2019-09-10_Comportamento mecânico_Métodos Matemáticos_ moodle

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A Matemática nos Ensaios 
Mecânicos de Tração, 
Compressão e Flexão
Materiais e Sustentabilidade
10/09/2019
Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnológico de Joinville
Programa de Pós-Graduação em 
Engenharia e Ciências Mecânicas
IMPORTÂNCIA DOS ENSAIOS 
MECÂNICOS DOS MATERIAIS 
E ESTRUTURAS
2
2
3
Introdução
“O projeto de máquinas e estruturas, de forma que elas
funcionem corretamente, exige que entendamos o
comportamento mecânico dos materiais que estão sendo
usados.”
“... a única maneira de determinar como os materiais se
comportam quando submetidos a cargas é executar
experimentos em laboratórios.”
(Fonte: Gere & Goodno, 2010, p. 10)
4
“Solicitações mecânicas em diferentes corpos”
Solicitações de tração, flexão, compressão e cisalhamento. 
(Fonte: Askeland & Phulé, 2008, p. 146) 
Introdução
3
5
Finalidade dos Ensaios dos Materiais
� Permitir a obtenção de informações rotineiras do
produto – ensaios de controle: no recebimento de
materiais de fornecedores e no controle final do
produto acabado;
� Desenvolver novas informações sobre os materiais –
no desenvolvimento de novos materiais, de novos
processos de fabricação e de novos tratamentos.
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 5)
6
Vantagens da Normalização dos 
Materiais e Métodos de Ensaios
� Tornar a qualidade do produto mais uniforme;
� Reduzir os tipos similares de materiais;
� Orientar o projetista na escolha do material adequado;
� Permitir a comparação de resultados obtidos em
diferentes laboratórios;
� Reduzir desentendimentos entre produtor e consumidor.
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 5)
4
7
Classificação dos Ensaios dos Materiais
1. Quanto à integridade geométrica e dimensional da peça
ou componente:
(i) destrutivos.
(ii) não-destrutivos.
2. Quanto à velocidade de aplicação da carga:
(i) estáticos.
(ii) dinâmicos.
(iii) carga constante.
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 5 e 6)
8
Organizações de Padronização
� British Standards Institution.
� American Society for Testing and Materials (ASTM) .
� American Standards Association (ASA).
� National Institute of Standards and Technology (NIST).
� Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
(Fonte: Gere & Goodno, 2010, p. 11)
5
ENSAIO MECÂNICO DE 
TRAÇÃO
9
10
Instrumento para Ensaio de Tração
Máquina de teste de tração com sistema automático de
processamento de dados. (Fonte: Gere & Goodno, 2010, p. 10)
6
11
Detalhes do Instrumento
Representação esquemática dos detalhes de uma máquina para
teste de tração. (Fonte: Shackelford, 2008, p. 122)
12
Corpos de prova, sendo em (a) teste de tração e em (b) teste
de compressão. (Fonte: Gere & Goodno, 2010, p. 10 e 11)
Corpos de Prova
(a) (b)
7
13
Corpo de Prova Padronizado
Um corpo de provas-padrão para ensaios de tração
com seção transversal circular.
(Fonte: Callister & Rethwisch, 2013, p. 131) 
Ensaio de Tração
14
Desenho esquemático da máquina de ensaio de tração. 
(Fonte: Meyers & Chawla, 1982, p. 2)
8
15
Exemplo de estado de tensão. Tensão uniaxial.
(Fonte: Meyers & Chawla, 1982, p. 30) 
Forma Especial do Tensor Tensão
Tensor para tensão uniaxial:









σ
000
000
00
16
Tensão
Diagrama de corpo livre. (Fonte: Dieter, 1988, p. 7)
∫σdA F
Condição de 
equilíbrio:
∫
∑
=−
=−
=
0
0
0
dAF
FF
F
resistivaaplicada
σ
9
17
Tensão Normal
0
 
0 
A
F
AdAF
dAF
t=σ∴σ=σ=
=σ−
∫
∫
Tensão normal ou axial (Pa) – razão entre a 
força normal ou longitudinal (N) e a área 
de seção transversal (m2).
continuando...
18
Deformação Normal
z
ziz
z
z
z
l
ll
l
l
0
0
0
−
=
∆
=ε
Deformação normal ou axial (adm.) – é o 
alongamento (m) por unidade de comprimento (m)
ou simplesmente:
0
0
0
l
ll
l
l i −=
∆
=ε
x
xix
x
x
x
l
ll
l
l
0
0
0
−
=
∆
=ε−
e
10
19
Lei de Hooke
Robert Hooke (1635-1703)
(Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Biografias/robert_hooke.php)
“Relação de proporcionalidade entre 
a tensão e deformação”
ε=σ E
E é o módulo de elasticidade
20
Curva Tensão vs. Deformação
Curvas Tensão vs. deformação no regime elástico. (a) metais e 
cerâmicos; e (b) borracha.(Fonte: Meyers & Chawla, 1982, p. 2.)
11
21
Módulo de Young ou
Módulo de Elasticidade
“...fornece uma indicação da rigidez do material e 
depende fundamentalmente das forças de ligação 
interatômicas, o que explica o comportamento 
inversamente proporcional à temperatura.”
lA
lF
E
∆
=
ε
σ
=
0
0
 
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 11) 
22
Curvas Tensão vs. Deformação
Curva tensão vs. deformação mostrando a deformação 
elástico linear. 
(Fonte: Callister & Rethwisch, 2013, p. 135)
12
23
Determinação do Módulo de Elasticidade
Alumínio 2024-T81. (esquerda) Carga vs. alongamento. 
(direita) Tensão vs. deformação. 
(Fonte: Shackelford, 2008, p. 123)
 
ε
σ
=E 
0
0
A
l
kE =
24
Curvas Tensão vs. Deformação
Curva tensão vs. deformação mostrando a deformação elástico 
não-linear. 
(Fonte: Callister & Rethwisch, 2013, p. 135)
13
Módulo de Elasticidade
25
Diagrama de barras para o módulo de elasticidade. 
(Fonte: Ashby & Jones, 2007, p. 36)
26
Comportamento Elasto-Plástico
Comportamento típico de metais. (a) limite de proporcionalidade. 
(b) limite de escoamento. 
(Fonte: Callister & Rethwisch, 2013, p. 140)
14
27
Limite de Escoamento
(a) Limite convencional de escoamento de 0,2% para o ferro
fundido cinzento. (b) Limites inferior e superior de escoamento
de um aço com baixo teor de carbono.
(Fonte: Askeland & Phulé, 2008, p. 155) 
28
Limite de Escoamento
Limite de escoamento de diferentes materiais. (Fonte:
Ashby & Jones, 1996; Apud Askeland & Phulé, 2008, p. 156)
15
29
Tensão vs. Deformação – Metais
Comportamento típico da curva tensão vs. deformação de 
engenharia até a fratura. 
(Fonte: Callister & Rethwisch, 2013, p. 141)
30
Curva Tensão vs. Deformação – Metais
Esboço de curva tensão-deformação convencional. 
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 8) 
16
ENSAIO MECÂNICO DE 
COMPRESSÃO
31
32
Ensaio de Compressão Longitudinal
Ensaio de compressão longitudinal em corpo-de-prova 
cilíndrico. Em geral materiais metálicos.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 47)
17
33
Ensaio de Compressão Transversal
Ensaio de compressão transversal em corpo-de-prova cilíndrico. 
Em geral materiais frágeis.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 47)
34
Ensaio de Compressão
Ensaio de compressão transversal em Ferro fundido cinzento.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 48)
18
35
Ensaio de Compressão
Ensaio de compressão transversal em Concreto.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 48)
36
Ensaio de Compressão Convencional
2
00
4
D
P
S
P
c
π
==σ
Tensão convencional: Deformação convencional:






−−=
−
=
∆
=
00
0
0
1
h
h
h
hh
h
h
εc
Volume da amostra permanece constante durante o ensaio.
h
D
h
D
44
2
0
2
0
π
=
π
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 48-49) 
VV =
0
Logo: Isolando D:






=
h
h
DD 02
0
2
19
37
Ensaio de Compressão
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 49)
Propriedades Mecânicas que podem ser estimadas
• Módulo de elasticidade (Módulo de Young – E):
grandeza física que é determinada no regime elástico
linear. Caso o material não exiba este comportamento
mecânico, esta deverá ser determinado pelo módulo
de secante ou tangente, analogamente ao ensaio de
tração.
• Tensão de escoamento (Limite de escoamento - LEC):
adota-se o mesmo procedimento do ensaio de tração,
ou seja, no eixo da deformação de 0,2% deformação,
constrói-se uma reta paralela à região elástica do
diagrama tensão-deformação.
38
Ensaio de Compressão
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 49)
Propriedades Mecânicas que podem ser estimadas
• Tensão máxima (Limite de resistência à compressão
– LRC): adota-se o mesmo procedimento do ensaio
de tração, ou seja, é o ponto máximo de tensão no
diagrama tensão-deformação convencional. É a razão
entre a carga máxima e aárea de seção transversal
inicial do corpo-de-prova.
• Dilatação transversal ( φ ): equivalente ao coeficiente
de estricção no ensaio de tração, e está relacionado
com a plasticidade do material.
0
0
S
SS f −
=φ
20
39
Ensaio de Compressão
Resultado do ensaio de compressão aplicado 
em um cilindro de cobre.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 50)
O cilindro foi fundido em 
condições de resfriamento 
lento, produzindo uma 
granulação grosseira.
O cilindro foi comprimido em 
cerca de 40% do seu 
comprimento original com 
uma carga de 588 N (60 kgf).
40
Ensaio de Compressão
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 51)
• A diminuição da razão ( h0 / D0 ) exige maiores
solicitações de carga para a deformação do corpo de
prova;
• Para minimizar a deformação não-uniforme e reduzir
o embarrilhamento, deve-se observar valores
elevados de ( h0 / D0 ). Na prática, esse valor é da
ordem de 3, sendo que maiores valores tendem à
flambagem;
• Para materiais dúcteis, a relação ( h0 / D0 ) varia de 3
a 8;
• Para materiais frágeis esta relação é de 2 a 3.
21
41
Ensaio de Compressão
Relação entre ( h0 / D0 ) para a curva carga-deformação.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 52)
Forte 
dependência da 
razão ( h0 / D0 )
42
Ensaio de Compressão
Curva tensão de compressão-deformação para materiais cristalinos.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 52)
Alguns 
materiais não-
cristalinos, 
como vidros e 
alguns 
polímeros, 
podem 
apresentar 
elasticidade 
linear
Elástico linear
22
43
Ensaio de Compressão
Curva tensão de compressão-deformação para elastômeros.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 53)
Elástico não-linear
44
Ensaio de Compressão
Curva tensão de compressão-deformação para madeira.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 53)
23
ENSAIO MECÂNICO DE 
FLEXÃO
45
46
Ensaio de Flexão
Ensaio de flexão em três pontos.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 103)
24
47
Ensaio de Flexão
Ensaio de flexão em quatro pontos.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 103)
48
Ensaio de Flexão
Curva resposta do ensaio de flexão.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 103)
25
49
Ensaio de Flexão
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 104)
50
Ensaio de Flexão
Curva resposta do ensaio de flexão.
(Fonte: Garcia et al., 2008, p. 103)
26
51
Flecha para Flexão por 3 Pontos
4
3
 3
 4
DE
lP
v
π
=Seção circular ⇒
Seção retangular ⇒
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 112) 
3
3
 4
 
hwE
lP
v =
v
l
DE
P
3
4
4
 3 π
=
v
l
hE
P
3
3
 w 4
=
Reescrevendo
Reescrevendo
52
Módulo de Elasticidade
Flexão por 3 pontos - seção retangular:
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 114) 
ASTM E855-90
Flexão por 4 pontos - seção retangular:
vhw
lP
E
 4 
 
3
3
=
( )
vhw
alaP
E
 4 
43 
3
22 −
=
27
53
Módulo de Ruptura
3
 
 8
D
lPmáx
fu
π
=σFlexão por 3 pontos - seção circular ⇒
(Fonte: Garcia, Spim e Santos, 2008, p. 114) 
ASTM E855-90
Flexão por 3 pontos - seção retangular ⇒
2
 2 
 3
hw
lPmáx
fu =σ
Flexão por 4 pontos - seção retangular ⇒
2
 
 3
hw
aPmáx
fu =σ
“Módulo de ruptura ou resistência ao dobramento é o
valor máximo da tensão de tração ou compressão nas
fibras externas do corpo-de-prova”
RESPONDER AS QUESTÕES 
PROPOSTAS NUMA DINÂMICA 
EM GRUPO
54
28
55
Bibliografia consultada
� Ashby, M. F.; Jones, D. R. “Engenharia de Materiais – Uma
Introdução a Propriedades, Aplicações e Projeto”, 3ª ed.,
Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
� Askeland, D. R.; Phulé, P. P. “Ciência e Engenharia dos
Materiais”, 1ª ed., São Paulo: Cengage Learning, 2008.
� Callister, W. D.; Rethwisch, D. G. “Ciência e Engenharia
dos Materiais: Uma Introdução”, 8ª ed., Rio de Janeiro:
LTC, 2013.
� Dieter, G. E. “Mechanical Metallurgy”, 3ª ed., London:
McGraw-Hill, 1988.
56
Bibliografia consultada
� Garcia, A.; Spim, J. A.; Santos, C. A. “Ensaios dos
Materiais”, 1ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2008.
� Gere, J. M.; Goodno, B. J. “Mecânica dos Materiais”, 7ª
ed., São Paulo: Cengage Learning, 2010.
� Meyers, M. A.; Chawla, K. K. “Princípios de Metalurgia
Mecânica”, 1ª ed., São Paulo: Edgard Blucher, 1982.
� Schackelford, J. F. “Ciência dos Materiais”, 6ª ed., São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.