Slides de Aula - Unidade II-ESTUDOS DISCIPLINARES 3

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ESTUDOS DISCIPLINARES 
Resolução de Problemas 
em Educação Matemática IIem Educação Matemática II
Profa. Ana Carolina Bueno
Média aritmética
 Em um levantamento realizado em maio 
dos 134 funcionários da empresa XK, em 
relação à variável expressa em unidades 
monetárias (u.m.), obteve-se a tabela 
abaixo. Determine a média.
S lá i Nº d f i á i
a) 4 salários.
Salário Nº de funcionários
2  4 32
4  6 34
6  8 40
8 10 28
a) 4 salários. 
b) 5 salários.
c) 6 salários.
d) 7 salários.
e) 8 salários.
Média aritmética
Salário Salário
(xi)
Nº de 
funcionários (fi)
Xifi
2  4 3 32 3x32 = 96
4  6 5 34 5x34 = 170
6  8 7 40 7x40 = 280
8  10 9 28 9 28 252
c) 6 salários.
 Média
8 10 9 28 9x28 = 252
Total N = 134
saláriosx 95,5
134
798
134
25228017096 
Média geométrica – área 
 MG entre dois números – ou segmentos – é a 
raiz quadrada do produto entre os dois:
 Exemplo 1: Dado um retângulo de lados com 
medidas 2 e 8, o quadrado que possui área 
i l à d tâ l é l j l d
 
igual à desse retângulo é aquele cujo lado 
mede: √2 · 8 ൌ √16 ൌ 4 
2
8
Fonte: www.alunosonline.com.br
Média geométrica –
triângulo retângulo
 Num triângulo retângulo, temos que a 
média geométrica das projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa é igual à 
altura relativa à hipotenusa.
Média geométrica –
triângulo retângulo
 A soma dos números correspondentes 
às medidas a, b, c e h no triângulo da 
figura abaixo formam uma senha que 
abre o cofre do senhor Adamastor.

 Qual a senha que abre o cofre do 
Adamastor?
 a) 124 b) 134 c) 174 
d) 144 e) n.d.a
Média geométrica –
triângulo retângulo
 Valor de h
 Valor de a
 Valor de b
    

 Valor de c
 A senha é a soma a + b + c + h = 144
    
    
Média geométrica –
matemática financeira
Aplicação em matemática financeira:
 Se um investimento durante dois meses 
rende 2% no primeiro mês e 3% no 
segundo mês, qual é o rendimento médio 
mensal desse investimento? 
 Utilizando-se a média geométrica dos 
fatores de crescimento, neste caso: 
 Dessa forma, a taxa mensal de 
rendimento médio é de
ඥ1,02 · 1,03 ൌ ඥ1,0506 ൌ 1,025 
rendimento médio é de 
aproximadamente: 
 1,025 – 1 = 0,025 ao mês, 
 ou, equivalentemente, 2,5% ao mês.
 
Média geométrica –
matemática financeira
 Suponhamos que o salário reajustado 
seja de R$ 600,00. Acompanhe os 
aumentos utilizando as duas opções
de reajustes:
1ª opção1ª opção
600,00 + 2% = 612,00
612,00 + 3% = 630,36
2ª opção2 opção
600,00 + 2,5% = 615,00
615,00 + 2,5% = 630,38
INTERVALO
Geometria plana: 
ponto, reta e plano
Ponto Reta
http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_
mod3/matematica/Unid2_MAT_
Matematica_Modulo_3.pdf
http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_
mod3/matematica/Unid2_MAT_
Matematica_Modulo_3.pdf
Plano
Conceitos preliminares 
de geometria
Ponto, reta e plano
Fonte: http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_mod3/matematica/
Unid2_MAT_Matematica_Modulo_3.pdf
Questão ENADE – figuras planas
 Questão ENADE 2008: Uma professora 
do EF resolveu utilizar, em suas aulas, 
a construção de um avião de papel
para explorar alguns conceitos e 
propriedades da geometria plana. 
Utilizando uma folha de papel retangularUtilizando uma folha de papel retangular, 
os estudantes deveriam começar fazendo 
as dobras na folha ao longo dos 
segmentos de reta indicados na 
figura a seguir. 
Questão ENADE – figuras planas
Condições que devem ser satisfeitas: 
 a reta determinada por M e U é a mediatriz do 
segmento AB; 
 AC, BD e AB são segmentos congruentes; 
 PT e TQ são segmentos 
Scongruentes; 
 PD e BD são segmentos 
congruentes.
A partir da análise da 
figura, um estudante 
afirmou o seguinte:
A BR MS
P U Q
T
afirmou o seguinte: 
 o triângulo PQD é 
obtusângulo porque
o triângulo PQT
é equilátero. 
C D
Questão ENADE – figuras planas
Com relação ao que foi afirmado pelo 
estudante, assinale a opção correta. 
a) As duas asserções são proposições 
verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
b) As duas asserções são proposições 
verdadeiras, e a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição 
verdadeira e a segunda é falsa.verdadeira e a segunda é falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição 
falsa e a segunda é verdadeira.
e) Ambas as asserções são 
proposições falsas. 
Geoplano
 O geoplano é um dos recursos que 
podem auxiliar no trabalho da geometria 
plana, desenvolvendo atividades com 
figuras e formas geométricas –
principalmente planas –, características 
e propriedades delas (vértices arestase propriedades delas (vértices, arestas, 
lados), ampliação e redução de figuras, 
simetria, área e perímetro.
Fonte: 
http://aulamatica.wikispaces.c
om/Geoplano
Questão ENADE 2008 – geoplano 
 A figura abaixo mostra alguns 
segmentos construídos em um geoplano 
por um estudante, de acordo com a 
orientação dada pela professora.
Questão ENADE 2008 – geoplano 
Acerca do uso do geoplano retangular nessa 
atividade, assinale a opção incorreta.
a) O geoplano auxilia na compreensão de que 
b) O geoplano auxilia na compreensão de que
 
c) O geoplano auxilia na representação 
geométrica de números irracionais da forma 
 
 
Questão ENADE 2008 – geoplano 
d) O geoplano auxilia na obtenção da relação 
entre o comprimento de uma circunferência e 
seu diâmetro. [como o número (relação entre 
o comprimento de uma circunferência e seu 
diâmetro) não pode ser determinado pelodiâmetro) não pode ser determinado pelo 
triângulo retângulo, ele não pode ser obtido 
pelo geoplano retangular.
e) O geoplano auxilia na simplificação de 
expressões com irracionais algébricos, como, 
por exemplo, √20 ൅ √5 ൌ 3√5
INTERVALO
Funções
 Gráfico: uma relação, comparação de 
duas grandezas ou até mesmo uma 
função, mas representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma, é 
necessário que essa relação, 
comparação seja representada em umacomparação, seja representada em uma 
função na forma algébrica.
 
 
Exemplo de função
er
ta
 (S
)
m
an
da
 (D
); 
Of
e
Preço (R$)
De
m
Questão ENADE – funções
A M t áti EM t l f tiA Matemática no EM tem papel formativo –
contribui para o desenvolvimento de processos
de pensamento e para a aquisição de atitudes – e 
caráter instrumental – pode ser aplicada às 
diversas áreas do conhecimento, mas deve ser 
vista também como ciência, com suas 
t í ti t t i íficaracterísticas estruturais específicas.
(OCNEM – com adaptações).
Ao planejar o estudo de funções no ensino médio, 
o (a) professor(a) deve observar que:
a) as funções trigonométricas devem ser 
apresentadas após o estudo das funçõesapresentadas após o estudo das funções 
exponenciais. (Incorreta)
b) a função quadrática é exemplo típico 
de comportamento de fenômenos de 
crescimento populacional. (Incorreta)
Questão ENADE – funções
c) o objetivo do estudo de exponenciais é 
encontrar os zeros dessas funções. 
(Incorreta)
Questão ENADE – funções
30102log 
d) as funções logarítmicas podem ser usadas 
para transformar soma em produto. (Incorreta)
 As funções logarítmicas podem ser utilizadas 
para transformar produto em soma, e não 
soma em produto.
 Exemplo de aplicação: sabendo que 301,02log 
477,03log  6log
3log2log)3.2log(6log 
 Exemplo de aplicação: sabendo que 
e , determine o .
 Utilizando a propriedade do logaritmo de um 
produto, fazemos:
778,0477,0301,0 
778,06log  Então, 
Questão ENADE – funções
e) o estudo de funções polinomiais devecontemplar propriedades de polinômios
e de equações algébricas. (Correta)
 O estudo de funções polinomiais deve 
contemplar propriedades de polinômios
e equações algébricas. A determinação 
dos zeros ou das raízes de uma função 
polinomial exige a resolução de
uma equação.
Ex.: y = - 0,25x² + 9x - 45
Algoritmos da divisão
 Compreender uma operação matemática 
não se resume em saber fazer o 
algoritmo, mas em saber usá-la em uma 
situação cotidiana.
Fonte: O algoritmo da divisão: a importância do erro
Algoritmos da divisão
 Numa excursão da escola irão 165 alunos, 
distribuídos igualmente em 5 ônibus. 
Quantos alunos irão em cada ônibus?
Solução:
165 = 100 + 60 + 5
AssimAssim,
165 : 5 = (100 : 5) + (60 : 5) + (5 : 5) =
20 + 12 + 1 = 33 alunos em cada ônibus.
Compreendido o conceito de divisão e a 
lógica presente no procedimento, pode-selógica presente no procedimento, pode se 
introduzir o algoritmo padrão, deixando 
claro que a decomposição também poderá 
ser utilizada nesse processo.
CEFET MG – algoritmos da divisão
 Na divisão de dois números inteiros
e positivos, o quociente obtido é
18 e o resto é igual ao divisor menos
2 unidades. Sendo a diferença entre o 
dividendo e o divisor igual a 106, o resto 
é um número:é um número:
a) primo.
b) ímpar.
c) múltiplo de 2.
d) par e maior que 8.
CEFET MG – algoritmos da divisão
 Regras da divisão: multiplicamos o 
quociente pelo divisor e somamos o 
resultado ao resto para termos o 
dividendo. Equacionalmente falando,
em que x é o dividendo, y o divisor,
18 o quociente e y 2 o resto:18 o quociente e y - 2 o resto:
18 . y + y - 2 = x  19y - 2 = x
Segundo o enunciado, o dividendo 
menos o divisor é igual a 106.
Na equação:q ç
x - y = 106
Podemos, então, fazer um sistema:
x - 19y = -2 (I)
x - y = 106 (II)
CEFET MG – algoritmos da divisão
 x - 19y = -2 (I)
x - y = 106 (II)
 Assim, isolando x em I: x = -2 + 19y
 Substituir x em II: -2 + 19y – y = 106
 18y = 108  y = 6 18y = 108  y = 6.
 Então, x = -2 + 19.6  x = 112
 A divisão citada era 112 / 6, cujo 
resultado é 18, e sobram 4. O resto (4)
é um número múltiplo de 2.
Resposta: letra “c”.
INTERVALO
Construtivismo
O l d EJA h à l d lOs alunos da EJA chegam à sala de aula com 
saberes construídos a partir de suas vivências 
em todos os contextos por onde circulam –
familiar, profissional, de lazer ou religioso.
Os professores devem trabalhar tais saberes
por meio de atividades em que sejam: 
a) avaliados para uma compreensão dos
erros epistemológicos.
b) integrados aos conteúdos das diferentes 
áreas do conhecimento.
c) reconstruídos em torno de parâmetros de 
correção prévios.
d) relativizados por serem construídos fora
do processo de escolarização.
e) esvaziados por sua associação ao 
fracasso escolar dos alunos.
Construtivismo
O l d EJA h à l d lOs alunos da EJA chegam à sala de aula com 
saberes construídos a partir de suas vivências 
em todos os contextos por onde circulam –
familiar, profissional, de lazer ou religioso.
Os professores devem trabalhar tais saberes
por meio de atividades em que sejam: 
a) avaliados para uma compreensão dos
erros epistemológicos.
b) integrados aos conteúdos das diferentes 
áreas do conhecimento.
c) reconstruídos em torno de parâmetros de 
correção prévios.
d) relativizados por serem construídos fora
do processo de escolarização.
e) esvaziados por sua associação ao 
fracasso escolar dos alunos.
Sustentabilidade
 Relacionar a Matemática ao estudo do 
meio ambiente proporciona mensurar, por 
meio dos números, os prejuízos e projetar 
soluções, torna a aprendizagem em algo 
construtivo, podendo se constituir um 
comportamento cotidiano ou uma práxiscomportamento cotidiano ou uma práxis 
educativa para formar uma consciência 
ecológica dentro de indicadores reais.
Fonte: http://blog.nei.com.br/
Questão XI ENEM – a matemática
e a sustentabilidade
A l t d l í i é t i l i lá l A lata de alumínio é o material reciclável 
mais valioso. O preço pago por uma 
tonelada é, em média, R$ 3.500,00 – o quilo 
equivale a 75 latinhas.
O consumidor recebe nos postos de troca 
(supermercados) um bônus para ser(supermercados) um bônus para ser 
descontado nos estabelecimentos 
credenciados com valor correspondente ao 
número de latas entregue para reciclagem. 
Algumas campanhas promovem a troca 
de latas por equipamentos úteis a escolas p q p
e entidades filantrópicas – 5.250 latas 
valem um ventilador de parede, 179,2 mil 
uma fotocopiadora e 80,5 mil um 
microcomputador. De posse desses 
dados, responda. 
Questão XI ENEM – a matemática
e a sustentabilidade
a) Quantos quilos de latinhas Antônio 
arrecadou ao contar no fim do dia um 
total de 975 latinhas? E seu irmão, com 
um total de apenas 225 latinhas, terá 
recolhido quantos quilos? 
 Antônio
   
 Irmão de Antônio
 
Fonte: http://blog.physissda.com.br
Questão XI ENEM – a matemática
e a sustentabilidade
b) Em uma gincana na escola de Fábio 
foram arrecadadas 42.500 latinhas. 
Sabendo da campanha que promove a 
troca de latas por equipamentos úteis a 
escolas, qual e quantos equipamentos a 
escola de Fábio poderá adquirir com aescola de Fábio poderá adquirir com a 
troca de latinhas? 
 Sabendo que 5.250 latinhas arrecadas 
podem ser trocadas por um ventilador, 
teremos:
 8 ventiladores.
 
Questão XI ENEM – a matemática
e a sustentabilidade
c) Com a quantidade de latinhas 
arrecadadas na escola de Fábio, quanto 
faltaria para a escola caso desejasse 
fazer a troca por um microcomputador? 
E por uma fotocopiadora? 
 Para a troca da fotocopiadora faltam:
 179,2 mil – 42.500 = 136.700 latinhas.
 80,5 mil – 42.500 = 38.000 latinhas.
Matemática e meio ambiente
Estudantes de 9 anos de uma Escola de Ensino 
Fundamental estudam a distribuição de água para 
a população. O professor inicia a atividade com 
perguntas como: 
 Toda água que sai da torneira é boa
para beber? pa a bebe
 A água suja pode se tornar limpa? 
 Existem casas sem água boa para beber? 
As respostas são discutidas. O professor realiza 
em sala atividades práticas como: 
 construção de uma maquete do sistema 
de distribuição de água da cidade;de distribuição de água da cidade; 
 experiência de decantação e filtração 
da água; 
 excursão à estação de tratamento 
de água da cidade. 
Matemática e meio ambiente
O trabalho é ampliado para o estudo da 
preservação ambiental e da situação da água 
potável da população, que não tem acesso à 
rede de abastecimento de água. 
Refletem sobre como o poder público
cuida da qualidade da água e das questões 
ambientais e, ainda, sobre a 
responsabilidade social da população 
e dos governantes. 
Quais afirmações são corretas? 
I. As perguntas iniciais respondidas pelos 
alunos permitem ao professor fazer 
o levantamento do conhecimento 
prévio dos alunos. (Correta)
Matemática e meio ambiente
II. A contextualização dos temas ocorre 
durante as atividades na inserção de 
aspectos do cotidiano dos alunos e da 
população. (Correta)
III. O conhecimento científico desautoriza 
o conhecimento que os alunos trazem 
de suas experiências de vida em relação 
ao meio ambiente. (Incorreta)
IV.As crianças devem concluir que as 
questões relativas ao desmatamento 
próximo aos mananciais de água e a 
distribuição de água tratada a toda a 
população são de responsabilidade social 
exclusiva dos governos. (Incorreta)
ATÉ A PRÓXIMA!