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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Didatismo e Conhecimento 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS SIMPLES E COMPOSTO. 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de 
algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens 
de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos 
para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital: é o valor aplicado através de alguma operação 
financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, 
Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value 
(indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros: representam a remuneração do Capital empregado 
em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados 
segundo dois regimes: simples ou compostos.
Juros (Capitalização) Simples: o juro de cada intervalo de 
tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou 
aplicado. 
Juros (Capitalização) Compostos: o juro de cada intervalo 
de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente 
intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado 
ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele 
existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, 
e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for 
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu 
desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia 
a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta 
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. 
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado 
para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais 
conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros 
compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, 
compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as 
aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e 
aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos 
uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de 
curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros: indica qual remuneração será paga ao dinheiro 
emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente 
expressa da forma percentual, em seguida da especificação do 
período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que 
é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
Juros Simples
 
O regime de juros será simples quando o percentual de juros 
incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados 
a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou 
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, 
antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J 
= P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga 
com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos 
pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número 
de períodos)
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
 
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de 
R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
Solução: 
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma 
unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, 
para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial 
possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 
meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234 
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, 
aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma 
unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J 
= 40000.0,001.125 = R$5000,00
Didatismo e Conhecimento 2
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3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. 
rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).
(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à 
mesma unidade de tempo, ou seja, meses. 
Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; 
Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos 
meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através 
de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema 
financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do 
dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos 
de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao 
principal. 
 
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = 
P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = 
P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida 
de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para 
calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante 
ao final do período: J = M - P
Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, 
aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. 
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 → log x = 12 log 1,035 → log x = 0,1788 
→ x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
Exercícios
1) Comprei um novo computador, mas como não tinha 
o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final 
do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei 
R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo 
empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros? 
Primeiramente iremos calcular o valor do capital. 
A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do 
juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital: 
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 3% ------------- ½ ano (1 mês)
i % ------------ 1ano
Resolvendo: 
 
 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C= R$ 2.500,00
i= 3% a.m.→ 36% a.a. → a.a. → 0,36 a.a.
j= R$ 1.800,00
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 
O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o 
prazo de pagamento foi de 2 anos. 
Didatismo e Conhecimento 3
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo 
resultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, 
iremos obter o juro referente a cada período: 
Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.800,00, referente 
ao valor total do juro, por R$ 900,00 correspondente ao valor dojuro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado: 
2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo 
qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de 
R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu 
pagarei por este material? 
Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total. 
Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante 
(R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00): 
M= R$38.664,00
C= R$ 27.000,00 
j = M – C → j = 38.664,00 – 27.000,00 → j = 11.664,00
Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter 
uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 2,4% ------------- ½ ano (1 mês) ↓
 i % ------------ 1ano
Resolvendo: 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C= R$ 27.000,00
i= 2,4% a.m.→ 28,8% a.a. → a.a. → 0,288 a.a.
j= R$ 11.664,00
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 
Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos. 
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo 
resultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, 
iremos obter o juro referente a cada período: 
Desta forma, basta-nos dividir o valor de R$ 11.664,00, 
referente ao valor total do juro, por R$ 7.776,00 correspondente ao 
valor do juro em cada período, obtendo assim o período de tempo 
procurado: 
3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, 
após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de 
R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 
Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do 
montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00): 
Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do 
montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00): 
M= R$74.932,00
j= R$ 22.932,00 
C = M – j → C = 74.932,00 – 22.932,00 → C = 52.000,00
Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter 
uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 3 bimestres ------------- 1 semestre ↓
 n bimestres ------------ 3,5 semestres
Resolvendo: 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Didatismo e Conhecimento 4
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Portanto: 
4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha 
investiu. Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos 
juros, R$ 22.932,00, pelo valor do principal, R$ 52.000,00, de 
sorte a encontrar a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,441 pelo período de tempo, 
10,5, obteríamos a taxa desejada: 
4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. 
Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da 
taxa de juros a.d.?
Para começar, devemos calcular o valor do juro total 
subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital 
(R$ 2.000,00): 
M= R$ 2.450,00
C= R$ 2.000,00 
j = M – C → j = 2.450,00 – 2.000,00 → j = 450,00
Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não 
estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos 
converter uma das unidades. 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 
A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. 
Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, 
R$ 450,00, pelo valor do principal, R$ 2.000,00, de forma a 
encontrar a taxa de juros total do período: 
5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por 
um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, 
financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor 
total pago pelo curso? Qual o valor dos juros?
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C= R$ 1.800,00
i= 1,3% a.m. → a.m. → 0,013 a.m.
n = 1 ano → 12 meses
Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: j = C . i . n
Substituindo o valor dos termos temos: j = 1.800,00. 0,013 . 
12
Logo: j = 280,80
O montante é obtido somando-se ao valor do capital, o valor 
total dos juros. Tal como na fórmula: M = C+ j
Ao substituirmos o valor dos termos temos: M = 1.800,00 + 
280,80 → M= 2.080,80
Portanto: o valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado 
ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. Ao invés 
de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo resultado, 
apenas pela aplicação de alguns conceitos. Como sabemos, o juro 
referente a cada período é calculado multiplicando-se o valor do 
capital pela taxa de juros. Então o valor do juro por período seria: 
1.800,00 . 0,013 → 23,40
Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a 
R$ 23,40, resta-nos multiplicar este valor por 12, correspondente 
ao período de tempo, para termos o valor procurado: 23,40 . 12 → 
280,80
O valor do montante será encontrado, simplesmente somando-
se ao valor do principal, o valor total dos juros: 1.800,00 + 280,80 
→ 2.080,80
6) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa 
de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado 
por este investimento? 
Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter 
uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 24,72% ------------- 2 semestres (1 ano) ↓
 i % ------------ 1 semestre
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Resolvendo: 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C= R$ 35.000,00
i= 24,72% a.a. → 12,36% a.s. → 12,36/100 a.s → 0,1236 a.s.
n = 1 semestre
Para calcularmos o juro utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Portanto: 
Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. 
Ao invés de utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao 
mesmo resultado, apenas pela aplicação de alguns conceitos. 
Como sabemos, o juro referente a cada período é calculado 
multiplicando-se o valor do capital pela taxa de juros. Então o 
valor do juro por período seria: 
Ora, sendo o valor do juro em cada período correspondente a 
R$ 4.326,00, resta-nos multiplicar este valor por 1, correspondente 
ao período de tempo, para termos o valor procurado: 
7) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro 
ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi 
a taxa de juros a.a. da aplicação? 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está 
em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período de 
tempo que está em ‘dias’, devemos converter a unidade de tempo 
da taxa calculada de a.d. (‘dias’) para a.a. (‘anos’). 
Logo: 
↓ i ------------- 360 dias (1 ano) ↓
 0,0009 ------------ 1 dia
Resolvendo: 
Portanto: 
32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. 
Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, 
R$ 141,75, pelo valor do principal, R$ 3.500,00, de forma a 
encontrar a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,0405 pelo período de 
tempo, 45, obteríamos a taxa desejada: 
Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo 
solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de 
conversão conforme efetuado acima. 
8) Maria realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. 
Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 
de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada?Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
No entanto, como a unidade de tempo da taxa solicitada está 
em anos (‘a.a.’) e o cálculo foi realizado na unidade do período 
de tempo que está em ‘bimestres’, devemos converter a unidade 
de tempo da taxa calculada de a.b. (‘bimestres’) para a.a. (‘anos’). 
Didatismo e Conhecimento 6
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Logo: 
↓ i ------------- 6 bimestres (1 ano) ↓
 0,062 ------------ 1 bimestre
Resolvendo: 
Portanto: 
A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de 
juros simples de 37,2% a.a. 
Alternativamente poderíamos dividir o valor total dos juros, 
R$ 1.116,00, pelo valor do principal, R$ 18.000,00, de maneira a 
encontrar a taxa de juros total do período: 
Dividindo-se então, esta taxa de 0,062 pelo período de tempo, 
1, obteríamos a taxa desejada: 
Resta ainda converter a taxa de juros para a unidade de tempo 
solicitada, o que pode ser feito se realizando o procedimento de 
conversão conforme efetuado acima. 
9) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo 
de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria 
havia emprestado?
Veja que neste caso a taxa de juros e o período não estão na 
mesma unidade de tempo. Neste caso, devemos converter uma das 
unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 37,5% ------------- 12 meses (1 ano) ↓
 i% ------------ 1 mês
Resolvendo: 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
i= 37,5% a.a. → 3,125% a.m. → a.m. → 0,03125 a.m.
j= R$ 5.000,00
n = 1 mês
Para calcularmos o capital vamos utilizar a fórmula: C = 
Substituindo o valor dos termos temos: 
C = 
Logo: C = 160.000,00
Portanto: Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual 
recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período 
de 1 mês. Poderíamos chegar à mesma conclusão pela seguinte 
forma: Se dividirmos o valor total dos juros pelo período de tempo, 
iremos obter o valor do juro por período: 
Portanto, ao dividirmos o valor do juro por período, 
R$ 5.000,00, pela taxa de juros de 3,125%, iremos obter o valor 
do capital: 
10) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar 
R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação 
em meses? 
Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão 
na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter 
uma das unidades. 
Montando uma regra de três simples direta, temos: 
↓ 19,2% ------------- 6 meses (1 semestre) ↓
 i% ------------ 1 mês
Resolvendo: 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C = R$ 8.200,00
i= 19,2% a.s. → 3,2% a.m. → 3,2/100 a.m. → 0,032 a.m.
j= R$ 1.049,60
Para calcularmos o período de tempo utilizaremos a fórmula: 
Substituindo o valor dos termos temos: 
Logo: 
Didatismo e Conhecimento 7
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Portanto: 
O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que 
rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 
à taxa de 19,2% a.s. 
Sem utilizarmos fórmulas, poderíamos chegar ao mesmo 
resultado, pelo seguinte raciocínio: 
Ao multiplicarmos o valor do capital pela taxa de juros, 
iremos obter o juro referente a cada período: 
Neste caso, basta-nos dividir o valor de R$ 1.049,60, referente 
ao valor total do juro, por R$ 262,40 correspondente ao valor do 
juro em cada período, obtendo assim o período de tempo procurado: 
11) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro 
composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano 
de aplicação? Qual o juro obtido neste período? 
Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis 
fornecidas pelo enunciado do problema:
C = R$ 15.000,00
i= 1,7% a.m. → 1,7/100 a.m. → 0,017 a.m.
n= 1 ano → 12 meses
Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar 
com o período de tempo em meses e não em anos como está no 
enunciado do problema.
Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o 
montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos 
dá o montante:
Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo 
valor teremos:
Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor 
do montante:
M = 15.000,00 . (1 + 0,017)12 →
M = 15.000,00 . 1,01712 →
M = 15.000,00 . 1,224197 →
M = 18362,96
Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos 
que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os 
juros do período. Temos então:
j = M – C →
j = 18362,96 – 15.000,00 →
j = 3362,96
Portanto:
Após um ano de aplicação receberei de volta um total de 
R$18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de 
juros.
12) Paguei de juros um total R$2.447,22 por um empréstimo 
de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi 
o capital tomado emprestado? Calculando o valor da entrada para 
financiar a compra do seu carro a partir do valor da prestação 
Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas 
pelo enunciado:
Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro 
composto é:
Mas como estamos interessados em calcular o capital, é 
melhor que isolemos a variável C como a seguir:
Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao 
invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do 
montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, 
então temos:
Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior:
Vamos então novamente isolar a variável C:
 →
C . (1 + i)n = C + j →
C . (1 + i)n - C = j →
C . [(1 + i)n – 1] = j →
Finalmente podemos substituir as variáveis da fórmula pelos 
valores obtidos do enunciado:
→
→
→
→
→
C = 20801,91
Logo:
Didatismo e Conhecimento 8
MATEMÁTICA FINANCEIRA
O capital tomado emprestado foi de R$ 20.801,96.
13) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 
18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total 
de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro 
composto para que eu venha a conseguir este montante? 
Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:
A partir da fórmula básica para o cálculo do juro composto 
iremos isolar a variável i, que se refere à taxa de juros que estamos 
em busca:
Como já vimos na parte teórica, esta variável pode ser isolada 
com os seguintes passos:
M = C . (1+ i)n →
→
→
→
Por fim substituiremos as variáveis da fórmula pelos valores 
obtidos do enunciado:
→
→
→
i = 1,0225 – 1 →
i = 0,0225 – 1 
O valor decimal 0,0225 corresponde ao valor percentual de 
2,25%.
Logo:
Para que eu venha obter o montante desejado, é preciso que a 
taxa de juro composto seja de 2,25% a.m.
14) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos 
meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao 
final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital? 
Do enunciado identificamos as seguintes variáveis:
C = R$ 100.000,00
i = 1,7% a.m. → 1,7/100 a.m. → 0,017 a.m.
M = R$ 200.000,00
Tendo por base a fórmula básica para o cálculo do juro 
composto isolemos a variável n, que se refere ao período de tempo 
que estamos a procura:
M = C . (1+ i)n →
→
→
Substituindo o valor das variáveis na fórmula:
→
→
→
n = 41,12
Assim sendo:
Para que eu consiga dobrar o valor do meu capital precisarei 
de 41,12 meses de aplicação.
15) Se um certo capital for aplicado por um único período 
a uma determinada taxa de juros, em qual das modalidades de 
juros, simples ou composta, se obterá o maior rendimento? Na 
modalidade de juros simples, temos que o montante pode ser 
obtido através da seguinte fórmula:
Mas como já sabemos, o juro é obtido através da fórmula:
Logo substituindo j na fórmula do montante, chegamos à 
seguinte expressão:
Que após colocarmos C em evidência teremos:
Como o enunciado diz se tratar de apenas um período de 
aplicação, ao substituirmos n por 1 e realizarmos a multiplicação, 
a fórmula ficará apenas como:
Já na modalidade de juros compostos, o montante é obtido 
através da fórmula:
Didatismo e Conhecimento9
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Com a substituição de n por 1, segundo o enunciado, 
chegaremos à expressão:
Como já era de se esperar, em ambas as modalidades chegamos 
à mesma fórmula. Por quê?
Como sabemos, o que difere uma modalidade da outra é que 
no caso dos juros simples o juro não é integrado ao capital ao final 
de cada período, assim como acontece na modalidade de juros 
compostos. Como há apenas um período, não há distinção entre 
uma modalidade e outra, já que após a integração do juro ao valor 
principal, não haverá um outro cálculo para um próximo período, 
por se tratar de apenas um período de aplicação.
Temos então que:
Em qualquer uma das modalidades o rendimento será o 
mesmo.
ANUIDADE E PERPETUIDADE. 
Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou 
recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período 
de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmente durante 
3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá 
ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o 
Valor Futuro desta anuidade.
A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma 
anuidade (PMT) é dada por:
Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte 
forma:
Uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular 
as vantagens ou desvantagens de se parcelar uma compra. Suponha 
que a sua companhia de seguro lhe deu a opção de parcelar a 
renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio 
do seguro é de 2.000 reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se 
você tem dinheiro investido que rende 1% ao mês, qual a melhor 
opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente 
desta anuidade.
VP = 2147
O Valor Presente desta anuidade é maior do que o Valor 
para pagamento à vista, de modo que não é interessante este 
parcelamento. A fórmula geral do Valor Presente de uma anuidade 
é a seguinte:
Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte 
forma:
Perpetuidades 
Quando a anuidade não tem prazo para terminar, ou seja, o 
fluxo de pagamentos (ou recebimentos) é infinito, o que acontece 
com o seu Valor Presente? Vamos calcular os Valor Presente das 
seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos 
e crescentes. Suponha um PMT de $100 e uma taxa de desconto 
de 10% por ano:
Nº de Períodos PMT Valor Presente
a) 10 anos 100
b) 30 anos 100
c) 100 anos 100
d) 500 anos 100
e) Infinito 100
Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para 
um determinado valor, que é dado pela seguinte fórmula: Isso 
pode ser deduzido a partir da fórmula da anuidade, fazendo-se n 
tender para o infinito.
Didatismo e Conhecimento 10
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Quando n  ∞ o segundo termo dentro do parênteses tenderá 
a zero, e ficamos então com 
Se a perpetuidade apresentar um crescimento constante “ g “, 
isto pode ser incorporado na fórmula, que passa a ser:
Estas fórmulas são importantes na avaliação de empresas, pois 
supõe-se que uma empresa tem duração indeterminada, e portanto, 
apresenta fluxos de anuidade infinita.
TAXAS EFETIVA, NORMAL, 
EQUIVALENTE E REAL.
Taxa Real e Taxa Efetiva
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da 
matemática financeira. Os rendimentos financeiros são responsáveis 
pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa 
de juros. Não importando se a capitalização é simples ou composta, 
existem três tipos de taxas: taxa nominal, taxa efetiva e taxa real. 
No mercado financeiro, muitos negócios não são fechados em 
virtude da confusão gerada pelo desconhecimento do significado 
de cada um dos tipos de taxa. Vamos compreender o conceito de 
cada uma delas.
Taxa Nominal: A taxa nominal é aquela em que o período de 
formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com 
aquele a que a taxa está referida. Exemplos:
a) Uma taxa de 12% ao ano com capitalização mensal.
b) 5% ao trimestre com capitalização semestral.
c) 15% ao semestre com capitalização bimestral.
Taxa Efetiva: A taxa efetiva é aquela que o período de formação 
e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a 
taxa está referida. Exemplos: 
a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal.
b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual.
c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral.
Taxa Real: A taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação 
no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir 
valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à 
taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período. 
Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de 
inflação no período. Vejamos: 1+ief=(1+ir)(1+iinf)
Onde,
ief→é a taxa efetiva
ir→é a taxa real
iinf→é a taxa de inflação no período
Seguem alguns exemplos para compreensão do uso da fórmula.
Exemplo 1. Certa aplicação financeira obteve rendimento 
efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período 
foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação.
Solução: A solução do problema consiste em determinar o 
ganho real da aplicação corrigido pelo índice inflacionário do 
período, ou seja, determinar a taxa real de juros dessa aplicação 
financeira. Temos que: 
Aplicando a fórmula que relaciona os três índices, teremos:
Portanto, o ganho real dessa aplicação financeira foi de 1% ao 
ano.
Exemplo 2. Certa categoria profissional obteve reajuste salarial 
de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, 
determine o valor do reajuste real e interprete o resultado. 
Solução: Temos que 
Aplicando a fórmula, teremos:
Como a taxa real foi negativa, podemos afirmar que essa 
categoria profissional teve perdas salariais do período, uma vez 
Didatismo e Conhecimento 11
MATEMÁTICA FINANCEIRA
que o reajuste salarial foi abaixo do índice inflacionário do período.
A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante 
sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, 
negativas. Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros 
nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital 
P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa 
nominal in .
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).
Consideremos agora que durante o mesmo período, a 
taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. 
O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante 
S2 = P (1 + j). 
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao 
montante S2, produzirá o montante S1. Poderemos então escrever: 
S1 = S2 (1 + r)
Substituindo S1 e S2 , vem:
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período
r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j 
= 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes. Veja o 
exemplo a seguir:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco 
empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. 
Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, 
pede-se calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 
25%
Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, 
substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos 
para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos 
uma taxa real de juros negativa.
Agora resolva este: $100.000,00 foi emprestado para ser 
quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no 
período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
Resposta: 25%
Taxa Nominal
A taxa nominal de jurosrelativa a uma operação financeira, 
pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, 
deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de 
$150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: 
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão 
na Matemática Financeira são os conceitos de taxa nominal, 
taxa efetiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses 
assuntos geram muitas dúvidas nos cálculos de empréstimos, 
financiamentos, consórcios e etc. 
Hoje vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria 
das vezes nos livros e apostilas disponíveis no mercado, não são 
apresentados de um maneira clara. 
Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não 
é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos juros (é uma taxa 
“sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorporação 
de juros ao capital inicial) será dada através de uma outra taxa, 
numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.
 Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a 
taxa efetiva?
 
Vamos acompanhar através do exemplo:
Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicados 
durante 18 meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de 
12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e 
equivalente mensal: 
 
Respostas e soluções:
 
1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser 
capitalizado com a taxa anual.
2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas 
convenções: taxa proporcional mensal ou taxa equivalente mensal.
a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12): 
12%/12 = 1% a.m.
b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$ 
1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa anual aplicada nesse 
mesmo capital). 
 
Cálculo da taxa equivalente mensal:
 ( ) 11 −+= t
q
tiqi
 
onde:
iq : taxa equivalente para o prazo que eu quero
it : taxa para o prazo que eu tenho
q : prazo que eu quero
t : prazo que eu tenho
 
 ( ) 112,01 12
1
−+=qi = (1,12)0,083333 – 1 
Didatismo e Conhecimento 12
MATEMÁTICA FINANCEIRA
iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m.
3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensal
a) pela convenção da taxa proporcional:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147
M = 1.196,15
 
b) pela convenção da taxa equivalente:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296
M = 1.185,29
 
NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equivalente 
a taxa de 12% a.a, basta calcular o montante utilizando a taxa 
anual, neste caso teremos que transformar 18 meses em anos para 
fazer o cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297
M = 1.185,29
 
Conclusões:
- A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo do 
montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano!
- A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela 
que foi utilizado para cálculo do montante. Pode ser uma taxa 
proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal 
(0,949 % a.m.).
- Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se 
tratando de concursos públicos a grande maioria das bancas 
examinadores utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se 
tratando do mercado financeiro, utiliza-se a convenção de taxa 
equivalente.
Resolva as questões abaixo para você verificar se entendeu os 
conceitos acima.
 
1) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com 
capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva?
a) 27,75 %
b) 29,50%
c) 30 %
d) 32,25 %
e) 35 %
 
2) Um empresa solicita um empréstimo ao Banco no regime 
de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa 
equivalente composta ao mês de:
a) 12%
b) 20%
c) 22%
d) 24%
 
Respostas: 1) d 2) b
DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO. 
Descontos Simples e Compostos
São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o 
pagamento de um título é antecipado. O desconto é a diferença 
entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento 
e o seu valor atual (C) na data em que é efetuado o pagamento, 
ou seja: 
D = S - C
Os descontos são nomeados simples ou compostos em 
função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros 
simples ou compostos, respectivamente. Os descontos (simples 
ou compostos) podem ser divididos em:
- Desconto comercial, bancário ou por fora; 
- Desconto racional ou por dentro.
Descontos Simples 
Por Fora (Comercial ou Bancário). O desconto é calculado 
sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros 
simples
Df = S.i.t
É o desconto mais utilizado no sistema financeiro, para 
operações de curto prazo, com pequenas taxas. O valor a ser pago 
(ou recebido) será o valor atual C = S - Df = S - S.i.t , ou seja
 C = S.(1- i.t)
Por Dentro (Racional). O desconto é calculado sobre o valor 
atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros simples
Dd = C.i.t
Como C não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte 
cálculo: 
C = S - Dd ==> C = S - C.i.t ==> C + C.i.t = S ==> C(1 + 
i.t) = S
 C = S/(1 + i.t)
Este desconto é utilizado para operações de longo prazo. Note 
que (1 - i.t) pode ser nulo, mas (1 + i.t) nunca vale zero. 
Descontos Compostos 
O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, 
considerando n período(s) antecipado(s):
Dc = S - C
onde, de S = C.(1 + i)n, tiramos que C = S/(1 + i)n
Questão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza 
o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 12% a.m.. 
O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o 
valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe R$ 
300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em 
três meses. O valor da comissão é de:
Didatismo e Conhecimento 13
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Resposta:
h = 0.04
iB = 0.12 * 3
AB = N * [1-(iB * h)]
300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]
300000 = N * [1-0.4]
N = 500000
Vc = 0.04 * N
Vc = 0.04 * 500000
Vc = 20000
Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de vencimento 
é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendo a taxa de juros simples, 
utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é:
Resposta:
N = 256000
n = 7 meses
i = 0.04 a.m.
iB = n*i = 7*0.04 = 0.28
A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000
Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de 
R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. O valor do desconto 
simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a 
taxa de juros e o tempo. Nesse as condições, o valor nominal do 
rótulo é de:
Resposta:
Dc = 860
Dr = 781.82
Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr),
N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 = 
8600.22
Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor 
de seu desconto comercial simples. Sabendo-se que a taxa de juros 
adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é:
Resposta:
i = 60% a.a. → i = 0.6 a.a.
A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto)
5D = N – D → N = 6D
A = N * ( 1 – i*n)
5D = 6D ( 1 – 0.6 * n)
5 = 6 ( 1 – 0.6 * n)
5 = 6 – 3.6 * n
3.6 * n = 1
n = 0.277 (anos)
n = 0.277 * 365 dias
n = 101.105 dias
Questão 5. Uma empresa descontou em um banco uma 
duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de 516.000,00. 
Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor 
do título, que o regime é de juros simples comerciais. Sendo a taxa 
de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de:
Resposta:
N = 600000
Ab = 516000
h = 0.02
i = 0.96 a.a.
Db = Db + N*h
Ab = N * [1 - (i*n+h)]
516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)]
0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.02
0.8533 = 0.98 – 0.96*n
0.96 * n = 0.1267
n = 0.1319 anos ≈ 45 dias
Questão 6. O desconto comercial simples de um título quatro 
meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma 
taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um 
desconto racional simples:
Resposta:
Dc = 600
i = 0.05 a.m.
n= 4
Dc = Dr * (1 + i*n)
600 = Dr * (1 + 0.05*4)
Dr = 600/1.2
Dr = 500
Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota 
promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, 
a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples 
correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa 
e o mesmo prazo.
Resposta:
Dr = 800
i = 0.04 a.m.
n = 5 meses
Dc = Dr * (1 + i*n)
Dc = 800 * (1 + 0.04*5)
Dc = 800 * 1.2
Dc = 960
Questão 8. Um título sofre um desconto comercial de R$ 
9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de deconto 
simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se 
o desconto fosse simples e racional.
Resposta:
Dc = 9810
n = 3 meses
i = 0.03 a.m.
Dc = Dr * (1 + i*n)
9810 = Dr * (1 + 0.03*3)
9810 = Dr * 1.09
Dr = 9810/1.09
Dr = 9000
Questão 9. Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve 
sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses 
antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca 
do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule 
o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal:
Didatismo e Conhecimento 14
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Resposta:
N = 10900
Dc = 981
n = 3
Dc = N * i * n
981 = 10900 * i * 3
981 = 32700 * i
i = 0.03 (3% a.m.)
Dr = N * i * n / (1+i*n)
Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3)
Dr = 10900 * 0.09 / 1.09
Dr = 10900 * 0.09 / 1.09
Dr = 900
outra forma de fazer a questão seria usando:
N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr)
10900 = 981 * Dr / (981-Dr)
10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr
11881 * Dr = 10692900
11881 * Dr = 10692900
Dr = 900
Questão 10. Um título sofre desconto simples comercial de 
R$ 1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de 
desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente 
à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional:
Resposta:
Dc = 1856
n = 4 meses
i = 0.04 a.m.
Dc = N * i * n
Dr = N * i * n / (1+i*n)
Dr = 1856 / (1+0.04*4)
Dr = 1856 / 1.16
Dr = 1600
Questão 11. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 
de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de 
juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e 
desprezando os centavos.
Resposta:
N =10000
n = 3 meses
i = 0.03 a.m.
Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
(1+0.03)3 = 1.092727
Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727
Dcr = 848.58
Dcr = N – A
848.58 = 10000 – A
A = 10000 – 848.58
A = 10000 – 848.58
A = 9151.42
Questão 12. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro 
meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido 
considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% 
a.m.
Resposta:
n = 4 meses
i = 0.03 a.m.
A = 840
Dcr = N – A
Dcr = N – 840
Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
(1+0.03)4 = 1.12550881
(1+0.03)4 -1 = 0.12550881
Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881
N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840
N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004
N = 945.4274004
Dcr = 945.4274004 – 840
Dcr ≈ 105.43
Questão 13. Um título sofre um desconto composto racional 
de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o 
valor mais próximo do valor descontado do título, considerando 
que a taxa de desconto é de 5% a.m.:
Resposta:
Dcr = 6465.18
n = 4 meses
i = 0.05 a.m.
Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
(1+i)n = 1.21550625
(1+i)n – 1 = 0.21550625
6465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625
N = 36465,14
Questão 14. Um título sofre um desconto composto racional 
de R$ 340,10 seis meses antes do seu vencimento. Calcule o valor 
descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% 
a.m. (despreza os centavos):
Resposta:
Dcr = 340.10
n = 6 meses
i = 0.05 a.m.
Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
(1+0.05)6 = 1.340095640625
(1+i)n – 1 = 0.340095640625
340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625
N ≈ 1340.10
Dcr = N – A
340.10 = 1340.10 – A
A = 1000
Questão 15. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes 
o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez 
meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é 
de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar 
os centavos é igual a:
Didatismo e Conhecimento 15
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Resposta:
N = 5 * Drc
n = 10 meses
A = 200000
Drc = N – A
Drc = 5 * Drc – 200000
4 * Drc = 200000
Drc = 50000
Drc = N – A
 
50000 = N – 200000
N = 250000
Questão 16. Um Commercial paper, com valor de face de US$ 
1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado 
hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e considerando o 
desconto racional, obtenha o valor do resgate.
Resposta:
N = 1000000
n = 3 anos
i = 0.1 a.a.
Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
(1+i)n = 1.331
(1+i)n -1 = 0.331
Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331
Dcr = 248,685.20
A = N – Drc
A = 1000000 – 248,685.20
A = 751,314.80
Questão 17. Uma pessoa quer descontar hoje um título de 
valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimento para daqui a 60 
dias, e tem as seguintes opções:
I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.;
II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.;
III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m.
Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que 
receberá e o que receberia se escolhesse a opção:
Resposta:
N = 11245.54
n = 60 dias = 2 meses
I) Dc = N * i * n
Dc = 11245.54 * 0.025 *2
Dc = 562.277
A = N – Dc
A = 11245.54 – 562.277
A = 10683.26
II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n)
Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2)
Dr = 674.7324 / 1.06
Dr = 636.54
A = N – Dc
A = 11245.54 – 636.54
A = 10609.0
III) Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
Dcr = 11245.54 * 0.05740409
Dcr = 645.54
A = N – Dc
A = 11245.54 – 645.54
A = 10600
Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o 
valor atual da escolha II e a III é nove, então se houve um erro na 
digitação da questão a resposta é a alternativa c.
Questão 18. Um título deveria sofrer um desconto comercial 
simples de R$ 672,00, quatro meses antes do seu vencimento. 
Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial 
simples por um desconto racional composto. Calculo o novo 
desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m..
Resposta:
Dc = 672
n = 4 meses
i = 0.03 a.m.
Dc = N * i * n
672 = N * 0.03 * 4
N = 5600
Dcr = N * [1 - (1/(1+i)
n)]
Dcr = 5600 * [1 - (1/(1+i)
n)]
(1+i)n = 1.12550881
Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881
Dcr = 624.47
Questão 19. Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro 
meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, 
considerando que foi aplicado um desconto racional composto a 
uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver).
Resposta:
A = 4400
n = 4 meses
i = 0.03 a.m.
A = N – Drc
A + Drc = N
Drc = N * [1 - (1/(1+i)
n)]
(1+i)n = 1.12550881
Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881
Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881
Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657
Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657
Drc * 0.888487048 = 490.657
Drc = 552.23
N = A + Drc
N = 4400 + 552.23
N = 4952.23
Didatismo e Conhecimento 16
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Questão 20. Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, 
devendo o empréstimo ser pago após 4 meses, acrescido de juros 
compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização 
diária. Três meses depois Carlos decide quitar a dívida, e combina 
com Antônio uma taxa de desconto racional composto de 30% a.b. 
(ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga 
por Carlos a título de quitação do empréstimo.
Resposta:
N = 100000
n = 4 meses = 120 dias
i = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d.
M =C * (1+i)n
M =100000 * (1+0.005)120
M = 181939.67
A = M / (1+0.3/2)
A = 158208.4
Questão 21. Calcule o valor nominal de um título que, 
resgatado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreu desconto 
racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com 
capitalização semestral.
Resposta:
n = 1.5 anos = 3 semestres
Drc = 25000
i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s.
Dcr = N * [ ((1+i)
n - 1) / (1+i)n]
(1+i)n = 1.520875
(1+i)n-1 = 0.520875
25000 = N * 0.520875 / 1.520875
N = 25000 * 1.520875 / 0.520875
N = 72996.16
Descontos Racional e Comercial
Desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que 
pode ser: Letra de câmbio; Fatura; Duplicata; Nota promissória. 
Este desconto é obtido quando o mesmo é resgatado antes do 
vencimento do compromisso. 
O valor do título no dia do vencimento é chamado de: valor 
nominal e este vêm declarado no mesmo. O valor do título em uma 
data anterior ao vencimento da fatura é chamado de : valor atual. 
O valor atual é menor que o valor nominal
Desta forma, o valor atual de um título qualquer é a diferença 
entre o valor nominal (valor do título) e seu respectivo desconto. 
Observe:
 
A = N – Dc ou A = N - Dr
 
Onde: A – Valor atual
 
Exemplos para fixação de conteúdo:
 
Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no 
valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do 
prazo do seu vencimento?
 
Resolvendo:
 
N = 15.000
I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses)
T = 6
 
Dc = 15000 x 24 x 6 = 2160000
 1200 1200
 
Dc= 1800
A = 15000 – 1800 = 13200
A = 13200
 
Observe algumas notações:
D Desconto realizado sobre o título
N Valor nominal de um título
A Valor atual de um título
I Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto
 
Assim:
 
Como já falado anteriormente, o desconto é a diferença entre 
o valor nominal de um título (futuro) “N” e o valor atual “A” do 
título em questão.
 
D = N - A
 
Fórmula do desconto:
 
Dc = N . i . t
 100
 
Tipos de desconto
 
Há basicamente dois tipos de descontos:
– Desconto comercial (por fora)
– Desconto racional (por dentro)
 
Desconto comercial: Também chamado de desconto por fora, 
comercial, ou desconto bancário (Dc), pode ser definido como 
aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal do 
título, levando-se em conta o capital principal como valor nominal 
“N”. Assim, de acordo com a fórmula dada:
 
Dc = N . i . t
 100
 
Onde:
 
Dc = desconto comercial
N = valor nominal do título dado
i = taxa de desconto
t = período de tempo na operação
100 = tempo considerado em anos
 
Didatismo e Conhecimento 17
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Observações:
 
a) Quando o período de tempo (t) for expresso no problema 
em dias, o tempo considerado na operação devera ser em dias e 
utilizado o valor de 36000.
 
b) Quando o período de tempo (t) for expresso em meses, o 
tempo considerado deverá ser em meses e utilizando o valor 1200.
 
Exemplos para fixação de conteúdo:
 
1) Uma fatura foi paga com 30 dias antes do vencimento do 
prazo para pagamento. Calcule o valor do desconto, com uma taxa 
de 45% a.a., sabendo-se que o valor da fatura era no valor de R$ 
25.000,00.
Resolvendo:
 
Dados do problema
 
N = 25000
i = 45% a.a.
t = 30
 
Dc = N . i . t
 36000
 
Dc = 25000 x 45 x 30 = 33750000 = 937,50
 36000 36000
 
O valor de desconto é de R$ 937,50.
 
Observe o valor 36000 na divisão, pois o tempo é expresso 
em dias.
 
2) A que taxa foi calculada o desconto simples de R$ 
5.000,00 sobre um título de R$ 35.000,00, pago antecipadamente 
em 8 meses ?
Resolvendo:
 
Dados do problema
 
N = 35000
i = ?
t = 8 meses
Dc = 5.000,00
 
Dc = N . i . t
 1200
 
i = 1200 . Dc
 N. t
 
I = 1200 x 5000 = 6000000 = 21,43%
 35000 x 8 280000
 
O valor da taxa é de 21,43%
 
Observe o valor 1200 na divisão, pois o tempo é expresso em 
meses.
O desconto comercial pode ser expresso na fórmula abaixo:
 
Dc = A . i . t
 100 + it
 
Desconto Racional (por dentro): É chamado de desconto 
racional o abatimento calculado com a taxa de desconto incidindo 
sobre o valor atual do título, temos então:
 
Dr = A . i .t
 100
 
O qual:
 
Dr = valor do desconto racional na operação
A = valor atual do título
i = taxa de desconto
t = período de tempo na operação
100 = tempo considerado em ano
 
Como informado no desconto por fora, não se pode esquecer 
do tempo em que a taxa é considerada :
 
Ano = 100
Mês = 1200
Dias = 36000
 
Relembrando que:
 
A = N – Dr Substituindo → Dr = N . i . t
 100 + it
 
Exemplo para fixação de conteúdo:
 
Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 
16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento com uma taxa de 
24% a.a.
Resolvendo:
 
Dados do problema
 
N = 16000
i = 24% a.a.
t = 3 meses
 
Dr = N . i . t
 100 + it
 
Dr = 16000 x 24 x 3 = 1152000 = 905,66
 1200 + 24 x 3 1272
 
O valor do desconto é de R$ 905,66.
Didatismo e Conhecimento 18
MATEMÁTICA FINANCEIRA
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS. 
RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS.
A equivalência de capitais é uma das ferramentas mais 
poderosas da matemática financeira e tem sido constantemente 
pedida nas provas de concursos públicos.
Aprendemos a calcular o Montante, em uma Data Fatura, 
de um capital que se encontrava na data presente. Relativo a 
descontos, aprendemos a calcular o Valor Atual, em uma Data 
Presente, de um valor nominal que se encontrava em uma data 
futura.
Gostaríamos que você notasse que, ao calcular o montante, 
estávamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos 
ou capitalizando-o, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, 
estávamos movendo o valor nominal (que também é um capital) 
contra o eixo dos tempos ou descapitalizando-o, conforme se 
encontra ilustrado nos esquemas a seguir.
Conceito de Equivalência
Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, 
são chamados de equivalentes quando, levados para uma mesma 
data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa 
data.
Para você entender melhor esse conceito, vamos lhe propor 
um problema. Vamos fazer de conta que você ganhou um prêmio 
em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em 
um banco, à taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece 
três opções para retirar o dinheiro:
1a) você retira R$ 100,00 hoje;
2a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro 
de 4 meses;
3a) você deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9 
meses.
Qual delas é a mais vantajosa para você?
Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de 
comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se 
encontram em datas diferentes. Vamos determinar, então, o valor 
dos três capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus 
valores. Escolheremos a data de hoje. A Data Comum, também 
chamada de Data de Comparação ou Data Focal, portanto, vai ser 
hoje (= data zero).
O capital da primeira opção (R$ 100,00) já se encontra na data 
de hoje; portanto, já se encontra atualizado.
Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais 
futuros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero). 
Esquematizando, a situação seria esta:
Podemos fazer este cálculo usando desconto comercial 
simples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, 
escolher a fórmula do valor atual racional simples:
Vars = N/1 + in
Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00
Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00
Verificamos que os três capitais têm valores atuais idênticos 
na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer 
que eles são Equivalentes: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 
140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa 
de juros for de 10% ao mês e o desconto racional simples.
Vejamos o que acontece se utilizarmos o critério do desconto 
comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores 
atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00:
Vacs = N (1 – in)
Vacs1 = 140 ( 1 – 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84
Vacd2 = 190 (1 – 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19
Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os três 
capitais deixam de ser equivalentes.
E se mudarmos a data de comparação, ou data focal, para o 
mês 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional 
simples?
Acontecerá o seguinte:O capital R$ 140,00, resgatável na data 4, será antecipado de 2 
meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples:
Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67
O capital R$ 190,00, resgatável na data 9, será antecipado de 7 
meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: 
Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76
Ao capital R$ 100,00 (resgatável na data zero) acrescentar-se-
ão dois meses de juros, conforme segue:
Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120
No mês dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 
140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estarão valendo, respectivamente, 
R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles 
não serão mais equivalentes.
No regime de capitalização Simples a equivalência ocorre em 
apenas uma única data, para uma determinada taxa e modalidade 
de desconto. Ao mudarmos a Data Focal, capitais que antes eram 
equivalentes podem deixar sê-lo. É bom você saber desde já 
que, no regime de capitalização Composta, isto não acontece: na 
capitalização composta, para a mesma taxa, capitais equivalentes 
para uma determinada data o são para qualquer outra data.
Podemos então concluir que:
Para juros simples, a equivalência entre dois ou mais 
capitais somente se verifica para uma determinada taxa, para uma 
determinada data focal e para uma determinada modalidade de 
desconto.
Podemos, agora, definir equivalência de dois capitais de uma 
mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma:
Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a 
partir da mesma origem, são ditos equivalentes com relação a uma 
data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , 
calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de 
desconto nessa data focal F, forem iguais.
 A equivalência de capitais é bastante utilizada na renegociação 
de dívidas, quando há necessidade de substituir um conjunto de 
títulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto porque 
o conceito de equivalência é aplicado não só para dois capitais, 
mas também para grupos de capitais).
Didatismo e Conhecimento 19
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Às vezes um cliente faz um empréstimo num banco e 
se compromete e quitá-lo segundo um determinado plano de 
pagamento. Todavia, devido a contingências nos seus negócios, 
ele percebe que não terá dinheiro em caixa para pagar as parcelas 
do financiamento nas datas convencionadas. Então, propõe ao 
gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as 
datas de pagamento e os respectivos valores nominais de forma 
que consiga honrá-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja 
EQUIVALENTE ao plano original.
No cálculo do novo esquema de pagamento, a visualização do 
problema fica bastante facilitada com a construção de um diagrama 
de fluxo de caixa no qual representa-se a dívida original na parte 
superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, 
conforme se vê nos problemas a seguir.
Exercícios Resolvidos
1. No refinamento de uma dívida, dois títulos, um para 
6 meses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e de R$ 3.000,00, 
respectivamente, foram substituídos por dois outros, sendo o 
primeiro de R$ 1.000,00, para 9 meses, e o segundo para 18 meses. 
A taxa de desconto comercial simples é de 18% a.a. O valor do 
título de 18 meses, em R$, é igual a:
Resolução:
Inicialmente, vamos construir um diagrama de fluxo de caixa 
utilizando os dados do problema:
A taxa de juros é anual. Entretanto, como os prazos de 
pagamento estão expressos em meses, vamos transformá-la em 
mensal:
i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
A modalidade de desconto é o comercial simples, mas o 
problema não mencionou qual a data focal a ser considerada. Em 
casos como este, presumimos que a data focal seja a data zero.
Vamos, então, calcular o total da dívida na data zero para cada 
um dos planos de pagamento, e igualar os resultados, pois os dois 
esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um 
pelo outro. Além disso, para transportarmos os capitais para a data 
zero, utilizaremos a fórmula do valor atual do desconto comercial 
simples: 
Vacs = N (1 – in). Obteremos a seguinte equação:
2.000 (1 – 0,015 . 6) + 3.000 (1 – 0,015 
.12) = 1.000 (1 – 0,015 . 9) + x (1 – 0,015 . 18) 
(total da dívida conforme o plano (total da dívida conforme o 
plano Alternativo Original de pagamento, proposto, atualizado 
para a data zero).
Calculando o conteúdo dos parênteses, temos:
2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73)
1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x
0,73x = 1.820 + 2.460 – 865
x = 3.415/0,73 = 4.678,08
Observe que a data focal era anterior à data de vencimento 
de todos os capitais. Assim, calculamos o valor descontado (valor 
atual) de cada um deles, para trazê-los à data local. Efetuamos 
um desconto (comercial, no caso) ou uma descapitalização 
(desincorporação dos juros), porque estávamos transportando os 
valores para uma data passada. Mas se a data focal tivesse sido 
outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e não a data zero, o 
capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 6, teria que sofrer uma 
capitalização (incorporação de juros) para ser transportado para 
a data 9 (data futura em relação à data 6). A atualização do valor 
desse capital para a data 9, então, far-se-ia com a utilização da 
fórmula do montante M = C (1 + in), e não com a fórmula do valor 
descontado (valor atual).
Conclusão: para transportarmos um capital para uma data 
posterior à original, devemos capitalizá-lo; para transportarmos um 
capital para uma data anterior à original, devemos descapitalizá-lo.
2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, 
deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais de R$ 500,00. O 
segurador, para facilitar ao seu cliente, propõe-lhe o pagamento 
em 4 parcelas trimestrais iguais. Utilizando-se a data focal zero, a 
taxa de juros de 24% a.a. e o critério de desconto racional simples, 
o valor das parcelas trimestrais será, em R$:
Resolução:
Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos:
i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m.
Uma vez que o critério é de desconto racional simples, ao 
transportarmos os valores para a data zero, teremos que utilizar a 
fórmula do valor atual racional simples
Vars = N/1 + in . Podemos escrever, então, que:
Total da divida conforme o plano original de pagamento, 
atualizado racionalmente para a data zero 500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 
+ 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 
+ 0,02 . 9 + x/1 + 0,02 . 12 
Total da dívida conforme o plano alternativo proposto, 
atualizado racionalmente para a data zero 500/1,08 + 500/1,16 + 
500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24
1.297,22 = 3,49 . x
x = 1.297,22/3,49
x = 371,68
3. A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, 
contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além dessa aplicação, 
existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 
meses. Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de 
desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicações 
é, em R$:
Resolução:
Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira 
aplicação. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que:
N = C (1 + in)
N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420
Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para 
serem transportados à data doze, o título de 2.420 terá que ser 
capitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que 
ser descapitalizado de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., 
considerando-se capitalização simples, é equivalente a 1,5% a.m. 
= 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que:
2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x
2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x
2.528,9 + 6.422,02 = x
x = 8.950,92
 
Didatismo e Conhecimento 20
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Equação de Valor
Em síntese, para que um conjunto de títulos de valores 
nominais N1, N2, N3 …, exigíveis nas datas n1, n2, n3 …, seja 
equivalente a um outro conjunto de títulos Na , Nb , Nc …, exigíveis 
nas datas na , nb , nc …,basta impormos que a soma dos respectivos 
valores atuais Va1 , Va2 , Va3 … dos títulos do primeiro conjunto, 
calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores 
atuais Vaa , Vab , Vac … dos títulos do segundo conjunto, calculados 
para essa mesma data, isto é:
Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …
A equação acima é chamada de Equação de Valor.
Roteiro para Resolução de Problemas de Equivalência
Ao começar a resolução de problemas que envolvem 
equivalência de capitais utilize o seguinte roteiro:
1. leia o problema todo;
2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama 
de fluxo de caixa esquemático, colocando na parte de cima o plano 
original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo 
proposto, indicando todos os valores envolvidos, as datas 
respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagrama 
é importante porque permite visualizar os grupos de capitais 
equivalentes e estabelecer facilmente a equação de valor para 
resolução do problema;
3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e 
compromissos estão na mesma unidade de medida de tempo 
periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações 
necessárias (ou você expressa a taxa na unidade de tempo do 
prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a 
transformação que torne os cálculos mais simples);
4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação 
(data focal), lembrando sempre que capitais exigíveis antes da data 
focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M 
= C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada;
5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e 
com base no diagrama de fluxo de caixa que você esquematizou, 
monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos 
valores dos títulos (transportados para a data focal) da parte de 
cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores 
dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do 
diagrama de fluxo de caixa;
6. resolva a equação de valor;
7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que 
você encontrou corresponde ao que o problema está pedindo (às 
vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra 
um resultado intermediário e assinala a alternativa que o contém, 
colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessário ainda 
uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).
Desconto e Equivalência
Por fim, gostaríamos de dar uma dica para ajudá-lo a perceber 
quando um problema é de desconto e quando é de equivalência. 
Em linhas gerais, nos problemas de Desconto, alguém quer vender 
papéis (duplicatas, promissórias, letras de câmbio, etc.), enquanto 
que nos problemas de Equivalência, alguém quer financiar ou 
refinanciar uma dívida.
Rendas Uniformes
Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, 
mas com títulos apresentando os mesmos valores e com 
vencimentos consecutivos - tornando assim sua solução mais 
rápida, através de um método alternativo.
Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais 
e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por 
uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do 
montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos 
dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.
1º Caso: Cálculo do Valor Atual
a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primeiro 
pagamento acontecerá em UM período após contrair o empréstimo 
ou financiamento.
Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a 
seguinte:
A = P . a[n,i], onde:
A = valor atual da renda certa;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
i = taxa empregada.
O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas.
b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamento 
acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento.
Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a 
seguinte:
A = P . a[n-1,i] + P, onde:
A = valor atual da renda certa;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
i = taxa empregada.
c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento 
acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou 
financiamento.
Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a 
seguinte:
A = P . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde:
A = valor atual da renda certa;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
x = número de prestações acrescentadas;
i = taxa empregada.
2º Caso: Cálculo do Montante
a) Quando o montante é calculado no momento da data do 
último pagamento:
Didatismo e Conhecimento 21
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a 
seguinte:
M = P . s[n,i], onde:
M = valor do montante;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
i = taxa empregada.
O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas.
b) Quando o montante é calculado em um momento que não 
coincide com a data do último pagamento:
Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a 
seguinte:
M = P . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde:
M = valor do montante;
P = valor de cada pagamento da renda certa;
n = número de prestações;
x = número de prestações acrescentadas;
i = taxa empregada.
Rendas Variáveis
Ativos de renda variável são aqueles cuja remuneração ou 
retorno de capital não pode ser dimensionado no momento da 
aplicação, podendo variar positivamente ou negativamente, de 
acordo com as expectativas do mercado. Os mais comuns são: 
ações, fundos de renda variável (fundo de ação, multimercado e 
outros), quotas ou quinhões de capital, Commodities (ouro, moeda 
e outros) e os derivativos (contratos negociados nas Bolsas de 
Valores, de mercadorias, de futuros e assemelhadas).
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS. 
Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em 
prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão 
aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela 
de juros uniformemente decrescente e outra de amortização que 
permanece constante.
Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma 
de amortização de um empréstimo por prestações que incluem 
os juros, amortizando assim partes iguais do valor total do 
empréstimo.
Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores 
de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor 
das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada 
prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor 
do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de 
parcelas.
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados 
em financiamentos imobiliários. A principal característica do SAC 
é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o 
início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre 
o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida 
seja maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo 
devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de 
amortização. 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte 
mil reais) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês 
(em juros simples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da 
amortização iremos obter uma valor igual a R$ 10.000,00. Essa 
fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, 
sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 meses = R$ 10.000,00. 
Logo, a tabela SAC fica:
Nº 
Prestação Prestação Juros Amortização
Saldo 
Devedor
0 120000
1 11200 1200 10000 110000
2 11100 1100 10000 100000
3 11000 1000 10000 90000
4 10900 900 10000 80000
5 10800 800 10000 70000
6 10700 700 10000 60000
7 10600 600 10000 50000
8 10500 500 10000 40000
9 10400 400 10000 30000
10 10300 300 10000 20000
11 10200 200 10000 10000
12 10100 100 10000 0
Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês 
anterior,a prestação é a soma da amortização e o juro. Sendo 
assim,o juro é decrescente e diminuisempre na mesma quantidade, 
R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma 
das prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00.
Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem 
em progressao aritmética(PA) de r=100.
Sistema de Amortização Crescente – SACRE
O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de 
permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, 
simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Por 
isso, ele começa com prestações mensais mais altas, se comparado 
à Tabela Price.
Pelo sistema SACRE, as prestações mensais mantêm-se 
próximas da estabilidade e no decorrer do financiamento, seus 
valores tendem a decrescer. A prestação inicial pode comprometer 
até 30% da renda familiar e o prazo máximo de financiamento é 
de 25 anos.
Didatismo e Conhecimento 22
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Este sistema de amortização é utilizado SOMENTE pela Caixa Econômica Federal. A diferença básica entre este sistema e os outros é 
o de apresentar o valor da parcela de amortização superior, proporcionando uma redução mais rápida do saldo devedor. Também neste plano 
a prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto nos outros o comprometimento máximo é 25%.
O valor das prestações é decrescente.
Sistema Francês de Amortização - Tabela Price
Pela Tabela Price, o comprador começa a pagar seu imóvel com parcelas mensais mais baixas que às do Sacre. Ao longo do contrato, 
no entanto, as parcelas sobem progressivamente, superando, e muito, às do Sacre.
Pelo sistema Price, as prestações e o saldo devedor são corrigidos mensalmente pela TR, pelos bancos privados e anualmente pela 
Caixa. A amortização inicial dos juros nesse sistema é menor, fazendo com que apenas a partir da metade do número de anos estabelecido 
em contrato comece a ser reduzido o saldo devedor do comprador. 
Apenas 25% da renda familiar pode ser comprometida com a aquisição do imóvel e o prazo máximo de financiamento é de 20 anos.
Consiste em um plano de amortização em que as prestações são iguais. As amortizações crescem ao longo do período da operação: 
como a prestação é igual, com a redução do saldo devedor o juro diminui e a parcela de amortização aumenta.
Comparativo SAC SACRE TABELA PRICE - TP
Prestações = 
Amortização + 
Juros
Decrescentes Decrescentes Constantes
Amortizações Constantes Decrescentes Crescentes
Juros Decrescentes Decrescentes Decrescentes
Vantagem
Saldo devedor diminui 
mais rapidamente em 
relação ao TP
Saldo devedor diminui 
mais rapidamente em 
relação a TP ou SAC
Prestação inicial menor 
em relação a calculada 
pelo SAC oi SACRE
Desvantagem Prestação inicial maior Prestação inicial maior
Saldo devedor diminui 
mais lentamente em 
relação ao SAC ou 
SACRE
Sistema Alemão de Amortização
O sistema Alemão de amortização consiste na liquidação de uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações 
iguais, exceto a primeira que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. O capital emprestado (ou financiado) 
será indicado com C, i será a taxa de juros ao período, n representará o número de períodos. As amortizações e os pagamentos ao período 
serão indicados, respectivamente, pelas letras Ak e Pk, onde k=1,2,...,n. Em todas as situações, o final de um período significará o início do 
período seguinte.
Consideremos a situação que uma pessoa contrai um empréstimo de valor C no instante k=0. A financeira cobra antecipadamente a taxa 
i sobre C, perfazendo um juro inicial de C i, de forma que o cliente recebe no primeiro momento, o valor Co dado pela expressão: Co = C - C 
i = C (1-i), mas o cliente deverá pagar C no final do período.
No início do 2º período, o cliente está devendo C, mas amortizará parte do saldo devedor com um valor A1, assim ele ficará devendo 
neste momento: C1 = C - A1
Como ocorre a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida neste momento, correspondentes 
a i C1, logo o pagamento no início do 2o. período deverá ser: P1 = A1 + i C1 = A1 + i (C - A1)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C1 no final do período.
No início do 3º período, o cliente estará devendo C1 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A2, assim ele ficará devendo: C2 
= C1 - A2
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele novamente pagará juros antecipados sobre a dívida que no momento corresponde a 
i C2, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P2 = A2 + i C2 = A2 + i (C1-A2), ou seja P2 = A2 + i (C - A1 - A2)
O cliente deverá pagar à financeira o valor C2 no final do período.
No início do 4º período, o cliente estará devendo C2 e deverá amortizar parte da dívida com um valor A3, assim ele ficará devedor neste 
momento de: C3 = C2 - A3
Como ocorreu a amortização de parte da dívida, ele deve novamente pagar juros antecipados sobre a dívida neste momento, que 
corresponde a i C3, logo o pagamento no início do 3o. período deverá ser: P3 = A3 + i C3 = A3 + i (C2 - A3) = A3 + i (C1 - A2 - A3), ou seja P3 
= A3 + i (C - A1 - A2 - A3)
Didatismo e Conhecimento 23
MATEMÁTICA FINANCEIRA
O cliente deverá pagar à financeira o valor C3 no final do 
período.
Este processo continua até um certo mês com índice k e 
poderemos escrever: Ck = Ck-1 - Ak e Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 
- ... - Ak)
Resumindo até o momento, temos:
n Cn Pn
1 C1 = C - A1 P1 = A1 + i (C - A1)
2 C2 = C - A1 - A2 P2 = A2 + i (C - A1- A2)
3 C3 = C - A1 - A2 - A3 P3 = A3 + i (C - A1 - A2 - A3)
4 C4 = C - A1 - A2 - A3 - A4 P4 = A4 + i (C - A1 - A2 - A3 - A4)
... ... ...
k Ck = C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak Pk = Ak + i (C - A1 - A2 - A3 - ... - Ak)
A última amortização An deverá coincidir com o pagamento 
Pn uma vez que todos os juros já foram cobrados antecipadamente 
e como todos os pagamentos devem ser iguais (exceto Po), então 
segue que P1 = P2 = P3 = ... = Pn = P
Como P1=P2, então A1 + i (C - A1) = A2 + i (C - A1 - A2), 
Logo A1 + i (C-A1) = A2 + i (C-A1) - i A2
Assim A1 = A2 - i A2 e dessa forma A1 = A2 (1-i) e podemos 
escrever que A2 = A1 / (1-i)
De forma análoga, podemos mostrar que A3 = A2 / (1-i), para 
concluir que A3 = A1 / (1-i)
2
Temos em geral que, para todo k=2,3,4,...,n: Ak = A1 / (1-i)
k-1
Como a soma das amortizações Ak deve coincidir com o 
capital C emprestado ou financiado, segue que: C = A1 + A2 + A3 
+ ... + An
Substituindo os valores dos Ak nesta última expressão, 
obtemos:
Evidenciando o último termo, poderemos escrever:
Como o termo nos colchetes é a soma de n termos de uma PG 
cujo primeiro termo é 1 e a razão é (1-i), então:
e desse modo
Já observamos antes que
e substituindo o valor de A1 pela expressão obtida acima, 
teremos:
Esta é a fórmula para o cálculo da prestação no sistema 
Alemão, em função do capital financiado C, da taxa i e do período 
n.
Para obter os cálculos com as fórmulas básicas
com os seguintes elementos:
Objeto Descrição
C Capital financiado
i Taxa de juros ao período
n Número de períodos
P Valor de cada prestação
A1 Primeira amortização
Ak
Amortização para 
 k=1,2,...,n.
Problema Típico
Determinar a prestação mensal de um financiamento de 
R$300.000,00 por um período de 5 meses à taxa de 4% ao mês, 
através do sistema Alemão de amortização.
Solução: Devemos tomar i=0,04; n=5 e C=300.000,00 e inserir 
os dados na primeira das três últimas fórmulas apresentadas, para 
obter a prestação
Sistema Americano de Amortização
O Sistema de Amortização Americano é uma forma de 
pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento 
apenas dos juros da dívida,deixando o valor da dívida constante,que 
pode ser paga em apenas um único pagamento.
Esse sistema de amortização tem a vantagem em relação ao 
sistema de pagamento único,pois nele não há incidência de juros 
sobre juros.Os juros sempre incidem sobre o valor original da 
dívida.Com isso o devedor pode quitar sua dívida quando quiser.
Didatismo e Conhecimento 24
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tem como desvantagem que o pagamento de juros