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SOLUÇÃO-P4-PROBEST_2011-2

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x
y
yf
 

 
3
8
)(
y
yf


 
 
 
d) (0.4 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
SOLUÇÃO 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
3
23
),(
y
x
yxf


 
2
8
3
)( xxf 
 
3
8
)(
y
yf


 













3
2 8.
8
3
)().(
y
xyfxf
 

 
3
23
)().(
y
x
yfxf


 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y são independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2- (1.0 pts) Sejam e v.a.'s contínuas com: 
 
- Densidade conjunta : 






 yyxyxf
3
2
.
9
2
),( 2
 , onde 0≤x≤1 e 0≤y≤3 
 
- Densidade Marginal de X: 
 
 
 
- Densidade Marginal de Y: 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
3
2
3
2
.
9
2
)(
2
2









x
yyx
xXYf  





 





 

3
2.3
3
.2..3
.
9
2
)(
2
2.
x
yyx
y
xXYf 

 
yxXYf .
9
2
)( 
 
 
 
 
 
b) (0.7 pt) Ache a Variância condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
 
 
      22 xXYExXYExXYVAR 
 
 
 1 x < 0 onde,
3
2
)( 2  xxf X
 3y < 0 onde,
9
2
)( 
y
yfY
 
  dyxyfyxXYE ).(.
3
0

 
 
  dyyyxXYE .
9
.2
.
3
0
 






 

 
  dyyxXYE .
9
.2
3
0
2
 






 
 
 
3
0
3
39
2 y
xXYE 
 

  2 xXYE
 
 
  dyxyfyxXYE ).(.
3
0
22

 
 
  dyyyxXYE .
9
.2
.
3
0
22
 






 

 
  dyyxXYE .
9
.2
3
0
3
2
 






 
 
 
3
0
4
2
49
2 y
xXYE 
 

 
2
92  xXYE
 
 
 
 
      22 xXYExXYExXYVAR 
 
   22
2
9
 xXYVAR
 
 
 
2
1
 xXYVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5 ( 2.4 pts) 
5.1- (0.8 pt) - Em uma certa loja de um shopping, verificou-se que o gasto médio mensal de 
24 clientes foi de R$ 600, com um desvio padrão conhecido igual a R$ 250. Encontre 
intervalo de confiança 92% para o gasto médio desta população. 
SOLUÇÃO 
O intervalo de confiança ao nível de significância de 92%, , para a “σ”. 
 
X
= 600 
 σ = 250 
n=24 
 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I 
 - TABELA “Z” 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 92% 
 Tabela “z” - 
75,12/1 z 
 
 (1-α)=0,92 
 
 
 
 04,0
2

 
 
 75,121 z 
 
 
 
 
 
 [ 510,70 ; 689,30 ] 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
24
250
75,1600;
24
250
75,160021
n
zXIC


 
n
zXIC

 2/1
 
 
5.2- (0.8 pt) Neste mesmo shopping, queremos saber se os gastos médios das duas lojas 
com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos. 
Tomou-se uma amostra de 12 clientes da loja “A” e de 14 clientes da loja “B”, obteve as 
seguintes estimativas: 
X A = R$700,00 , SA = R$15,00 
X B = R$800,00 , SB = R$13,00 
Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas (μA – μB) ao 
nível de significância de 99%. O que você conclui? Os gastos médios nas duas lojas podem 
ser considerados estatisticamente iguais? 
 
SOLUÇÃO 
 
Loja “A”: n=12 X A = 700 SA= 15 
Loja “B”: n=14 X B = 800 SB= 13 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
g = n + m – 2 = 24 
tabela “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 
 Tabela “T” - 
797,22/1;2  mnt 
 (1-α)=0,99 
 
 
 
 005,0
2

 
 
 797,22/1,24 t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   





 







24
13131511
.
14
1
12
1 22 xx
R















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -115,356 ; -84,644] 
 
Não, O Zero não está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
não podem ser consideradas iguais ao nível de significância de 99%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49,5R
    RtYXRtYXRtYXIC tmntmnt 2;22;22 ;   
IC
    49,5797,280070021 xRtYXIC  
 
5.3- (0.8 pt) Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do 
segundo turno da eleição presidencial de 2010.. 
 A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte resultado: a 
proporção dos eleitores que votam na Dilma é de 56% com uma margem de erro de ±3 
(pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é IC=[53% , 59%]. Também 
foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1200 pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema 
Central do Limite. 
 
 
IC aproximado para a proporção de uma Binomial 
 
Intervalo de Confiança - [0.53 ; 0.59] 
n = 1200 
 = 0,56 
 
 
Pr[-z1-a/2 < Z < z1-a/2] = 1-α = ? 
 
 
 
 
Pelo Teorema Central do Limite. 
 
 
 
 
 
 ∴ 
 
 
 
 ∴ ∴ 
 
Intervalo de confiança [1-α] = ? 
 
 [1-α]=? 
 
 
 α/2 
 
 Z1-α/2= 2,098 
 
Pela tabela da distribuição Normal 
 
1-α = 1- (2x0,0183) = 0,9634 = 96,34% 
 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 
)ˆ1(ˆ
56,053,0 2/1
n
pp
z

  
)ˆ1(ˆ
ˆ
2/1inf
n
pp
zpIC

 
 
1200
44,056,0
56,053,0 2/1
x
z 
03,0)0143,0(2/1 z 098,22/1 z







 


  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ
2/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial