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Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE – APOSTILA 1 
 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
3º PERÍODO/NOTURNO – 2014-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Jorge Santana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montes Claros 
Agosto/2014 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
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1 – OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS: finalidade e aplicações; conceitos básicos de Estatística. 
 
 
1.1 - O que é Estatística? 
 
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para coleta, organização, 
descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
 
1.2 – Conceitos básicos de Estatística 
 
 
1.2.1 – População 
É uma coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, medidas, etc.) a serem estudados. 
 
 
1.2.2 – Censo 
É uma coleção de dados relativos a todos os elementos da população. 
 
 
1.2.3 – Amostra 
É um subconjunto da população. 
 
2 – VARIÁVEIS: qualitativa (ou categórica) e quantitativa 
 
2.1 – Variável qualitativa (ou categórica) 
É expressa por atributos e pode ser separada em diferentes categorias, como por exemplo: sexo 
(masculino, feminino); cor da pele (branca, preta, amarela, parda); religião (católica, evangélica, 
espírita...); etc. 
 
2.2 – Variável quantitativa 
É expressa por números que representam contagens ou medidas, como por exemplo: salários, altura, peso, 
idade, etc. 
 
2.2.1 – Variável quantitativa discreta 
Resulta de um conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável desses valores. (Ou 
seja, o número de valores possíveis é 0, ou 1, ou 2, etc.) 
 
2.2.2 – Variável quantitativa contínua 
Resulta de um número infinito de valores possíveis que podem ser associados a pontos em uma escala 
contínua de tal maneira que não haja lacunas ou interrupções. 
 
Exemplos: o número de operários de uma grande construção é uma variável quantitativa discreta porque 
representa uma contagem; já o peso desses operários é uma variável quantitativa contínua porque 
representa mensurações que podem tomar qualquer valor em um intervalo contínuo. 
 
 
3 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPE RSÃO 
 
3.1 – Tratamento estatístico de variáveis quantitativas 
 
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3.2 – Medidas de tendência central 
3.2.1 – Média aritmética simples (x ) 
Para calcular a média aritmética simples (x ) – lê-se: xis barra – de um conjunto de dados, basta somar 
todos os valores e dividir pela quantidade deles, assim: 
 
n
x
x i
∑= 
 
 
Exemplo: amostra de pesos (kg) de 7 alunos de uma turma. 
 
Pesos: 90 94 80 70 92 70 72 
 
 
81
7
568
7
72709270809490 ≅=++++++== ∑
n
x
x i kg 
 
 
OUTRAS MÉDIAS 1 
 
A) Média aritmética ponderada (px ) 
 
Para uma sequência numérica X: x1, x2,..., xn afetada por pesos p1, p2,..., pn, respectivamente, a média 
aritmética ponderada, que designaremos por px , é definida por: 
 
∑
∑ ⋅=
i
ii
p
p
px
x 
 
Exemplo: Se X: 2, 4, 5 com pesos 1, 3, 2 respectivamente, então: 
 
4
6
24
6
10122
231
)25()34()12( ==++=
++
⋅+⋅+⋅=
⋅
=
∑
∑
i
ii
p
p
px
x 
 
B) Média geométrica simples (gx ) 
 
Para uma sequência numérica X: x1, x2, ..., xn a média geometria simples é definida por: 
 
n
ng xxxx ⋅⋅= ...21 
 
Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9 temos n = 4 e a média geométrica será: 
 
559,44329642 44 ==⋅⋅⋅=gx 
 
 
 
1 Tópico extraído, com adaptações, do livro Estatística para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis, 
volume 1, Ermes Medeiros da Silva et al. Editora Atlas, São Paulo: 1996. 
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C) Média harmônica simples (hx ) 
 
Para uma sequência numérica X: x1, x2, ..., xn a média harmônica simples é definida por: 
 
n
h
xxx
n
x
1
...
11
21
+++
= ou 
∑
=
i
h
x
n
x
1
 
 
Note que a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos elementos. 
 
Exemplo: Se X: 2, 5, 10, então: 
75,3
8
30
8
10
3
10
8
3
10
125
3
10
1
5
1
2
1
3 ==⋅==
++
=
++
=hx 
 
Observe que: 
i) A média harmônica aplica-se naturalmente quando se quer a obtenção de uma média cuja unidade de 
medida seja o inverso da unidade de medida dos componentes da sequência original. 
ii) A média geométrica só é indicada para representar uma série de valores aproximadamente em 
progressão geométrica. 
iii) A média mais utilizada nas aplicações é a média aritmética simples (x ) 
 
3.2.2 – Mediana (Md) 
A mediana é o valor que ocupa a posição central da amostra. Para calcular a mediana, os dados devem 
estar ordenados (geralmente do menor para o maior valor). Para realizar o cálculo da mediana, é 
necessário verificar se o tamanho da amostra (n) é par ou ímpar. 
 
1º caso: n é ímpar 
 
Neste caso, a mediana é o valor que ocupa exatamente a posição central. Em linguagem matemática, este 
valor pode ser designado por 
2
1+nx . Ou seja, a medida do indivíduo que ocupa a posição 
°





 +
2
1n
. Para 
o exemplo anterior, como n = 7, tem-se: 
 
Pesos: 70 70 72 80 90 92 94 (Observe que os dados estão ordenados) n = 7 
 
 
 
Termo central: 4
2
17
2
1 xxxn == ++ Portanto, o valor da mediana é a medida do indivíduo que está 
exatamente na quarta posição. Assim, a mediana é: Md = 80 kg. 
 
 
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 5 
Interpretação da mediana: 
Como a mediana ocupa a posição central, podemos no presente exemplo dizer que 50% dos alunos 
tiveram pesos menores ou iguais a 80 kg e os outros 50% pesos maiores ou iguais a 80 kg. 
 
2º caso: n é par 
 
Neste caso, é preciso identificar os dois termos centrais e calcular a média entre eles. O valor obtido é 
considerado a mediana. Matematicamente, as ordens (posições) dos dois termos centrais são dadas por: o 
primeiro 
2
nx e o segundo por 1
2
+n
x
. 
 
Exemplo: amostra de pesos em kg de 6 alunos de uma turma. 
 
Pesos: 70 72 80 90 92 94 (Observe que os dados estão ordenados) n = 6 
 
Primeiro termo central: 3
2
6
2
xxxn == que equivale ao valor 80 
 
Segundo termo central: 41
2
6
1
2
xxxn == ++ que equivale ao valor 90 
 
 
Portando: Md = ⇒
+
2
9080
 Md = 85 kg 
 
3.2.3 – Moda (Mo) 
A moda é o valor que ocorre com maior freqüência no conjunto de dados. 
 
Exemplos 
 
a) 70; 70; 72; 80; 90; 92; 94 Mo = 70 
 
b) 23; 23; 23; 23; 25; 25; 28; 29; 30; 31 Mo = 23 
 
c) 15; 16; 17; 21; 23 Não há moda (série amodal) 
 
d) 17; 17; 21; 21; 26; 26; 27; 27 Não há moda (série amodal) 
 
e) 13; 13; 13; 13; 15; 15; 16; 16; 16; 21; 21; 26; 26; 27; 27; 27; 27 Mo = 13 e Mo = 27 (Bimodal) 
 
f) 12; 12; 12; 14; 14; 14; 15; 15; 15; 17; 17; 17; 18; Mo = 12 Mo = 14 Mo = 15 e Mo= 17 
 
 
3.3 – Medidas de dispersão ou variabilidade 
 
As medidas de dispersão ou variabilidade servem para avaliar a concentração dos valores da amostra em 
torno da média. 
 
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3.3.1 - variância amostral (s2) 
É uma média das distâncias calculada a partir dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética 
simples. A fórmula matemática da variância é: 
 
( )
1
2
2
−
−
= ∑
n
xx
s i 
 
Retomando o exemplo da amostra dos pesos de 7 alunos, e lembrando que ,81=x a variância é: 
 
Pesos: 90 94 80 70 92 70 72 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
17
8172817081928170818081948190
1
2222222
2
2
−
−+−+−+−+−+−+−=
−
−
= ∑
n
xx
s
i 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
116
6
695
6
81121121121116981
6
91111111139 22222222 ≅=++++++=+−++−+−++=s kg2 
 
3.3.2 – Desvio padrão amostral (s) 
É a raiz quadrada da variância. O desvio padrão possui a mesma unidade de medida dos dados e é a 
medida que, efetivamente, é utilizada como síntese da dispersão ou variabilidade. 
 
( )
1
2
−
−
= ∑
n
xx
s i 
 
Para o exemplo anterior, como a expressão sob o radical já foi calculada, o desvio padrão é:8,10116 2 ≅= kgs kg 
 
Conclusão: a amostra revelou uma média foi de 81 kg com um desvio padrão de 10,8 kg. 
 
 
COMO UTILIZAR A FUNÇÃO DE ESTATÍSTICA NA CALCULADOR A CIENTÍFICA? 
 
A) PASSO A PASSO PARA CALCULAR A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO NA 
CALCULADORA CIENTÍFICA (MODELO TIPO CASIO) 
 
TABELA 1 
Amostra de pesos (kg) e altura (cm) de uma turma 
Aluno sorteado Peso (kg) Altura (cm) 
ROBERTA 59 157 
ARIADNA 50 170 
RAYANNE 52 157 
ROMARIA 60 170 
STEFANY 49 160 
ANDERSON 66 170 
ROSINETE 68 156 
 
 
 
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1 – LIMPAR DADOS ANTERIORES DA CALCULADORA 
SHIFT, MODE, 3, =, = 
 
2 – ENTRAR NA FUNÇÃO DE ESTATISTICA 
MODE, 2 
 
3 – ENTRAR COM OS DADOS 
59M+ 
50M+ 
52M+ 
60M+ 
49M+ 
66M+ 
68M+ 
 
4 – OBTER A MÉDIA ARITIMÉTICA SIMPLES 
SHIFT, 2, 1, = 
 
5 – PARA OBTER O DESVIO PADRÃO 
SHIFT, 2, 3,= 
 
Os resultados da média e desvio padrão do exemplo dos pesos são: 
kgkgx 7,5771428571,57 ≅= 
kgkgs 6,7631388815,7 ≅= 
 
B) PASSO A PASSO PARA CALCULAR A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO NA 
CALCULADORA CIENTÍFICA (MODELO COMUM) 
 
1 – LIMPAR DADOS ANTERIORES DA CALCULADORA 
DESLIGAR E LIGAR A CALCULADORA 
 
2 – ENTRAR NA FUNÇÃO DE ESTATISTICA 
2ndf, ON 
 
3 – ENTRAR COM OS DADOS 
59M+ 
50M+ 
52M+ 
60M+ 
49M+ 
66M+ 
68M+ 
 
4 – OBTER A MÉDIA ARITIMÉTICA SIMPLES 
X>M 
 
5 – PARA OBTER O DESVIO PADRÃO 
RM 
 
Os resultados da média e desvio padrão do exemplo dos pesos são: 
kgkgx 7,5771428571,57 ≅= 
kgkgs 6,7631388815,7 ≅= 
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3.3.3 – Coeficiente de variação (CV) 
 
“A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação das variabilidades de diferentes 
conjuntos de dados.” (SOARES, 1991). 
 
O coeficiente de variação é dado por: 
x
s
CV = . Esta expressão pode ser multiplicada por 100 de modo 
que o CV possa ser expresso em percentagem. 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
TABELA 2 
Estatísticas das notas de um teste de Cálculo III 
Estatísticas 
Turmas 
x s CV 
A 78 8 10,3% 
B 92 15 16,3% 
 
 
Chamando de CVA e CVB os coeficientes de variação das turmas A e B, tem-se: 
 
%3,10%25641026,10100
78
8 ≅=⋅=ACV 
 
%3,16%30434783,16100
92
15 ≅=⋅=BCV . 
 
 
Conclusão: como o coeficiente de variação da turma A é menor que o da turma B, conclui-se que os 
alunos da turma A mostraram notas mais homogêneas. Assim, embora a turma B possua uma média 
maior, as notas dos alunos são menos homogêneas. 
 
Comentário: o valor do coeficiente de variação, em termos de identificar alta ou baixa homogeneidade, 
vai depender muito das características do estudo que está sendo desenvolvido. Entretanto, na maioria dos 
casos, pode-se avaliar a dispersão do seguinte modo: 
 
 
10,0≤CV : Baixa dispersão 
20,010,0 ≤< CV : Dispersão moderada 
30,020,0 ≤< CV : Dispersão alta 
30,0>CV : Dispersão muito alta 
 
4) Estudo do escore padronizado (Zi) 
 
“No contexto de um único conjunto de dados, o desvio padrão pode ser interpretado intuitivamente como 
unidade natural de dispersão dos dados. Essa interpretação é utilizada na construção de “escores 
padronizados”, de larga aplicação em medidas educacionais. O problema é o seguinte: em uma escala de 
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0 a 10, a nota 6 em uma prova em que a nota máxima foi 6 é muito mais do que a mesma nota 6 em uma 
prova em que a nota máxima foi 9. Uma forma de captar essa diferença é considerar a nota do aluno como 
a sua posição relativa no grupo.” (SOARES, 1991) 
 
Deste modo, enquanto o coeficiente de variação compara grupos, o escore padronizado capta a posição da 
medida de um indivíduo dentro do grupo. O escore padronizado é dado por: 
 
s
xx
Z ii
−
= . Onde ix é a medida do i-esimo indivíduo. 
 
Retomando o exemplo das notas da prova de Cálculo I das turmas A e B do 1º período de Engenharia 
Civil, suponha que o João é aluno da turma A e tirou 85 pontos na prova; já a Maria é aluna da turma B e 
tirou 90 pontos no teste. A questão é: em termos relativos, qual dos dois alunos, João ou Maria, obteve 
melhor desempenho? 
 
Estatísticas das notas de um teste de língua portuguesa 
Estatísticas 
Turmas 
x s 
A 78 8 
B 92 15 
 
 
Chamando de ZJ o escore do João e ZM o escore da Maria, tem-se: 
 
 
875,0
8
7885 =−=JZ 133,015
9290 −=−=MZ 
 
Conclusão: embora Maria tenha uma nota superior à do João, em termos relativos a pontuação obtida por 
João é melhor do que a de Maria, pois (0,875 > – 0,133). 
 
5) – Estudo dos percentis (Pk) 
 
Os percentis dividem o rol em 100 partes iguais. Os percentis são medidas de posição. 
|__________|__________|____________________|____________________|__________|____________|
Min P1 P2 P50 P98 P99 Max 
Para calcular um percentil qualquer, devemos encontrar a odem do percentil do seguinte modo: 
º
100


 ⋅ nk
 
Exemplo - Altura (cm) de uma amostra de 40 estudantes. 
 
150,2 154,2 155,9 157,4 160,2 161,0 162,1 164,2 166,8 169,5 
 
151,3 154,6 156,1 158,5 160,5 161,2 162,9 164,4 167,9 170,7 
 
152,4 155,3 156,5 158,9 160,7 161,5 163,3 164,9 168,1 172,4 
 
153,5 155,7 156,8 160,1 160,9 161,9 163,8 165,0 168,8 173,5 
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Calcular: 
a) P10 
b) P25 
c) P67 
d) P97
 
Resolução 
a) º4
100
4010
100
ºº
=


 ⋅=


 ⋅ nk
 termo. Portanto: P10 = 153,5 
 
b) º10
100
4025
100
ºº
=


 ⋅=


 ⋅ nk
termo. Portanto: P25 = 156,1 
 
c) º8,26
100
4067
100
ºº
=


 ⋅=


 ⋅ nk
. Portanto, o P67 será a média entre o 26º e 27º termos. Logo; 
1,163
2
2,326
2
3,1639,162
67 ==
+=P 
 
d) º8,38
100
4097
100
ºº
=


 ⋅=


 ⋅ nk
. Portanto, o P97 será a média entre o 38º e 39º termos. Logo; 
55,171
2
1,343
2
4,1727,170
97 ==
+=P 
 
5.1 – Percentis especiais: Quartis (Qk) 
Os quartis dividem a série estatística em 4 partes iguais. São eles: primeiro quartil (Q1), segundo quartil 
(Q2) e terceiro quartil (Q3). O primeiro quartil corresponde ao percentil 25; o segundo quartil é o percentil 
50 (que coincide com a mediana) e o terceiro quartil é o percentil 75. 
 
|__________|__________|__________|__________| 
Min Q1 Q2 Q3 Max 
 
Para o exemplo Q1 = 156,1 (que corresponde ao P25) e Q3 = 164,4 (que equivale ao P75 – confira!). 
 
6) Distribuição de freqüência (variáveis quantitativas) 
 
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As distribuições de freqüências são tabelas que descrevem os dados estatísticos a fim de facilitar sua 
compreensão. Hoje em dia, com a expansão dos softwares, essas tabelas são obtidas com muita facilidade 
e, portanto, não são construídas manualmente. 
 
6.1 – Distribuição de freqüência sem intervalos de classe 
 
Notação: 
 
i: são as classes 
xi: valores assumidos pela variável 
fi: freqüência simples ou absoluta 
fr i: freqüência relativa simples 
Fi: freqüência acumulada 
n: equivale ao Σ fi 
 
Exemplo: amostra das idades (em anos) de uma amostra de alunos. 
 
TABELA 1 
Distribuição de freqüência das idades em anos de uma amostra de alunos 
i xi fi fr i Fi 
1 19 8 0,121 8 
2 20 12 0,182 20 
3 22 17 0,258 37 
4 25 13 0,197 50 
5 27 12 0,182 62 
6 30 4 0,060 66 
Σ 66 1,000 
 
 
6.2 – Distribuição de freqüência com intervalos de classe 
Além da notação anterior, usa-se o símbolo | para designar o intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita. Além disso, o xi é o ponto médio da classe. 
 
Para determinar o número de classes, i, e a amplitude do intervalo não há um critério fixo. Entretanto, é 
comum, para determinar o número de classes, usar-se a fórmula: i = 1 + 3,3(logn). E para determinar a 
amplitude do intervalo, h, pode se utilizar: 
i
AA
h = , onde AA é a amplitude amostral e correspondeà 
diferença entre o maior e o menor valor do rol (o rol são os dados ordenados). 
 
Exemplo: Rol das estaturas (em cm) de 40 alunos do colégio A. (Retirado do livro “Estatística Fácil”) 
 
 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 
 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 
 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 
 
Determinação do número de classes e da amplitude do intervalo: 
Classes: i = 1 + 3,3(logn) = 1 + 3,3log40 = 1 + 3,3(log40) = 1 + 3,3(1,602059991) = 6,286797971 = 6 
Amplitude amostral: AA = 173 – 150 = 23. Amplitude do intervalo: 438333,3
6
23 ≅===
i
AA
h . 
A tabela de distribuição de freqüência será: 
 
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TABELA 2 
Distribuição de freqüência das estaturas (em cm) de uma amostra de 40 alunos 
i Intervalo xi fi fr i Fi 
1 150 | 154 152 4 0,100 4 
2 154 | 158 156 9 0,225 13 
3 158 | 162 160 11 0,275 24 
4 162 | 166 164 8 0,200 32 
5 166 | 170 168 5 0,125 37 
6 170 | 174 172 3 0,075 40 
Σ 40 1,000 
 
 
EXERCÍCIOS LISTA 01 – Estatística Básica 
 
1) Para cada uma das descrições abaixo, indique o seu significado escolhendo um dos seguintes 
conceitos: população, um parâmetro, censo, variáveis quantitativas, variáveis qualitativas, variáveis 
discretas, experimento, uma estatística, estudo observacional. 
 
a) Coleção completa de todos os elementos, com pelo menos uma característica comum, a serem 
estudados. 
b) Consistem em números que representam contagens ou medidas. 
c) Medida numérica que descreve uma característica numérica de uma população. 
d) Resultam de um conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável desses valores. 
e) Coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população. 
f) Medida que descreve uma característica numérica de uma amostra. 
g) Dados que podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica 
não numérica. 
h) Situação em que verificamos e medimos características específicas, mas não modificamos os 
elementos a serem estudados. 
i) Situação em que modificamos as características de elementos a fim de verificar o efeito desta 
modificação. 
 
2) Dê um exemplo para cada um dos seguintes níveis de mensuração de variáveis: nominal, ordinal e 
razão. 
 
3) Nos itens a, b, c, d abaixo, indique se a descrição dada corresponde a um estudo observacional ou a 
um experimento. 
 
a) Uma pesquisa tenta captar a opinião da população sobre sua preferência em morar em casa ou 
apartamento. _______________________________________ 
 
b) Em uma turma de educação física, estuda-se o efeito dos exercícios físicos sobre a pressão sanguínea, 
determinando-se que metade dos estudantes ande mil metros cada dia, enquanto a outra metade corra 
mil metros diariamente. ______________________________________________________________ 
 
c) Em determinada cidade, faz-se um levantamento do número de pessoas contaminadas com o vírus 
HIV, de acordo com o sexo. ___________________________________________________________ 
 
d) A fim de aumentar a produtividade de tomate de sua plantação, um produtor faz um rígido controle 
sobre a irrigação (quantidade de água diária) e a luminosidade (incidência de raios solares) nos 
tomateiros de sua produção. ___________________________________________________________ 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 13 
4) Deve-se extrair uma amostra de tamanho n=600 de uma população de tamanho N=5.000, que consiste 
de quatro estratos com as seguintes quantidades de elementos: N1=3.000, N2=1.000, N3=800 e 
N4=200. Se a alocação deve ser proporcional, qual o tamanho da amostra em cada estrato? 
 
5) Retire uma amostra de tamanho n=10 de uma população ordenada composta de 200 elementos, 
utilizando o processo de amostragem sistemática. Explique todo o procedimento adotado. 
 
6) Explique o que é amostragem por conglomerados e exemplifique. 
 
7) Abaixo se encontra uma amostra dos pesos (kg) de uma turma de matemática, ao final do 2º semestre 
de 2006 e ao final do 1º semestre de 2007. 
 
Número do aluno 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
Peso ao final do 2º semestre/2006 66 70 68 71 69 67 70 69 71 70 
Peso ao final do 1º semestre/2007 64 66 68 63 66 67 62 64 63 68 
Escore padronizado do 2º semestre 
Escore padronizado do 1º semestre 
 
a) Calcule os coeficientes de variação e diga em qual momento os pesos são mais homogêneos. 
b) Complete a tabela com os escores padronizados de todos os alunos, nos dois momentos. 
c) A partir dos escores padronizados, em que momento os alunos de números 01 e 08 apresentam maior 
excesso relativo de peso? 
 
8) Demonstre que se todos os valores de um conjunto de dados forem aumentados de b, a média e a 
mediana também ficarão aumentadas de b. Demonstre que o desvio padrão não ficará aumentado de 
b? 
 
9) A contagem de bactérias numa cultura aumentou, cumulativamente, de 2.500 para 9.200 em três dias. 
Qual o acréscimo percentual diário médio? 
 
10) Tibúrcio prestou recentemente um concurso e obteve as notas nas disciplinas listadas na tabela abaixo. 
 
Disciplinas Nota do Tibúrcio Peso 
Português 72 3,6 
Matemática 91 1,1 
Técnicas Bancárias 85 2,1 
Informática 70 2,5 
Inglês 84 1,8 
Contabilidade 92 1,6 
 
a) Calcule a média aritmética simples ( )x do Tibúrcio. 
b) Calcule a média ponderada ( )px do Tibúrcio. 
c) Considerando que a nota mínima para ser aprovado é 82 pontos, e que o concurso utiliza a média 
ponderada para efeito de classificação, o Tibúrcio foi aprovado? Justifique 
 
11) Os dados abaixo mostram a resistência à compressão de 40 corpos de prova da liga alumínio-lítio, 
medidas em psi (medida de pressão ou libra por polegada quadrada). 
76 87 97 101 105 110 115 118 120 121 
123 131 133 133 134 135 135 141 142 143 
145 146 148 149 149 150 150 151 153 154 
154 156 157 157 158 159 160 161 163 164 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 14 
Calcule: 
 
a) P20, P44, P67, P80 e P91 
b) Q1 e Q3 
c) Média 
d) Desvio-padrão 
e) Coeficiente de variação 
f) Moda 
g) Mediana 
 
12) Abaixo se encontra uma amostra de notas em Cálculo I e Cálculo II no 1º e 2º períodos de Engenharia 
Mecânica. Calcule os coeficientes de variação e diga em qual disciplina há maior homogeneidade. 
 
Disciplina A B C D E F G H I J 
Notas em Cálculo I 66 70 68 71 69 67 70 69 71 70 
Notas em Cálculo II 64 66 68 63 66 67 62 64 63 68 
 
 
13) Nos itens de a até e abaixo, calcule a média, o desvio-padrão e o coeficiente de variação. 
 
a) Medidas do diâmetro (em mm) interno de anéis forjados de pistão de um motor de automóvel. Os 
dados são: 
 
1 3 6 2 5 2 5 4 
 
 
b) Tempo de esgotamento de um fluido isolante entre eletrodos a 34 kV. Os tempos em minutos são: 
 
4,31 4,78 6,16 4,15 4,67 4,85 6,50 7,35 9,06 8,27 8,01 
 
c) Medida da espessura de óxido em pastilhas que são estudas para verificar a qualidade em um processo 
de fabricação de semicondutores. Os dados, em angstroms, são: 
 
1264 1280 1301 1300 1292 1307 1275 
 
d) Experimento para testar a resistência resultante em tubos circulares com calotas soldadas nas 
extremidades. Os resultados em kN são: 
 
96 96 102 102 102 104 104 108 126 
126 128 128 140 156 160 160 164 170 
 
e) Dados referentes a medidas de intensidade solar direta (watts/m2), em dias diferentes, no sul da 
Espanha: 
 
562 869 708 775 704 809 856 655 806 
878 909 918 558 768 870 918 940 946 
661 820 898 935 952 957 693 835 905 
939 955 960 498 653 730 753 728 745 
 
14) Construir uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos de classe para os dados abaixo que 
representam uma amostra de pesos (kg) do curso de Engenharia (ver exemplo da tab. 2 na página 12). 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 15 
Utilizar as fórmulas vistas no conteúdo para definir o número de classes (i) e a amplitude do intervalo 
(h). 
 
42,1 43,7 45,1 46,2 47,1 47,8 49,3 50,2 50,4 51,3 
52,1 52,7 53,0 53,8 54,054,7 55,8 55,9 56,7 56,9 
57,1 58,3 59,7 60,1 60,1 60,1 61,0 62,1 62,9 63,0 
63,7 63,9 65,8 66,9 67,0 67,9 68,0 70,2 72,1 74,5 
75,0 75,2 75,8 76,0 78,2 79,3 80,2 82,7 84,1 90,1 
 
 
7 – ESTUDO DAS PROBABILIDADES 
 
7.1 – Experimento determinístico 
São experimentos cuja repetição sob as mesmas condições conduz sempre ao mesmo resultado, podendo-
se determiná-lo antecipadamente. 
Ex. em um corpo em queda livre é possível determinar antecipadamente, por exemplo, o tempo da queda, 
a posição do corpo em um instante t0, a velocidade, etc.. 
 
7.2 – Experimento aleatório 
São experimentos cuja repetição não conduz aos mesmos resultados. Não se pode determinar à priori um 
resultado, mas pode-se calcular a probabilidade de ocorrência de um evento qualquer. 
Ex. em um lançamento de um dado (cubo) com seis faces, não é possível dizer qual face estará voltada 
para cima. Entretanto, é possível calcular a probabilidade de uma face em particular cair para cima. 
 
7.3 – Probabilidade: conceitos básicos 
 
Quando se fala em probabilidade está-se referindo à classe dos experimentos aleatórios. Tais 
experimentos serão designados por: E. 
 
- Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
- Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Designam-se os eventos por: A, B, C, D, etc. 
 
 
Exemplo 
 
 
E: lançamento de um dado (cubo) 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Eventos: 
A: Sair nº par A = {2, 4, 6} 
B: Sair nº ímpar B = {1, 3, 5} 
C: Sair nº maior que 2 C = {3, 4, 5, 6} 
D: Sair nº maior que 6 D = φ “Evento impossível” 
E: Sair nº de 1 a 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} “Evento certo” 
 
 
7.4 – Definição de probabilidade 
 
 
7.4.1 – Definição clássica 
 
Seja A um evento de um espaço amostral S. Define-se a probabilidade de ocorrência deste evento como: 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 16 
( ) ( )( )Sn
An
AP = 
Onde: n(A) é o número de casos favoráveis ao evento A e n(S) o número total de casos. 
 
Exemplo: no lançamento de um dado (cubo), calcular a probabilidade de sair nº par. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} 
 
( ) 5,0
2
1
6
3 ===AP ou 50% 
 
7.4.2 – Definição frequencial 
 
Considere que um experimento é repetido um grande número de vezes. A probabilidade de ocorrência do 
evento A é a freqüência relativa dada por: 
 
P(A) = 
_ Nº de vezes que A ocorreu______ 
Nº total de repetições do experimento 
 
Exemplo: lançou-se uma moeda 1.000 vezes e obteve-se 499 caras. Estimar a probabilidade de ocorrência 
da face cara. 
n(S) = 1.000 n(A) = 499 ( ) 499,0
1000
499 ==AP ou 49,9% 
 
7.5 – Tipos de eventos 
 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S. 
a) Evento Interseção: equivale à ocorrência de A e B ao mesmo tempo. 
b) Evento Exclusão (mutuamente excludentes): a ocorrência de A impossibilita a ocorrência B. 
c) Evento União: equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos. 
d) Evento Negação: é o complementar de outro evento. O complementa de A denota-se por A . 
 
 
7.6 – Regras básicas e axiomas de probabilidade 
 
Considere A e B dois eventos de um espaço amostral S. 
 
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
ii) P(S) = 1 
iii) ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
iv) ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ , quando A e B são mutuamente excludentes. 
v) ( ) ( )APAP −=1 
 
 
7.7 – Probabilidade condicional 
 
 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, entende-se como probabilidade condicional a 
probabilidade de ocorrência de um evento uma vez que outro já ocorreu. Assim, a ocorrência do segundo 
evento fica restrita a um novo espaço amostral que corresponde ao evento já ocorrido. Denota-se a 
probabilidade condicional por: 
 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 17 
( ) ( )( )BP
BAP
BAP
∩=| 
 
Onde P(A|B) se lê como: “probabilidade condicional de A, dado B”. Ou seja, uma vez que ocorreu o 
evento B, qual é a probabilidade de ocorrência também de A? 
 
Exemplo – cálculo de probabilidade e probabilidade condicional 
 
Uma pesquisadora está estudando os rendimentos de pessoas que trabalham formal e informalmente. A 
tabela abaixo corresponde a uma amostra de 634 pessoas. 
 
TABELA 3 
Nº de pessoas de acordo com a renda e tipo de trabalho – Montes Claros- ano 2007 
Renda Trabalho 
Baixa Média Alta 
Total 
Formal 36 128 225 389 
Informal 94 89 62 245 
Total 130 217 287 634 
 Fonte: dados fictícios 
 
 
Especificação dos eventos: 
F: trabalho formal I: trabalho informal B: renda baixa M: renda média A: renda alta 
 
Calcular a probabilidade de um indivíduo sorteado se encontrar: 
a) Com trabalho formal. R: 0,614 ou 61,4% 
b) Com renda alta. R: 0,453 ou 45,3% 
c) Com trabalho informal. R: 0,386 ou 38,6% 
d) Com renda média e trabalho formal. R: 0,202 ou 20,2% 
e) Com renda alta e trabalho formal. R: 0,355 ou 35,5% 
f) Com renda alta e trabalho informal. R: 0,098 ou 9,8% 
 
Probabilidade condicional 
 
g) Com renda alta, sabendo que é do trabalho formal. R: 0,578 ou 57,8% 
h) Com renda alta, sabendo que é do trabalho informal. R: 0,253 ou 25,3% 
i) Desenvolver trabalho formal, sabendo que possui renda baixa. R: 0,277 ou 27,7% 
j) Desenvolver trabalho informal, sabendo que possui renda alta. R: 0,216 ou 21,6% 
k) Dado que possui renda média, desenvolver trabalho informal. R: 0,410 ou 41,0% 
l) Dado que é informal, possuir renda média. R: 0,363 ou 36,3% 
 
7.8 – Independência de eventos 
 
Definição: dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um deles não modifica a 
probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja: 
 
P(B|A) = P(B) e P(A|B) = P(A) 
 
( ) ( )( ) ( ) )()|(| BPBAPBAPBP
BAP
BAP ⋅=∩⇒∩= , mas se A e B são independentes, então: P(A|B) = P(A) 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 18 
 
Logo: )()()( BPAPBAP ⋅=∩ 
 
Exemplo 
 
Considere o lançamento de um dado (cubo), a observação da face superior e os eventos A e B abaixo. 
 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 3, 4, 5,} B = {1, 3, 4,} 
 
a) Supondo que ocorreu o evento A, qual a probabilidade condicional de ocorrer B? 
 
6
4
)( =AP e 
6
3
)( =BP 
 
4
2
)(
)(
)|( =∩=
AP
BAP
ABP 
 
P(B|A) = P(B), ou seja, a ocorrência de A não alterou a probabilidade de ocorrência de B. 
 
b) Agora suponha que tenha ocorrido B. Qual a probabilidade condicional de ocorrência de A? 
 
3
2
6
4
)( ==AP e veja também que: 
3
2
)(
)(
)|( =∩=
BP
BAP
BAP 
 
P(A|B) = P(A), ou seja, a ocorrência de B não alterou a probabilidade de ocorrência A. 
Assim, dizemos A e B são eventos independentes. 
 
 
7.9 – Partição de um espaço amostral – teorema da probabilidade total 
 
Suponha que o espaço amostral S de um experimento seja dividido em três eventos R1, R2 e R3 de modo 
que: 
 S 
 
 
 
∅=∩ 21 RR 
∅=∩ 32 RR 
∅=∩ 31 RR 
SRRR =∪∪ 321 
 
e considere um evento B qualquer. O evento B pode ser escrito como: 
SBB ∩= . 
Como 321 RRRS ∪∪= , então )( 321 RRRBB ∪∪∩= ou 
R1 R2 
 B 
 
 
 
 
R3 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 19 
)()()( 321 RBRBRBB ∩∪∩∪∩= 
Pelo fato de )(),(),( 321 RBRBRB ∩∩∩ serem eventos mutuamente excludentes, pode-se escrever; 
 
)()()()( 321 RBPRBPRBPBP ∩+∩+∩= 
 
As interseções do segundo membro são do tipo: ( ) )()|( BPBAPBAP ⋅=∩ . Assim: 
 
)()|()()|()()|()( 332211 RPRBPRPRBPRPRBPBP ⋅+⋅+⋅= 
 
Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total e pode ser escrito na forma geral: 
 
)()|(...)()|()()|()( 2211 nn RPRBPRPRBPRPRBPBP ⋅++⋅+⋅= 
 
 
Exemplo de aplicação 1 
 
Uma fábrica tem três máquinas – A, B e C – que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de 
sua produção. A proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina A é 2%; da máquina B é 1% e 
da máquina C é 3%. O responsável pelo controle de qualidade que inspeciona a produção retira uma peça 
ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser defeituosa? 
 
Especificaçãodos eventos: 
A: produção da máquina A 
B: produção da máquina B 
C: produção da máquina C 
D: peças defeituosas 
 
Especificação das probabilidades: 
P(A) = 0,40 P(B) = 0,35 P(C) = 0,25 
P(D|A) = 0,02 P(D|B) = 0,01 P(D|C) = 0,03 
 
)()()()( CDPBDPADPDP ∩+∩+∩= essa expressão pode ser escrita: 
 
)()|()()|()()|()( CPCDPBPBDPAPADPDP ⋅+⋅+⋅= 
019,025,003,035,001,040,002,0)( =⋅+⋅+⋅=DP 
 
Portanto, a probabilidade de que a peça seja defeituosa é 0,019 ou 1,9% 
 
 
7.10 – Teorema de Bayes 
 
Considerando o mesmo contexto explicitado no teorema da probabilidade total, o teorema de Bayes 
equivale a: 
 
)()|(...)()|()()|(
)()|(
)|(
2211 nn
ii
i RPRBPRPRBPRPRBP
RPRBP
BRP
⋅++⋅+⋅
⋅
= 
 
 
 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 20 
Exemplo de aplicação 2 
 
Considerando o exemplo de aplicação 1, suponha que o responsável pelo controle de qualidade retira a 
peça e verifica que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina B? 
 
)()|()()|()()|(
)()|(
)(
)()|(
)|(
CPCDPBPBDPAPADP
BPBDP
DP
BPBDP
DBP
⋅+⋅+⋅
⋅
=
⋅
= 
 
 
184,0184210526,0
019,0
0035,0
25,003,035,001,040,002,0
35,001,0
)|( ≅==
⋅+⋅+⋅
⋅=DBP 
 
Portanto, a peça defeituosa retirada para inspeção tem uma probabilidade de aproximadamente 0,184 ou 
18,4%de ter sido produzida pela máquina B. 
 
 
8 – VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
 
“Muitos experimentos produzem resultados não-numéricos. Antes de analisá-los, é conveniente 
transformar seus resultados em números, o que é feito através da variável aleatória, que é uma regra de 
associação de um valor numérico a cada ponto do espaço amostral. (...) O passo fundamental para 
entendermos uma variável aleatória é associar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o que se chama 
uma distribuição de probabilidades, que fica caracterizada pelos valores da variável aleatória X e pela 
regra, ou função, que associa a cada valor uma probabilidade. Esta função chamada função de 
probabilidade, é representada por f(x). Para estudar e tomar decisões em situações onde está presente a 
incerteza, temos basicamente de identificar a variável aleatória de interesse e obter sua distribuição de 
probabilidade, e a partir daí obter os elementos necessários para a tomada de decisão.” (SOARES, 1991). 
 
 
8.1 – Distribuição de probabilidade 
 
Exemplo 1 
No lançamento de duas moedas (C=cara e K=coroa), defina a variável aleatória X como sendo o número 
de caras e construa a distribuição de probabilidade. 
 
S = {CC, CK, KC, KK} 
 
Evento CC CK KC KK 
X (Nº caras) 2 1 1 0 
 
A distribuição de probabilidades será: 
 
xi: 0 1 2 
P(xi): 
4
1
 
4
2
 
4
1
 
 
Exemplo 2 
No lançamento de três moedas, defina a variável aleatória X como sendo o número de caras e construa a 
distribuição de probabilidade. 
 
S = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 21 
 
A distribuição de probabilidades será: 
 
xi: 0 1 2 3 
P(xi): 
8
1
 
8
3
 
8
3
 
8
1
 
 
ATENÇÃO! Para que tenhamos uma distribuição de probabilidade, duas condições precisam ser 
satisfeitas. São elas: 
i) 1)(0 ≤≤ ixP ii) 1)( =∑ ixP 
 
 
8.2 – Valor esperado ou média µ de uma variável aleatória discreta 
 
Quando estudamos as distribuições de freqüências, em Estatística Descritiva, procuramos caracterizar as 
principais medidas das amostras como: média, variância, desvio padrão, etc. 
Agora, a variável aleatória será utilizada para estabelecer modelos teóricos de probabilidade com a 
finalidade de descrever populações. A média (µ), a variância (σ2) e o desvio padrão (σ), representarão 
parâmetros destas populações. 
 
Notação 
E(X): lê-se “valor esperado” ou “esperança” da variável aleatória X e equivale à média µ. 
 
O valor esperado ou esperança de X é dado por: ∑== )()( ii xPxXEµ 
 
8.3 – Variância (σ2) e desvio padrão (σ) de uma variável aleatória discreta 
 
A variância [VAR(X)] ou σ2 é dada por: ∑ ⋅−= )()( 22 ii xPx µσ 
 
O desvio padrão é raiz quadrada da variância: ∑ ⋅−= )()( 2 ii xPx µσ 
 
 
Exemplo 1 
No lançamento de dois dados, a variável aleatória X anota a soma dos pontos da face superior. Determine 
a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. 
 
O espaço amostral S é dado por: 
 
 
S = 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 22 
 
A distribuição de probabilidade é: 
 
ix )( ixP )( ii xPx ⋅ )()(
2
ii xPx ⋅− µ 
2 1/36 2/36 25/36 
3 2/36 6/36 32/36 
4 3/36 12/36 27/36 
5 4/36 20/36 16/36 
6 5/36 30/36 5/36 
7 6/36 42/36 0 
8 5/36 40/36 5/36 
9 4/36 36/36 16/36 
10 3/36 30/36 27/36 
11 2/36 22/36 32/36 
12 1/36 12/36 25/36 
Σ 1 252/36 210/36 
 
 
 
 
A média será: 7
36
252
)()( ==== ∑ ii xPxXEµ 
 
A variância será: 83,5
36
210
)()( 22 ≅=⋅−=∑ ii xPx µσ 
 
O desvio padrão será: 41,283,5)()( 2 ≅=⋅−= ∑ ii xPx µσ 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Um jogo consiste no lançamento de 3 moedas (não viciadas). Se der tudo cara ou tudo coroa, o ganho é 
de R$ 5,00, mas dando uma ou duas caras, a perda é de R$ 3,00. Qual o resultado esperado para o jogo? 
 
Lembrando que o espaço amostral no lançamento de três moedas é: 
S = {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK} 
 
 
ix )( ixP )( ii xPx ⋅ 
 R$ 5 2/8 10/8 
 – R$ 3 6/8 – 18/8 
Σ 1 –1 
 
Logo, o resultado esperado do jogo é a média ou valor esperado da variável aleatória, no caso: 
1
8
8
8
18
8
10
)()( −=−=




−+=== ∑ ii xPxXEµ 
Ou seja: a longo prazo pode esperar, em média, uma perda de aproximadamente R$ 1,00. 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 23 
 
Exemplo 3 
 
Uma máquina produz um equipamento eletrônico que pode apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro 
defeitos, com probabilidades 90%, 4%, 3%, 2% e 1%, respectivamente. O preço de venda de um 
equipamento perfeito é de R$ 20,00 e, à medida que apresente defeitos, o preço cai 50% para cada defeito 
apresentado. Qual é a esperança do preço médio de venda desse equipamento? 
 
A distribuição é: 
 
Defeito ix )( ixP )( ii xPx ⋅ 
0 20,00 0,90 18 
1 10,00 0,04 0,4 
2 5,00 0,03 0,15 
3 2,50 0,02 0,05 
4 1,25 0,01 0,0125 
Σ 1 18,6125 
 
Logo, o preço médio de venda será: 
61,18$6125,180125,005,015,04,018)()( RxPxXE ii ≅=++++=== ∑µ 
 
 
 
EXERCÍCIOS – LISTA 02 – Probabilidades e Valor Esperado 
 
Parte I – Probabilidades 
 
01) Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas 
e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que: 
 
a) ambas sejam pretas; 
b) ambas sejam vermelhas; 
c) ambas sejam da mesma cor; 
d) ambas sejam de cores diferentes. 
 
02) Resolva o problema anterior considerando as retiradas com reposição. 
 
03) Se P(AUB) = 0,8; P(A) = 0,6 e P(B) = 0,5; os eventos A e B são independentes? Por quê? 
 
04) No primeiro ano de uma faculdade, 25% dos estudantes são reprovados em Matemática, 15% são 
reprovados em Estatística e 10% são reprovados em ambas. Um estudante é selecionado ao acaso nesta 
faculdade. Calcule a probabilidade de que: 
 
a) Ele seja reprovado em Matemática, sabendo-se que foi reprovado em Estatística. 
b) Ele não seja reprovado em Estatística, sabendo-se que foi reprovado em Matemática. 
 
05) Lança-se um par de dados não-viciados. Ache a probabilidade da soma ser igual ou maior que 10, se: 
 
a) ocorrer 5 no primeiro dado; 
b) ocorrer 5 em pelo menos um dos dados. 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 24 
06) Três máquinas, A, B e C, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma 
fábrica. As percentagens de produção defeituosa destas máquinas são de 3%, 4% e 5%, respectivamente. 
Se uma peça é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. 
 
07) Considerandoa fábrica do exercício anterior, suponha que uma peça, selecionada aleatoriamente, seja 
considerada defeituosa. Encontre a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A. 
 
08) Uma junta apuradora de votos recebe 50 urnas. Sabe-se que 5 urnas são de bairros habitados por 
indivíduos da classe A, 15 urnas são de bairros habitados por indivíduos da classe B e 30 urnas são de 
bairros habitados por indivíduos da classe C. A última pesquisa realizada mostrou o quadro de intenções 
de votos: 
 
Intenção de votos por bairro (%) 
Candidato 
Bairro A Bairro B Bairro C 
H.C 
LALU 
VENTAROLA 
40 
20 
10 
30 
25 
5 
25 
25 
5 
 
Calcule a probabilidade de que: 
a) Um voto qualquer anunciado seja do Ventarola; b) Um voto qualquer anunciado não seja do 
H.C.. 
 
09) A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com informações sobre 
área de estudo e classe sócio-econômica: 
 
Classe Socioeconômica 
Área 
Alta Média Baixa 
Total 
Exatas 120 156 68 
Humanas 72 85 112 
Biológicas 169 145 73 
Total 
 
Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de: 
a) Ser da classe econômica mais alta c) Estudar na área de humanas, sendo da classe média; 
b) Estudar na área de exatas d) Ser da classe baixa, dado que estuda na área de biológicas. 
 
10) Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda A, 30% 
de outra fazenda B e 50% de uma fazenda C. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de 
surpresa e observou que 20% do leite produzido por A estava adulterado por adição de água, enquanto 
que para B e C, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes os galões de 
leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. Um galão é escolhido ao acaso 
e verifica-se que o leite está adulterado. Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pela fazenda 
A? 
 
11) A preferência de consumo da população de mil indivíduos é indicada no quadro abaixo. 
 
 Homem Mulher Total do Produto 
Produto A 200 270 470 
Produto B 300 100 400 
Produto C 60 70 130 
Total por Sexo 560 440 1000 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 25 
Assim, a probabilidade de escolher-se uma consumidora do produto B e a probabilidade de uma mulher 
selecionada aleatoriamente ser consumidora do produto B são, respectivamente: 
 
a) 0,10 e 0,227 b) 0,10 e 0,614 c) 0,27 e 0,102 d) 0,30 e 0,227 
 
12) Estudantes de três universidades diferentes, X, Y e Z, fazem um exame onde os resultados são 
medidos pelos conceitos A, B e C. A tabela abaixo mostra as distribuições de freqüências relativas das 
combinações de universidades e conceitos. 
 
Conceitos 
Universidades 
A B C 
X 0.20 0.10 0.00 
Y 0.25 0.10 0.05 
Z 0.15 0.10 0.05 
 
Tal tabela mostra, por exemplo, que 20% do total dos alunos que fizeram o exame eram da universidade 
X e tiveram conceito A; 5% eram da universidade Y e tiveram conceito C, e assim por diante. Sabendo-se 
que um estudante qualquer teve conceito A, a probabilidade de que ele tenha estudado na universidade X 
é: 
 
a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 2/3 e) 2/5 
 
13) Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento 
durante uma semana. Ao final, eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons (B), 
50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (F). Como medida de economia, o departamento 
de seleção pretende substituir o treinamento por um teste contendo perguntas envolvendo conhecimentos 
gerais e específicos. Mas, para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de que um individuo 
aprovado no teste fosse considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, nesse ano, antes do início do 
curso, os candidatos foram submetidos ao teste e, de acordo com os resultados receberam o conceito 
aprovado (A) ou reprovado (R). Ao final do curso, obtiveram as seguintes probabilidades condicionais: 
 
P(A|B) = 0,80; P(A|M) = 0,50 e P(A|F) = 0,20. Ajude a empresa a decidir sobre a substituição do 
treinamento pelo teste, calculando a probabilidade de que um indivíduo aprovado no teste seja 
considerado fraco. 
 
Parte II – Variável Aleatória Discreta e Valor Esperado 
 
01) Calcule a média µ ou E(X), a variância (σ2) e o desvio padrão (σ) das distribuições de probabilidades 
das variáveis aleatórias abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Um jogador lança três moedas não-viciadas. Ganha R$6,00 se aparecerem somente caras; perde 
R$2,00 se aparecerem somente coroas; ganha R$2,00 se aparecerem duas caras e perde R$3,00 se 
aparecerem duas coroas. Qual a esperança matemática do jogo? 
03) Um jogador lança 2 moedas não-viciadas. Ele ganha R$5,00 se ocorrerem duas caras; R$2,00 se 
ocorrer uma cara e R$1,00 se não ocorre cara. 
 X: 2 4 7 9 a) 
P(X): 0,1 0,6 0,2 0,1 
 Y: -1 0 1 3 b) 
P(Y): 2/5 1/5 1/5 1/5 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 26 
 
a) Ache seu ganho esperado. 
b) Qual o valor máximo deve pagar para jogar de modo que ele não tenha prejuízo? 
 
04) Uma indústria fabrica rodas de carro que podem apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro defeitos, 
com probabilidades de 86%, 6%, 3%, 3% e 2%, respectivamente. O preço de venda de uma roda perfeita 
é R$50,00 e, à medida que apresente defeitos, o preço cai 40% para cada defeito apresentado. Qual é a 
esperança do preço médio de venda dessas rodas? 
 
05) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória 
com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
 
 T: 2 3 4 5 6 7 
P(T): 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
 
a) Calcule o tempo médio de processamento. 
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$2,00. Mas, se ele processa a peça em 
menos de 6 minutos, ganha R$0,50 por cada minuto poupado. Encontre a distribuição e a média da 
variável aleatória G: quantia em R$ ganha por peça. 
 
06) O consumo agregado é dado pela equação W = 1,7 + 0,6X, onde a renda disponível, X, é uma 
variável aleatória com valor esperado de 80 e variância de 6. O valor esperado e a variância do consumo, 
W, seriam respectivamente: (Faça os cálculos apropriados) 
 
a) 49,7 e 2,16 b) 49,7 e 2,30 c) 49,7 e 3,86 d) 49,7 e 5,30 e) 49,7 e 17,18 
 
07) Os pais de uma estudante prometeram-lhe uma recompensa de US$100 se ela obtiver conceito A em 
Estatística, US$50 se obtiver B, mas nenhuma recompensa nos demais casos. Qual é a sua esperança 
matemática se as probabilidades de ela obter A ou B são, respectivamente, 0,32 e 0,40? 
 
08) As probabilidades das pessoas que entram em um supermercado para comprarem 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 
produtos são: 0,24; 0,31; 0,22; 0,15; 0,06 e 0,02, respectivamente. Qual a esperança matemática do 
número de produtos comprados? 
 
09) Uma máquina fabrica placas de aço que podem apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro defeitos, 
com probabilidades de 85%, 5%, 4%, 3% e 3%, respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita 
é de R$20,00 e, à medida que apresenta defeitos, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual é a 
esperança do preço médio de venda dessas placas? 
 
10) Desenham-se círculos concêntricos de 1 e 3 centímetros de raio num alvo circular de 5 centímetros de 
raio. Um homem ganha 10, 5 ou 3 pontos (veja a figura abaixo) conforme atinja o alvo no círculo menor, 
no do meio ou no de fora, respectivamente. Suponha que atinja o alvo com probabilidade ½. Ache o 
número esperado de pontos que esse homem obtém. 
 
 
 
 
 
 
 3 5 10 
 
 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 27 
 
 
11) Uma amostra de 3 objetos é escolhida aleatoriamente de uma caixa contendo 12 objetos, dos quais 3 
são defeituosos. Ache o número esperado deobjetos defeituosos. 
 
 
9 – VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
 
Uma variável aleatória é contínua em R se existir uma função f(x), tal que: 
 
1. f(x) ≥ 0 (não negativa) 
 
2. ∫
∞
∞−
= 1)( dxxf 
 
A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade. 
Definições: 
 
a) ∫
∞
∞−
= dxxxfXE )()( 
 
b) { }∫
∞
∞−
⋅−= dxxfXExXVAR )()()( 2 
 
ou, equivalentemente: }{ 22 )()()( XEXEXVAR −= 
 
onde: ∫
∞
∞−
⋅= dxxfxXE )()( 22 
 
10 – MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDA DE: DISTRIBUIÇÃO 
BINOMIAL 
 
10.1 – Características do modelo 
 
� Nº. fixo de ensaios ou provas 
� Provas ou ensaios independentes 
� Dicotomia: Sucesso (S) e Fracasso ou Falha (F). P(S) = p e P(F) = 1 – p = q. De modo que: p + q = 1. 
� Probabilidade de sucesso (p) e falha (q) constantes. 
 
10.2 – Função de distribuição de probabilidade 
xnx qp
x
n
xXPxf −⋅⋅





=== )()( 
 
 
Onde: x = 0, 1, 2, 3, ... , n e 
)!(!
!
xnx
n
x
n
−
=





 e onde n e p são os parâmetros da distribuição 
 
 
É comum a notação: );(~ pnbX que quer dizer: X possui distribuição binomial com parâmetros n e p. 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 28 
 
10.3 – Média, variância e desvio padrão de uma distribuição binomial 
pn ⋅=µ 
qpn ⋅⋅=2σ 
qpn ⋅⋅=σ 
 
Exemplos 
 
1) Uma prova tem 12 questões do tipo múltipla escolha com 5 alternativas de resposta das quais apenas 
uma é correta. Um aluno responde ao acaso as questões (chuta). Determine a probabilidade de que 
acerte: 
a) No máximo duas questões. 
b) Exatamente sete questões. 
c) Pelo menos uma questão. 
 
2) Os artigos produzidos por uma fábrica são defeituosos com probabilidade 0,05. a fábrica os vende em 
pacotes de 10 e garante que um pacote contém, no máximo, um artigo defeituoso, caso contrário ela 
troca o pacote vendido. Qual a probabilidade de que ela troque um determinado pacote. 
 
 
 
11 – MODELO DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDA DE: DISTRIBUIÇÃO 
NORMAL 
 
11.1 – Características do modelo: 
 
- A média µ (lê-se: mi) e o desvio padrão σ (lê-se: sigma) são os parâmetros da distribuição. 
- A curva é SIMÉTRICA. 
- A área total sob a curva é igual a UM. 
 
 
 
11.2 – Ilustrações da curva normal: 
 
 Figura l 
µ µ+σ µ+3σ
µ+2σ
µ-σ
µ-2σ
µ-3σ
X
X - µ
 σ
0 1 2 3-1-2-3
Z
 
 
 
 
 
 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 29 
 
Figura 2 
a b
P(a<X<b)
 
 
 
11.3 – Função densidade de probabilidade 
 
2
2
1
2
1
)(





 −−
= σ
µ
πσ
x
exf , para - ∞ < x < + ∞ 
Para calcular a probabilidade da figura 2, ou seja, a área entre a e b, devemos fazer: 
 
( )
( )
∫
−−
=≤≤
b
a
x
dxebXaP
2
2
2
2
1 σ
µ
πσ
, que apresenta um grau relativo de dificuldade. 
 
 
11.4 – Variável normal padrão ou reduzida (Z) 
 
 
Refere-se à variável aleatória X em uma nova escala. Ou seja, padroniza-se a variável X da seguinte 
forma: 
 
 
 
 Onde µ é a média populacional e σ é o desvio padrão populacional. 
 Esta nova variável tem média 0 (zero) e desvio padrão 1 (um). 
 
 
11.5 – Cálculo de probabilidade utilizando a tabela de distribuição normal 
 
a) P(Z < 2,17) = 
b) P(Z < - 1,96) = 
c) P(Z > 1,63) = 
d) P(Z > - 2,37) = 
e) P(- 1,27 < z < 1,37) = 
f) P(0,53 < Z < 1,56) = 
g) P(Z < - 3, 47) = 
h) P(Z > 3,89) = 
 
11.6 – Exemplos sobre distribuição normal 
 
1) Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. 
Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota: 
a) menor que 70 b) Maior que 120 c) entre 85 e 115 
σ
µ−= XZ 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 30 
2) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão 40 dias. 
Supondo a distribuição normal, calcule a probabilidade de esse componente durar: 
 a) entre 700 e 1000 dias b) mais de 800 dias c) menos de 750 dias 
3) Uma distribuição normal tem média µµµµ=62,4. Determinar σσσσ se 0,33 da área sob a curva estão à direita 
de 79,2. 
4) Em um exame de estatística a nota média foi 70, com desvio padrão 4,5. Todos os alunos com notas 
75 a 89 receberam conceito B. Se as notas possuem distribuição normal e se 10 alunos obtiveram 
conceito B, quantos fizeram o exame? 
5) Um exame apresenta distribuição normal. Sabe-se que as notas 70 e 82 correspondem aos valores 
padronizados de −0,85 e 2,58, respectivamente. Caracterize essa distribuição, isto é, encontre µµµµ e σσσσ. 
 
 
EXERCÍCIOS – LISTA 03 – Distribuição binomial e distribuição normal 
 
Parte I – Distribuição Binomial 
 
1) Uma amostra de 15 peças é extraída de um lote que contém 10% de peças defeituosas. Calcule a 
probabilidade de que: 
a) O lote não contenha peça defeituosa 
b) O lote contenha exatamente três peças defeituosas 
2) O lote contenha pelo menos uma peça defeituosa 
3) O lote contenha de três a seis peças defeituosas. 
 
2) Calcule o valor esperado e o desvio padrão para o número de peças defeituosas na amostra do 
problema anterior. 
 
3) 03) Em determinada cidade, as despesas médicas são consideradas como responsáveis por 60% de 
todas as falências pessoais. Qual é a probabilidade de as despesas médicas serem apontadas como 
responsáveis por quatro das próximas seis falências pessoais naquela cidade? 
 
4) 04) Uma pessoa que subscreve certo tipo de apólice de seguro de vida tem 0,30 de probabilidade de 
deixá-la caducar dentro de cinco anos. De oito pessoas que subscrevem esse tipo de apólice, qual é a 
probabilidade de três delas deixarem-na caducar dentro de cinco anos? 
 
5) Se é verdade que 80% de todos os acidentes industriais podem ser evitados dando-se estrita atenção às 
normas de segurança, ache a probabilidade de que quatro entre sete acidentes industriais possam ser 
evitados. 
 
6) Um estudo mostra que 50% das famílias residentes em uma grande área metropolitana têm ao menos 
dois carros. Determine as probabilidades de que, dentre 16 famílias selecionadas aleatoriamente 
naquela área, exatamente 9 tenham ao menos dois carros. 
 
7) Uma cooperativa agrícola afirma que 95% das melancias vendidas por ela estão maduras e prontas 
para consumo. Determine as probabilidades de que, dentre 18 melancias despachadas, 
 
a) todas as 18 estejam maduras e prontas para consumo; 
b) pelo menos 16 estejam maduras e prontas para consumo; 
 
8) Sabe-se que 20% das pessoas que tomam determinado remédio ficam sonolentas em 2 minutos. 
Determine as probabilidades de que, dentre 14 pessoas que tomam o remédio, no máximo duas fiquem 
sonolentas dentro de 2 minutos. 
 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 31 
9) Admite-se que dois quintos dos adultos de certa região sejam alfabetizados. Nestas condições, qual é a 
probabilidade de que, entre cinco adultos escolhidos ao acaso: 
 
a) dois sejam alfabetizados b) mais de dois sejam alfabetizados? 
 
10) Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e de boa saúde. 
De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa da idade desses assegurados 
esteja viva daí a 30 anos é 2/3. Calcular a probabilidade de que, passados 30 anos, todas as cinco 
estejam vivas. 
 
 
Parte II – Distribuição normal 
 
1) O levantamento do custo unitário de produção de um item de uma empresa revelou que sua 
distribuição é normal com média R$ 50,00 e desvio padrão R$ 4,00. Se o preço de venda unitário 
desse produto é de R$ 60,00, qual a probabilidade de uma unidade desse item, escolhida ao acaso, 
ocasionar prejuízo à empresa? 
2) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300 horas 
e desvio padrão 20 horas. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 horas para uma das 
unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade? 
 
3) Uma variável aleatória distribui-se normalmente com média 80 e variância 9. Calculeo intervalo 
central que contém: 
a) 50% dos valores b) 95% dos valores c) 68% dos valores 
 
4) Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostraram que o lucro realizado distribui-se 
normalmente com média R$ 48.000,00 e desvio padrão R$ 8.000,00. Qual a probabilidade de que: 
 
a) Na próxima semana o lucro seja maior que R$ 50.000,00? 
b) Na próxima semana o lucro esteja entre R$ 40.000,00 e R$ 45.000,00? 
c) Na próxima semana haja prejuízo? 
 
5) O departamento de Marketing de uma empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais 
eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam 
normalmente com média R$ 240.000,00 e desvio padrão R$ 30.000,00. Qual o volume mínimo de 
vendas que um vendedor deve realizar para ser premiado? 
 
6) Um fabricante sabe que a resistência dos resistores que produz tem distribuição normal com média 
igual a 100 ohms e desvio padrão 2 ohms. Que percentagem de resistores terá resistência: 
 
a) entre 98 e 102 ohms? b) maior do que 95 ohms? 
 
7) O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino é 75 kg. Admite-se que esta variável tem 
distribuição normal e desvio padrão igual a 6 kg. Determine o número esperado de estudantes no 
grupo: 
 
a) com mais de 81 kg b) cujo peso esteja entre 69 e 81 kg. 
 
8) Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso com desvio padrão de 3 
kg. Admite-se a distribuição normal nesta situação. 
 
a) Se a máquina for regulada para um peso médio de 60 kg, qual a probabilidade de obter sacos com 
menos de 55 kg? 
 
Apostila elaborada pelo prof. Jorge Santana - Estatística 
 32 
b) Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas 10% tenham menos de 60 kg? 
 
9) Suponha que as notas de um exame são normalmente distribuídas com a média 76 e desvio padrão 15. 
Sabe-se que 15% dos estudantes mais adiantados recebem a nota A e 10% dos mais atrasados recebem 
a nota F. Encontre: 
 
a) o grau mínimo para receber um A 
b) o grau mínimo para passar (não receber um F). 
 
10) Um exame apresenta distribuição normal. Sabe-se que as notas 75 e 88 correspondem aos valores 
padronizados de -0,4 e 1,3, respectivamente. Caracterize essa distribuição. Isto é, determine a média 
(µ) e o desvio padrão (σ).