Fatoração Cholesky

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Fatoração Cholesky
No caso de Cholesky, nós
conseguimos simplificar as
operações usadas na fatoração LU
explorando a matriz dos
coeficientes. Basicamente, a teoria
de Cholesky diz que toda matriz
que é simétrica e positiva definida,
tem uma única decomposição de
Cholesky.
Então, o primeiro ponto importante
aqui é a matriz do nosso sistema
m x n deve ser simétrica e positiva.
● Simetria
Uma matriz real A quadrada de
ordem n é simétrica se :
● Determinante Positivo
Vamos separar a matriz A em A1, A2
e A3, e calcular os determinantes
dessas submatrizes. Exemplo: Para
uma matriz 3 x 3, temos:
Vamos separar as matrizes em A1 = 1
x 1, A2 = 2 x 2 e A3 = 3 x 3.
Cada determinante deve ser maior
que zero para a matriz ser
considerada positiva. O nome do
critério que usamos é Critério de
Sylvestre.
O teorema é “Se A é uma matriz real
simétrica e positiva definida, então
existe uma única matriz triangular
inferior com elementos da diagonal
principal positivo, de forma que:
Vamos usar a fatoração LU, para
calcular a matriz:
O termo é a transposta da matriz𝐿𝑇
L e a matriz D é a diagonal
principal obtida em U na fatoração
LU, com a diferença que a matriz
triangular superior e inferior são
nulas.
Nesse caso, temos que:
Se e somente se:
➔ Calculando G
Teremos que ter uma coluna assim:
Começamos calculando o termo
principal e depois os elementos
abaixo da diagonal principal:
➔ Resolução de Sistemas
Lineares
Para resolver o sistema Ax = b
utilizando o método de Cholesky,
temos:
dizer que Ax = b é a mesma coisa
que dizer:
Aí fazemos:
Resolve-se: