Limites (1)

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1) Mostre que 
2) Mostrar que 
3) Se , mostre que e . 
4) Mostre que 
5) Se f(x):=[x2], quais são os pontos onde ? 
6)Dê um exemplo de uma função f definida num ponto a e tal que exista , mas . 
7) Seja , com e considere uma função . Demonstre que se, e somente se, existem f(a-) e f(a+), com . 
8) Considere uma função par, , b>0. Mostre que se, e somente se, . Como você formularia uma propriedade análoga para funções ímpares? 
9) Use a definição de limite para mostrar que . 
10) Se a>0, use a definição de limite para mostrar que . Sugestão: Use a relação 
11) Use a Definição 1.2.1 para mostrar que as três afirmações abaixo são equivalentes: 
(a) , 
(b) , 
(c) . 
12) Mostre que se , então . O que se pode dizer de , se ? 
13) Seja f definida por 
determine , e faça um esboço do gráfico de f. 
14) Mostre que a função 
não tem limite em nenhum ponto. Use as propriedades apresentadas na Seção 2.1 para calcular os limites 15) - 32), ou mostrar que eles não existem: 
33) Verifique a seguinte desigualdade: 
e prove que a função é positiva quando x varia numa conveniente vizinhança de 1/2. 
34) Calcule 
35) Calcule . 
36) Calcule . 
37) Calcule . 
38) Calcule . 
39) Definindo 
obtenha . 
40) Sejam uma função e tais que f(x)<c, para todo . Mostre que, se existir , então . Mostre também, através de um contra-exemplo, que ``'' não pode ser substituido por ``<'' na última desigualdade. 
41) Se existe e se , mostre que não existe . 
Nos exercícios 42-56), calcule os limites. 
57) Determine as assíntotas horizontais e esboce o gráfico da função f(x)=3x2/(2-x2) 
58) Determine as assíntotas horizontais da função e esboce seu gráfico 
59) Mostre que , se P(x) é um polinômio de grau maior do que zero. 
60) Qual é o valor de , se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau? O que dizer se o grau de P for menor do que o grau de Q? 
61) Mostre que se f tem limite em , então esse limite é único. 
62) Dado um número qualquer, ou mesmo , mostre que existem funções f e g, de modo que ( ou ) e . É por esta razão que se diz que 0/0 é uma forma indeterminada. 
63) Calcule o limite 
64) Dê exemplo de duas funções f e g de modo que , e 
(a) . Dê exemplo de funções f e g satisfazendo as mesmas condições acima, mas 
(b) . Dê exemplo de funções f e g satisfazendo as mesmas condições, para as quais não ocorre nem (a) nem (b). Nos exercícios 65-73) determine o conjunto dos pontos onde a função f é contínua. 
74)Sendo 
é f contínua em x=-1 ? 
75) Defina a parte fracionária de um número real x por . Faça um esboço do gráfico da função e verifique em que pontos ela é descontínua. 
76) Seja f uma função contínua num intervalo contendo c. Se f(c)>0, mostre que f é positiva num intervalo contendo c. 
77) Mostre que f é contínua em se, e somente se, . 
78) Mostre que as funções 
são contínuas em seus domínios. 
79) Mostre que o polinômio , com a0>0 e n ímpar, tem pelo menos uma raíz real. 
80) Se P(t) é um polinômio, justifique a afirmação de que é uma função contínua. 
81) Se m e n são inteiros positivos e , mostre que f é contínua em . 
82) Uma função racional é uma função f da forma f(x)=P(x)/Q(x), onde P(x) e Q(x) são polinômios. Justifique a afirmação de que uma função racional é sempre contínua em seu domínio. 
83) Se , f é contínua nos pontos x=1 e x=-1? 
84) Se 
para que valores de essa função é contínua em x=2? 
85) Se f(x)=x, quando x é racional, e f(x)=1, quando x é irracional, existe algum ponto onde f é contínua? 
86) Sendo 
mostre que f é contínua e esboce o gráfico de f. 
87) Considere a mesma questão do exercício 85) para 
88) Se uma função é descontínua num ponto x0, mas existe , pode-se torná-la contínua definindo-se . Neste caso, diz-se que x0 é uma descontinuidade removível de f. Mostre que, em cada caso abaixo, 0 é uma descontinuidade removível de f. Como se deve definir f(0), em cada caso, para tornar f contínua em x=0? 
89) Um ponto x0 é dito uma descontinuidade de primeira espécie de uma função f se existirem os limites laterais, f(x0+) e f(x0-), e . Mostre que a função tem uma descontinuidade de primeira espécie em x0=0. 
90) Mostre que a equação tem uma única solução em cada intervalo da forma , . 
91) Dê um exemplo para mostrar que a soma de duas funções descontínuas pode ser contínua. E pode a soma de uma função descontínua com uma função contínua ser contínua?