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�� Revista de F��sica Aplicada e Instrumenta�c�ao� vol� ��� no� �� junho� �		
Projeto de um calor��metro utilizando o
m�etodo de relaxa�c�ao t�ermica
L�S� Azechi� R�F� da Costa� A�N�Medina e F�C�G� Gandra
Departamento de Eletr�onica Qu�antica
Instituto de F��sica �Gleb Wataghin� � UNICAMP
���	��
��� Campinas� SP� Brasil
Recebido em �� de mar�co� ����
Descrevemos neste trabalho o projeto de um calor��metro apropriado para pequenas amostras
e de f�acil implementa�c�ao para qualquer intervalo de temperatura� O m�etodo de medida �e
baseado na relaxa�c�ao t�ermica da amostra� ou seja� no fato de que sua temperatura tende
a igualar�se 	a de suas vizinhan�cas ap�os a aplica�c�ao de um pulso de calor� Descrevemos o
m�etodo� bem como a aparelhagem utilizada e mostramos alguns resultados� os quais com�
provam a sua e
ci�encia�
In this work a speci
c heat apparatus based on the sample thermal relaxation method
is presented� The system is designed for small samples and can be implemented for any
temperature range� A full description of the system is given together with some results
which ensure the capability of the method�
I� Introdu�c�ao
Medidas de calor espec��
co em fun�c�ao da tempe�
ratura se constituem em uma das mais importantes me�
didas existentes em �bulk
 devido 	a grande quantidade
de informa�c�oes que podem ser extra��das� No estudo
de metais� por exemplo� podemos determinar a den�
sidade de estados eletr�onica no n��vel de Fermi� obter
informa�c�oes sobre a rede �fonons�� estudar transi�c�oes
�magn�eticas� supercondutoras� estruturais�� determinar
par�ametros de campo cristalino������ etc� Justi
ca�se�
portanto� todo o esfor�co dedicado ao desenvolvimento
de um calor��metro�
A escolha do m�etodo de medida depende basica�
mente da faixa de temperatura de interesse� da quanti�
dade de amostra� da precis�ao e da sensibilidade deseja�
das� O m�etodo de relaxa�c�ao��� �e bastante conveniente
para pequenas amostras �desde �mg�� apresentando boa
precis�ao �ao redor de ��� e �e poss��vel implement�a�lo
para qualquer intervalo de temperatura� Esta t�ecnica
substitui com vantagens a t�ecnica adiab�atica conven�
cional� a qual funciona melhor em baixas temperatu�
ras ����K� e necessita de um bom isolamento t�ermico�
algo n�ao muito simples de se conseguir em temperaturas
criog�enicas�
Neste trabalho descrevemos um calor��metro� base�
ado no m�etodo de relaxa�c�ao� implementado para medi�
das em baixa temperatura �����T��� K� e amostras
com massa entre � e ��� mg�
II � O M�etodo de Relaxa�c�ao
O m�etodo de relaxa�c�ao foi utilizado em v�arias
con
gura�c�oes de calor��metros������ Essencialmente� o
m�etodo consiste na an�alise da varia�c�ao da temperatura
da amostra em fun�c�ao do tempo� ap�os a aplica�c�ao de
um pulso de calor� Para descrever o m�etodo vamos
considerar o diagrama ilustrado na 
gura �� Um subs�
trato� composto por suporte de amostra� aquecedor e
sensor de temperatura� �e sustentado por 
os presos a
um reservat�orio t�ermico� Estes 
os s�ao tamb�em utiliza�
dos para conduzir corrente para o aquecedor do subs�
trato e ir�ao ainda conduzir calor do substrato para o
reservat�orio� O sistema� composto pelo reservat�orio
L� S� Azechi et al� ��
t�ermico mais substrato� encontra�se dentro de um re�
cipiente onde se faz v�acuo de isolamento� Supomos o
sistema inicialmente a uma temperatura uniforme T��
A seguir ligamos uma corrente constante I� a qual dis�
sipa uma energia E por efeito Joule no aquecedor que
se encontra preso ao substrato� Parte desta energia ser�a
absorvida pelo substrato �Eabs�� aquecendo�o� de modo
que sua temperatura passa a ser T �t� � T�� Devido 	a
diferen�ca de temperatura entre substrato e reservat�orio
de calor� os 
os passam a conduzir energia Econ� As�
sim� desprezando perdas de calor por convec�c�ao� pois
o sistema est�a em v�acuo� e irradiac�ao� pois T �t� ser�a
sempre apenas um pouco maior que T��� ���K�� tere�
mos E � Eabs�Econ� Derivando com rela�c�ao ao tempo
teremos P � Pabs � Pcon� A pot�encia conduzida pelos
os �e dada por�
Pcon �
X
i
�i�T �t�� T�� � ��T ���
onde �i �e a condut�ancia de cada 
o� � �e a condut�ancia
t�ermica total e �T �e de
nido como sendo T �t�� T��
Figura �� Diagrama esquem�atico de um calor��metro mos	
trando um substrato preso a um reservat�orio t�ermico 
R��
Os 
os de sustenta�c�ao 
F� tamb�em conduzem corrente para
o aquecedor 
H� e calor para o reservat�orio 
R�� O suporte de
amostra 
S� juntamente com o sensor de temperatura 
T� e
o aquecedor formam o substrato� que permanece em v�acuo e
fechado por uma capa externa 
C�� Todo este �sistema� esta
em banho de He l��quido�
A pot�encia absorvida pelo substrato �e dada por�
Pabs � C
d
dt
�T � T�� � C
d
dt
�T ���
onde C �e a capacidade t�ermica do substrato� conside�
rada constante durante o processo�
Assim teremos
P � C
d
dt
�T � ��T ���
	A medida que o substrato absorve energia� �T au�
menta e� consequentemente� maior �e a quantidade de
energia conduzida para o reservat�orio de calor� Ap�os
um tempo su
cientemente longo� toda a energia forne�
cida ao substrato ser�a conduzida pelos 
os e a tempe�
ratura do substrato 
car�a est�avel� Teremos ent�ao�
P � ��Tmax ���
Se nesse instante �de
nido como sendo t � �� des�
ligamos a corrente� os 
os conduzir�ao apenas a energia
que 
cou acumulada no substrato� Assim a tempera�
tura T diminuir�a gradativamente at�e que chegue em
T � T�� Como I � � temos P � � e a equa�c�ao ��� 
ca�
C
d
dt
�T � ��T � � ���
A solu�c�ao desta equa�c�ao diferencial� com a condi�c�ao
�T ��� � �Tmax �e dada por�
�T � �Tmaxe
�t�� ���
onde de
nimos � � C���
Assim� conhecendo a pot�encia dissipada no subs�
trato e medindo a diferen�ca de temperatura m�axima
�Tmax obtemos a condut�ancia t�ermica � usando a
equa�c�ao �� Uma vez de posse da curva experimental
de decaimento �T �t� � t podemos determinar o valor
da constante de tempo � pelo ajuste com a express�ao
���� Desse modo determinamos a capacidade t�ermica
C do substrato dada por�
C � �� �
�P
�Tmax
���
III� Montagem Experimental
O projeto de um substrato adequado� composto de
suporte de amostra� aquecedor e sensor de tempera�
tura �e o passo mais importante na elabora�c�ao de um
calor��metro� Os dois fatores principais s�ao o valor da
capacidade t�ermica do substrato e sua depend�encia com
a temperatura� A capacidade t�ermica do substrato deve
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ser sempre a menor poss��vel dentro do intervalo de tem�
peratura de interesse� pois desejamos que a contribui�c�ao
da amostra 	a capacidade t�ermica total �substrato �
amostra� seja predominante� Assim a escolha apropri�
ada de um suporte de amostra �e fundamental� A 
gura
� mostra dados de calor espec��
co de alguns materiais�
Se o intervalo de temperatura de interesse for abaixo de
��� K ent�ao� dentre os materiais na 
gura �� a sa
ra pa�
rece ser o material mais adequado� Acima disso a prata
aparentemente �e melhor� mas nesse caso surgem di
cul�
dades como� por exemplo� isolar eletricamente o sensor
de temperatura do aquecedor� Observamos que a gran�
deza importante �e� na verdade� a capacidade t�ermica
do substrato de modo que talvez o alum��nio� por exem�
plo� possa ter melhor desempenho que a prata� depen�
dendo das respectivas massas utilizadas� �E necess�ario
veri
car qual a menor dimens�ao f��sica poss��vel que se
consegue com cada material� medir sua massa� calcular
a capacidade t�ermica� veri
car sua resist�encia mec�anica
para� s�o ent�ao� comparar� Obviamente� o material que
tiver a menor capacidade t�ermica no intervalo de tem�
peratura desejado �e o melhor candidato a suporte de
amostra� Al�em disso deve�se considerar tamb�em a con�
dutividade t�ermica desses materiais� que deve ser a mais
alta poss��vel� Se o material utilizado possui baixa con�
dutividade t�ermica o tempo de relaxa�c�ao interno��� po�
der�a ser signi
cativo com rela�c�aoao tempo de relaxa�c�ao
da amostra� ocasionando um efeito de relaxa�c�ao multi�
pla� Al�em disso� um substrato com boa condutividade
t�ermica permite o aquecimento uniforme da amostra�
Outros materiais� al�em dos aqui mencionados� devem
ser pesquisados e talvez utilizados� dependendo da con�
veni�encia e disponibilidade�
A escolha do sensor de temperatura depender�a
muito do intervalo de temperatura desejado e tamb�em
da sensibilidade do equipamento de leitura dispon��vel�
�E necess�ario que o sensor seja o menor poss��vel e� muito
importante� que o contato t�ermico com o suporte de
amostra seja e
ciente� Com rela�c�ao ao aquecedor� a
melhor op�c�ao �e evaporar um 
lme resistivo numa das
faces do suporte de amostra�
Um outro ponto de extrema import�ancia �e a pre�
cis�ao do controle de temperatura do reservat�orio de
calor� sem o qual n�ao h�a a menor possibilidade de se
construir um calor��metro� �E necess�ario um� controla�
dor com capacidade para estabilizar a temperatura em�
pelo menos� d�ecimos de �Tmax�
Figura �� Dados de calor espec��
co 
tirados da literatura����
de alguns materiais apropriados para projetos de substrato�
Na 
gura � mostramos um esquema detalhado do
substrato utilizado na nossa montagem� O substrato �e
composto por uma lamina de sa
ra ��� ��� ��� mm�
sobre a qual evaporamos um 
lme de n��quel�cromo �es�
pessura ���� �A� numa das faces e alum��nio ������
�A� na outra� O 
lme de n��quel�cromo �e o elemento
resistivo que dissipa pot�encia no substrato� Para su�
portar o substrato� utilizamos quatro 
os de manganin
����Cu� ���Mn� ��Ni�� presos 	as ranhuras feitas no
substrato em cada extremidade� mas ligados eletrica�
mente ao 
lme de Ni�Cr� Deste modo� usamos dois
os para conduzir a corrente e os outros dois para ler a
ddp resultante e determinar a pot�encia dissipada P� Es�
ses 
os s�ao ainda os elementos que conduzem calor do
substrato para o reservat�orio de calor� Salientamos aqui
a import�ancia destes 
os com rela�c�ao ao intervalo de
temperatura desejado� Em baixas temperaturas o calor
espec��
co costuma ser muito pequeno �ordens de gran�
deza menor que em temperatura ambiente�� Isto faz
com que a constante de tempo � �� C��� seja tamb�em
muito pequena� Ent�ao a utiliza�c�ao de 
os com uma
certa resist�encia t�ermica faz�se necess�aria para que a
constante de tempo seja mensur�avel� Por exemplo� com
os de cobre de di�ametro � � ���m� � 
cou ao redor
de �� ms em T���� K� sendo que o menor intervalo
de tempo para aquisi�c�ao com o equipamento utilizado
na sua escala mais sens��vel �e de ��ms� Para aumen�
tar a constante de tempo utilizamos 
os de manganin
�� � ���m�� cuja condutividade t�ermica �e cerca de
L� S� Azechi et al� ��
trinta vezes menor que a do cobre em ��� K �a uti�
liza�c�ao de g�as em baixa press�ao ao inv�es de v�acuo �e
descartada porque tamb�em reduz muito o tempo de de�
caimento�� Em temperaturas maiores onde � passa a
ser muito alto� pois a capacidade t�ermica C 
ca grande�
�e conveniente usar 
os bons condutores de calor para
diminuir o tempo de aquisi�c�ao que pode tornar�se proi�
bitivamente grande� gerando dois problemas� �i� a di�
culdade em manter a temperatura do reservat�orio de
calor constante ao longo do tempo de aquisi�c�ao e �ii� um
tempo de aquisi�c�ao por demais demorado� Se � for da
ordem de �� s entao a aquisi�c�ao demorar�a pelo menos
��� s� pois devemos tomar pontos em toda a exponen�
cial de modo a obter um bom ajuste� Al�em disso h�a o
tempo necess�ario para a estabilizac�ao de temperatura
do reservat�orio t�ermico e o tempo de aquecimento do
substrato ���� ��
Figura �� Detalhe do substrato utilizado em nossa mon	
tagem� Foram depositados 
lmes de Al e Ni	Cr sobre as
superf��cies do suporte de sa
ra 
S�� O termopar 
T� Au�Fe	
Cromel �e soldado com ��ndio ao 
lme de Al e os 
os de sus	
tenta�c�ao 
F� s�ao ligados eletricamente ao 
lme de Ni	Cr por
meio de tinta prata 
P��
Sobre o 
lme de alum��nio� na outra face do subs�
trato� 
xamos uma jun�c�ao de um termopar �Au�Fe
����� Cromel� usando ��ndio como elemento adesivo� A
outra jun�c�ao 
xamos no reservat�orio de calor tamb�em
com ��ndio� de modo que podemos determinar a dife�
ren�ca de temperatura entre suas jun�c�oes �T �t� a cada
instante�
Na 
gura � mostramos o esquema da montagem do
substrato dentro do reservat�orio t�ermico �e recipiente
de v�acuo� e na 
gura � o sistema de aquisi�c�ao com�
pleto� O calor��metro �e inserido dentro de um crios�
tato em banho de h�elio� que pode ser bombeado per�
mitindo a obten�c�ao de temperaturas entre ��� e ���K�
O reservat�orio t�ermico �e ligado ao recipiente externo
que permanece na temperatura do banho de He� por
uma haste met�alica �H na 
g� �� que denominamos
v��nculo t�ermico� Este deve ser ajustado de forma a
permitir que o reservat�orio t�ermico atinja a tempera�
tura do banho mas tamb�em que o controlador de tem�
peratura consiga elevar sua temperatura com n��vel de
pot�encia adequado� No controle de temperatura do re�
servat�orio t�ermico utilizamos um sensor calibrado tipo
�carbon�glass
� CGR ����� acoplado a um controlador
de temperatura da Lake Shore� O v�acuo no interior do
recipiente �� � � ���� torr� foi feito com uma bomba
turbomolecular Edwards� modelo EXP�� �embora ou�
tros sistemas de bombeamento possam ser utilizados�
e a veda�c�ao com �o�ring
 de ��ndio� Atrav�es de inter�
face GPIB automatizamos todo o sistema de aquisi�c�ao�
desenvolvendo programas pr�oprios em linguagem basic�
Figura �� Esquema da montagern atual do calor��metro� Os

os s�ao todos ancorados termicamente 
em T����� K� no
poste de ancoramento 
I� antes de sairem do sistema� A	
camisa de v�acuo� B	�shield� interno� C	substrato� D	v�acuo
de isolamento� E	 reservat�orio t�ermico� F	sensor de tem	
peratura CGR����� G	 aquecedor do reservat�orio t�ermico�
H	v��nculo t�ermico� J	 anel de veda�c�ao de ��ndio�
�� Revista de F��sica Aplicada e Instrumenta�c�ao� vol� ��� no� �� junho� �		
Figura �� Diagrama de liga�c�ao do equipamento eletr�onico
e do criostato� A	 controlador de temperatura Lake
Shore� mod� DRC �� CA� B	fonte de corrente Keit	
hley� mod����� C	nanovolt��metro Keithley� mod����� D	
nanovolt��metro Keithley� mod����� E	computador ���sx� F	
criostato de h�elio� G	cabe�ca do calor��metro� H	sa��da para
bomba de v�acuo� I	recupera�c�ao de h�elio� J	 reservat�orio de
He l��quido�
IV� Resultados
Na 
gura �a mostramos uma curva de decaimento
de �T�t com ��� pontos para o substrato de sa
ra des�
crito acima� Um ajuste desta curva nos fornece � � ����
s e �Tmax � ���� K com erro de ��� A pot�encia dissi�
pada no aquecedor foi de P����� �W� Assim a capaci�
dade t�ermica do substrato em T��� K �e� de acordo com
a rela�c�ao ��� acima� Csub � ����� ��
�� J�K com erro
de ����� Na 
gura �b mostramos uma curva para o
mesmo substrato mais amostra de alum��nio �m�������
mg� que foi colada com pequena quantidade de tinta
prata sobre o 
lme de alum��nio� Neste caso a capa�
cidade t�ermica total �e Ctot � ���� � ���� J�K� Deste
modo o calor espec��
co do alum��nio em T��� K �e�
c �
Ctot � Csub
m
� ����� ����J�gK ����� ���
Na literatura��� encontramos o valor c � ���� �
����J�gK� A concord�ancia �e bastante satisfat�oria�
apresentando uma diferen�ca de �����
Figura �� 
a� curva de decaimento da diferen�ca de tempe	
ratura entre substrato de sa
ra e reservat�orio t�ermico em
fun�c�ao do tempo� A curva cont��nua representa o ajuste ob	
tido e os par�ametros de ajuste s�ao determinados com erro
da ordem de ��� 
b� decaimento obtido para o mesmo
substrato com amostra de ������mg Al� No inset o gr�a
co
mono	log comprova a linearidade deste decaimento� As duas
curvas foram obtidas a T�lOK�
Para testar o sistema em fun�c�ao da temperatura
utilizamos uma amostra de alum��nio �m������� mg�
no substrato e medimos a capacidade t�ermica desse
conjunto �substrato�amostra�� Acima de ��K� por�em�
o tempo de relaxa�c�ao 
cavamuito grande tornando
demasiado demoradas as aquisi�c�oes� Optamos ent�ao
por reduzir a massa da amostra de alum��nio para
m������mg� Com isso a capacidade t�ermica do con�
junto substrato � amostra 
cava menor e consequen�
temente o tempo de relaxa�c�ao � tamb�em� tornando as
medidas acima de �� K vi�aveis� Descontando a capaci�
dade t�ermica do substrato medida pr�eviamente �
gura
�a� deste total e dividindo o resultado pela massa da
amostra �ou seja� aplicando a rela�c�ao �� obtemos o ca�
lor espec��
co do alum��nio em fun�c�ao da temperatura�
Na 
gura �b mostramos a compara�c�ao dessa amostra
de alum��nio com dados de literatura���� evidenciando a
e
c�acia do m�etodo� Na 
gura �a temos uma medida
de calor espec��
co de uma 
ta de ni�obio� tratado ter�
micamente por � dias a ����C� mostrando a transi�c�ao
supercondutora em Tc � ��� K� Esses dados est�ao de
acordo com dados de literatura obtidos por Bachmann
et al���� Na 
gura �b temos umamedida de Ce�Al o qual
possui uma transi�c�ao antiferromagn�etica em aproxima�
damente � K� de acordo com dados de calor espec��
co
medidos por Suzuki et al�	��
L� S� Azechi et al� ��
Figura �� 
a� Capacidade t�ermica do substrato de sa
ra
em fun�c�ao da temperatura� 
b�	 � Compara�c�ao dos valo	
res obtidos para o calor espec��
co de alum��nio com valo	
res da literatura� Aqui usamos duas amostras� uma com
massa m������� mg para ����T��� K e outra com massa
m������ mg para ���T��� K�
Figura �� 
a� calor espec��
co de ni�obio onde destacamos a
transi�c�ao supercondutora em aproximadamente ��� K� mos	
trada em detalhes no inset� 
b� 	 calor espec��
co de Ce�Al
onde se observa uma transi�c�ao antiferromagn�etica em T ���
K 
em detalhe no inset�� em concord�ancia com dados de
Suzuki et al����
V� Conclus�ao
Desenvolvemos um calor��metro baseado no m�etodo
de relaxa�c�ao t�ermica� o qual funciona muito bem em
temperaturas baixas como mostram os resultados� O
calor��metro �e su
cientemente sens��vel a varia�c�oes no va�
lor do calor espec��
co tornando poss��vel a detec�c�ao de
transi�c�oes de v�arios tipos� A precis�ao �e melhor que ��
e a repetibilidade �e de aproximadamente ��� A imple�
menta�c�ao para temperaturas acima das aqui apresen�
tadas �e muito simples� bastando basicamente a troca
dos 
os de manganin que sustentam o substrato por
os com maior condutividade t�ermica como cobre� por
exemplo� Pode�se tamb�em controlar o tempo de re�
laxa�c�ao pela quantidade de amostra utilizada�
Uma vez dominada� a t�ecnica de relaxa�c�ao t�ermica
apresenta�se como uma das t�ecnicas mais vers�ateis sim�
pli
cando a dif��cil tarefa de medir calor espec��
co de
materias em fun�c�ao da temperatura� O m�etodo se mos�
tra muito e
ciente mesmo para medidas muito peque�
nas de capacidade t�ermica na regi�ao de baixa tempera�
tura� A contribui�c�ao do material utilizado para prender
a amostra no suporte pode ser avaliada e �e desprez��vel
no caso de tinta prata ou pasta t�ermica em pequena
quantidade� A montagem permite ainda medidas em
amostras na forma de p�o� bastando desenvolver um es�
quema adequado para prender a amostra junto ao su�
porte�
Agradecimentos
Este trabalho foi realizado com apoio 
nanceiro da
FAPESP� CNPq e FAEP�Unicamp� Os autores dedi�
cam este trabalho ao colega L�S� Azechi� falecido em ��
de fevereiro de �����
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Murashita and J� Sakurai� J� Magn� Magn� Mat�
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