Física - Provas

Prévia do material em texto

Material de Estudo 
para a Prova de Ingresso 
Ano Lectivo 2009/2010 
 
 
 
 
 
 
 
Junho 2009 
 
 
 
Disciplina: 
FFÍÍSSIICCAA 
www.unicv.edu.cv 
 
 
 
ÍNDICE 
 
Página 1‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Introdução 
Página 2 a 12 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Unidade 1 
Página 13 a 22‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Unidade 2 
Página 23 a 32‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Unidade 3 
Página 33 a 50‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Unidade 4 
Página 51‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Bibliografia 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Este material auxiliar de Física pretende ser um instrumento útil de consulta de modo 
que o aluno oriente facilmente e com eficácia o seu estudo, proporcionando-lhe, 
também, um apoio efectivo na sua preparação para a prova de ingresso no ensino 
superior (Uni-CV). 
É constituído essencialmente por quatro Unidades distintas: 
I. Termodinâmica 
II. Campo electrostático e Corrente eléctrica 
III. Mecânica (Cinemática e Dinâmica) 
IV. Centro de Massa e Cinemática de Rotação 
Cada uma das Unidades que constituem este guião didáctico está estruturada em temas, 
contemplando cada um destes, as seguintes rubricas: 
9 Objectivos: listagem de objectivos essenciais que o aluno terá que atingir no 
final do tema; 
9 Resumo teórico: abordagem teórica de leis, princípios e conceitos fundamentais 
para a resolução de qualquer tipo de questão; 
9 Exercícios propostos: colectânea de questões cujas soluções e algumas 
propostas de resolução são apresentadas no final de cada tema. 
Espera-se que este guião contribua para que o aluno seja capaz de identificar e superar 
dificuldades, consolidar conhecimentos e gerir, de um modo eficaz, o tempo disponível 
de que dispõe para a preparação da prova de ingresso no ensino superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 
 
 
 
 Unidade 1 - Termodinâmica 
1.1 Transferência de calor 
1.2 Equação dos gases ideais 
1.3 Primeira lei de termodinâmica 
1.4 Segunda lei de termodinâmica 
 
1.1 Transferência de calor 
O que é essencial saber: 
1 - Reconhecer o calor e o trabalho como grandezas que medem a energia num processo 
de transferência 
2 - Definir capacidade térmica mássica e capacidade térmica de um material 
3 - Inferir a equivalência entre trabalho e calor 
A Física que vai aplicar: 
Quando dois sistemas, a temperaturas diferentes, são postos em contacto, ocorre 
espontaneamente uma transferência de energia como calor, do sistema a temperatura 
mais elevada para o sistema a temperatura mais baixa. 
Essa transferência de energia cessa quando os dois sistemas atingem a mesma 
temperatura; diz-se que atingiram o equilíbrio térmico. 
É importante lembrar que: 
• Um sistema possui energia interna(U) que pode variar através de energia 
transferida (do/ou para o sistema), como calor (Q) ou como trabalho (W). 
2
A –Calor 
Quando se fornece energia como calor a um sistema e não há mudança de estado 
físico, nem ocorre uma transformação química, a sua temperatura aumenta. Para um 
sistema de um dado material e com uma determinada massa, a energia transferida 
(Q), é directamente proporcional ao intervalo de tempo que demora o processo. 
A relação calor (Q), massa (m), material (c) e variação de temperatura (∆t), dada 
pela equação: Q = m.c.∆θ, permite-nos concluir que: para sistemas com a 
mesma massa e do mesmo material, a variação de temperatura que ocorre é 
directamente proporcional à energia transferida como calor; para mesma 
variação de temperatura, em sistemas com massas diferentes e do mesmo 
material, a energia transferida, Q, é directamente proporcional à massa dos 
sistemas; para sistemas com a mesma massa e de materiais diferentes necessitam 
de diferentes quantidades de energia transferida como calor, para se obter a 
mesma variação de temperatura. 
a) Usando a expressão, c = , (quantidade de energia transferida como 
calor de/ou para uma massa unitária desse material, 1Kg, a fim de que a 
sua temperatura varie de 1ºC/1K, sem que ocorra mudança de estado), 
conclui-se que a unidade para a capacidade térmica mássica de um 
material (ou calor específico de uma substância) é o J/kg.ºC ou J. kg-1.ºC-1 
ou, no SI, J/Kg.K ou J.Kg-1.K-1. 
b) Usando a igualdade, m.c = C, (quantidade de calor necessária para elevar a 
temperatura do corpo em uma unidade de variação de temperatura), 
grandeza relacionada com as interacções intermoleculares, estabilidade de 
uma fase, condutividade térmica e capacidade de armazenar energia, nota-
se que a grandeza, capacidade térmica, C, (característica de um corpo) 
pode ser medida em cal/ºC, em cal/K ou ainda em J/K 
Q resulta positivo quando o sistema recebe energia (Q> 0), pois a temperatura é 
positiva e Q será negativo (Q < 0), quando o sistema cede energia. 
 
B-Trabalho 
Pelos estudos feitos, lembra que podemos falar de trabalho, W, sempre que: 
3
 1- Aplicando uma força a um corpo, este sofre variação de velocidade, trabalho 
mecânico. 
 
• Se uma força F é aplicada a um corpo que realiza um deslocamento dr, o 
trabalho realizado pela força é uma grandeza escalar de valor: W = F.r 
 
 2 - O ponto de aplicação da própria força aplicada se desloca (por ex, trabalho 
realizado sobre o gás, quando se puxa ou se empurra o êmbolo de uma seringa), 
trabalho termodinâmico, W = Pr.∆V com Pr …………..e ∆V a variação do volume. 
 
 
Note que:Sendo F = Pr.S, como, W = Pr.S. d e S.d = ∆V então, W = Pr.∆V que nos 
informa: 
 W depende de como a pressão e o volume mudam no processo. 
• Quando o trabalho é realizado sobre o sistema, é positivo (W> 0) e se sistema 
realizar trabalho, então, é negativo (W <0) 
 
Aplicações e exemplos 
 
1 – Escolha, justificando, as afirmações na linguagem corrente, cientificamente 
correctas. 
A – “Hoje está calor” ou “Hoje o dia está quente”. 
B – “Um saco de água quente é um reservatório de energia” ou “Um saco de água 
quente é um reservatório de calor”. 
C – “Se tocarmos em gelo, passa frio para nossa mão” ou “Se tocarmos em gelo, há 
transferência de energia do gelo para nossa mão” ou “Se tocarmos em gelo, há 
transferência de energia, como calor, da nossa mão para o gelo”. 
2 – Forneceram-se iguais quantidades de energia como calor a dois corpos, X e Y de 
massas iguais e capacidades térmicas mássicas, tais que cy>cx. 
2.1- Compare a variação de temperatura sofrida pelos dois corpos. 
4
3 – Exercendo uma pressão constante de 100KPa a uma dada massa de gás encerrado 
num cilindro munido de êmbolo, este muda de 0,10m3 para 0,20m3. 
3.1 – Classifique, justificando, a transformação sofrida pelo gás. 
3.2 – Calcule o trabalho realizado pelo êmbolo. 
(sabendo que foi-lhe fornecido 2x104J de energia como calor,cal …U) 
 
POSSÍVEIS RESPOSTAS 
1 – A- “Hoje o dia está quente”., uma vez que o oposto do frio é quente e não calor. 
 B- “Um saco de água quente é um reservatório de energia” porque um sistema 
não contém calor, mas sim energia. 
 C- “Se tocarmos em gelo, há transferência de energia, como calor, da nossa 
mão para o gelo”, a energia em transferência referida é o calor e isto acontece 
sempre, do corpo com maior temperatura para o corpo com menor temperatura. 
2– Sendo, mx= my; Qx= Qy; cx <cy então, da igualdade mx.cx.∆θx= my.cy.∆θy, temos 
 ∆θx>∆θy 
3.1 Expansão isobárica, houve aumento de volume a pressão constante. 
3.2 p = 100KPa = 105Pa; Vinicial= 0,10m3; Vfinal= 0,20m3 
 W = -p.∆V ↔ W = -105x(0,20-0,10) ↔ W = -10-4J 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Um cilindro de secção circular, com diâmetro de 52mm, contém um gás à pressão 
de 2 atm (ver figura ao lado).= 2mm 
 1.1 - Calcule o trabalho que esse gás realiza sobre o êmbolo. 
R: W= 1,3J 
2 – Uma dada massa de gás, contida num volume de 10cm3 sofre uma expansão por 
acção de uma pressão exterior de 3,0x105Pa e recebe 400J de energia como 
calor,aumentando sua energia interna 100J. Qual é volume final do gás? 
R: 11dm3 
 
1.2 Equação dos gases ideais 
O que é essencial saber: 
• Reconhecer as variáveis de estado gasoso como propriedades características do 
estado de equilíbrio de um sistema 
5
• Caracterizar o estado gasoso e os gases ideais 
• Conhecer a equação de estado de um gás ideal. 
A Física que vai aplicar: 
A designação gás ideal ou gás perfeito é uma abstracção que tem a ver com condições 
ideais para que um gás obedeça a determinadas leis. 
Condições para serem ideais: 
• As suas moléculas são suficientemente pequenas, para serem consideradas 
como, pontos materiais, assim o seu volume é desprezável face ao recipiente. 
• As interacções moleculares são praticamente inexistentes, pois a distância entre 
as moléculas é muito grande se compararmos com s o seu diâmetro. 
1 -Qualquer gás pode ser considerado ideal, quando sujeito a pressões baixas 
(~1atm) e a temperaturas suficientemente afastadas dos pontos de 
condensação ou de liquefacção. 
 2 - Sendo ideal, é possível relacionar a forma como o volume (V) de uma 
determinada quantidade de gás (n) varia com a pressão (p) e com a temperatura absoluta 
(T). 
 Essa relação é dada pela equação: pV = nRT com R, a constante universal 
dos gases ideais que dependendo das unidades usadas, pode ter o valor, 8,31451Jmol-
1K-1 ou 0,082056atm.dm3mol-1K-1 
Mantendo duas das grandezas, P, V, n ou T, podemos ainda falar das leis de: 
• Avogadro – a uma dada pressão e temperatura, o volume ocupado por um gás é 
directamente proporcional à quantidade de substância. 
 (p e T constantes) 
 
• Boyle-Mariotte – a uma dada temperatura, o volume de uma dada massa de gás 
varia na razão inversa da pressão do gás. 
P1V1= p2V2 (n e T constantes) 
• 1ª lei de Charles e Gay-Lussac – a pressão constante, o volume ocupado por uma 
dada massa de gás varia na razão directa da temperatura absoluta do gás. 
 = (n e p constantes). 
• 2ª lei de Charles e Gay-Lussac – a pressão de uma dada massa de gás varia na 
razão directa da temperatura absoluta do gás. 
= (n e V constantes). 
• Dalton – a pressão parcial exercida por um gás ideal é igual ao produto da 
fracção molar desse gás na mistura pela pressão total. 
6
Ou seja, Dalton verificou que num recipiente com uma mistura de gases ideais e 
que não reajam entre si, cada gás exerce uma pressão igual a que teria se 
ocupasse sozinho aquele volume. Assim, para uma mistura de gases ideais, X e 
Y, é possível a partir da igualdade, P = pX + py verificar que: = ou 
= , com 
 ¥x= ou ¥y= sendo (¥x+¥y) =1 
 
 Px= ¥x.pT e Py= ¥y.pT 
Aplicações e exemplos 
1 – Observe com cuidado o gráfico, ∆V = f (T), que se segue. 
 V/ p1 
 P2 
 
 T 
1.1 – Que lei está representada? Enuncie-a. 
1.2 - A temperatura referida no gráfico é absoluta ou em graus Celsius? Justifique. 
1.3 – Compare, justificando, os valores de p1 e p2. 
2 – 100cm3 de oxigénio foi recolhido por deslocamento de água, à temperatura de 17ºC 
e à pressão de 774,4 Torr. A tensão máxima do vapor de água à temperatura da 
experiência é 14,4 Torr. Determine: 
 2.1 – A fracção molar do vapor de água 
 2.2 – A pressão parcial do oxigénio. 
 2.3 – A massa do oxigénio recolhido. 
 Lembre-se das relações de equivalência entre as unidades: 
Grandezas físicas Unidades Relação de equivalência 
Pressão (p) Atm; Pa; Torr; 
Volume (V) m3;L; dm3;cm3… 
Temperatura (T) K; ºC; ºF 
Quantidade de substância (n) Mol; mmol… 
 
 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES 
7
1.1 – Pela relação, = (n e p constantes), é a 1ª lei de Charles e Gay-Lussac. A 
pressão constante… 
1.2 Absoluta, uma vez que atendendo a lei dos gases ideais, numa transformação 
isobárica, a expressão, V= KT é válida com T, temperatura absoluta. 
1.3 P1 é menor que p2, pois atendendo a lei de Boyle-Mariotte, pV = constante, o 
volume varia na razão inversa da pressão do gás, por isso, se V1> V2 então p1< p2. 
 2.1 – p = 774,4Torr = 1.019atm; p(H2O)= 14,4Torr = 0,0189atm; 
 p(H2O)= x(H2O )p; x(H2O )= ↔ xH2O= 0,0185 
 2.2 – p = p(H2O )+ p (O2 )↔ p O2= 1,000atm 
 2.3 - p (O2)V = n (O2)RT; n(O2)= ↔ n(O2)= 4,0x10-3mol; 
 m = n.M ↔m= 4,0x10-3x32,0 ↔ m = o,13g 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Dos gráficos que se apresentam, quais podem corresponder a representações 
gráficas da Lei de Boyle-Mariotte? 
A B C D 
PV V P P 
 
 
 P P 1/V V 
2 – Dois recipientes indeformáveis, com a capacidade de 8,0dm3, contêm: um, azoto, 
N2(28,0g.mol-1) e o outro monóxido de carbono(28,0g.mol-1), à 300K e às pressões, 
respectivamente, de 2,00 atm e de 6,00 atm. 
2.1 – Compare o número de moles de cada um dos gases. 
R: n(CO)= 3n(N2) 
2.2 – Determine a massa volúmica do CO. 
 R: (CO) = 6,83g.dm-3 
1.3 Primeira lei de termodinâmica 
8
O que é essencial saber: 
1 - Interpretar a 1ª lei da termodinâmica a partir da lei da Conservação da Energia. 
2 - Interpretar situações em que a variação da energia interna se faz à custa de trabalho e 
calor, (e radiação). 
A Física que vai aplicar. 
• As leis da Termodinâmica regem a evolução do Universo, tendo sempre presente 
a Lei da Conservação da Energia. 
• A aplicação da Lei da Conservação da Energia aos processos nos quais há uma 
transferência de energia, como calor e (ou) como trabalho, é conhecida por 1ª 
Lei da Termodinâmica - ∆Ui = Q+W (expressão tradicional)e se designarmos por R a 
energia de radiação absorvida por um sistema, a equação anterior toma a forma: 
∆Ui = Q+W+R(segundo uma nova definição de calor). 
• Na maioria dos sistemas que interessam à termodinâmica não há 
macroscopicamente variação da energia cinética nem da energia potencial: ∆Ec 
=0 e ∆Ep =0. 
• Há transformações de energia que se podem traduzir apenas por variações de 
energia interna. 
• Calor, trabalho e radiação são energias “em trânsito” através da fronteira de um 
sistema e, como tal fazem variar a energia interna deste, (ΔUi ≠ 0). No SI 
exprimem-se em Joules. 
 
Assim na expressão matemática que traduz a 1ª lei da Termodinâmica está implícita 
uma convenção de sinais. 
• Algumas situações em que a variação da energia se faz à custa de calor e 
trabalho (nos sistemas gasosos). 
a) Transformação adiabática, V = constante ↔∆V = 0. 
Pela expressão, ∆Ui = Q+W, como 
W = -p∆V e ∆V = 0 ↔W = 0, a 1ª lei da Termodinâmica, será então 
 
∆Ui = Q 
b) Transformação isobárica, p = constante ↔∆p = 0. 
Se ocorre apenas a variação de temperatura e volume no sistema, temos: 
B1) Compressão lenta do gás ( ∆V <0) 
 W = -F.∆s, com ∆s <0 e F = pxA, 
 ou W = -pxAx ∆s e sendo Ax∆s = ∆V, então, 
 
W = -px∆V↔W> 0 (trabalho realizado pelo êmbolo = trabalho realizado 
sobre o sistema) 
B2) Expansão lenta do gás (∆V> 0) 
 W = -F.∆s, com ∆s >0 e F = pxA, 
 ou W = -pxAx ∆s e sendo Ax∆s = ∆V, então, 
 
 W = -px∆V↔W <0 (trabalho realizado pelo êmbolo = 
trabalho realizado pelo sistema) 
 
9
 A 1ª lei da Termodinâmica, vem, ∆Ui = Q+W, com W>0 ou W<0. 
c) Transformação isocórica, V = constante ↔∆V = 0. 
Pela expressão, ∆Ui = Q+W, como 
 W = -p∆V e ∆V = 0 ↔ W = 0, por isso, 
A 1ª lei da Termodinâmica será, 
 ∆Ui= Q 
Note que: Para uma transformação isotérmica, ∆U = 0, por isso Q + W =0. 
Assim para uma compressão lenta W> 0; Q <0, para uma expansão lenta, 
W <0; Q> 0. Conclusão: O sistema pode perder ou ganhar energia,como calor, sem 
que a temperatura varie. 
Aplicações e exemplos 
 1 – Uma pedra de meia tonelada cai, em ponto morto, numa encosta com atrito, de 
acordo com os dados da figura. Calcule a variação de energia: 
1.1 Cinética 
1.2 Potencial 
1.3 Mecânica 
1.4 Interna do sistema carro+encosta+ar. 
 
2 – Uma dada massa de hidrogénio, contida num cilindro de paredes diatérmicas cujo 
êmbolo se pode deslocar sem atrito, é submetido à acção da chama do bico de 
Busen. 
2.1 Comente: “ O gás, hidrogénio, recebe energia como calor e arrefece” 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES 
1.1 ∆Ec= ½ m (vf-vi); ∆Ec=250x96J ↔∆Ec=2,4x104J 
1.2 ∆Ep=m.g.∆h; ∆Ep=-4,9x104J 
1.3 ∆Em=∆Ec+ ∆Ep↔∆Em=(2,4-4,9)x104J ↔∆Em=-2,5x104J 
1.4 ∆Ui=-∆Em↔∆Em=2,5x104J 
2.1 – Com a chama do bico de Busen, o gás recebe calor (Q>0),. Para arrefecer, 
∆U<0 e isso acontece se Q+W<0, como Q>0 então W<0 e o seu valor absoluto 
é maior do que de Q. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 - 200g de um dado gás, contido num recipiente, ocupava 10dm3.Tendo sofrido uma 
expansão por acção de uma pressão exterior de 3,0x105Pa é recebido 400J de 
energia como calor, a sua energia interna aumentou 100J. 
1.1 Calcule o volume final do gás. 
10
1.2 Sabendo que sua capacidade térmica é 60J/ºC e que se encontra à 
temperatura de 10ºC, a que temperatura irá ficar o corpo? 
1.3 Recorra à tabela da figura e identifique o gás. 
substância c /cal.g-C-
1 
Ar a pressão 
constante 
0,240 
Ar a volume 
constante 
0,172 
oxigénio 0,22 
 
1.4 Segunda lei de termodinâmica 
O que é essencial saber: 
11 - Distinguir entre processos irreversíveis e reversíveis; 
12 - Reconhecer que a evolução de um sistema é sempre no sentido de maior desordem. 
13 - Enunciar a 2ª lei com a existência de processos irreversíveis. 
14 - Interpretar o ciclo de Carnot. 
15 - Calcular o rendimento de uma máquina de Carnot. 
A Física que vai aplicar. 
• Só se observam transformações quando a energia é transferida entre sistemas. 
• Sempre que acontece transformações, há uma parcela que é degradada. 
• Quando num sistema termodinâmico, se verifica uma sucessão de processos que 
devolvem o sistema ao seu estado inicial, temos uma transformação cíclica. 
• A 2ª lei da termodinâmica, diz: segundo os postulados de Clausius que: 
“Espontaneamente o calor só transfere de um sistema a temperatura mais alta 
para o sistema de temperatura mais baixa” e segundo os postulados de Kelvin:” 
Nenhum sistema termodinâmico, que funcione de modo cíclico, pode transferir 
calor de uma única fonte, transformando-o integralmente em trabalho.” 
11
• Essa ordem de ocorrência leva-nos a uma realidade: “ Só é possível transferir 
calor de uma fonte fria (Q2) para uma fonte quente (Q1) através da realização 
de trabalho -sistema de arrefecimento. 
• Para explicar esse comportamento do Universo, Clausius estabeleceu uma lei 
que considera uma nova variável de estado termodinâmico-a entropia (S) - 
grandeza física que mede a desordem de um sistema. 
• À temperatura absoluta constante (T) se um sistema receber energia sob forma 
de calor (Q), a entropia do sistema sofre uma variação de entropia - ∆S = . 
• Para uma máquina térmica o rendimento é dado pela expressão: η = 1- e se 
Q = T. então η = 1- 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 1 – Dois corpos A e B encontram-se respectivamente às temperaturas de 27ºC e 127ºC. 
Postos em contacto, houve uma transferência de energia sob forma de calor igual a 
1200J. 
 1.1 - Determine a variação de entropia em cada uma das seguintes situações e 
explique o significado dos resultados obtidos. 
a) O corpo A cede energia ao corpo B. 
b) O corpo B cede energia ao corpo A. 
R: a) ∆S = -1JK; b) ∆S = 1JK 
1 – Uma máquina de Carnot, que funciona entre 90ºC e -10ºC, recebe em cada ciclo 
uma quantidade de energia, como calor, igual a 500J. 
2.1 – Determine: 
 2.1.2 – O rendimento dessa máquina. 
 2.1.2 – O trabalho que a máquina realiza em cada ciclo. 
2.2 – Com base na expressão usada em 2.1.2, explique como se pode aumentar o 
rendimento de uma máquina térmica. 
 R: 2.1.2 η = 28% ; w = 140J; Abaixando T2ou elevando T1. 
 
 
12
Unidade 2– Campo electrostático e Corrente eléctrica 
Objectivos 
• Enunciar a Lei de Coulomb. 
• Determinar a intensidade da Força Eléctrica entre cargas aplicando a Lei de 
Coulomb. 
• Determinar o campo eléctrico num ponto criado por uma, duas ou mais cargas 
pontuais. 
• Determinar o potencial eléctrico criado por uma, duas ou mais cargas pontuais 
num dado ponto. 
• Determinar a energia potencial eléctrica de um sistema de cargas pontuais. 
• Determinar a intensidade de corrente eléctrica aplicando a Lei de Ohm. 
• Determinar a resistência de um condutor. 
• Estudar a variação da resistividade com a temperatura. 
• Determinar a potência eléctrica. 
• Aplicar a Lei de Joule. 
• Estudar a associação de resistências em série e em paralelo. 
• Aplicar a Lei de Ohm generalizada. 
• Aplicar as leis de kirchhoff na análise de circuitos eléctricos. 
 
 
2.1 -Electrostática 
LEI DE COULOMB. A força F exercida entre duas cargas eléctricas q e q’ é 
directamente proporcional ao produto de ambas e inversamente proporcional ao quadrado 
da distância r que as separa , onde k é o coeficiente de proporcionalidade, que 
depende do sistema de unidades adoptado na medida da carga, distância e força. Força é 
medida em newton (N), q e q’ em coulomb (C) e r em metros (m), o valor da constante k 
no vácuo é k = 9x109N.m2/C2. Nos sistemas de unidades racionalizados, k = , F 
= onde = = 8,85x 10-12C2/N.m2 
Quando o meio em que se encontram imersas as cargas não for o vácuo, as forças devidas 
a cargas induzidas no meio reduzem a força resultante entre as cargas livres q e q’; esta 
força nessas condições será F = . Quando o meio for o ar, ε é aproximadamente 
igual a ε0 e para a maioria das aplicações ε= ε0. 
Os submúltiplos mais utilizados do Coulomb são: 1μC= 1 microcoulomb = 10-6C; 1pC= 
1 picocoulomb=10-12C. 
13
A carga eléctrica transportada por um electrão (-e) e por um protão (+e) é, em valor 
absoluto, e = 1,602x10-19C. A massa do electrão é melectrão=9,11x10-31kg e a massa do 
protão é mprotão= 1,67 x 10-27kg. 
 
CAMPO ELECTRICO. Diz-se que existe um campo eléctrico em todo ponto do espaço 
onde uma carga eléctrica fica sujeita a uma força de natureza eléctrica. A intensidade do 
campo eléctrico num dado ponto é numericamente igual à força exercida na unidade de 
carga eléctrica positiva nele colocada. A unidade de intensidade do campo eléctrico nesse 
ponto é newton por coulomb (N/C). 
 
INTENSIDADE DE CAMPO ELÉCTRICO DE UMA CARGA. Seja a carga q’ colocada 
num ponto P a uma distância r de outra carga pontual q. De acordo com a lei de 
Coulomb, a força em q’ é F= ; portanto, a intensidade E do campo eléctrico em P 
será E= = . A intensidade do campo eléctrico num ponto P, devida a várias cargas, é 
a soma vectorial das intensidades vectoriais correspondentes a cada carga, isoladamente. 
A intensidade E de um campo eléctrico uniforme é V/r que tem a unidade de V/m. 
 
POTENCIAL ELECTRICO. Potencial eléctrico num dado ponto é o trabalho necessário 
para transportar a unidade de carga eléctrica positiva do infinito a esse ponto, em 
oposição às forças eléctricas do campo. Diferença de potencial entre dois pontos de um 
campo eléctrico é o trabalho necessário para transportar a unidade de carga positiva de 
um a outro ponto. O potencial eléctrico é uma grandeza física escalar e suas dimensões 
são a de um trabalho por unidade de carga. Sua unidade é o Volt (V) e representa 1 
Joule/1 Coulomb. O potencial V de uma carga q num ponto a uma distância r da mesma 
será expresso em volts (V) quando q é dada em Coulomb (C) e r em metros (m) e sua 
expressão é V= . 
O trabalho W para transportar uma carga q entre dois pontos cuja diferença de potencial 
seja V é W(J)= q (C)xV(volt). A formula é também conhecida como a da energia 
potencial. 
2.2 – Corrente eléctrica 
RESISTENCIAE CIRCUITOS ELECTRICOS 
RESISTIVIDADE. A resistência R de um condutor de comprimento 1m e secção 
transversal 1m2 é dada por R= em Ω, onde ρ é uma constante denominada 
resistividade ou resistência especifica, que depende do material do condutor. È medida 
em Ω.m2/m ou simplesmente Ω.m. 
14
 
VARIAÇÃO DA RESISTENCIA COM A TEMPERATURA 
RT=R0 (1+αt) 
Sendo Rt a resistência a t˚C, R0 é a resistência a 0˚C, α é o coeficiente de temperatura da 
resistência do material condutor. 
 
ASSOCIAÇÃO DE RESISTENCIAS EM SÉRIE 
Resistência R=R1+R2+R3+…… 
Sendo R a resistência equivalente do conjunto série constituído pelas resistências 
R1,R2,R3, …. 
 
Diferença de potencial (ddp). A ddp total nos terminais de um conjunto série de 
resistências é igual à soma das ddp individuais nos terminais de cada uma delas. 
 
Intensidade de corrente. È a mesma para todas as resistências. 
 
ASSOCIAÇÃO DE RESISTENCIAS EM PARALELO 
 
Resistência 
Sendo R a resistência equivalente do conjunto paralelo constituído pelas resistências 
R1,R2,R3, …. Com uma associação em paralelo se obtém uma resistência menor do que 
qualquer uma das resistências do conjunto. 
 
Diferença de potencial. A ddp nos terminais da associação é igual à ddp nos terminais de 
qualquer um de seus elementos. Todos os ramos de uma associação em paralelo possuem 
a mesma tensão ou ddp. 
 
Intensidade de corrente. A soma das intensidades de corrente que circula em cada ramo é 
igual à intensidade de corrente total na linha. A intensidade de corrente em cada ramo é 
inversamente proporcional à sua resistência. 
15
 
LEIS DE KIRCHHOFF. Utilizam-se em análises de circuitos complexos. 
1) A soma das intensidades de corrente que chegam a um nó de um circuito é igual à 
soma das intensidades que saem deste mesmo nó. Se se considerem positivas, por 
exemplo, as intensidades que chegam ao nó e negativas as que saem, a primeira lei 
estabelece que a soma algébrica de todas as intensidades de corrente em qualquer 
ponto de um circuito é nula. 
2) Num circuito fechado ou malha, a soma dos aumentos de potencial ou tensão é igual à 
soma das diminuições de tensão ou, em outras palavras, a soma algébrica das 
diferenças de potencial em todo o circuito fechado é nula. 
 
 LEI DE OHM 
 
CORRENTE ELECTRICA I. Sempre que haja deslocamento de carga eléctrica de um 
ponto a outro de um condutor, diz-se que por esse condutor circula uma corrente 
eléctrica. Denomina-se intensidade de corrente eléctrica e se a representa por I à carga 
que atravessa uma secção normal do condutor por unidade de tempo. A unidade de 
corrente eléctrica é o ampere (A) que corresponde ao fluxo de cargas de um coloumb 
por segundo (1A= 1C/s) 
 
I (intensidade) = 
 
 FORÇA ELECTROMOTRIZ,ε. Um gerador eléctrico (pilha, bateria, acumulador, etc.) 
é caracterizado por sua força electromotriz (fem) definida como a energia fornecida por 
unidade de carga eléctrica positiva para faze-la circular de um ponto de menor potencial 
a um ponto de maior potencial em seu interior. A fem de um gerador é determinada 
medindo-se a ddp entre seus terminais, em circuito aberto, isto é enquanto o gerador não 
fornece corrente. A unidade da fem é a mesma da ddp ou seja volt (V). 
 
LEI DE OHM. A intensidade de corrente eléctrica I permanente num condutor a 
temperatura constante, é igual à diferença de potencial V entre seus extremos dividida 
pela resistência R do condutor 
 
I= 
16
 A TENSÃO NOS TERMINAIS de saída de um gerador eléctrico que fornece uma 
corrente eléctrica I a uma resistência de carga R é igual à fem ε menos a queda de tensão 
na resistência interna r do gerador. 
1) Quando fornece corrente, (numa descarga) 
Tensão nos terminais (V) = fem – rI 
 
2) Quando recebe corrente, (numa carga) 
Tensão nos terminais (V) = fem+ rI 
3) Quando não há corrente, (circuito aberto) 
Tensão nos terminais (V) = fem. 
ENERGIA, CALOR E POTENCIA ELECTRICA 
ENERGIA, CALOR E POTENCIA ELECTRICA. O trabalho W em joules (J) 
necessário para transportar uma carga q, entre dois pontos de um circuito eléctrico cuja 
diferença de potencial é de V volts é W=qV=ItV. 
Se V=IR, logo IVt=I (IR) t= I2Rt 
W=RI2t conhecida como a lei de Joule ou de efeito Joule. Como 1J=0,24cal, a 
quantidade de calor Q, em calorias (cal), dissipada pelo condutor é Q=0,24RI2t 
A potência P é P=Wt/t=VI 
 
Lembrando a lei de Ohm (V=IR ou I=V/R) teremos 
P=VI=RI2=V2/R 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
QUESTÃO 1 
O átomo de hidrogénio tem um protão em seu núcleo e um electrão em sua orbita; cada 
uma destas partículas elementares possui carga de módulo e=1,60x10-19C. Supondo-se 
que a orbita do electrão seja circular e que a distância entre as partículas seja 5,3x10-4m, 
determine: a) a força eléctrica de atracção entre o electrão e o protão; b) a velocidade 
linear do electrão. A massa do electrão é m=9,11x10-31kg. 
 
 
 
17
QUESTÃO 2 
Determine: a) a intensidade do campo eléctrico E, no ar, a uma distância de 30cm da 
carga q1= 5x10-9C; b) a força F que actua numa carga q2=4x10-10C situada a 30cm de q1. 
 
QUESTÃO 3 
a) Determinar a intensidade de campo eléctrico, no ar, entre duas cargas pontuais de 
+20x10-8C e -5x10-8C distantes de 10cm. Calcular, a seguir, a força que actua sobre 
uma carga de +4x10-8C, situada no ponto médio do segmento que une as cargas 
dadas. 
b) Se em lugar da carga de -5x10-8C se coloca outra de +5x10-8C, calcule a intensidade 
do campo e a força resultante sobre a carga de +4x10-8C. 
 
QUESTÃO 4 
Liga-se uma resistência de R= 4Ω a uma bateria de 10V e resistência interna r=1Ω. 
Calcule: a) a corrente no circuito; b) a diferença de potencial em R e r ; c) a tensão nos 
terminais da bateria; d) a indicação de um voltímetro ligado aos terminais da bateria, para 
esta em circuito aberto (bateria não fornece corrente). 
 
QUESTÃO 5 
Um gerador de corrente continua, em circuito aberto, tem uma força electromotriz de 
120V; quando ligado a uma carga que absorve 20 A, a diferença de potencial em seus 
terminais é 115V. a) Determine a resistência interna r do gerador. (b) Supondo-o ligado a 
uma carga que absorve 40 A, calcule a diferença de potencial nos terminais do mesmo. 
 
QUESTÃO 6 
Considere uma bateria de 15V e resistência interna de 0,05Ω. Calcule a tensão nos seus 
terminais a) quando ela fornece 10 A; b) quando ela consome 10 A, ao carregar-se. 
 
QUESTÃO 7 
Ligam-se em série com uma resistência de carga 2,5Ω, conforme a figura a seguir, duas 
baterias, uma de 25V e resistência interna 0,4Ω e outra de 10V e resistência interna 0,1Ω. 
(a) Determine a corrente I que circula no circuito? (b) Escolha arbitrariamente como nulo 
o potencial no ponto a e determine os potenciais relativos aos pontos b e c (relativos a 
Va=OV). (c) Determine a diferença de potencial entre os pontos a e b, b e c, c e a. 
18
 
QUESTÃO 8 
A resistência de um termómetro de platina é de 6Ω e 30˚C. Calcule seu valor a 100˚C. O 
coeficiente de temperatura da resistência da platina é 0,00392 (˚C)-1. 
 
QUESTÃO 9 
Determine a resistência que se deve colocar em paralelo com uma outra de 12 Ω a fim de 
que a resistência equivalente do conjunto se reduza a 4Ω. 
 
 
QUESTÃO 10 
Determine a intensidade de corrente I que a bateria entrega ao circuito representado na 
figura abaixo. 
 
 
QUESTÃO 11 
No circuito da figura ao lado indicam-se os valores das resistências 
 expressas em ohm. A leitura do amperímetro é 7 A. Deduza a 
 leitura que indicará um voltímetro de resistência interna elevada 
19
 se o colocássemos entre os pontos P e Q. Qual dos terminais do 
 voltímetro é o positivo? 
 
 
 
QUESTÃO 12 
Uma resistência de 11Ω está ligada em uma bateria de 6V e resistência interna de 1Ω. 
Calcule: a) a corrente, (b) a tensão entre os terminais da bateria, (c) a potência fornecida 
pela fonte e (d) a potência fornecida à resistência externa. 
 
QUESTÃO 13 
Uma bateria de automóvel, em bom estado, deve ser ligada por um grosso cabo de carga 
a uma outra bateriaque está fraca. (a) A qual dos terminais da bateria fraca deve ser 
ligado o terminal positivo da bateria em bom estado? (b) Admita que a bateria em bom 
estado tenha 12V, a outra 11V, as resistências internas sejam r1=r2=0,02Ω, e a resistência 
dos cabos de carga seja R= 0,01Ω. Qual a corrente de carga? (c) Qual seria a corrente se 
as baterias fossem ligadas incorrectamente? 
 
 
QUESTÃO 14 
Em relação à figura ao lado: 
a) Calcule o valor da corrente em cada ramo do circuito 
b) Calcule o valor da energia dissipada, em 3 segundos em R=4Ω. 
 
 
 
QUESTÃO 15 
Em relação à figura ao lado determine: 
a) O valor da corrente nos ramos c-h, e-h, g-a. 
b) O valor do potencial nos pontos a,e,f,h. 
 
 
 
20
 
 
 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES 
 
 
Questão 
 
 
Solução 
1 a) F=8,2x10-8N 
b) v=2,2x106m/s 
2 a) E=5x102N/C 
b) F=2x10-7N 
3 a) E=9x105N/C; F=3,6x10-2N 
b) E=54x104N/C; F=2,2x10-2N 
 
 
4 
 
 
a) I=2 A 
b) Vr=2V; VR=8V 
c) V=8V 
d) V=10V 
5 a) R=0,25Ω 
b) V=110V 
6 a) V=14,5V 
b) V=15,5V 
7 a) I=5 A 
b) Va=0; Vb=23V; Vc= 12,5V 
c) Vab=-23V; Vbc=10,5V; Vca=12,5V 
8 R100=7,48Ω 
9 N= 5 resistências 
10 I=2 A 
11 V=60V 
12 a) I=0,5ª 
b) V=5,5V 
c) P=3W 
21
d) I2R=2,75W 
13 a) Resposta teórica 
b) I=20 A 
c) I=460 A 
14 a) I1=1,5 A; I2=0,5 A; I=2 A 
b) W=27J 
15 a) C-h =1 A; e-h=2 A; g-a=4 A 
b) Va=0; Ve=18V; Vf=12V; Vh=24V 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
Unidade 3 – Cinemática e Dinâmica 
Palavras-chaves: 
• Referencial e Trajectória 
• Deslocamento, velocidade média e velocidade instantânea 
• Gráficos posição-tempo e velocidade-tempo 
• Aceleração média e aceleração instantânea 
• Grandezas angulares no movimento circular 
Objectivos: 
9 Distinguir os conceitos de repouso e de movimento 
9 Indicar diferentes tipos de trajectórias 
9 Distinguir as grandezas físicas cinemáticas 
9 Conhecer e aplicar as equações de movimento 
9 Interpretar e construir gráficos referentes a grandezas cinemáticas em função do 
tempo 
9 Determinar o espaço percorrido por um corpo a partir de gráficos velocidade-tempo. 
 
3.1 - Dinâmica (Forças e Movimento) 
Palavras-chaves: 
• Sistemas de forças 
• Força resultante 
• Lei da inércia, lei fundamental da dinâmica e lei de acção-reacção 
• Forças de atrito 
Objectivos: 
9 Representar graficamente a resultante de um sistema de forças 
9 Exemplificar tipos de forças 
9 Referir os efeitos resultantes da actuação de forças 
9 Interpretar e aplicar as leis de dinâmica 
9 Explicar a origem das forças de atrito 
9 Referir alguns factores de que dependem as forças de atrito 
23
9 Relacionar a aceleração adquirida por um corpo com a resultante das forças que sobre 
ele actuam e a respectiva massa
24
3.2 - Cinemática 
 
Grandezas cinemáticas 
9 Deslocamento: Δs = s2 - s1 [m] 
9 Velocidade média: V = Δs / Δt [m/s] 
9 Velocidade Instantânea: Vinst = lim Δt→0 Δs/Δt ⇒ V = ds/dt [m/s] 
9 Aceleração média: a = Δv / Δt [m/s2] 
9 Aceleração instantânea: ainst = lim Δt→0 Δv/Δt ⇒ a = ds/dt [m/s2] 
 
Equações horárias do movimento 
9 S(t) = S0 + v.t → Movimento Rectilíneo Uniforme “M.R.U.” (v = constante) 
9 V(t) = Vo + a.t → Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado “M.R.U.V.” 
(a = constante) 
9 S (t) = SO + VO.t + a.t2/2 
9 V2 (t) = Vo2 +2.a.Δs Equação de Torricelli 
 
Lançamento vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grandezas ângulares (Movimento Circular “M.C.”) 
9 Aceleração centrípeta: acp = V2/R 
9 Período (T): intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa. 
9 Frequência ( f ): número de voltas na unidade de tempo. 
 T = 1/ f U(T) = s-1 U(f) = hertz (Hz) 
25
9 Velocidade angular: ω = 2 π / T = 2 π f 
9 Outras: s = θ.R : V = ω.R 
 
 M.C.U.V 
M.C.U. 
 
 
 
 
9 Velocidade vectorial, tem sempre a direcção da recta tangente à trajectória no ponto 
onde localiza-se o móvel. 
9 Aceleração tangencial (at ) indica a variação do módulo da velocidade. 
 DIREÇÃO: Tangente a trajectória. 
 SENTIDO: O mesmo da velocidade, se o movimento for acelerado, oposto da 
velocidade, se o movimento for retardado. MÓDULO: Igual ao da 
aceleração escalar. 
9 Aceleração centrípeta (ac) indica variação da direcção do vector velocidade. 
 Vector aceleração resultante (a) 
 VECTORIALMENTE: a = at + ac 
 ALGÉBRICAMENTE: a2 = at2 + ac2 
Gráficos do M.U.V 
 
 
 
 
26
3.3 - Dinâmica 
 
Força peso: p = m.g (m = massa do corpo; g = aceleração gravítica) 
Força elástica: Fel = - k. x (k = constante de elasticidade; x = deformação da mola) 
Força de atrito: Fat = μ . N (μ = coeficiente de atrito; N = força normal) 
 
Lei da inércia (1ª lei de Newton): Se a força resultante que actua num dado corpo é 
nula ele está em repouso ou movimento rectilíneo uniforme. 
 
Lei Fundamental da dinâmica (2ª lei de Newton): 
 A aceleração adquirida por um corpo é directamente proporcional à força resultante e 
inversamente proporcional à sua massa. 
FR = m. a 
 
Lei da Acção e Reacção (3ª lei de Newton): A toda acção corresponde uma reacção de 
mesmo módulo e intensidade, porém de sentido contrário. 
Fab = - Fba 
 
 
Raciocínio de resolução dos problemas da Dinâmica 
 
• Especificar as forças que actuam em cada corpo (Construção do diagrama de forças 
em queda livre) 
• Escolher um sistema cartesiano e tentar fazer a decomposição das forças actuantes no 
corpo; 
• Escrever as equações de movimento para cada corpo (individualmente) do sistema; 
• Resolver as equações em função das incógnitas. 
 
 
 
27
Problemas da Cinemática 
1. Um automóvel passa por uma posição a 10 km de um ponto O, afastando-se dele com 
velocidade constante de 84 km/h. Que velocidade deve ter um motociclista que nesse instante 
passa por O, para alcançar o automóvel em 20 minutos? 
 
2. Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista rectilínea e em sentidos opostos, avistam-se 
quando a distância que os separa é de 150m. Um está correndo com velocidade escalar 
constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de - 7,5 m/s. Que distância 
cada um percorrerá na pista, desde que se avistam até o instante em que um passa pelo 
outro?" 
 
3. Um móvel parte de um certo ponto com movimento que obedece à lei horária x = 4t², em 
que “x” é a posição do móvel, em metros, e “t” é o tempo em segundos. Um segundo depois 
parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a 
mesma trajectória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de 
encontrar o primeiro? 
 
4. A lei de movimento de um ponto material descrevendo uma trajectória circular de raio 2m 
é: s = 2t2-3t+4 (a) Indique (mediante cálculos) quando o movimento é acelerado e quando é 
retardado; (b) Escreva a posição angular do movimento; (c) Determine a velocidade angular 
para t=1s. 
 
5. O gráfico aplica-se ao movimento rectilíneo de uma partícula. 
a) Classifique o movimento da partícula correspondente a cada 
troço e calcule a aceleração de cada movimento. 
b) Obtenha, para cada movimento, as expressões escalares da 
velocidade e da posição em função do tempo. 
 
 
 
 
 
28
Problemas da Dinâmica 
1. Uma esfera de massa 3x10-4 kg está suspensa por uma corda. Uma brisa horizontal 
constante empurra a esfera de maneira que ela faça um ângulo de 30º com a vertical de 
repouso da mesma. Determine: (a) a intensidade da força aplicada e (b) a tensão na corda. 
2. Uma pessoa de 80kg salta de pára-quedas e experimenta uma aceleração, para baixo, de 
2,5m/s2. O pára-quedas tem 5 kg de massa. (a) Qual a força exercida, para cima, pelo ar sobre 
o pára-quedas? (b) Qual a força exercida, para baixo, pela pessoa sobre o pára-quedas? 
3. Um elevador e a sua carga, juntos, têm massa de 1600kg. Determine a tensão no cabo de 
sustentação quando o elevador, inicialmente descendo a 12m/s, é parado numa distânciade 
42m com aceleração constante. 
4. Um armário de quarto com a massa de 45 kg, incluindo gavetas e roupas, está em repouso 
sobre o assoalho. (a) Se o coeficiente de atrito estático entre o móvel e o chão for 0.45, qual a 
menor força horizontal que uma pessoa deverá aplicar sobre o armário para colocá-lo em 
movimento? (b) Se as gavetas e as roupas, que têm 17kg de massa, forem removidas antes do 
armário ser empurrado, qual a nova força mínima? 
5. Um bloco de massa m1=3.7kg está sobre um plano com 30º de inclinação, sem atrito, preso 
por uma roldana, de massa e atrito desprezíveis, e tem na outra extremidade um segundo 
bloco de massa m2=2.3kg, pendurado verticalmente. Quais são (a) os módulos das 
acelerações de cada bloco e (b) o sentido da aceleração de m2? (c) Qual a tensão na corda? 
6. Se um neutrão livre é capturado por um núcleo, ele pode ser parado no interior do núcleo 
por uma força forte. Esta força forte, que mantém o núcleo coeso, é nula fora do núcleo. 
Suponha que um neutrão livre com velocidade inicial de 1.4x107m/s acaba de ser capturado 
por um núcleo com diâmetro d =10-14m. Admitindo que a força sobre o neutrão é constante, 
determine a sua intensidade. (A massa do neutrão é 1,67x10-27kg). 
 
 
 
 
 
 
29
Possíveis soluções 
Cinemática 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
Para calcular o intervalo de tempo que eles levaram para se encontrar, podemos usar: 
 
 
 
O deslocamento de cada um será: 
 
 
3. Móvel 1 - MRUV: Móvel 2 - MRU: 
 
 
30
 No instante de encontro, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. a) Para t <3/4 ⇒ V< 0 ⇔ Movimento retardado 
 
 
 Para t > 3/4 ⇒ V> 0 ⇔ Movimento acelerado 
 
 
b) ϕ (t) = (t2-3/2t+2) rad 
 
 
c) ω(t) = 0,5 rad/s 
 
 
5. a) Troço AB: MRU, no sentido negativo com v = 1m/s, aAB= 0 m/s2 
 
 Troço BC: MRUR, no sentido negativo, aAB= -0,5 m/s2 
 
 Troço CD: MRUA, no sentido positivo, aAB= 4 m/s2 
 
 Troço DE: MRU no sentido positivo com v = 4 m/s, aDE= 0 m/s2 
 
 Troço EF: MRUR no sentido positivo, aAB= -4 m/s2 
 
b) Expressões vectoriais: 
 
 Velocidade Posição 
 
 Troço AB: v(t) =1m/s, x(t) = 1t 
 
 Troço BC: v(t) = 1-0,5t x (t) = 1t-0,25t2 
 
 Troço CD: v(t) = 4t x (t) = 2t2 
 
31
 Troço DE: v(t) = 4 x(t) = 4t 
 
 Troço EF: v(t) = 4-4t x(t) = 4t-2t2 
 
 
 
Dinâmica 
 
1.a) F = 2,21x10-3 N 
 b) T = 3,68x10-3 N 
 
2.a) Fa = 620 N 
 b) Fp=580 N 
 
3. T = 1,8x104 N 
 
4.a) F = 200 N 
 b) F = 120 N 
 
5.a) a = 0,75 m/s2 
 b) A aceleração de m2 aponta para baixo 
 c) T = 20,84 N 
 
6. F = 16,4 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32
Unidade 4– Centro de massa e Cinemática de Rotação 
Objectivos do tema: 
• Determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas 
• Determinar a posição do centro de massa de um sistema de dois ou mais corpos 
rígidos, homogéneos e regulares. 
• Aplicar a lei da conservação do momento linear caracterizar as colisões elásticas 
inelásticas e perfeitamente inelásticas. 
• Calcular o momento angular de uma partícula e de um sistema de partículas em 
relação a um ponto. 
• Definir o momento de inércia. 
• Calcular o momento de uma força em relação a um ponto. 
• Enunciar e efectuar cálculos com a segunda lei do movimento de rotação em termos 
de aceleração angular. 
• Enunciar e efectuar cálculos com segunda lei de movimento de rotação em termos 
de variação mo momento angular experimentada pelo sistema. 
• Efectuar cálculos que engloba a lei da conservação do momento angular como um 
corolário da segunda lei do movimento de rotação. 
• Definir movimento de rotação. 
• Generalizar a lei da conservação da energia mecânica a um sistema em que ocorre a 
movimento de translação e movimento de rotação. 
 
4. 1 - Momento angular, momento linear, centro de massa e aplicação das leis de 
newton aplicadas ao movimento de rotação e translação. 
 
• O centro de massa (CM) de um sistema de partículas é um ponto que representa 
globalmente todo o sistema no seu movimento de translação. 
• Posição do centro de massa i
i
CM
mr
r M=
∑ rr
 onde 
i
M m= ∑ e cujas coordenadas 
são: 
i i
CM
m x
X M=
∑
 
i i
CM
m y
y M=
∑
 
33
i i
CM
m z
z M=
∑
 
• Velocidade do centro de massa i iCM
m v
v M=
∑ rr
 
• Aceleração do centro de massa i iCM
m a
a M=
∑ rr
 
• O momento linear total de um sistema de partículas é igual ao de uma partícula de 
massa M , que se movimenta à velocidade do centro de massa 
CM i CM CMp p p Mv= ⇒ =∑r r r r 
• A resultante das forças exteriores que actuam sobre o sistema de partículas é igual 
à variação do momento linear - Lei Fundamental da Dinâmica. 
CM
ext ext CM
dpF F Madt= ⇒ =
rr r r
. 
• Se a resultante das forças exteriores for zero, o momento linear permanece 
constante - Lei da Conservação do Momento Linear. 
CM
ext CM
dpF 0 0 p constantedt= = = ⇒ =
rr rr r
 
• Uma colisão é uma interacção breve e forte entre duas partículas havendo sempre 
conservação do momento linear. 
34
 
fi
A Ai B Bi A Af B Bf
p p
m v m v m v m v
=
+ = +
r r
r r r r 
• Podem ocorrer vários tipos de colisões: 
 Nas colisões ELÁSTICAS a energia cinética do sistema permanece constante. 
cfci
2 2 2 2
A Ai B Bi A Af B Bf
E E
1 1 1 1m v m v m v m v2 2 2 2
=
+ = + 
 Nas colisões INELÁSTICAS não há conservação de energia cinética. 
 Nas colisões COMPLETAMENTE INELÁSTICAS, além de não haver 
conservação de energia cinética, as duas partículas seguem juntas após a colisão 
( )A Ai B Bi A B fm v m v m m v+ = +r r r 
• O momento angular de uma partícula material relativamente ao ponto O é: 
35
L r p
L mr v
L mrvsen
= ×
= ×
= θ
r r r
r r r
r
 
 
O momento angular é perpendicular ao plano definido por vr e rr e o sentido é dado pela 
regra da mão direita. A unidade de momento angular é 2 1kg.m .s− 
 
Se a partícula está animada de movimento circular uniforme, L mrvsen90º=r . 
 
2
2
L mvR
v R
L mR
L mR
=
= ω
= ω
= ω
r
r r
 
 
ωr é a velocidade angular da partícula e é um vector com a direcção do eixo em torno do 
qual a partícula roda. 
Se a origem do referencial não pertence ao plano da trajectória, L
r
 e ωr não terão a 
mesma direcção. No entanto a componente de L
r
 segundo o eixo dos zz terá a direcção 
de ωr . 
36
2
z z z
L r p sen90º L mvr
RL Lsen L mvr L mRr
= × ⇒ =
= φ ⇒ = ⇒ = ω
r rr r
r r
 
 
 
O momento angular de um sistema de partículas em relação a um ponto é igual ao 
somatório dos momentos de cada partícula. 
iz i iL L r p= = ×∑ ∑r r r r 
O momento angular de um corpo rígido em relação a qualquer ponto pertencente ao eixo 
de rotação não tem a direcção de ωr . No entanto somente a componente de Lr , com 
direcção do eixo de rotação permite analisar os efeitos de rotação. 
z iz i iL L mr I= = ω = ω∑ ∑r r r r 
Sendo o momento de inércia, 
i
2
iI mr= ∑ , uma grandeza escalar que mede a resistência 
à variação de velocidade angular. A unidade SI de momento de inércia 2kg.m . 
37
A energia cinética de rotação é igual a 2c rot
1E I2= ω . 
O momento de uma força em relação a um ponto é igual a taxa de variação do momento 
angular. 
0
dM Ldt=
r r
 
Segunda Lei de Newton do Movimento de Rotação 
 
Para um sistema de partículas 
( )
z iz i iL L mr I
d dM L M Idt dt
d aceleração angulardt
M I
= = ω = ω
= ⇒ = ω
ω = α
= α
∑ ∑r r r r
r r r r
r r
r r
 
O momento da força em relação ao ponto O é definido pelo produto vectorial. 
M r F
M r F sen M F b
= ×
= θ ⇒ =
r rr
r r r rr 
A distância, b , entre a linha de acção da força e o ponto Odesigna-se por braço da força. 
38
Um binário é um sistema constituído por duas forças simétricas, com linhas de acção 
diferentes, de resultante nula, mas que apresenta um efeito rotativo. 
 
O momento de um binário é definido por: 
M r FM r F sen M F b
= ×
= θ ⇒ =
r rr
r r r rr , 
em que b é o braço do binário, isto é, a distância entre as linhas de acção das duas forças. 
Se o momento resultante das forças exteriores que actuam sobre o sistema é nulo, o 
momento angular permanece constante - Principio da Conservação do Momento 
Angular. 
F ext
dM 0 L 0 L constantedt= = = ⇒ =
r rr r r
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
QUESTÃO 1 
Uma partícula com a massa de 0,200 kgdesloca-se com movimento uniforme e 
rectilíneo cuja trajectória pertence ao plano ( )XOY . No instante, =0t 0 a partícula está 
na posição ( )−4,00;0 e no instante =2t 2,00 s está na posição ( )2P 0,3,00 . 
39
 
Determine: 
a) A velocidade da partícula. 
b) O momento angular da partícula em relação: 
i) À origem do referencial. 
ii) Ao ponto do referencial 
 
QUESTÃO 2 
A figura representa três pás iguais, cada uma delas com a massa de 12,0kg , que estão 
unidas ao rotor de um aerogerador eléctrico. O rotor está rodando à taxa de 30,0 voltas 
por minuto. 
 
Determine, relativamente ao eixo de rotação: 
a) O momento de inércia do sistema constituído pelas pás (supondo-as varetas 
homogéneas com secção constante). 
b) O valor do momento angular do mesmo sistema 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 
40
 
 Um corpo de massa m suposto pontual, está suspenso em O por um fio de 
comprimento l e massa desprezável. O corpo encontra-se em repouso com o fio na 
posição vertical OA , como representa a figura. 
 
 
 Num dado instante, aplica-se um impulso ao corpo e este adquire a velocidade angular 
ωr A .O corpo descreve uma trajectória circular no plano vertical XOY , invertendo o 
sentido do movimento quando o fio atinge a posição horizontal OB . Despreze o efeito da 
resistência do ar. 
a) Considere o percurso do sistema corpo+ fio, da +posição OA para a posição 
OB . 
i) Determine em função de ωr Am, l e ,a variação da energia cinética do sistema 
entre a posição OA , imediatamente após a aplicação do impulso, e a posição OB . 
ii) Determine em função de g e l , o módulo da velocidade angular ωA , do corpo 
na posição OA , imediatamente após a aplicação do impulso. 
b) Considere o sistema corpo+fio na posição OA . 
i) Determine, em função de m,l e g , o momento angular do corpo em relação ao 
ponto O , imediatamente após a aplicação do impulso. 
 
QUESTÃO 4 
Determine o valor da força 
r
Fque poderá ser aplicada no ponto da chave indicado na 
figura, para que o momento da força aplicada não exceda o valor da 10Nm 
recomendado pelo fabricante do parafuso. 
 
41
 
 
QUESTÃO 5 
 
Observe a figura. Nos pontos A,B e Cde corpo rígido que é livre de rodar em torno do 
eixo O , estão aplicadas três forças 
r r r
A B CF ,F e F situadas no mesmo plano, que valem 
20N,10N e 40N , respectivamente, = = =OA OB 30 cm; OC 50 cm. 
 
 
a) Determine o momento das forças aplicadas no corpo em relação ao ponto O 
 
QUESTÃO 6 
 
Um sistema, constituído por três discos ligados entre si, encontram-se sobre uma mesa de 
ar, plana e horizontal, em repouso. Num dado instante, os discos separam-se sob a acção 
de forças interiores ao sistema e passam a mover-se sobre a mesa. A figura representa, 
num instante posterior, as posições dos discos A,B e C (supostos pontuais) no referencial 
considerado e as respectivas velocidades 
( )1A xV 3,0 e m.s−=r r , ( )1B x yV 3,5 e 3,5 e m.s−= − +r r r e CVr .Os discos têm massas 
Am 100 g= , Bm 200 g= e Cm 300 g= . Despreze as forças exteriores. 
42
 
a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema no referencial considerado? 
Justifique. 
b) Para o sistema formado pelos três discos: 
i) Determine a posição do centro de massa, em relação ao referencial considerado. 
ii) Qual era a posição do centro de massa, em relação ao referencial considerado, 
quando os três discos se encontram em repouso sobre a mesa de ar? Justifique. 
c) Determine a velocidade CV
r
. 
 
 
QUESTÃO 7 
 
Determine a posição do centro de massa da molécula de 3HNO representada na figura. Os 
átomos de hidrogénio, azoto e oxigénio têm a massa de 1,0 u ,14,0u e 16,0u, 
respectivamente. 
 
 
 
QUESTÃO 8 
Os corpos A e Bde massas Am e Bm ( )A Bm m> representados na figura, estão unidos 
por um fio inextensível e de massa desprezável que passa pela gola de uma roldana 
43
cilíndrica de massa m e raio r . Mostre que o corpo A após ter descido, a partir do 
repouso, a distância h , adquire a velocidade v tal que: 
( )A B2
A B
2gh m mv 1m m m2
−= ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
QUESTÃO 9 
 
Observe a montagem representada na figura. A duas roldanas representadas são 
cilíndricas, estão coladas uma à outra e têm massas 1m 800 g= e 2m 300 g= . Entre o 
corpo A e a superfície do plano existe atrito valendo e c 0,35μ = μ = . 
Determine, caso o corpo A esteja a descer com a aceleração constante de valor igual 
21,25m.s− : 
a) O momento resultante das forças que estão aplicadas no sistema constituído 
pelas duas roldanas. 
b) A massa do corpo B . 
c) O valor do momento angular do sistema das duas roldanas em relação ao eixo, 
3,0 s após o movimento ter sido iniciado. 
 
 
 
44
QUESTÃO 10 
 
O centro de massa de um cilindro homogéneo de massa m 20,0 kg= e diâmetro 
d 30,0 cm= desloca-se num plano horizontal com velocidade de 15,0 m.s− . 
Determine o valor do trabalho a realizar pelas forças que lhe têm que ser aplicadas para o 
fazer parar. 
 
QUESTÃO 11 
 
Uma mó cilíndrica de pedra com a massa de 90 kg e 70 cmde raio desce, partido do 
repouso, um plano inclinado que define com a horizontal o ângulo de 37º . 
Determine: 
a) O valor da energia cinética rotacional da mó após ter descido 1,25m no plano. 
b) O valor máximo da aceleração do centro de massa ao descer o plano. 
 
QUESTÃO 12 
 
Um rapaz está sentado num banco giratório segurando um peso em cada uma das mãos. 
Inicialmente, quando o rapaz estava com os braços afastados do corpo o movimento de 
rotação tinha o período de 0,8 s . Depois, ao aproximar os braços do corpo, o período 
modificou-se para 1,0 s . 
 
a) Determine a razão entre o momento de inércia do sistema rapaz - pesos no fim e 
no inicio. 
 
 
 
45
QUESTÃO 13 
 
Um disco X , homogéneo, situado num plano horizontal, tem momento de inércia 
3 23,6 10 kg.m−× em relação ao eixo OZ que lhe é perpendicular e passa pelo seu centro 
O . O disco roda sem atrito, com frequência 0,75Hz , em torno do referido eixo, como 
indica a figura. 
 
a) Determine o momento angular do disco em relação ao eixo OZ . 
b) Num dado instante, mantendo o disco X a rodar, faz cair verticalmente sobre ele 
um disco Y , idêntico a X , inicialmente em repouso, com igual momento de inércia em 
relação ao eixo OZ . Os dois discos deslocam-se juntos. 
i) Determine, em relação ao eixo OZ , o momento angular dos dois discos 
imediatamente após a queda de um sobre o outro. Justifique. 
ii) Enuncie a lei em que se baseou para responder a b) i) 
 
QUESTÃO 14 
 
Um disco A , homogéneo, de raio AR 12,0 cm= e massa Am 1,000 kg= , roda num 
plano horizontal, em torno de um eixo que passa pelo seu centro, no sentido indicado na 
figura, com velocidade angular de módulo 1A 3,5 rad.s−ω = . Num dado instante, um 
disco B , homogéneo, de igual raio e massa Bm 111g= , inicialmente em repouso, cai 
sobre o disco A . Após um intervalo de tempo muito curto, tΔ , o sistema constituído 
pelos dois discos roda com a velocidade angular fωr . Considere desprezáveis os efeitos do 
atrito entre o disco A e a superfície de apoio, no eixo de rotação, e o efeito da resistência 
do ar. O momento de inércia de um disco de massa M e raio R , em relação a um eixo 
perpendicular ao plano da base do disco que passa pelo centro, é 21I MR2= . 
 
46
 
a) Justifique a seguinte afirmação: 
«No intervalo de tempo tΔ , o momento angular Lr do sistema, em relação ao eixo de 
rotação, mantém-se constante» 
b) Determine o módulo, a direcção e o sentido da velocidade angular fωr . 
c) Determine o momento da força que se deve aplicar no sistemapara que este 
adquira de novo a velocidade angular de módulo 1A 3,5 rad.s−ω = , num intervalo de 
tempo 31,75 10 s−× . 
 
QUESTÃO 15 
 
Um disco homogéneo, de massa M e raio R , roda num superfície plana e horizontal com 
velocidade angular constante de módulo ω , no sentido indicado na figura, em torno de 
um eixo fixo, que passa pelo centro O do disco. O momento de inércia do disco em 
relação ao eixo referido é 21I MR2= e o módulo da velocidade de qualquer dos pontos da 
periferia é v .Um corpo de massa Mm 2= é lançado horizontalmente segundo uma 
trajectória rectilínea, tangente ao disco, com uma velocidade xv v e= rr , de módulo igual 
ao da velocidade de um ponto da periferia o disco. Admita que, imediatamente após a 
colisão, o corpo segue na mesma direcção e sentido que tinha antes da colisão. Despreze 
os efeitos do atrito no eixo do disco, entre o corpo e a superfície horizontal e entre o disco 
e essa superfície. 
 
 
47
a) Desenhe o disco e o corpo separados. Represente as forças de interacção entre o 
disco e o corpo, durante a colisão. Tenha em atenção o tamanho relativo dos vectores. 
Faça a legenda. 
b) Mostre que é nulo o momento angular do sistema disco+ corpo, imediatamente 
antes da colisão ao ponto O . 
c) Qual é a relação entre o módulo, a direcção e o sentido do momento angular do 
corpo imediatamente após a colisão, relativamente ao ponto O . 
 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES 
Momento angular, momento linear, centro de massa e aplicação das leis de newton 
aplicadas ao movimento de rotação e translação 
Questão Solução 
1 a) 1v 2,50 m.s−= ; 36,87ºθ = 
b) I) yL 1,20 e= −
r r
 
ll) zL 1,60 e=
r r
 
2 
 
3 
 
4 F 39N= 
5 
0 zM 17 e= −
r r
 
48
6 
 
7 
 
8 
9 a) 0M 0,131N.m= 
b) Bm 1,09 kg= 
c) 2 1L 0,39 kg.m .s−= 
 
10 2W 3,8 10 J−= − × 
11 a) 1v 3,14 m.s−= 
b) 2a 5,9 m.s−= 
12 
 
13 a) 2 zL 1,7 10 e−= ×
r r
 
b) i) 2f zL 1,7 10 e−= ×
r r
 
ii)Lei da conservação do momento angular: num 
sistema em que a soma dos momentos das forças 
exteriores seja nula verifica-se a conservação do 
momento angular. 
iii) 2T 2,7 s= 
 
 
49
14 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50
Referências Bibliográficas 
 
1. Halliday, Resnick, Walker. Fundaments of Physic - Mechanic 1 (7ª Edição) 
2. Frederick J. Bueche, Eugene Hecht. Física (9ª Edição) 
3. Ferninand P. Beer, E.Russel Johnston, Jr., William E. Clausen. Mecânica Vectorial. 
 
51