Variáveis Aleatórias

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Variáveis Aleatórias 
 
 
 
Prof. Tarciana Liberal 
Departamento de Estatística - UFPB 
 
Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não 
especificamos que um resultado individual seja um número. 
 
Exemplos: 
(i) Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e 
coroas. 
={kkk,kkc,ckk,kck,kcc,ckc,cck,ccc}, em que k =cara e c =coroa. 
 
(ii) De um lote de material hospitalar com 4 peças das quais 2 são 
defeituosas, peças são extraídas até as 2 defeituosas sejam retiradas. 
={DD,DPD,PDD,DPPD,...}, em que D =defeituosa e P =perfeita. 
 
(iii) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. 
 ={MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF}, em que 
F =feminino e M =masculino. 
Introdução 
Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessado 
na mensuração de algo e no seu registro como um número. 
 
Mesmo nos exemplos apresentados acima poderemos atribuir um 
número real a cada elemento do espaço amostral. 
 
Exemplos: 
(i) Seja X o número de caras. 
X(kkk)=3, X(kkc)=X(ckk)=X(kck)=2,X(kcc)=X(ckc)=X(cck)=1 e X(ccc)=0. 
 
(ii) Seja X o número de peças retiradas. 
X(DD)=2, X(DPD)=X(PDD)=3 e X(DPPD)=X(DPDP)=...=4. 
 
(iii) Seja X o número de meninos. 
X(MMM)=3, X(MMF)=X(MFM)=X(FMM)=2, X(MFF)=X(FMF)=X(FFM)=1 
e X(FFF)=0. 
Introdução 
Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos interesse 
em uma ou mais quantidades. 
 
Elas são funções dos resultados que ocorreram e, em muitas 
situações, a própria função identidade. Nesses casos, os elementos 
resultantes são as quantidades de interesse. 
 
Após a realização do fenômeno teremos uma observação conhecida 
que, no entanto, não é mais aleatória. 
 
Podemos considerar que a observação conhecida do fenômeno 
aleatório produz um particular valor observado da variável aleatória. 
 
Assim, uma outra realização do fenômeno forneceria um outro valor 
observado da variável, na maioria das vezes, diferente do anterior. 
Introdução 
Desejamos então atribuir um número real x a cada resultado do 
espaço amostral . 
 
O domínio de X é  , e os números na imagem são números reais. 
 
Introdução 
 Como sabemos, características de interesse em diversas 
áreas estão sujeitas à variação. 
 Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma 
soma de fatores não-controlados. 
 Toda vez que uma variável é influenciada pela 
aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória. 
 Exemplos: número de livros de uma biblioteca, peso de 
recém-nascidos. 
 Usaremos letras maiúsculas para indicar variáveis 
aleatórias (X, Y, Z, …) 
 Letras minúsculas representarão valores assumidos por 
variáveis aleatórias (x, y, z, …) 
Introdução 
Introdução 
 Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua 
 Dizemos que uma v.a. é discreta quando seus possíveis 
valores podem ser dispostos em uma lista (finita ou 
infinita) 
 
 Exemplos: 
 Número de filhos. 
 Número de funcionários de uma empresa. 
 Número de tumores detectados por um exame. 
 Número de testes defeituosos. 
Introdução 
 Um caso especial da variável aleatória discreta é quando 
esta pode assumir um dentre dois valores possíveis. 
 Este tipo de variável recebe, em estatística, o nome de 
variável dicotômica ou binária. 
 
 Exemplos: 
 Classificar um tumor como malígno ou benígno. 
 Determinar, através de uma imagem de satélite, se 
numa determinada área de floresta está ou não 
ocorrendo uma queimada. 
 Em coletas de sangue, se o fator Rh é + ou –. 
 
Introdução 
 Dizemos que uma v.a. é contínua quando ela pode 
assumir qualquer valor em um dado intervalo. 
 
 Exemplos: 
 
 Tempo até a cura de uma doença. 
 Altura de árvores. 
 Peso de recém-nascidos. 
 Concentração de CO
2
 na água. 
 Poluição sonora. 
Introdução 
 Entende-se por distribuição de probabilidades o conjunto de todos 
os valores que podem ser assumidos por uma v.a. discreta, com 
as respectivas probabilidades. 
 A distribuição de probabilidades permite a definição de um 
modelo matemático apropriado a cada situação. 
 Exemplo: considere o experimento “verificar 3 peças de uma linha 
de produção de material hospitalar e observar se as peças são 
Defeituosa (D) ou Não Defeituosa (N)”. Temos, 
Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} 
Distribuição de Probabilidades 
x 0 1 2 3 Total 
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 
Variável Aleatória Discreta 
• Seja X uma variável aleatória discreta, então X pode assumir 
os valores x1, x2,.... Chamaremos de função de probabilidade 
da variável aleatória X a função que a cada xi associa sua 
probabilidade de ocorrência, ou seja, 
 
 
tal que: 
 
a) 
 
b) 
 
P X x P X x p xi i i( ) ( ( ) ) ( )   
0 1 p xi( )




1
1)(
i
ixp
Variável Aleatória Discreta 
Exemplo 1 
• Consideremos uma amostra com 4 doadores de sangue, dos 
quais 2 são fator Rh +, e sorteamos ao acaso dois doadores, 
com reposição. 
 
Seja N = fator Rh- e P = fator Rh+. 
Então,  ={NN, NP, PN, PP} 
 
Definindo X como sendo o número de doadores com fator Rh+, 
temos: 
  {NN} {NP,PN} {PP} 
X() 0 1 2 
Consideremos a variável aleatória do exemplo anterior, então: 
• P(X = 0) = ¼, P(X = 1) = ½, P(X = 2) = ¼. 
• P(X  2) = P() = 1 
• P(X < 0)=P() = 0 
 
Podemos observar que , para i = 0,1,2 e 
 
Dessa forma, a distribuição de probabilidade do exemplo é: 
 xi 0 1 2 
P(X= xi) 1/4 1/2 1/4 
0 1  P X i( ) P X i
i
( ) 

 1
0
2
 A distribuição de probabilidades permite a definição de um 
modelo matemático apropriado a cada situação. 
 O modelo para v.a. discretas que estudaremos será o 
Modelo Binomial. 
 No caso de v.a. contínuas a distribuição de probabilidades 
dá lugar à função densidade de probabilidade que 
depende de conceitos matemáticos um pouco mais 
complexos e não será abordada nesse curso. 
 Lidaremos com o modelo para v.a.'s contínuas 
denominado modelo Normal, o qual é apropriado a 
diversas situações nas mais diferentes áreas. 
Variáveis Aleatórias contínuas 
Variável aleatória Contínua 
ESPERANÇA E VARIÂNCIA 
 
• Nos modelos matemáticos aleatórios, parâmetros 
podem ser empregados para caracterizar a 
distribuição de probabilidade. 
• Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos 
associar certos parâmetros os quais fornecem 
informações sobre a distribuição. 
MÉDIA (Esperança) 
VARIÂNCIA 
• OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis 
aleatórias que sintetizem características relevantes de 
uma distribuição de probabilidade. 
 
ESPERANÇA (VALOR MÉDIO) 
 
 
• DEFINIÇÃO: Dada uma Variável aleatória 
discreta X, assumindo os valores x1,x2,...,xn, o 
valor esperado, a esperança matemática de X, 
denotado por E(X) é definida por 
 
 
se xi.p(xi) <  (se a série convergir) 
 
• NOTAÇÃO: 
 




1
),()(
i
ii xpxXE
)(XE
Exemplo 1 
 
• Considere a variável aleatória discreta X: 
 
 
 
Temos que, 
 
xi 0 1 2 
p(xi) 1/4 1/2 1/4 





















3
1
1
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE
VARIÂNCIA 
 
 
• DEFINIÇÃO: Seja X uma variável aleatória com esperança 
dada por E(X). A variância de X é definida por 
 
OBSERVAÇÃO: A variância nos dá a dispersão dos valores da 
variável em relação ao valor esperado. 
 
• NOTAÇÃO: 
 
 Notamos que se uma variável aleatória é medida em certa unidade, a 
variância dessa variável é expressa no quadrado dessa unidade. Para fins 
de comparação e facilidade de interpretação introduz-se o conceito do desvio 
padrão da variável aleatória, denotado por , que é definido como a raiz 
quadrada positiva da variância, isto é, . 
 
 22 )()()( XEXEXVar 
2)( XVar
 ( )X
 ( ) ( )X X 2
Exemplo 3 
• Considere a variável aleatória discreta X: 
 
 
Calcule a Var(X) 
 
xi 0 1 2 
p(xi) 1/4 1/2 1/4 





















3
1
,1
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE




















3
1
22222 ,
2
3
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE
2
1
2
23
1
2
3
)1(
2
3
)]([)()( 222 

 XEXEXVar