Modulo de Matemática Financeira-ISCED (3)

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CURSO DE LICENCIATURA EM 
CONTABILIDADE E AUDITORIA 
 1º Ano 
Disciplina/Módulo: Matemática Financeira 
Código: ISCED12-MATCFE004 
Total Horas/1o Semestre: 150 
Créditos (SNATCA): 6 
Número de Temas: 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO SUPER 
 
 
 
 INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ISCED 
 
 
 
Direitos de autor (copyright) 
Este manual é propriedade do Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED), 
e contêm reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução parcial ou 
total deste manual, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (electrónicos, mecânico, 
gravação, fotocópia ou outros), sem permissão expressa de entidade editora (Instituto 
Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED). 
A não observância do acima estipulado o infractor é passível a aplicação de processos 
judiciais em vigor no País. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED) 
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Agradecimentos 
O Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância  Coordenação do Programa das 
licenciaturas e o autor que elaborou o presente manual (Msc Inácio Xavier Rafael Bute) 
agradecem a colaboração dos seguintes indivíduos e instituições na elaboração deste 
manual: 
 
Pelo design e revisão final Prof. Dr. Horácio Emanuel N’Vunga 
Financiamento e Logística IAPED – Instituto Africano de Promoção do 
Ensino a Distância. 
 
 
Elaborado Por: 
Msc Inácio Xavier Rafael Bute – Mestrado em Auditoria e Gestão Empresarial, pela 
Universidade Internacional Ibero-americana – EUA, Porto Rico e Licenciado em Ensino de 
Matemática, pela Universidade de Pedagógica – Delegação da Beira. 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
VISÃO GERAL .................................................................................................................................................... 1 
BEM VINDO À DISCIPLINA/MÓDULO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................ 1 
OBJECTIVOS DO MÓDULO ......................................................................................................................................... 1 
QUEM DEVERIA ESTUDAR ESTE MÓDULO ...................................................................................................................... 2 
COMO ESTÁ ESTRUTURADO ESTE MÓDULO .................................................................................................................... 2 
ÍCONES DE ACTIVIDADE ............................................................................................................................................. 4 
HABILIDADES DE ESTUDO ........................................................................................................................................... 4 
PRECISA DE APOIO? .................................................................................................................................................. 6 
TAREFAS (AVALIAÇÃO E AUTO-AVALIAÇÃO) ................................................................................................................... 7 
AVALIAÇÃO ............................................................................................................................................................ 7 
TEMA – I: INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA. .................................................................................... 9 
1.1 INTRODUÇÃO E NOÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA. ............................................................... 9 
OBJECTIVOS DO TEMA............................................................................................................................................... 9 
1.2 PERCENTAGEM ......................................................................................................................................... 10 
1.2.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: .................................................................................................................. 11 
1.3 FACTOR DE CAPITALIZAÇÃO ........................................................................................................................ 11 
1.4 FACTOR DE DESCAPITALIZAÇÃO ................................................................................................................... 12 
1.5 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO ............................................................................................................ 13 
1.6 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO DO TEMA ........................................................................................................... 15 
TEMA – II: CAPITAL, JUROS, TAXAS DE JUROS E MONTANTE .......................................................................... 17 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 17 
OBJECTIVOS DO TEMA ............................................................................................................................................ 17 
2.2 COMPARAÇÃO DE CAPITAIS ........................................................................................................................ 18 
2.3 JUROS .................................................................................................................................................... 19 
2.4 TAXA DE JUROS ........................................................................................................................................ 19 
2.5 MONTANTE ............................................................................................................................................. 20 
2.6 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 20 
TEMA – III: SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÕES: SIMPLES E COMPOSTO ............................................................... 21 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 21 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 21 
3.1 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ............................................................................................................ 22 
3.2 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO ........................................................................................................ 23 
3.3 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 25 
TEMA IV – RELAÇÕES ENTRE: JUROS SIMPLES, FUNÇÃO AFIM E PROGRESSÃO ARITMÉTICA E RELAÇÕES 
ENTRE: JURO COMPOSTO, FUNÇÃO EXPONENCIAL E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. ........................................ 27 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 27 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 27 
4.1 RELAÇÕES ENTRE: JUROS SIMPLES, FUNÇÃO AFIM E PROGRESSO ARITMÉTICA ...................................................... 27 
4.2 RELAÇÃO ENTRE JUROS COMPOSTOS, FUNÇÃO EXPONENCIAL E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ..................................... 28 
4.2.1 EXERCÍCIOS DE AUTOAVALIAÇÃO...................................................................................................... 29 
 
 
 
TEMA V - CAPITALIZAÇÕES CONTINUAS. COMPARAÇÕES ENTRE MONTANTES NO REGIME DE 
CAPITALIZAÇÕES CONTÍNUAS E PERIÓDICAS. ................................................................................................. 30 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 30 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 30 
5.1 CAPITALIZAÇÕES CONTÍNUAS ....................................................................................................................... 30 
5.2 COMPARAÇÃO ENTRE MONTANTES NO REGIME DE CAPITALIZAÇÕES CONTÍNUAS E PERIÓDICAS............................... 32 
5.3 VALOR PRESENTE DE CAPITAIS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDOS ........................................................................ 32 
5.4 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 33 
TEMA VI - TAXAS DE JUROS: NOMINAIS, PROPORCIONAIS, EFECTIVAS E EQUIVALENTES. .............................. 34 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 34 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 34 
6.1 TAXA DE JUROS NOMINAL .......................................................................................................................... 34 
6.2 TAXA EFECTIVA (IF) ................................................................................................................................... 36 
6.3 TAXAS PROPORCIONAIS ............................................................................................................................. 36 
6.3.1 EXERCÍCIOS DE AUTOAVALIAÇÃO ...................................................................................................... 37 
6.4 TAXAS EQUIVALENTES ............................................................................................................................... 37 
6.5 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 38 
TEMA VII - OPERAÇÕES DE DESCONTO COMERCIAL E RACIONAL ................................................................... 39 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 39 
7.1 OPERAÇÕES DE DESCONTO COMERCIAL E RACIONAL ....................................................................................... 39 
7.2 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL (POR FORA) ................................................................................................ 40 
7.2.2 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO ........................................................................................................ 41 
7.3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL (POR DENTRO) ............................................................................................... 41 
7.3.2 EXERCÍCIOS DE AUTOAVALIAÇÃO ...................................................................................................... 42 
7.4 OPERAÇÕES DE DESCONTO COMPOSTO ........................................................................................................ 43 
7.4.1.1 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO .................................................................................................... 44 
7.4.2.2 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO .................................................................................................... 44 
7.5 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ......................................................................................................................... 45 
TEMA VIII - VALOR ACTUAL E O VALOR FUTURO DE UM FLUXO DE CAIXA ..................................................... 46 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 46 
8.1 FLUXO DE CAIXA ....................................................................................................................................... 46 
8.2 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA ............................................................................................... 47 
8.2.2 EXERCÍCIOS DE AUTOAVALIAÇÃO ...................................................................................................... 48 
8.3 TAXA INTERNA DE RETORNO DE UM FLUXO DE CAIXA-TIR ................................................................................ 49 
8.3.1 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO ........................................................................................................ 49 
8.4 EXERCÍCIO DE AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 49 
TEMA IX - EQUIVALENCIA DE CAPITAIS EM AMBOS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ......................................... 51 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 51 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 51 
 
 
 
9.1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES ................................................................................................ 51 
9.2 EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS ......................................................................................... 53 
9.3 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ................................................................................................................. 54 
TEMA X - SERIES DE PAGAMENTOS: UNIFORMES E VARIÁVEIS ....................................................................... 56 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 56 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 56 
10.1 SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS ..................................................................................................................... 56 
10.1.1 SÉRIE UNIFORME DE TERMOS POSTECIPADOS .............................................................................. 57 
10.1.1.4 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO ................................................................................................ 59 
10.1.2 SÉRIE UNIFORME DE TERMOS ANTECIPADOS ...................................................................................... 59 
10.1.2.2 EXERCÍCIOS DE AUTOAVALIAÇÃO .............................................................................................. 60 
10.2 SÉRIE VARIÁVEL DE CAPITAIS ....................................................................................................................... 62 
10.3 EXERCÍCIO DE AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 65 
TEMA XI - OPERAÇÕES FINANCEIRAS REALIZADAS NO MERCADO; OPERAÇÕES SIMPLES A CURTO PRAZO. ... 66 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 66 
11.1 OPERAÇÕES FINANCEIRAS ..........................................................................................................................66 
11.1.1 CLASSIFICAÇÃO DAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS .................................................................................. 67 
11.2 EQUILÍBRIO FINANCEIRO ............................................................................................................................ 67 
11.2.1 EQUILÍBRIO ESTÁTICO - EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA ..................................................................... 67 
11.3 EQUILÍBRIO DINÂMICO: SALDO FINANCEIRO .................................................................................................. 69 
11.4 OPERAÇÕES SIMPLES A CURTO PRAZO .......................................................................................................... 71 
11.4.1 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO .................................................................................................... 73 
11.5 EXERCÍCIO DE AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 73 
TEMA XII - OPERAÇÕES FINANCEIRAS REALIZADAS NO MERCADO; OPERAÇÕES A MÉDIO E LONGO PRAZO. . 74 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 74 
12.1 OPERAÇÕES FINANCEIRAS NO MERCADO MONETÁRIO ..................................................................................... 74 
12.1.1 TIPOS DE OPERAÇÕES .................................................................................................................... 76 
12.1.2 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO .......................................................................................................... 76 
12.2 CONTAS CORRENTES ................................................................................................................................. 77 
12.2.1 CONTAS CORRENTES A JUROS RECÍPROCOS .................................................................................. 78 
12.2.2 CONTAS CORRENTES A JUROS NÃO RECÍPROCOS .......................................................................... 80 
12.3 CONTAS REMUNERADAS ............................................................................................................................ 83 
12.4 CONTAS CORRENTES DE CRÉDITO................................................................................................................. 85 
TEMA XIII - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC), SISTEMA DE AMORTIZAÇAO 
FRANCÊS (TABELA DE PRICE) E SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA). ........................................... 88 
OBJECTIVOS DO TEMA: ........................................................................................................................................... 88 
13.1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES ..................................................................................................................... 88 
13.1.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................................................. 88 
 
 
 
13.1.2 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO .................................................................................................... 90 
13.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ........................................................................................................... 91 
13.2.1 EXERCÍCIO DE AUTOAVALIAÇÃO .................................................................................................... 91 
13.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ....................................................................................................... 92 
13.3.1 EXERCÍCO DE AUTOAVALIAÇÃO ..................................................................................................... 92 
13.4 EXERCÍCIO DE AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 93 
TEMA XIV - METODOS E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO E ANÁLISE DE INVESTIMENTO DE CAPITAL-TAXA INTERNA 
DE RETORNO (TIR) E DO VALOR PRESENTE (VPL) ............................................................................................ 94 
14.1 MÉTODOS E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO E ANÁLISE DE INVESTIMENTO DE CAPITAL .................................................. 94 
14.2 VALOR ACTUAL LÍQUIDO - VAL ................................................................................................................... 95 
14.3 TAXA INTERNA DE RENDIBILIDADE - TIR ........................................................................................................ 96 
14.4 EXERCÍCIO DE AVALIAÇÃO .......................................................................................................................... 97 
XV - INFLAÇÃO E CORRECÇÃO MONETÁRIA .................................................................................................... 98 
15.1 ÍNDICES DE PREÇOS E TAXAS DE INFLAÇÃO ..................................................................................................... 98 
15.2 TAXA DE DESVALORIZAÇÃO MONETÁRIA ....................................................................................................... 99 
15.3 TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA REAL ..................................................................................................... 100 
15.4 CORRECÇÃO MONETÁRIA ......................................................................................................................... 101 
15.5 EXERCÍCIOS DE AVALIAÇÃO ....................................................................................................................... 102 
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................. 103 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Visão geral 
Bem vindo à Disciplina/Módulo de Matemática 
Financeira 
Objectivos do Módulo 
O conhecimento básico da matemática é primordial para o 
desenvolvimento de qualquer actividade científica e, em especial a 
Matemática Financeira, é fundamental em qualquer área do 
conhecimento, tanto para a realização de cálculos quanto para a 
avaliação de diversas situações, inclusive aquelas envolvendo 
análise de custos, de investimentos e de financiamentos. Dessa 
forma, ao final desta disciplina os alunos deverão estar aptos na 
utilização da matemática financeira como recurso no trato das 
operações comerciais e financeiras que envolvam património das 
pessoas físicas ou jurídicas, bem como suporte na análise de 
alternativas negociais, identificando aquelas de maior interesse. 
Não é objectivo da disciplina preparar os participantes para a 
utilização de quaisquer tipos de calculadoras ou de softwares 
disponíveis para o tratamento de situações inerentes à 
matemática financeira, muito embora a utilização destes seja 
permitida e até incentivada. 
 
 
Objectivos 
Específicos 
 Compreender as equações matemáticas envolvidas em cálculos 
financeiros básicos, bem como suas origens; 
 Utilizar as equações envolvidas na matemática financeira para 
realizar cálculos dos elementos pertinentes a esta área de 
conhecimento, tais como: montante, valor de prestações, saldo 
devedor, taxas de juros em empréstimos e financiamentos de 
longo prazo; 
 Utilizar os conceitos matemáticos financeiros nas tomadas de 
decisões, em diversas áreas do conhecimento, inclusive em 
situações problema da própria matemática financeira; 
 Identificar, analisar, utilizar as diferentes técnicas de análise de 
investimento, tais como: a da taxa interna de retorno (TIR) e a 
do valor presente líquido (VPL); 
 Analisar, construir e utilizar os principais planos de pagamentos 
em amortizações de dívidas, dentre eles: o sistema francês de 
amortizações (Tabela Price), sistema de amortizações 
constantes, o sistema sacre (misto); 
 
2 
 
 Calcularem datas futuras para financiamentos de longo prazo -
valores tais como: saldo devedor, prestação,parcela de 
amortização, juros acumulados. 
 
Quem deveria estudar este 
módulo 
Este Módulo foi concebido para estudantes do 1º ano do curso de 
licenciatura em Contabilidae e Auditoria do ISCED e outros como 
Gestão de Rcursos Humanos, Administração, etc. Poderá ocorrer, 
contudo, que haja leitores que queiram se actualizar e consolidar 
seus conhecimentos nessa disciplina, esses serão bem-vindos, não 
sendo necessário para tal se inscrever. Mas poderá adquirir o 
manual. 
Como está estruturado este 
módulo 
Este módulo de Matemática Financeira, para estudantes do 1º ano 
do curso de licenciatura em Contabilidade e Auditoria, à 
semelhança dos restantes do ISCED, está estruturado como se 
segue: 
Páginas introdutórias 
 Um índice completo. 
 Uma visão geral detalhada dos conteúdos do módulo, 
resumindo os aspectos-chave que você precisa conhecer para 
melhor estudar. Recomendamos vivamente que leia esta 
secção com atenção antes de começar o seu estudo, como 
componente de habilidades de estudos. 
 
3 
 
Conteúdo desta Disciplina / módulo 
Este módulo está estruturado em Temas. Cada tema, por sua vez 
comporta certo número de unidades temáticas ou simplesmente 
unidades. Cada unidade temática se caracteriza por conter uma 
introdução, objectivos, conteúdos. 
No final de cada unidade temática ou do próprio tema, são 
incorporados antes o sumário, exercícios de auto-avaliação, só 
depois é que aparecem os exercícios de avaliação. 
Os exercícios de avaliação têm as seguintes caracteristicas: Puros 
exercícios teóricos/Práticos, Problemas não resolvidos, actividades 
práticas e algumas incluindo estudo de caso. 
Outros recursos 
A equipa dos académicos e pedagogos do ISCED, pensando em si, 
num cantinho, recóndito deste nosso vasto Moçambique e cheio 
de dúvidas e limitações no seu processo de aprendizagem, 
apresenta uma lista de recursos didácticos adicionais ao seu 
módulo para você explorar. Para tal o ISCED disponibiliza na 
biblioteca do seu centro de recursos mais material de estudos 
relacionado com o seu curso como: Livros e/ou módulos, CD, CD-
ROOM, DVD. Para elém deste material físico ou electrónico 
disponível na biblioteca, pode ter acesso a Plataforma digital 
moodle para alargar mais ainda as possibilidades dos seus 
estudos. 
 
Auto-avaliação e Tarefas de avaliação 
Tarefas de auto-avaliação para este módulo encontram-se no final 
de cada unidade temática e de cada tema. As tarefas dos 
exercícios de auto-avaliação apresentam duas características: 
primeiro apresentam exercícios resolvidos com detalhes. Segundo, 
exercícios que mostram apenas respostas. 
Tarefas de avaliação devem ser semelhantes às de auto-avaliação 
mas sem mostrar os passos e devem obedecer o grau crescente de 
dificuldades do processo de aprendizagem, umas a seguir a outras. 
Parte das terefas de avaliação será objecto dos trabalhos de 
campo a serem entregues aos tutores/docentes para efeitos de 
correcção e a subsequente nota. Também constará do exame do 
fim do módulo. Pelo que, caro estudante fazer todos os exrcícios 
de avaliação é uma grande vantagem. 
 
4 
 
Comentários e sugestões 
Use este espaço para dar sugestões valiosas, sobre determinados 
aspectos, quer de natureza científica, quer de natureza diadáctico-
Pedagógica, etc, sobre como deveriam ser ou estar apresentadas. 
Pode ser que graças as suas observações que, em goso de 
confiança, classificamo-las de úteis, o próximo módulo venha a ser 
melhorado. 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas 
margens das folhas. Estes icones servem para identificar 
diferentes partes do processo de aprendizagem. Podem indicar 
uma parcela específica de texto, uma nova actividade ou tarefa, 
uma mudança de actividade, etc. 
Habilidades de estudo 
O principal objectivo deste campo é o de ensinar aprender a 
aprender. Aprender aprende-se. 
Durante a formação e desenvolvimento de competências, para 
facilitar a aprendizagem e alcançar melhores resultados, implicará 
empenho, dedicação e disciplina no estudo. Isto é, os bons 
resultados apenas se conseguem com estratégias eficientes e 
eficazes. Por isso é importante saber como, onde e quando 
estudar. Apresentamos algumas sugestões com as quais esperamos 
que caro estudante possa rentabilizar o tempo dedicado aos 
estudos, procedendo como se segue: 
1º Praticar a leitura. Aprender a Distância exige alto domínio de 
leitura. 
2º Fazer leitura diagonal aos conteúdos (leitura corrida). 
3º Voltar a fazer leitura, desta vez para a compreensão e 
assimilação crítica dos conteúdos (ESTUDAR). 
4º Resolver todos exercícios propostos e outros. 
5º Fazer seminário (debate em grupos), para comprovar se a sua 
aprendizagem confere ou não com a dos colegas e com o padrão. 
 
5 
 
6º Fazer TC (Trabalho de Campo), algumas actividades práticas ou 
as de estudo de caso se existir. 
IMPORTANTE: Em observância ao triângulo modo-espaço-tempo, 
respectivamente como, onde e quando... estudar, como foi 
referido no início deste item, antes de organizar os seus momentos 
de estudo reflicta sobre o ambiente de estudo que seria ideal para 
si: Estudo melhor em casa/biblioteca/café/outro lugar? Estudo 
melhor à noite/de manhã/de tarde/fins-de-semana/ao longo da 
semana? Estudo melhor com música/num sítio sossegado/num 
sítio barulhento!? Preciso de intervalo em cada 30 minutos, em 
cada hora, etc. 
É impossível estudar numa noite tudo o que devia ter sido 
estudado durante um determinado período de tempo; Deve 
estudar cada ponto da matéria em profundidade e passar só ao 
seguinte quando achar que já domina bem o anterior. 
Privilegia-se saber bem (com profundidade) o pouco que puder ler 
e estudar, que saber tudo superficialmente! Mas a melhor opção é 
juntar o útil ao agradável: Saber com profundidade todos 
conteúdos de cada tema, no módulo. 
Dica importante: não recomendamos estudar seguidamente por 
tempo superior a uma hora. Estudar por tempo de uma hora 
intercalado por 10 (dez) a 15 (quinze) minutos de descanso 
(chama-se descanso à mudança de actividades). Ou seja que 
durante o intervalo não se continuar a tratar dos mesmos assuntos 
das actividades obrigatórias. 
Uma longa exposição aos estudos ou ao trabalhjo intelectual 
obrigatório, pode conduzir ao efeito contrário: baixar o rendimento 
da aprendizagem. Por que o estudante acumula um elevado 
volume de trabalho, em termos de estudos, em pouco tempo, 
criando interferência entre os conhecimento, perde sequência 
lógica, por fim ao perceber que estuda tanto mas não aprende, cai 
em insegurança, depressão e desespero, por se achar injustamente 
incapaz! 
Não estude na última da hora; quando se trate de fazer alguma 
avaliação. Aprenda a ser estudante de facto (aquele que estuda 
sistemáticamente), não estudar apenas para responder a questões 
de alguma avaliação, mas sim estude para a vida, sobre tudo, 
estude pensando na sua utilidade como futuro profissional, na área 
em que está a se formar. 
Organize na sua agenda um horário onde define a que horas e que 
matérias deve estudar durante a semana; Face ao tempo livre que 
 
6 
 
resta, deve decidir como o utilizar produtivamente, decidindo 
quanto tempo será dedicado ao estudo e a outras actividades. 
É importante identificar as ideias principais de um texto, pois será 
uma necessidade para o estudo das diversas matérias que 
compõem o curso: A colocação de notas nas margens pode ajudar 
a estruturar a matéria de modo que seja mais fácil identificar as 
partes que está a estudar e Pode escrever conclusões, exemplos, 
vantagens, definições, datas, nomes, pode também utilizar a 
margem para colocar comentários seus relacionados com o que 
está a ler; a melhor altura para sublinhar é imediatamente a seguir 
à compreensão do texto e não depois de uma primeira leitura; 
Utilizar o dicionário sempre que surja um conceito cujo significado 
não conhece ou não lhe é familiar; 
Precisa de apoio? 
Caro estudante, temosa certeza que por uma ou por outra razão, o 
material de estudos impresso, lhe pode suscitar algumas dúvidas como 
falta de clareza, alguns erros de concordância, prováveis erros 
ortográficos, falta de clareza, fraca visibilidade, páginas trocadas ou 
invertidas, etc). Nestes casos, contacte os seriços de atendimento e apoio 
ao estudante do seu Centro de Recursos (CR), via telefone, sms, E-mail, se 
tiver tempo, escreva mesmo uma carta participando a preocupação. 
Uma das atribuições dos Gestores dos CR e seus assistentes (Pedagógico 
e Administrativo), é a de monitorar e garantir a sua aprendizagem com 
qualidade e sucesso. Dai a relevância da comunicação no Ensino a 
Distância (EAD), onde o recurso as TIC se torna incontornável: entre 
estudantes, estudante – Tutor, estudante – CR, etc. 
As sessões presenciais são um momento em que você caro estudante, 
tem a oportunidade de interagir fisicamente com staff do seu CR, com 
tutores ou com parte da equipa central do ISCED indigetada para 
acompanhar as sua sessões presenciais. Neste período pode apresentar 
dúvidas, tratar assuntos de natureza pedagógica e/ou admibistrativa. 
O estudo em grupo, que está estimado para ocupar cerca de 30% do 
tempo de estudos a distância, é muita importância, na medida em que 
permite lhe situar, em termos do grau de aprendizagem com relação aos 
outros colegas. Desta maneira ficar’a a saber se precisa de apoio ou 
precisa de apoiar aos colegas. Desenvolver hábito de debater assuntos 
relacionados com os conteúdos programáticos, constantes nos 
diferentes temas e unidade temática, no módulo. 
 
7 
 
Tarefas (avaliação e auto-
avaliação) 
O estudante deve realizar todas as tarefas (exercícios, actividades e 
autoavaliação), contudo nem todas deverão ser entregues, mas é 
importante que sejam realizadas. As tarefas devem ser entregues duas 
semanas antes das sessões presenciais seguintes. 
Para cada tarefa serão estabelecidos prazos de entrega, e o não 
cumprimento dos prazos de entrega, implica a não classificação do 
estudante. Tenha sempre presente que a nota dos trabalhos de campo 
conta e é decisiva para ser admitido ao exame final da disciplina/módulo. 
Os trabalhos devem ser entregues ao Centro de Recursos (CR) e os 
mesmos devem ser dirigidos ao tutor/docente. 
Podem ser utilizadas diferentes fontes e materiais de pesquisa, contudo 
os mesmos devem ser devidamente referenciados, respeitando os 
direitos do autor. 
O plágio1 é uma viloção do direito intelectual do(s) autor(es). Uma 
transcrição à letra de mais de 8 (oito) palavras do testo de um autor, sem 
o citar é considerada plágio. A honestidade, humildade científica e o 
respeito pelos direitos autoriais devem caracterizar a realização dos 
trabalhos e seu autor (estudante do ISCED). 
Avaliação 
Muitos perguntam: Com é possível avaliar estudantes à distância, 
estando eles fisicamente separados e muito distantes do 
docente/turor!? Nós dissemos: Sim é muito possível, talvez seja 
uma avaliação mais fiável e concistente. 
Você será avaliado durante os estudos à distância que contam com 
um mínimo de 90% do total de tempo que precisa de estudar os 
conteúdos do seu módulo. Quando o tempo de contacto presencial 
conta com um máximo de 10%) do total de tempo do módulo. A 
avaliação do estudante consta detalhada no regulamento de 
avaliação. 
Os trabalhos de campo por si realizaos, durante estudos e 
aprendizagem no campo, pesam 25% e servem para a nota de 
frequência para ir aos exames. 
Os exames são realizados no final da cadeira disciplina ou modulo e 
decorrem durante as sessões presenciais. Os exames pesam no 
 
1 Plágio - copiar ou assinar parcial ou totalmente uma obra literária, propriedade 
intelectual de outras pessoas, sem prévia autorização. 
 
8 
 
mínimo 75%, o que adicionado aos 25% da média de frequência, 
determinam a nota final com a qual o estudante conclui a cadeira. 
A nota de 10 (dez) valores é a nota mínima de conclusão da 
cadeira. 
Nesta cadeira o estudante deverá realizar pelo menos 2 (dois) 
trabalhos e 1 (um) (exame). 
Algumas actividades práticas, relatórios e reflexões serão utilizados 
como ferramentas de avaliação formativa. 
Durante a realização das avaliações, os estudantes devem ter em 
consideração a apresentação, a coerência textual, o grau de 
cientificidade, a forma de conclusão dos assuntos, as 
recomendações, a identificação das referências bibliográficas 
utilizadas, o respeito pelos direitos do autor, entre outros. 
Os objectivos e critérios de avaliação constam do Regulamento de 
Avaliação. 
 
9 
 
TEMA – I: Introdução a Matemática Financeira. 
UNIDADE Temática 1.1 Introdução e noções fundamentais da 
Matemática financeira. 
UNIDADE Temática 1.2 Percentagem. 
UNIDADE Temática 1.3 Factor de capitalização. 
UNIDADE Temática 1.4 Factor de descapitalização. 
UNIDADE Temática 1.5 Acréscimos e descontos sucessivos. 
UNIDADE Temática 1.6 Exercícios de avaliação. 
1.1 Introdução e noções 
fundamentais da Matemática 
Financeira. 
Objectivos do tema 
 
Objectivos 
 Conhecer os conceitos básicos da 
Matemática Financeira. 
 Dominar e saber resolver problemas com 
uso de percentagens. 
 Ter domínio sobre factores de capitalização 
e descapitalização. 
 
1.1.1 Introdução e Noções Fundamentais da Matemática Financeira 
A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, 
nas aplicações e no pagamento de empréstimo. 
O conceito básico de toda a matemática financeira é o juro. O 
interesse deste tema é de procurar estabelecer as relações 
matemáticas que regem o processo de capitalização, isto é o processo 
de formação de Juro. Tudo no âmbito da Matemática Financeira, para 
entrar no campo da Economia, da Sociologia, da História, em fim de 
matérias que serão objecto de estudo em outras disciplinas. 
 
1.1.2 Conceitos de alguns termos usados na Matemática Financeira 
Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em 
certa data para ser aplicado numa operação financeira. 
 
Juros: Custo de capital durante um determinado período de tempo. 
Taxa de Juro: Unidade de medida de juros que corresponde a 
 
10 
 
remuneração paga pelo uso de capital durante um determinado 
tempo. 
 
Montante: É o capital empregado mais o valor acumulado dos tempo. 
 
Capitalização: É a operação de adição dos Juros ao capital. 
 
Regime de Capitalização Simples: É um regime de capitalização em 
que os juros são calculados periodicamente sobre o capital inicial e o 
montante será o capital inicial e a soma de várias parcelas de juros, o 
que equivale a uma única capitalização. 
 
Regime de Capitalização Composta: É um regime de capitalização em 
que incorpora não somente os juros referentes a cada período, mas 
também os juros acumulados até ao momento anterior. 
 
Desconto: É o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de 
crédito quando este é resgatado antes do seu vencimento. 
 
1.2 Percentagem 
Varias vezes confronta-se com a informação em supermercados, lojas, 
botiques de liquidação de preços de produtos em 40%, 25% ou 10%. 
Para além de que no pagamento de facturas de consumo de energia, 
telefone, água e outros, o valor da factura vem acréscido de 17% do 
IVA. Estas informações envolvem uma expressão especial que é a 
PERCENTAGEM, assunto que passará a ser tratado logo a seguir. 
 
Percentagem: É um valor obtido ao aplicar-se uma taxa percentual a 
um determinado valor. 
 
Taxa percentual: Exibe o número que deve ser dividido por 100. Não 
permite a operação algébrica imediata. 
Exemplo 1.1: a) %4
100
4
 Lê-se 4 por cento; b) %3,12
100
3,12
 Lê-se 
12,3 por cento 
c) %137
100
137
 Lê-se 137 por cento 
 
Taxa Unitária: Exibe o número puro, permitindo operações algébricas. 
Exemplo 1.2: a) 25,0
100
25
 ; b) 06,0
100
6
 ; c) 37,1
100
137
 
 
Pense na expressão 25% (Vinte e cinco por cento), essa taxa pode ser 
representada como uma fracção com numeradorigual a 25 e o 
denominador igual a 100, ou seja 
 
11 
 
100
25
, ou ainda como 0,25 (taxa unitária). 
Taxa unitária é muito importante porque auxilia a desenvolver cálculos 
na matemática financeira. 
1.2.1 Exercícios Resolvidos: 
1. Converta para taxas unitárias: 
a) 05,0
100
5
%5  
b) 001,0
1000
1
100
1
10
1
100
10
1
100
1,0
%1,0  
 
c) 37,2
100
237
%237  
2. Converta para taxas percentuais: 
a) %2
100
2
02,0  
b) %7,0
100
7,0
101000
107
1000
7
007,0 


 
c) %400
100
400
1001
1004
4 


 
 
1.2.2 Exercício de Autoavaliação: 
1. Escreva de formas diferentes as taxas a seguir apresentadas: 
a) 12 b) 1,25 c) 0% d) 0,07% 
1.3 Factor de Capitalização 
Imaginemos que um produto sofreu um aumento de 30% sobre o seu 
valor inicial. Qual é o novo valor deste produto? 
É claro que não sabemos o valor inicial do produto, mas podemos 
afirmar que o valor inicial era de 100% e sofreu um aumento de 30%. 
Logo o produto passa valendo 130% do seu valor inicial. 
Para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo, deve ser 
usado o novo valor que é de 130%, portanto a sua taxa percentual é 
de 130% e podemos escrever a taxa unitária como sendo: 3,1
100
130
 . 
Este valor chama-se Factor de capitalização. 
 
12 
 
Factor de Capitalização: É o número pelo qual deve-se multiplicar o 
preço do produto para obter o novo preço acrescido do percentual do 
aumento que se deseje utilizar. 
 
Exemplo 1.3: Um produto que custa 3.500 u.m. (unidade monetária) 
ao sofrer um acréscimo de 25%. Qual é o será o seu novo valor? 
1º Calcula-se o factor de capitalização, porque o produto sofreu um 
acréscimo. 
Factor de capitalização será: 100% + 25% = 125% = 25,1
100
125
 
2º Multiplicar o valor inicial pelo factor de capitalização, assim obtém-
se o novo preço do produto. 
375.425,1500.3  u.m 
 
1.3.1 Exercícios resolvidos 
1 Cálculo de factor de capitalização 
a) Acréscimo de 03,1
100
103
%103%3%100%3  
b) Acréscimo de 3
100
300
%300%200%100%200  
Observação: Para obter o factor de capitalização basta 
adicionar 1 (100/100) a taxa unitária. (1+taxa unitária) 
 
1.3.2 Exercícios de Autoavaliação: 
2. Calcule o factor de capitalização 
a) Acréscimo de 6% 
b) Acréscimo de 12% 
c) Acréscimo de 137% 
d) Acréscimo de 1,032% 
e) Acréscimo de 21,2% 
f) Acréscimo de 0,031% 
1.4 Factor de Descapitalização 
Imaginemos que um produto sofre um desconto de 25% sobre o seu 
valor inicial. Qual é o novo valor deste produto? 
Se o produto sofreu um desconto de 25% significa que dos 100% do 
valor anterior, foi lhe retirado 25%, portanto passou a ter 75% do valor 
inicial. 
 
13 
 
O factor de descapitalização será 75,0
100
75
%75%25%100  
O factor de descapitalização é o número pelo qual deve-se multiplicar 
o preço do produto para obter novo preço, pelo percentual de 
desconto que se deseja utilizar. 
 
Exemplo 1.4: Se um produto custava 400 u.m. e sofre um desconto de 
25%, qual será o novo preço do produto? 
1º Calcula-se o factor de descapitalização 
75,0
100
75
%75%25%100  
2º Multiplicar o valor inicial pelo factor de descapitalização. 
30075,0400  u.m. é o novo preço do produto depois do desconto. 
 
1.4.2 Exercícios resolvidos 
1. Calcular o factor de descapitalização em: 
a) Desconto de 40% = 6,0
100
60
%60%40%100  
b) Desconto de 1,3% = 987,0
100
7,98
%7,98%3,1%100  
Observação: Para obter o factor de descapitalização basta subtrair a 
taxa unitária do 1 (100/100). (1-taxa unitária) 
 
1.4.3 Exercícios de Autoavaliação 
1. Calcule o factor de descapitalização. 
a) 20% 
b) 31% 
c) 0,042% 
d) 32,8% 
e) 156% 
f) 1236% 
1.5 Acréscimo e desconto 
Sucessivo 
1.5.1 Acréscimos Sucessivos: 
Para aumentar um valor V sucessivamente em p1%, p2%, …, pn% de tal 
forma que cada um dos aumentos incida sobre o resultado do 
aumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas 
unitárias (100 + p1)% , (100 + p2)%, … (100 + pn)% 
 
 
14 
 
Exemplo 1.5: Suponhamos que os bancos vêm aumentando 
significativamente as suas tarifas de manutenção das contas. Estudos 
mostram um aumento médio de 15% no 1º semestre de 2012 e de 7% 
no 2º semestre do mesmo ano. Qual foi o aumento anual das tarifas 
de manutenção das contas? 
 
Resolução: 
1º Verifica-se que o exemplo apresenta um problema de acréscimos 
sucessivos. 
2º Calcular os factores de capitalização dos acréscimos: 
Acréscimo de (100 + 15) % =115%= 15,1
100
115
 ou 
(100 + 15)% = 100% + 15% = 15,115,01
100
15
100
100
 
Acréscimo de 7% = 07,107,01%71  
3º Multiplica-se os factores de capitalização dos períodos para obter o 
valor final do produto. 
 07,115,1 1,2305 
4º Como o produto custava inicialmente 100% que é igual a 1, pode-se 
afirmar que as tarifas sofreram um acréscimo médio de: 
%05,232305,012305,1  
 
Observação: Muitas tem sido as vezes nestes casos, em que os 
estudantes adicionam as percentagens e dividem por dois, para 
acharem a média de acréscimos, tenham muito cuidado com este 
erro. 
 
Exemplo 1.6: Aumentar o valor 2.000 sucessivamente em 15% e 7%. 
Resolução: 461.22305,1000.207,115,1000.2  
 
1.5.2 Desconto Sucessivo 
 Para descontar um valor V sucessivamente em p1%, p2%, …, pn% de tal 
forma que cada um dos aumentos incida sobre o resultado do 
aumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas 
unitárias (100 - p1)% , (100 - p2)%, … (100 - pn)% 
 
Exemplo 1.7: Descontar sucessivamente o valor 2.000 em 20% e 30% 
Resolução:     %70*%80000.2%30100%20100000.2  
120.156,0000.27,08,0000.2  
 
1.5.3 Exercícios de Auto-avaliação 
1. Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5 % e outro de 10 
%, a uma mercadoria que tem preço inicial de 40 u.m, qual será 
o seu preço final? (R: 34,20) 
 
2. O preço de um produto sofreu uma redução de 20 %. Algum 
 
15 
 
tempo depois, ele sofreu um aumento de 20 % e, mais tarde, 
um novo aumento de 50 % . Se o comerciante deseja retornar 
ao preço inicial, qual a percentagem de desconto a ser aplicado 
sobre este último preço? (R: 30,55 %) 
 
1.6 Exercícios de Avaliação do 
Tema 
1. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito. Qual é a 
percentagem das lâmpadas com defeito. 
2. Num exame para habilitação de condução participaram 270 
candidatos; sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. 
Quantos candidatos foram aprovados? 
3. Uma empresa investiu uma certa quantia no mercado de 
Acções. Ao final do 1º mês lucro 20% do capital investido, ao 
final do 2º mês perdeu 15% do que havia lucrado e retirou um 
montante de 5.265 u. m. A quantia que a empresa investiu foi 
de: 
(a) 3.200 u. m. 
(b) 3.600 u. m. 
(c) 4.000 u. m. 
(d) 4.200 u. m. 
(e) 4.500 u. m. 
4. Um comerciante compra um certo artigo ao preço unitário de 
48 u. m. e coloca à venda ao preço que proporcionará um lucro 
de 40% sobre o preço da venda. O preço unitário da venda é: 
(f) 78 u. m. 
(g) 80 u. m. 
(h) 84 u.m. 
(i) 86 u.m. 
(j) 90 u.m. 
 
5. Um artigo sujeito a IVA à taxa de 17%, tinha marcado o preço 
de venda (antes de descontos e de IVA) de 2.500 u. m. O 
comerciante vendeu este artigo concedeu nessa transacção 
comercial os descontos sucessivos de 6%+2,5%. 
a) Por quanto acabou por ser vendido este artigo? 
b) Calcule directamente o factor único que permite passar do 
preço de venda inicial para o preço de venda final. 
c) Qual o desconto único em percentagem e em valor 
subjacentes aos descontos sucessivos atrás mencionados? 
6. Tendo em conta as percentagens de lucro, complete o seguinte 
quadro: 
 
16 
 
Situaçã
o 
Preço de 
venda (Pv) 
Preço de 
compra (Pc) 
Lucro % de Lucro 
sobre Pc. 
% de 
Lucro 
sobre Pv. 
1 172,50 150 
2 500 90 
3 380 0,15 
4 986 0,16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
TEMA – II: CAPITAL, JUROS, TAXAS DEJUROS E 
MONTANTE 
UNIDADE Temática 2.1 Conceitos do tema. 
UNIDADE Temática 2.2 Comparação de Capitais 
UNIDADE Temática 2.3 Juros. 
UNIDADE Temática 2.4 Taxa de Juros. 
UNIDADE Temática 2.5 Montante. 
UNIDADE Temática 2.6 Exercício de Avaliação. 
 
Introdução 
O tema vai tratar de elementos fundamentais para a Matemática 
Financeira. 
Imagine você estar vivendo em tempos antigos e ser o melhor artesão 
da cidade a fazer, por exemplo, blusas. Imagine que seus vizinhos, 
também artesãos, são os melhores em produzir outros bens tais como 
bolos, maçãs, etc. Ao se propor uma festa na cidade, certamente que 
cada um se aprontaria para oferecer de si o que tem de melhor. E qual 
o facto gerado nesses encontros que interessa ao nosso estudo? A 
DEMANDA. É ela que movimenta o comércio até hoje. Este comércio 
tem um elemento de troca que é a MOEDA. 
Interessante é perceber como a moeda é utilizada nas trocas 
comerciais, o risco que se corre e os premios que se podem ganhar 
nessas transações. 
 
Objectivos do Tema 
 
Objectivos 
 Conhecer os conceitos de capital, 
juros, taxas de juros e montante. 
 Saber calcular os juros, taxas de juros 
e o montante 
 Saber resolver problemas simples de 
operações financeiras. 
 
2.1 Conceitos de Capital, Juros, Taxa de 
Juros e Montante 
Chama-se de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa 
(física ou jurídica) empresta para outra durante um certo tempo. O 
capital representa-se pela letra “C”. 
 
Juro é custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo 
uso do capital (para quem empresta). 
 
 
18 
 
O juro é obtido pela diferença entre o montante e o capital. 
 
Montante é o capital acrescido da remuneração obtida durante o 
período de aplicação. 
 
Taxa de Juro é o coeficiente que determina o valor de juros. É 
representada geralmente pela letra “i”. 
A taxa de juros é indicada a um determinado intervalo de tempo. 
 
Por exemplo: 2% a.d. = 2% ao dia; 3% a.m. = 3% ao mês; 5% a.a. = 5% 
ao ano. 
O tempo que decorre desde do inicio até ao final de uma operação 
financeira denomina-se prazo. 
Os prazos podem ser exactos e comerciais. 
Prazo Exacto é aquele que usa o ano civil de 365 dias ou 366 dias para 
o caso do ano bissexto. 
Prazo Comercial é aquele que usa o ano comercial em que todos os 
meses tem 30 dias, ou seja 360 dias ao ano. 
 
2.2 Comparação de Capitais 
Duma maneira geral dois capitais quaisquer, C1 com vencimento em 
t1 e C2 com vencimento em t2 são equivalentes quando for possível 
trocar um pelo outro. 
Ou seja dois capitais são equivalentes se investidos a mesma taxa 
produzem um mesmo montante em uma determinada data. 
 
Na comparação de capitais, podem ocorrer três situações distintas: 
1º Se existem dois capitais iguais (C1=C2) mas períodos de tempo 
diferentes (t1 < t2); o primeiro caso é melhor, posto que para capitais 
iguais, seu vencimento é mais próximo e pode-se dispor de dinheiro 
antes. 
2º Se existe um capital maior do que outro (C1 > C2 ) e existe períodos 
de tempos iguais ( t1=t2 ), é preferível o primeiro caso, já que para o 
mesmo período de tempo pode se obter um maior capital. 
3º Para capitais e períodos distintos é difícil saber qual é o melhor 
caso, pois aqui é necessário valorar os capitais no mesmo período de 
tempo. Para valorar estes casos recorre-se às leis financeiras. 
 
Exemplo 2.1: Dos seguintes casos qual você escolheria? 
Caso A) (C1,t1) = (1.000; 2) (C2;t2) = (1.020; 2) 
Caso B) (C1,t1) = (100; 1,5) (C2;t2) = (100; 1) (C3;t3) = (100; 0) 
Caso C) (C1,t1) = (1.050; 2) (C2;t2) = (1.070; 3) 
 
Respostas: 
No caso A, os dois capitais têm o mesmo vencimento (dentro de 2 
 
19 
 
anos), por isso o melhor investimento é aquele que nos dá capital 
maior, neste caso é o (C2;t2) = (1.020; 2), proporciona um capital 
maior. 
No caso B existem diferentes vencimentos para os mesmos capitais, 
sendo conveniente escolher o terceiro capital (C3; t3) já que pode-se 
dispor imediatamente dos 100 u.m, enquanto para capital um e dois 
deve-se esperar um ano e um ano e meio respectivamente para poder 
ter a mesma quantidade de dinheiro. 
No caso C é mais complicado escolher o investimento mais adequado. 
Aqui necessita-sede efectuar operações financeiras. 
 
 
2.3 Juros 
Juro é a remuneração obtida por uso de um capital por um intervalo 
de tempo. 
Este pode ser obtido como diferença do montante pelo capital, 
também pode-se calcular o juro através do produto do capital com a 
taxa de juros, ou seja: 
iCJeCMJ  
Onde J: Juros ; M: Montante; C: Capital; i: taxa de juros; 
 
Exemplo 2.2: Calcular os juros obtidos ao aplicar 3.000 u.m. por um 
ano a uma taxa simples de 25% a.a. 
Dados: C=3.000 u.m.; i=25%a.a. ; J=? 
..75025,0000.31%25000.3 muiCJ  
Resposta: O valor de juros obtidos é de 750 u.m. 
 
Exemplo 2.3: Foi aplicada uma importância de 30.000 u.m. pelo prazo 
de 1 anos, a taxa de 1,2% ao ano qual é o valor de Juro a receber? 
Dados: C= 30.000 u.m. i=1,2%a.a. 
..360012,0000.30%2,1000.30 muiCJ  
Resposta: O valor de juros a receber é de 360 u.m. 
 
2.4 Taxa de Juros 
A taxa de juro é a razão entre o juro e o capital aplicado, representa-se 
por: 
C
J
i  
Exemplo 2.4: Qual é a taxa de juro de um empréstimo de 360.000 a 
ser resgatado por 452.000 no final de um ano. 
Dados: C = 360.000; M= 452.000; i=? 
 
20 
 
%6,25256,0
000.360
000.92
000.360
000.360000.452
000.360000.360






CMJ
C
J
i
 
Resposta: A taxa de juros é de 25,6% a.a. 
 
2.5 Montante 
O capital acrescido da remuneração obtida durante o período de 
aplicação, chama-se Montante (M). Pode ser calculado através da 
soma entre o capital aplicado e os juros obtidos (M=C+J) ou então 
usando as formulas de obtenção dos juros teremos: 
 iCiCCM
iCCMiCJeCMJ


1
 
Portanto, pode-se obter o montante usando estas duas fórmulas: 
 iCMeJCM  1 
Exemplo 2.5: Qual é o montante aplicando um capital de 1.650 u.m. 
por um ano a uma taxa simples de 32% ao ano. 
Dados: C= 1.650; i = 32% a.a.; M=? 
     
..178.232,1650.1
32,01650.1%321650.11
mu
iCM


 
Ou 
Usando a fórmula 
 ..178.232,0650.1650.1%321650650.1 muJCM  
Resposta: O montante é de 2.178 u.m. 
 
2.6 Exercícios de avaliação 
1. Emprega-se 
3
2
de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% 
ao ano, obtendo-se um ganho anual de 86.400 u.m. Qual é o 
valor deste capital? 
2. Um capital emprestado a 24% ao ano em um ano rende juros 
de 28.300 u.m. Qual foi este capital? 
3. Qual é o valor de juros de um capital de 750.000 empregue 
durante um ano a uma taxa de 7,6% ao ano? 
4. Em que taxa o capital de 2.875 u.m. rende 10.600 u.m. durante 
um ano. 
5. Um capital de 300.000 u.m. rende depois de um ano juros de 
1.487 u.m. determine a taxa correspondente. 
6. Um investidor aplicou 1.800.205 u.m. a uma taxa de 6% ao 
ano determine o montante ao de um ano. 
 
 
 
 
21 
 
TEMA – III: Sistemas de Capitalizações: Simples e 
Composto 
UNIDADE Temática 3.1 Regime de Capitalização Simples. 
UNIDADE Temática 3.2 Regime de Capitalização Composta. 
UNIDADE Temática 3.3 Exercícios de Avaliação. 
 
Introdução 
O comportamento do capital no tempo depende do modo como foi 
aplicado, ou seja, do regime de capitalização. Podemos classificar os 
regimes de capitalização da seguinte forma: 










Composta
Simples
aDescontinuçãoCapitaliza
ContínuaãoCapializaç
 
As modalidades de capitalização mais comuns são as descontínuas: 
simples e composta. 
Na Capitalização Simples, apenas o capital inicial, também chamado 
principal, rende juros, independentemente do número de períodos da 
aplicação. Na Composta, os juros são capitalizados a cada período e 
passam a render juros nos períodos posteriores. Ou seja, juros sobre 
juros. 
O regime de juros simples tem aplicações práticas bastantes limitadas, 
pois são raras as operações e comerciais que usam esse regime. O seu 
uso restringe-se principalmenteem operações praticadas a curto 
prazo. 
Os juros simples são utilizados basicamente para o cálculo de valores 
monetários, e não para determinar o resultado efectivo da operação. 
Os dois regimes de capitalização, associam-se a funções da seguinte 
forma: Simples (função linear) e Composto (função Exponencial). 
Objectivos do Tema: 
 
Objectivos 
 Conhecer os conceitos básicos. 
 Conhecer o valor do dinheiro no tempo. 
 Saber calcular juros, taxas de juros e 
montantes. 
 Saber resolver problemas ligados as 
operações financeiras. 
 
 
 
 
22 
 
3.1 Regime de Capitalização 
Simples 
O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão 
aritmética (PA), com juros crescendo linearmente ao longo do tempo. 
Não existe capitalização de juros neste regime, pois os juros de cada 
período não são incorporados ao capital para que essa soma sirva de 
base de cálculo de juros de períodos subsequentes. Portanto, o capital 
crescerá a uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento 
linear em relação ao tempo. 
É o processo de capitalização no qual ao final de cada período o juro é 
sempre calculado sobre o capital inicial, ou seja, em cada período o 
juro é obtido pelo produto do capital inicial pela taxa unitária. 
Devido ao comportamento linear nos regimes de juros simples, se 
aplicarmos o capital durante n tempo referente a taxa de juros, o 
rendimento (Juros) será calculado com base na seguinte fórmula: 
niCJ  ; n: período (prazo) 
Montante é dado por,   niCniCCJCM  1 
  niCM  1 
 
Exemplo 3.1: Se é investido um capital de 450.000 u.m. durante dois 
anos a uma taxa anual de 30%. Qual será o valor de juro a ser pago e o 
Montante? 
Resolução: 
Dados: C = 450.000; n = 2 anos; i = 30% a.a. 
O valor de juros será, 
000.270230,0000.4502%30000.450  niCJ 
O montante será, 000.720000.270000.450  JCM 
Resposta: O juro será de 270.000 u.m e o montante será de 720.000 
u.m. 
 
Exemplo 3.2: Qual é o rendimento de 10.000 u.m. aplicados por um 
mês a taxa simples de 36% a.a. 
Resolução: 
Dados: C = 10.000 u.m. ; n = 1 mês; i = 36% a.a.; J =? 
Como a taxa de juros e o prazo da aplicação da taxa estão em 
unidades diferentes, deve-se converter para a mesma unidade. Logo, 
anomêsn
12
1
1  . 
300
12
1
36,0000.10
12
1
%36000.10  niCJ u.m 
Resposta: O rendimento será de 300 u.m. 
 
Exemplo 3.3: Dado um capital de 1.000 u.m. remunerados a uma taxa 
de juros de 10% a.a. os juros apurados ao longo dos cinco anos, os 
 
23 
 
juros acumulados e os montantes estão representados no quadro 3.1. 
 
Quadro 3.1 Juros Apurados em Capitalização Simples 
Ano Juros apurados 
em cada ano 
Juros 
acumulados no 
ano 
Montante 
Inicio do 1º 
Ano 
 0 1.000 
Fim do 1º Ano 100 100 1.100 
Fim do 2º Ano 100 200 1.200 
Fim do 3º Ano 100 300 1.300 
Fim do 4º Ano 100 400 1.400 
Fim do 5º Ano 100 500 1.500 
 
3.1.1 Exercícios de Autoavaliação 
1. Se 3.000 u.m. foram aplicados durante cinco meses a uma taxa 
de 4% ao mês. Determine: 
a) Os juros recebidos. 
b) O Montante 
2. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de 
3.200 u.m, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa 
cobrada é de 3% ao mês? R: 1.728 u.m. 
3. Usando os dados do exemplo 2 calcule o rendimento usando a 
conversão da taxa de juros para a unidade do período. 
4. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de 1.500 
u.m. a uma taxa simples de 1,4 % ao dia para produzir um 
montante de 1.710 u.m.? R: 10 dias 
5. Dado um capital de 2.100 u.m. remunerados a uma taxa de 
juros de 6% a.a. durante 4 anos, apresente na forma de um 
quadro como no exemplo 3, apresentando juros apurados em 
cada ano, juros acumulados e os respectivos montantes. 
 
3.2 Regime de Capitalização 
Composto 
Em regime de capitalização composta, os juros produzidos num 
período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período 
também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A 
capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, 
em que o capital cresce na forma de progressão geométrica. 
O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é 
denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for 
mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital 
para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, 
portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a 
 
24 
 
chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa 
para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de 
períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização. 
Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é 
recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação 
de capitalização simples poderá produzir distorções significativas 
principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia 
com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações 
de curto prazo. 
 
3.2.1 Fórmulas em Capitalização Composta 
O cálculo de juros de capitalização composta é dada pela fórmula: 
  11  niCJ 
O cálculo do Montante é dado por:  niCM  1 
A fórmula da taxa de juros é: 1
1







n
C
M
i 
O cálculo do período de aplicação em capitalização composta é dada 
pela fórmula, 
 i
C
M
n








1ln
ln
 
 
Exemplo 3.4: Quanto uma pessoa deve aplicar hoje para ter 
acumulado um montante de 150.000 u.m. daqui a 12 meses, a uma 
taxa de juros compostos de 2% ao mês? 
Resolução: 
Dados: M = 150.000; n = 12 meses; i = 2% a.m.; C = ? 
   
 
..9,273.118
02,01
000.150
%21000.1501
12
12
mu
CCiCM
n




 
Resposta: A pessoa deve aplicar hoje 118.273,9 u.m. 
 
Exemplo 3.5: Durante quanto tempo um capital de 1.000 u.m. deve 
ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao ano, para resultar em 
um montante de 1.610,51 u.m. 
Resolução: 
Dados: C = 1.000; i = 5% a.a.; M = 1.690; n = ? 
   
 
 
 
 
5
1,1ln
61051,1ln
1.01ln
61051,1ln
%101ln
000.1
51,610.1
ln
1ln
ln



















i
C
M
n 
Resposta: É necessária uma aplicação em 5 anos. 
 
Exemplo 3.6: Considerando o problema apresentado no exemplo no 
sistema de capitalização simples, temos o quadro 3.2 
 
 
25 
 
Quadro 3.2 Juros Apurados Com Capitalização Composta 
Ano Juros apurados 
em cada ano 
Juros 
acumulados no 
ano 
Montante 
Inicio do 1º 
Ano 
 0 1.000 
Fim do 1º Ano 100 100 1.100 
Fim do 2º Ano 110 210 1.210 
Fim do 3º Ano 121 331 1.331 
Fim do 4º Ano 133,10 464,1 1.464,1 
Fim do 5º Ano 146,41 610,51 1.610,51 
 
 
3.2.2 Exercícios de Autoavaliação 
1. Qual é o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de 
500.000 u.m. por 18 meses, a taxa de juros compostos de 10% 
ao mês? 
2. Um capital de 2.500 u.m. foi aplicado a juros compostos 
durante quatro meses, produzindo um montante de 3.500 u.m. 
Qual é a taxa de juros? 
3. Determinar os juros produzidos por um capital de 1.000 u.m. 
aplicado a juros de compostos de 10% ao semestre, 
capitalizado semestralmente, durante um ano e seis meses. 
4. Em que prazo um empréstimo de 55.000 u.m. pode ser quitado 
por meio de um único pagamento de 110.624,80 u.m. se a taxa 
de juros composta cobrada for de 15% ao ano? 
 
3.3 Exercícios de Avaliação 
1. Os pais da Ana e do Bernardo pretendem dividir hoje pelos 
seus dois filhos a quantia de 50.000 u.m. de modo que ambos 
recebam uma quantia igual quando fizerem 20 anos. A Ana tem 
hoje o dobro da idade do Bernardo. De hoje a dois anos, a Ana 
terá mais de 14.148,89 u.m. que o irmão, admitindo que as 
quantias que cada um vai receber hoje serão aplicadas em 
regime de juro composto a taxa anual efectiva de 10%. Que 
idade tem actualmente a Ana? 
2. Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar 
suas aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% 
do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2 % 
ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte é 
aplicada em uma conta de poupança por 30 dias, sendo 
remunerada pela taxa de 3,1 % ao mês. O total dos 
rendimentos auferidos pelo aplicador atinge 1.562,40 u.m. 
Pede-se calcular o valor de todo o capital investido. (R: 33.527,90 
u.m.) 
 
26 
 
3. Um capital C, foi colocado em regime de juro composto, 
durante n anos, a taxa anual i, sobre esta aplicação apenas se 
sabe que: 
- O juro total produzido ao fim de 7 anos é de 356.912,13 u.m. 
- Se o capital C tivesse sido colocado em regime de juro 
simples, o juro produzido (apenas) no 4º ano seria de 40.000 
u.m. 
Determine o capital C e a taxa anual i. 
4. Um apartamento pode ser comprado à vista por 320.000 u.m. 
ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de 
170.000 u.m. cada, a primeira para três meses e a segunda 
para sete meses. 
a) Calcular a taxa de juros efectiva cobrada no 
financiamento. (R: 5,98% a.m) 
b) Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações 
financeiras for de 2% a.m., qual será a melhor opção de 
compra? (R: à vista) 
5. Um investidor aplicou 1.000 u.m numa instituição financeira 
que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao mês, no 
regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse 
capital no final de cada mês, a contar da data da aplicação dos 
recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo 
investidor no final do 6ºmês, após a efetivação do último 
depósito. 
6. Se eu quiser comprar um carro no valor de 60.000 u.m, quando 
devo aplicar hoje para daqui a dois anos possua tal valor? 
Considerar as seguintes taxas de aplicação (capitalização 
composta): 
 a) 2,5 % a.m. R: 33.172,52 u.m. 
 b) 10 % a.s. R: 40.980,81 u.m. 
 c) 20 % a.a. R: 41.666,67 u.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
TEMA IV – Relações entre: Juros Simples, Função Afim e 
Progressão Aritmética e Relações entre: Juro Composto, 
Função Exponencial e Progressão Geométrica. 
 
UNIDADE Temática 4.1 Relações entre Juro simples, Progressão Aritmética e Função 
Afim. 
UNIDADE Temática 4.2 Relações entre Juro Composto, Progressão 
Geométrica e Função Exponencial. 
UNIDADE Temática 4.3 Exercícios de Avaliação. 
 
Introdução 
A relação dos regimes de Juros e as funções afim e exponenciais, 
verifica-se que, o regime de juros simples tem um comportamento 
linear, dai a sua semelhança com a progressão aritmética; o regime de 
juros compostos tem um comportamento de uma função exponencial, 
logo associa-se a progressão geométrica. 
Objectivos do Tema: 
 
 
Objectivos 
 Conhecer a relação de juros simples com 
a função afim e progressão Aritmética. 
 Perceber a relação existente entre os 
juros compostos, progressão geométrica 
e Função exponencial 
 
4.1 Relações Entre: Juros Simples, 
Função Afim e Progresso Aritmética 
Exemplo 4.1: Calcular o montante no n-ésimo mês de uma aplicação 
de 100 u.m. à taxa de 10% ao mês a juros simples. 
Dados: C = 100; i = 10% 
Resolução: 
   nCMnCM  1,01%101 
 
28 
 
 
 
 
 
  nnM
M
M
M
M o
101001,01100
...
1303,110031,01100
1202,110021,01100
1101,110011,01100
10001,01100
3
2
1





 
Os montantes formam uma progressão Aritmética (PA) com o 1º 
termo igual a Mo=100 e uma razão igual á 10 (M1-Mo=M2-M1=M3-
M2=…) e o termo geral é Mn = 100 + 10n 
Os montantes em relação ao período formam um gráfico linear, como 
ilustra o gráfico abaixo. 
 
 
4.1.1 Exercícios de Autoavaliação 
1. Dado um capital de 1.000 u.m. remunerados a uma taxa de 
juros simples de 10% a.a. 
a) Encontre o montante no n-ésimo ano. 
b) Represente graficamente os montantes dos primeiros 4 anos. 
c) Calcule a soma dos juros até o 3º ano. 
4.2 Relação entre juros compostos, 
Função exponencial e progressão 
Geométrica 
A relação será demonstrada através do exemplo abaixo apresentado, 
para uma ilustração das características tanto da progressão 
geométrica, como da função exponencial. 
Exemplo 4.2: Calcular o montante no n-ésimo mês de uma aplicação 
de 100 u.m. à taxa de 10% ao mês a juros compostos. 
Dados: C = 100; i = 10% a.m 
 
29 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 nn
n
M
M
M
M
M
iCM
1,01100
....
1,1331,01100
1211,01100
1101,01100
1001,01100
1
3
3
2
2
1
1
0
0






 
Nessa sucessão de termos verifica-se que é uma progressão 
geométrica (PG), pois tem as seguintes características: 
1º Termo é 100, razão é igual à 1,1 ( )1,1
121
1,133
110
121
100
110
 e o termo 
geral é Mn = 100* (1+0,1) n 
A função Mn = 100*(1+0,1)n é uma função exponencial, por ter a 
variável como expoente e a base da potencia é diferente de um. 
Graficamente a função fica assim representada: 
 
 
4.2.1 Exercícios de Autoavaliação 
1. Dado um capital de 1.300 u.m. remunerados a uma taxa de 
juros de 10% a.a. no regime composto. 
a) Encontre o montante no n-ésimo ano. 
b) Represente graficamente os montantes dos primeiros 4 anos. 
c) Calcule a soma dos juros até o 3º ano. 
 
 
 
 
30 
 
TEMA V - CAPITALIZAÇÕES CONTINUAS. COMPARAÇÕES 
ENTRE MONTANTES NO REGIME DE CAPITALIZAÇÕES 
CONTÍNUAS E PERIÓDICAS. 
UNIDADE Temática 5.1 Capitalizações Continuas. 
UNIDADE Temática 5.2 Comparação entre Montantes no Regime de 
Capitalização Contínua e Periódica. 
UNIDADE Temática 5.3 Exercícios de Avaliação. 
 
Introdução 
A capitalização contínua é uma ferramenta muito usada para avaliação 
de opções, projectos de investimentos, gerações de lucros da 
empresa, desgaste de equipamentos e outras situações em que os 
fluxos monetários se encontram distribuídos uniformemente no 
tempo. 
Na prática, muitas situações exigem o uso de capitalização contínua. 
As empresas recebem e fazem pagamentos muitas vezes durante um 
dia, padrão este que está mais próximo da suposição de fluxos 
monetários contínuos uniformemente distribuídos. 
Objectivos do Tema: 
 
Objectivos 
 Saber calcular as taxas de juros equivalentes 
em capitalização contínua. 
 Saber calcular taxas de juros instantâneas 
equivalentes a taxa de juros compostos. 
 Saber compara os montantes em diferentes 
regimes de juros 
 
5.1 Capitalizações contínuas 
Nos regimes de capitalização simples e composta, os juros são pagos 
ou recebidos ao final de cada período. O valor, aplicado ou 
emprestado, é capitalizado e tem aumento a cada intervalo de tempo 
considerado, sendo este discreto. 
À diferença dos regimes de capitalização citados é, no regime de 
capitalização contínua, existe pagamento de juros a cada período 
infinitesimal de tempo. Com isso, o capital cresce continuamente no 
tempo à taxa de juro instantânea. 
Veja, a seguir, os conceitos relativos a este tipo de capitalização, 
entendendo os procedimentos de cálculos. 
 
31 
 
No regime de capitalização composta, ao investir um determinado 
capital (C), à taxa de juro (i), pelo período de n anos, obteremos um 
valor igual a:  niCM  1 
Se a capitalização ocorrer k vezes ao ano, o valor de resgate será dado 
por: k
k
i
CM
n
n 





 1 
Caso o número de capitalizações tenda ao infinito (k ∞), temos o 
regime de capitalização contínua. Neste caso, o valor de resgate (o 
Montante) é dado por: 
nr
n eCM
 Onde: r = taxa de juro instantânea ou contínua. 
Para calcular a taxa de juro instantânea (r) equivalente a uma dada 
taxa de juro composta (i), tem-se: 
       
 ir
inenrieie
nnrnnr

 
1ln
1lnln1lnln1
 
A taxa de juro instantâneo é r = ln (1+i) 
 
Exemplo 5.1: Considerando uma taxa de juro de 16% ao ano, no 
regime de capitalização composta, calcule a taxa instantânea de juro 
para 30 dias. 
Resolução: 
Dados: i = 16% a.a.; n = 30 dias; r = ? 
        ..%84,141484,016,1ln16,01ln%161ln1ln aair  
Para 30 dias fica: ..%24,10124,0
360
30
1484,0 mar  
Exemplo 5.2: A partirde uma taxa de juro composta de 2% ao mês, 
qual é a taxa instantânea de juro ao semestre? 
Resolução: 
Dados: i = 2% a.a.; n = 6 meses; r = ? 
        %98,10198,0002,1ln002,01ln%21ln1ln  ir ao 
mês. 
A taxa de juros no semestre é %88,111188,060198,0 r 
 
5.1.1 Taxas Equivalentes na Capitalização Contínua 
A razão entre o valor de resgate (M) e valor inicial (C) nos regimes de 
capitalização contínua e de capitalização composta é dada pelas 
respectivas fórmulas: 
Capitalização contínua: rn
rn
n e
C
eC
C
M


 
Capitalização composta: 
 
 n
n
n i
C
iC
C
M


 1
1
 
  111  rrnrn eiieie 
i = er-1 
 
Exemplo 5.3: Dadas as taxas de juro instantâneas, calcule a taxa de 
juro composta equivalente. 
 
32 
 
i = er-1 
Taxa de juro Instantânea 
(r) 
Taxa de juro composta (i) 
5% a.m ..%13,5105,0 maei  
17% a.a. ..%53,18117,0 aaei  
 
5.2 Comparação Entre Montantes 
no Regime de Capitalizações 
Contínuas e Periódicas. 
Dado o exemplo, em que admitamos uma importância de 2.000 u.m. 
que pode ser aplicada por 1 ano a taxa de juros composto de 12% a.a. 
a) Calcule o montante em capitalização contínua. 
b) Calcule o montante em capitalização composta. 
Resposta: 
Dados: C = 2.000; n = 1; i = 12% 
a)   rrnrn eeMeCM 000.2000.2
1
1 
Como a taxa de juro é dada pelo regime composto, tem que se 
converter em taxa de juro instantânea. 
      %19,10119,0012,1ln012,01ln1ln  ir Assim sendo, 
..94,023.20119,1000.2000.2000.2 0119,01 mueeM
r  
b)     ..240.212,1000.212,01000.21 1 muiCM nn  
Estas duas alíneas mostram os montantes obtidos em 
capitalizações contínuas e periódicas respectivamente. 
5.3 Valor Presente de Capitais 
Uniformemente Distribuídos 
Em algumas situações encontradas na análise de investimentos, os 
fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante 
pontual, mas estão distribuídos ao longo do determinado período. 
 
O valor presente é dado pela seguinte expressão: 










mr
e
CVP
rm1
0 Tal que, VP: Valor presente; C0: Capital distribuído 
uniformemente; m: período da distribuição; r: taxa de juros 
 
Exemplo 5.4: um projecto de irrigação proporcionará um lucro total de 
64 milhões u.m. em 20 anos de operação. Calcular o valor actual deste 
lucro, considerando realização dos lucros em regime de fluxo uniforme 
e uma taxa contínua equivalente à 
 
33 
 
taxa de juros efectiva discreta de 8% a.a. 
 
Resolução: 
Dados: i = 8%; m = 20; C0 = 64 milhões; VP = ? 
 










mr
e
CVP
rm1
0 , a taxa de juros está expressa em juros efectivos. 
Logo, deve-se calcular a taxa equivalente. 
      ..%696,707696,008,1ln08,01ln1ln aair  
 
milhões
e
mr
e
CVP
rm
66,32
2007696,0
1
64
1 2007696,0
0 

















 
 
5.4 Exercícios de Avaliação 
1. Calcular a taxa efectiva ao ano equivalente à taxa efectiva de 
15% a.a. 
2. Qual é o capital que resulta em um montante de 1000 u.m. 
quando aplicado por 18 meses à taxa instantânea de 6% a.m. (R: 339,60) 
3. Considere que o logaritmo natural de 1,8 é igual a 0,6. 
Aplicando um capital de 25.000 u.m. a uma taxa de 4% ao mês, com 
capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do 
resgate, é igual a 45.000 u.m. Calcule o período de aplicação. 
4. Uma mina de ouro, durante uma vida útil de oito anos, 
proporcionou receitas operacionais líquidas de 500.000 por mês. A 
juros contínuos equivalentes à taxa de efectiva de 42,576% a.a. 
calcular o valor presente da receita total, considerando-a realizada em 
regime de fluxo uniformemente distribuído. (R: 15.924.809,34) 
5. Um capital de 50.000 u.m. foi aplicado a uma taxa semestral i, 
 durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do 
período, um montante igual a 200.000 u.m. Utilizando ln2 = 0,69. 
Calcule i. 
6. Nos próximos dez anos, a evolução dos custos operacionais de 
uma linha férrea deverá aumentar à razão de 2 milhões u.m. por ano. 
Considerando que o primeiro ano o custo é de 3 milhões u.m., a juros 
contínuos equivalentes à taxa efectiva de 12% a.a., calcular o valor 
presente desse custos, supondo que sejam realizados em regime de 
fluxo uniforme. (R: 60.841.274) 
 
 
 
 
 
 
34 
 
TEMA VI - TAXAS DE JUROS: NOMINAIS, PROPORCIONAIS, 
EFECTIVAS E EQUIVALENTES. 
UNIDADE Temática 6.1 Taxa Nominal. 
UNIDADE Temática 6.2 Taxa Efectiva. 
UNIDADE Temática 6.3 Taxas Proporcionais. 
UNIDADE Temática 6.4 Taxas Equivalentes. 
UNIDADE Temática 6.5 Exercício de Avaliação. 
Introdução 
Neste tema pretende-se distinguir as diferentes formas que a taxa de 
juro se apresenta no mercado e como trata-las na matemática 
financeira. 
Objectivos do Tema: 
 
Objectivos 
 Conhecer os diferentes tipos de taxas e a sua 
utilização. 
 Entender os conceitos de taxa nominal e taxa 
efectiva. 
 Perceber os conceitos de taxas proporcionais 
e taxas equivalentes. 
 Saber resolver problemas de operações 
financeiras com uso das taxas. 
 
6.1 Taxa de Juros Nominal 
A taxa de juros nominal é aquela calculada com base no valor nominal. 
Quando a taxa de capitalização não coincide com aquela a que se 
refere, denominamos essa taxa de NOMINAL. 
Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado mensalmente; ou juros 
de 36% ao ano capitalizado semestralmente. 
As taxas nominais tem aplicação em capitalização composta. 
A taxa nominal é dada pela razão entre juros pagos e o valor nominal 
do empréstimo. Ou seja: 
alnoempréstimo
pagosjuros
alnotaxa
min
min  
De um modo geral, a taxa nominal é uma taxa anual. 
 
Exemplo 6.1: Supoem-se que um empréstimo de 30.000 u.m. será 
quitado por meio de um único pagamento de 38.000 u.m. no prazo de 
um mês. No acto da assinatura do contrato foi paga uma tarifa de 5% 
 
35 
 
cobrada sobre o valor do empréstimo. Calcule a taxa nominal. 
Como a taxa nominal incide sobre o valor nominal, teremos: 
 
ma
alnoempréstimo
pagosjuros
alnotaxa .%67,26
000.30
000.30000.38
min
min 


 
6.1.1 Calculo do Montante 
O montante de um capital aplicado pelo prazo t a uma taxa nominal j 
com juros capitaslizados k vezes durante o periodo referencial da taxa 
nominal, o montante será: 
tk
k
j
CM







 1 , onde M: montante; C: capital aplicado; j: taxa de 
juros nominal; k: número de vezes em que os juros são capitalizados 
no periodo em que a taxa nominal se refere; 
t: prazo de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal. 
Ou seja, 
 niCM  1 , onde tkn
k
j
i  ; 
 
Exemplo 6.2: Qual o montante de um capital de 4.000 u.m., no fim de 
3 anos, com juros de 26% ao ano capitalizados trimestralmente? 
Resolução: 
Dados: C = 4.000; n = 3 anos; i = 26% a.a.; M =? 
Os juros de 26% são aplicados em todo ano, precisa-se saber qual será 
a taxa de juros no trimestre. 
Sabe-se que o ano tem 4 trimestres, dai que: 
..065,0
4
26,0
.%26 4 taiaai  
A taxa trimestral é igual à 0,065 a.t. 
n passa para trimestrestn 1243  
    38,516.8065,1000.4065,01000.41 12124  MiCM
n
n
R: O montante será 8.516,38 u.m. 
 
Exemplo 6.3: Se aplicarmos 10.000 u.m. à taxa de 36 % ao ano, 
capitalizada mensalmente, qual o montante obtido ano final do ano? 
Resolução: 
A taxa de 36 % ao ano é nominal, pois seu período que é anual é 
diferente do período de capitalização que é mensal; logo, 
considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a 
taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como 1 
ano = 12 meses , então a taxa efetiva 3
12
36
i % ao mês 
Portanto o montante S será obtido por: M = 10.000 × (1+ 0,03)12 = 
10.000 ×1,42576 ⇒ M = 14.257,60 . 
Resposta: A taxa nominal é 14.257,60 
 
 
36 
 
6.2 Taxa Efectiva (if) 
A taxa efectiva representa a verdadeira taxa cobrada, quando o prazo 
é igual a capitalização. 
A taxa efectiva é obtida através da seguinte expressão, 
 
k
k
i
if