Atividade 1 - Variaveis discretas

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Departamento de Matemática
EGI, EID e EIPL
Estatística - 1.º ano / 2.º semestre - 2020/2021
Atividade 1 - Variáveis aleatórias discretas
Capítulo I - Distribuições de Probabilidade
1.1 Definição de variável aleatória
1.2 Variáveis aleatórias discretas
Palavras chave: variável aleatória, função de probabilidade, função de distribuição, valor esperado,
variância, desvio padrão.
1.1 Definição de variável aleatória
Definição: Uma experiência, que ao ser realizada sob as mesmas condições não produz os mesmos
resultados, é denominada por uma experiência aleatória.
Exemplos:
1. Lançamento de uma moeda.
2. Lançamento de um dado.
3. Tempo até ocorrer a primeira avaria de um equipamento.
Definição: O conjunto de todos os possíveis resultados de uma experiência aleatória é denominado
espaço amostral ou universo (Ω). Pode conter um número finito ou infinito de resultados.
Exemplos:
1. Ω = {cara, coroa}
2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3. Ω = R+
Notação: Os elementos do espaço amostral (pontos amostrais) são usualmente denotados por ω.
Exemplos:
1. ω1 = "cara", ω2 = "coroa".
2. ω1 = 1, ω2 = 2, ω3 = 3, ω4 = 4, ω5 = 5 e ω6 = 6.
Definição: Qualquer resultado ou subconjunto de resultados de uma experiência aleatória, é um
evento ou acontecimento.
Exemplo: No lançamento de um dado, A = “sair um número inferior a 3” e B = “sair face par” são
acontecimentos .
Definição clássica de probabilidade: A probabilidade de um acontecimento A é definida por:
P (A) =
# casos favoráveis a A
# casos possíveis
.
Variáveis discretas
Definição: Uma variável aleatória(v.a.) X é uma função que associa um número real x ∈ R a cada
resultado ω ∈ Ω de uma experiência aleatória:
X : Ω → R
ω 7→ x = X(ω)
Definição: Se os valores possíveis da v.a. X (i.e. o contradomínio de X) forem em número finito
ou infinito numerável, então X é uma v.a. discreta. Diz-se que X é contíınua quando o seu con-
tradomínio é um intervalo, ou uma reunião de intervalos.
1.2 Variável aleatória discreta
Exemplos:
1. Número de elementos de um agregado familiar.
2. Número de acidentes que ocorrem durante um determinado período.
3. Número de vezes que sai a face 5 quando se lança 6 vezes úm dado.
4. Número de estudantes aprovados à UC de Estatística.
Definição: Uma função de probabilidade de uma v.a. discreta X é uma função f que associa uma
probabilidade a cada valor de X
f(xi) = P (X = xi) = pi, i = 1, 2, . . . , n, . . . ou
X x1 x2 · · · xn · · ·
f(x) f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·
tem as seguintes propriedades:
i) A probabilidade de cada valor xi deve estar entre 0 e 1: 0 ≤ f(xi) ≤ 1, ∀i = 1, 2, ...
ii) A soma de todas as probabilidades é igual a 1:
∑
i f(xi) = 1.
Definição: A função de distribuição ou função de probabilidade acumulada de uma v.a.
discreta X é uma função F que associa a cada valor real x a probabilidade de X ser menor ou igual
a x, ou seja:
F (x) = P (X ≤ x) =
∑
xi ≤ x
f(xi).
Propriedades:
i. 0 ≤ F (x) ≤ 1;
ii. F é não decrescente, ou seja, para a < b tem-se que F (a) ≤ F (b);
iii. lim
x →−∞
F (x) = 0 e lim
x →+∞
F (x) = 0;
iv. F é contínua à direita.
Teorema: Se X é uma v.a. discreta, então P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a).
Definição: O valor esperado ou valor médio de uma v.a. discreta X é dado por:
µX = E(X) =
∑
xi
xif(xi).
Notas:
1. µX é uma média ponderada dos xi, em que os pesos são as probabilidades associadas.
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Variáveis discretas
2. Se X assume um número infinito de valores, µX só existe se
∑
xi
|xi|f(xi) < +∞.
Definição: O valor valor esperado de uma função g de uma v.a. discreta X é dado por:
E(g (X)) =
∑
xi
g (xi) f(xi).
Exemplos:
1. E(aX + b) =
∑
xi
(axi + b)f(xi)
2. E(X2) =
∑
xi
x2i f(xi)
Propriedades: Sejam X e Y v.a., a, b, c ∈ R.
i. E(a) = a;
ii. E(a+X) = a+ E(X);
iii. E(a+ bX) = a+ bE(X);
iv. E(a+ bX + cY ) = a+ bE(X) + cE(Y ).
Definição: A variância de uma v.a. discreta X é dada por:
σ2 = V ar(X) = E
[
(X − µ)2
]
=
∑
xi
(xi − µ)2 f(xi).
Formula de König: V ar(X) = E(X2)− µ2X .
Propriedades: Sejam X e Y v.a., a, b, c ∈ R.
i. V ar(X) ≥ 0;
ii. V ar(a) = 0;
iii. V ar(a+X) = V ar(X);
iv. V ar(a+ bX) = b2V ar(X);
v. Se X e Y são independentes então V ar(a+ bX + cY ) = b2V ar(X) + c2V ar(Y ).
Definição: O desvio padrão de uma v.a. discreta X é dado por σ =
√
V ar(X .
Exercicíos Propostos
1. Considere a experiência aleatória que consiste em dois lançamentos de um dado equilibrado
e seja Y a variável aleatória que representa o número de vezes que se obtém 6 pintas na face
voltada para cima.
(a) Determine o universo desta experiência.
(b) Caracterize a variável Y determinando a sua função de probabilidade.
(c) Calcule a função de distribuição de Y e represente-a graficamente.
(d) Determine o valor médio de X .
(e) Determine a variância e o desvio padrão de X .
2. Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade dada por
x 0 1 2 3
f(x) 0.3 0.2 0.1 α
com α ∈ R.
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(a) Determine o valor da constante α.
(b) Construa a função de distribuição de X .
(c) Determine o valor médio de X .
(d) Determine a variância e o desvio padrão de X .
(e) Averigue se existe alguma constante real β de modo que V ar(2 + βX) = 164.
3. Numa oficina sabe-se, de experiência passada, que em 40% dos dias uma máquina nunca é
usada, em 35% dos dias é usada uma vez, e nos restantes dias é usada duas vezes. Esta máquina
tem um custo fixo diário de 20 euros, acrescido de 15 euros por cada utilização. Calcule o custo
médio que a oficina tem com esta máquina por dia e o respetivo desvio padrão.
4. Referente à distribuição da variável aleatória X sabe-se que E(X) = 6 e E(X2) = 62. Sendo
Y uma outra variável aleatória e sabendo que Y = 1
3
X + 3, determine:
(a) E(Y ); (b) V ar(Y ) e σY .
Soluções dos exercícios
1. (a) Ω = {(i, j) : i, j = 1, . . . , 6}
(b) SY = {0, 1, 2}
y 0 1 2
f (y) 25
36
10
36
1
36
(c)
y 0 1 2
F (y) 25
36
35
36
1
(d) µY = E (Y ) =
1
3
(e) σ2Y = E (Y
2)− µ2Y =
7
18
−
(
1
3
)2
=
5
18
, σY =
√
σ2Y ' 0.527
2. (a) α = 0.4
(b)
x 0 1 2 3
F (x) 0.3 0.5 0.6 1
(c) µX = E (X) = 1.6
(d) σ2X = E (X
2)− µ2X = 4.2− 1.62 = 1.64, σX =
√
1.64 ' 1.281
(e) {−10, 10}
3.
c 20 35 50
f(c) 0.4 0.35 0.25
E (C) = 32.75. Portanto, o custo médio é de 32.75e por dia.
O desvio padrão é 11.88e por dia pois σX = 11.88.
4. (a) E(Y ) = 13E (X) + 3 = 5
(b) σ2X = 62− 62 = 26, σ2X = V ar
(
1
3
X + 3
)
=
(
1
3
)2
V ar (X) =
26
9
σY =
√
26
9
' 1.700
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