.6 Furo Cilíndrico 
A ideia de realizar um furo em uma peça é muito útil e importante. Em todas as engenharias a 
ideia de perfurar um objeto é essencial. Por exemplo, na engenharia mecânica essa ideia é 
fundamental quando pensamos em encaixes. 
Furar uma peça é retirar dela uma parte. Essa parte retirada pode vazar toda a peça ou apenas 
parte desta. Para furar, cavar, vazar devemos pensar em uma primeira peça, a qual queremos furar, e 
em uma segunda peça, que terá a forma da parte que queremos retirar da primeira. Dessa maneira, 
introduzimos a segunda peça na primeira de forma a cavar nesta um determinado volume. 
Quando furamos uma peça, na verdade estamos criando um vazio na peça furada e esse vazio é 
representado por novas arestas. Os furos também podem ter diferentes formatos. Por exemplo, 
cilíndrico (ver figura 3.40) 
 
Fig. 3.40: exemplo de um prismacom furo cilíndrico 
 
Para representarmos um furo em uma peça devemos proceder o entendimento dessa interseção plano a 
plano. Veja o exemplo da inserção de um furo cilíndrico em uma peça nas figuras abaixo (3.41, 3.42, 3.43 e 
3.44). 
 
Fig. 3.41: peça inicial antes do furo Fig. 3.42: peça inicial com linhas de construção, 
preparação para o furo 
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Fig.3.43: peça com o furo Fig.3.44: peça com o furo, mostrando o furo 
perfurando toda a peça 
 
 
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CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
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CAPÍTULO 5 - Verdadeira Grandeza 
 
5.1. Definições e Usos 
Verdadeira Grandeza (VG) são as medidas angulares e lineares reais de uma das arestas ou 
faces de um objeto - como altura, largura e profundidade. Na área de conhecimento das Engenharias 
é imprescindível o conhecimento das medidas reais, ou verdadeiras grandezas, de um objeto, seja ele 
um parafuso ou um telhado. Geralmente, o uso das verdadeiras grandezas de um objeto está 
atrelado ao cálculo de áreas, e realmente, sem o conhecimento da real medida do perímetro de uma 
superfície, por exemplo, é impossível realizar o cálculo de sua área com precisão. No entanto, saber 
“ler” ou, mais ainda, saber extrair as verdadeiras grandezas de um objeto que está representado no 
Sistema Mongeano é importante não somente no cálculo de áreas, mas também em diversas 
atividades da prática profissional da engenharia,