APOSTILA EST BASICA

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Material de base para acompanhamento da aula 
 
 
 
Estatística Aplicada à 
Biologia I 
 
Bio 1002 
 
 
 
 
 
 
Puc Rio 2018 
 
Alexandre G. Christo e Richieri A. Sartori 
 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
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Introdução: 
 
Por que estudar estatística? 
 
 Permite quantificar os resultados obtidos num estudo; 
 Permite lidar com a variabilidade na tomada de decisões; 
 Permite estender as conclusões baseadas em uma pequena parcela para o 
grupo maior de onde ela veio, com margem de erro pequena e conhecida. 
 
Um pouco de história... 
 
Vem do latim “status” = Estado Inicialmente envolvia com compilações de dados e 
gráficos representativos dos vários aspectos de um estado ou país: 
 
- taxa de mortalidade, 
- taxa de nascimento, 
- renda, 
- taxa de desemprego, etc. 
 
Embora a palavra estatística ainda não existisse, existem indícios de que há 3.000 
anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, China e Egito. 
 
A própria Bíblia leva-nos a esse resgate histórico: 
 
- O livro quatro do Velho Testamento, intitulado "Números", começa com a seguinte 
instrução a Moisés: "Fazer um levantamento dos homens de Israel que estivesse aptos 
para guerrear". 
- Na época do Imperador César Augusto, Saiu um edito para que fizesse o censo em 
todo o Império Romano. Por isso Maria e José teriam viajado para Belém. 
- Em 1085, Guilherme “O Conquistador”, ordenou que fosse feito na Inglaterra um 
levantamento de propriedades, proprietários, uso da terra, empregados, com 
finalidade guerreira e fiscal. 
- No século XVII, John Graunt e Halley após exaustivas análises sobre registros de 
nascimentos e mortes, geraram as “Tábuas de Mortalidade”, e entre outras coisas, se 
concluiu que, entre o número de nascimentos de crianças na 
- Inglaterra, 51% eram meninos e 49% eram meninas. 
- Iniciou em 1853 até atualmente, é marcado pelo aperfeiçoamento de técnicas, 
intercâmbio de informações, pesquisas sobre a relação causa e efeito. 
- Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. A matemática, que é 
considerada “a ciência que une a clareza do raciocínio à síntese da linguagem”, 
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originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário 
e empírico. 
A Estatística, ramo da matemática aplicada, teve origem semelhante. 
 
Desde a antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de 
nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam 
equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos 
quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de "estatísticas". 
Na idade média colhiam-se informações, geralmente com finalidades 
tributárias ou bélicas. 
A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de 
fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e 
tabelas e os primeiros números relativos. 
No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição 
verdadeiramente científica. Godofredo Achenwali batizou a nova ciência (ou método) 
com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as 
ciências. 
As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram as representações gráficas e o 
cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados 
numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo 
(população), partindo da observação de partes desse todo (amostra). 
 
Alguns conceitos importantes: 
 
Método: é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um 
fim que se deseja. 
 
Método Experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), 
menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus 
efeitos, caso existam. 
 
Método Estatístico: admite todas essas causas presentes variando-as, registrando 
essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a 
cada uma delas. 
 
É uma metodologia para trabalhar com dados, consistindo em uma série de etapas: 
 
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Definições e conceitos 
 
A estatística utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequência da 
ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em modelos 
experimentais e modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou 
possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso. 
A estatística representa o conjunto de teorias, conceitos e métodos numéricos 
que estão associados ao processo de descrição e inferência, debruçando-se, de modo 
particular, sobre questões relativas a sumarização eficiente de dados, planejamento e 
análise de experimentos e levantamentos e natureza de erros de medida e de outras 
causas de variação em um conjunto de dados. 
A estatística representa o conjunto de teorias, conceitos e métodos numéricos 
que estão associados ao processo de descrição e inferência, debruçando-se, de modo 
particular, sobre questões relativas a sumarização eficiente de dados, planejamento e 
análise de experimentos e levantamentos e natureza de erros de medida e de outras 
causas de variação em um conjunto de dados. 
 
Conhecimento 
incerto 
+ 
Conhecimento 
sobre a incerteza 
= 
Conhecimento 
útil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
 
Inferencial 
 
 
Descritiva 
 
Consiste em organizar, resumir e 
apresentar dados numéricos através de 
tabelas e gráficos. 
 
Consiste em métodos e técnicas utilizados 
para se estudar uma população baseada em 
amostras probabilísticas desta mesma 
população por meio de estimação 
de parâmetros e testes de hipóteses. 
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População e amostra 
 
É difícil encontrar duas coisas exatamente iguais. Há um pouco de variabilidade 
em quase tudo. Embora as observações sejam variáveis é sempre possível associar a 
elas a ideia de regularidade e expressar essa regularidade matematicamente. 
Por outro lado, devido à variabilidade inerente aos indivíduos, os pontos de 
interesse da Estatística são referentes aos grupos de indivíduos, ou seja, estudamos os 
indivíduos através dos grupos. 
 
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População: é o conjunto de todos os indivíduos ou objetos que apresentam uma 
característica em comum. É um grupo de interesse que se deseja descrever ou acerca 
do qual se deseja tirar conclusões. A característica numérica associada a toda a 
população é chamada de parâmetro. 
 
Censo: quando todos os indivíduos de uma população são estudados. A confiabilidade 
é de 100%, porém é caro, é lento... 
 
Amostra: é um subconjunto de uma população. A amostra deve ser obtida de uma 
população específica e homogênea por um processo aleatório. Este processo torna a 
amostra representativa da população. 
 
Dado estatístico: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual 
iremos aplicar os métodos estatísticos. 
 
Parâmetro: são valores singulares e em comum que existem na população e que 
servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a 
população. Ex: presença de indumento na face abaxial de folhas de Cecropia 
hololeuca. 
 
Estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra. 
Ex: comprimento médio de folhas. 
 
Atributo: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o 
levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados 
genericamente de estatística de atributo. Ex: variedade de uma espécie (glabra, 
pilosa), gênero (masculino, feminino). 
 
Escalas de medida 
 
Escala nominal 
 
Uma variável de escala nominal classifica as unidades em classes ou categorias 
quanto à característicaque representa, não estabelecendo qualquer relação de 
grandeza ou de ordem. É denominada nominal porque duas categorias quaisquer se 
diferenciam apenas pelo nome. Os rótulos das categorias eventualmente podem ser 
numéricos, mas operações aritméticas sobre esses números não têm qualquer 
significado com respeito aos objetos do mundo real que eles identificam. 
 
Exemplo: sexo, estado civil. 
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Escala ordinal 
 
Uma variável de escala ordinal classifica as unidades em classes ou categorias 
quanto à característica que representa, estabelecendo uma relação de ordem entre as 
unidades pertencentes a categorias distintas. Assim como na escala nominal, 
operações aritméticas entre estes valores não tem sentido. 
 
Exemplo: grau de instrução 
 
Escala intervalar 
 
Uma variável de escala intervalar, além de ordenar as unidades quanto à 
característica mensurada, possui uma unidade de medida constante. A escala 
intervalar, ou escala de intervalo, aproxima-se da concepção comum de medida, mas 
não possui uma origem (ponto zero) única. O ponto zero dessa escala é arbitrário e 
não expressa ausência de quantidade. 
 
Exemplo: escala de temperatura. 
 
Escala de razão 
 
Uma variável de escala de razão ou racional ordena as unidades quanto à 
característica mensurada, possui uma unidade de medida constante e sua origem (ou 
ponto zero) é única. Nessa escala o valor zero expressa ausência de quantidade. A 
escala razão é a mais elaborada das escalas de medida, no sentido de que se permite 
todas as operações aritméticas. 
 
Exemplo: peso, comprimento. 
 
Variável: o termo é utilizado genericamente para indicar aquilo que é sujeito à 
variação ou à inconstância. 
No contexto da pesquisa científica, uma variável é definida como a função que 
estabelece uma correspondência entre os níveis de uma característica e os valores de 
um conjunto numérico, segundo uma escala de medida. 
Em outras palavras, uma variável é uma característica populacional que pode 
ser medida de acordo com alguma escala. 
 
Variáveis de interesse em um experimento (aquelas medidas ou observadas) 
são chamadas variáveis de resposta ou variáveis dependentes. Outras variáveis no 
experimento que afetam a resposta e podem ser definidas ou medidas pelo 
experimentador são chamadas variáveis preditoras, explanatórias ou independentes. 
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Ex: 
 
Variáveis preditoras: Quantidade de luz, pH do solo, frequência de rega 
Variáveis respostas: Tamanho das folhas, altura da planta 
 
Tipos de variáveis 
 
 
 
Variáveis qualitativas (categóricas): são aquelas cujos valores representam categorias 
ou classes. Caracterizam por possuir um conjunto limitado de valores (níveis) que 
usualmente se repetem entre as unidades. Descrevem qualidades e, de acordo com a 
escala de medida, são classificadas em: Nominais e Ordinais. 
 
Nominais: quando não houver um sentido de ordenação entre os seus possíveis 
valores. 
 
Exemplo: 
 
- sexo (masculino, feminino) 
- raça de cavalos (crioulo, manga-larga, árabe) 
- região geográfica (norte, sul, leste, oeste) 
- estado civil (solteiro, casado, divorciado, viúvo) 
 
Ordinais: quando houver um sentido de ordenação entre os seus possíveis valores. 
 
Exemplo: 
 
- faixa de idade (criança, adolescente, adulto, idoso) 
- intensidade de cor (claro, escuro) 
- intensidade de infestação (fraco, médio, forte) 
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- grau de instrução (fundamental, médio, graduação) 
 
Variáveis numéricas: são aquelas cujos valores são números reais, de modo que cada 
valor representa um valor da variável e não uma categoria ou uma classe. São 
classificadas em: Discretas e Contínuas. 
 
Discretas: descrevem dados discretos ou de enumeração, ou seja, obtidos por 
processo de contagem. Só podem assumir valores do conjunto dos números inteiros 
não negativos (0, 1, 2, 3, ...). 
 
Exemplo: 
 
- número de sementes germinadas 
- número de filhos numa ninhada 
 
Contínuas: descrevem dados contínuos ou de mensuração, ou seja, obtidos por 
processo de medição. Podem assumir quaisquer valores do conjunto do números reais 
(-10, 0, R2) 
 
Exemplo: 
 
- peso, altura 
- teor de umidade, temperatura corporal 
 
A classificação correta de uma variável é fundamental, uma vez que esta 
discriminação é que irá indicar a possibilidade e a forma de utilização dos 
procedimentos estatísticos disponíveis. 
 
Os números, taxas e outras informações coletados em experimentos ou 
levantamentos são denominados dados. Todo dado é um valor de uma variável 
(numérico ou não). A unidade da população em que são medidas as variáveis de 
interesse é chamada de unidade de observação. 
 
Exemplo: uma planta pode ser a unidade de observação em uma determinada 
pesquisa. Os valores obtidos para a variável medida nas unidades de observação (nas 
plantas) são os dados. 
 
Observação é o conjunto de valores referentes a todas as variáveis medidas em uma 
unidade de observação. 
Exemplo: peso de matéria seca, estatura, número de perfilhos, variedade. 
 
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O conjunto de todas as observações, ou seja, todos os valores do conjunto de unidades 
de observação constituem o conjunto de dados. 
 
Em tabelas, as variáveis são representadas por letras maiúsculas (A, B, X, Y, Z) e os 
dados por letras minúsculas (a, b, x, y, z). 
Para individualizar os valores de uma variável, acrescenta-se um índice (i = 1, 2, 
3, ..., n) que representa a unidade de observação. 
Assim o conjunto de n valores de uma variável x será representado por x1, x2, 
x3, ..., xn. 
 
Assim temos: 
 
i Nome Sexo Idade Estatura Peso 
1 Alfredo M 20 1,85 85,7 
2 Carol F 19 1,73 60,5 
3 João M 23 1,81 115,2 
4 Felipe M 22 1,69 63,8 
5 Bárbara F 18 1,58 59,3 
6 Willian M 25 1,79 76,1 
i A B X Y Z 
1 a1 b1 x1 y1 z1 
2 a2 b2 x2 y2 z2 
3 a3 b3 x3 y3 z3 
... ... ... ... ... ... 
6 a6 b6 x6 y6 z6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: 
Em um laboratório vem sendo feita uma pesquisa com dez ratos dos quais vem sendo 
medidas as variáveis abaixo: 
Classifique as seguintes variáveis: 
Ind Peso Altura Ectoparasitas Cor Raça Idade(semanas) 
1 25,0 22 32 Rosa 1 3 
2 24,5 25 35 Branco 2 5 
3 26,5 26 65 Preto 2 6 
4 25,3 23 68 Preto 2 8 
5 22,6 25 69 Preto 2 5 
6 28,9 25 32 Branco 3 4 
7 23,6 24 12 Branco 3 3 
8 22,8 28 25 Branco 2 6 
9 22,8 29 24 Rosa 3 5 
10 25,0 25 28 Rosa 3 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação dos dados em gráficos e tabelas: 
 
Resumo: Neste capítulo se discute e são exibidas as principais formas de apresentação 
dos dados, os principais gráficos e tabelas. No final do mesmo será apresentada a 
divisão dos dados em tabelas de frequências, tanto para dados quantitativos, como 
para dados qualitativos. 
 
Introdução 
 
O método científico, quando aplicado para a solução de um problema, 
frequentemente gera dados em grande quantidade e de grande complexidade. 
 
Desse modo, a análise da massa de dados individuais, na maioria das vezes, não 
revela a informação subjacente, gerando a necessidade de algum tipo de condensação 
ou resumo dos dados. 
 
Em resumo, a Estatística Descritiva tem por finalidade a utilização de tabelas, 
gráficos, diagramas, distribuições de frequências e medidas descritivas para: 
 
- examinar o formato geral da distribuição dos dados; 
- verificar a ocorrência de valores atípicos; 
- identificar valores típicos que informem sobre o centro de distribuição; 
- verificar o grau de variação presente nos dados. 
 
Pode-se pensar que todo método descritivo possui uma entrada, os dados, e 
uma saída, que pode ser umamedida descritiva ou gráfica. Se a entrada é deficiente a 
saída também será de má qualidade. 
 
Séries estatísticas 
 
As séries estatísticas resumem um conjunto ordenado de observações através 
de três fatores fundamentais: 
 
a) tempo: refere-se a data ou época que o fenômeno foi investigado; 
b) espaço: refere-se ao local ou região onde o fato ocorreu; 
c) espécie: refere-se ao fato ou fenômeno que está sendo investigado e cujos valores 
numéricos estão sendo apresentados. 
 
As séries estatísticas são classificadas de acordo com o fator que estiver 
variando, podendo ser simples ou mista. 
 
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Série simples 
 
São aquelas em que apenas um fator varia. 
 
- Série histórica: onde varia o tempo, permanecendo fixos o espaço e a espécie do 
fenômeno estudado. 
 
Tabela 1. Casos de sarampo 
notificados no Brasil de 1987 a 
1991. 
Ano Número de casos 
1987 65.459 
1988 26.173 
1989 55.556 
1990 62.435 
1991 45.532 
 
- Série geográfica: onde varia o espaço, permanecendo fixos o tempo e a espécie do 
fenômeno estudado. 
Tabela 2. Necessidades médias de 
energia em alguns países em 1973 
País 
kcal/per 
capita/dia 
Brasil 2.174 
Estados Unidos 2.397 
Etiópia 2.12 
Japão 1.125 
México 2.114 
 
- Série categórica: onde varia a espécie do fenômeno estudado, permanecendo fixos o 
tempo e espaço. 
 
Tabela 3. Abate de animais, por 
espécie, no Brasil, em 1993. 
Espécie Número de cabeças 
Aves 1.232.978.796 
Bovinos 14.951.359 
Suínos 13.305.932 
Ovinos 926.818 
Caprinos 803.188 
 
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- Série mista 
 
São aquelas em que mais de um fator varia ou um fator varia mais de uma vez. 
 
Tabela 4. Taxa de atividade feminina urbana (em 
percentual) em três regiões do Brasil, 1981/90. 
Regiões 
Anos 
1981 1984 1986 1990 
Norte 28,9 30,3 34,0 37,1 
Nordeste 30,2 32,6 34,3 37,8 
Sudeste 34,9 37,2 40,1 40,7 
 
- Série de distribuição de frequência 
 
Ocorre quando nenhum dos fatores varia. Nesta série os dados são agrupados 
em classes (intervalos com limites predeterminados) segundo suas respectivas 
frequências. 
 
Para dados de enumeração 
 
Tabela 5. Número de alarmes falsos recebidos diariamente por 
uma empresa de segurança, em abril de 1993. 
Classes Frequência 
(número de alarmes falsos) (número de dias) 
2 4 
4 8 
6 16 
Total 28 
 
Para dados de mensuração 
 
Tabela 6. Peso de 80 estudantes da Escola São José, em 1980. 
Classes Frequência 
(peso, em kg) (número de estudantes) 
40 |--50 12 
50 |--60 28 
60 |--70 25 
70 |--80 15 
Total 80 80 
 
 
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Tabelas 
 
A tabela é a forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado 
numérico se destaca como informação central. Sua finalidade é apresentar os dados de 
modo ordenado, simples e de fácil interpretação, fornecendo o máximo de informação 
num mínimo de espaço. 
Para um melhor entendimento, as tabelas devem seguir uma série de normas 
técnicas para a apresentação racional e uniforme dos dados estatísticos. 
 
Elementos da tabela 
 
Uma tabela estatística é composta de elementos essenciais e complementares. 
 
Os elementos essenciais são: 
 
- Título: é a indicação que precede a tabela contendo a designação do fato observado, 
o local e época que foi estudado. 
- Corpo: é o conjunto de linhas e colunas onde estão inseridos os dados. 
- Cabeçalho: é a parte superior da tabela que indica o conteúdo das colunas 
- Coluna indicadora: é a parte da tabela que indica o conteúdo das linhas. 
 
Os elementos complementares são: 
 
- Fonte: entidade que fornece os dados ou elabora a tabela. 
- Notas: informações de natureza geral, destinadas a esclarecer o conteúdo das 
tabelas. 
- Chamadas: informações específicas destinadas a elucidar ou conceituar dados numa 
parte numa parte da tabela. 
 
Número da tabela 
 
Uma tabela deve ter número para identificá-la sempre que o documento 
apresentar uma ou mais tabelas, permitindo, assim, a sua localização. A identificação 
da tabela deve ser feita em números arábicos, de modo crescente, precedidos da 
palavra “tabela”. 
 
Apresentação de dados numéricos 
 
A parte inteira dos dados numéricos deve ser separada por pontos, de três em 
três algarismos, da direita para a esquerda. A separação da parte inteira da parte 
decimal deve ser feita por vírgula. 
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No sistema inglês, a separação da parte inteira é feita por vírgula, e a separação 
da parte inteira da decimal é feita por ponto, ou seja, é o inverso do sistema brasileiro. 
 
Arredondamento 
 
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica 
inalterado o último algarismo a permanecer. 
 
Exemplo: 48,23 48,2 
 
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, acrescenta-
se uma unidade ao último algarismo a permanecer. 
 
Exemplo: 23,87 23,9 
 
Unidade de medida 
 
Uma tabela deve ter uma unidade de medida, inscrita no cabeçalho ou nas 
colunas indicadoras, sempre que houver necessidade de se indicar, 
complementarmente ao título, a expressão quantitativa ou metrológica a dos dados 
numéricos. Esta indicação deve ser feita com símbolos ou palavras, entre parênteses. 
 
Exemplos: (m) ou (metros); (t) ou (toneladas) 
 
Classe de frequência 
 
A classe de frequência é cada um dos intervalos não superpostos em que se 
divide uma distribuição de frequências. Toda classe deve ser apresentada, sem 
ambiguidade, por extenso ou com notação. Toda classe que inclui o extremo inferior 
do intervalo (EI) e exclui o extremo superior (ES), deve ser apresentada numa dessas 
duas formas: 
 
EI |-- ES ou [EI; ES] 
 
Apresentação da tabela 
 
- o corpo da tabela deve ser delimitado, no mínimo, por três espaços horizontais. 
- recomenda-se não delimitar as tabelas à direita e à esquerda por traços verticais. É 
facultativo o uso de traços verticais para separação de colunas no corpo da tabela. 
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- quando, por excessiva altura, a tabela tiver que ocupar mais de uma página, não deve 
ser delimitada inferiormente, repetindo-se o cabeçalho na página seguinte. Deve-se 
usar a palavra “continuação” no alto do cabeçalho. 
- a disposição da tabela deve estar na posição normal de leitura. Caso isso não seja 
possível, a apresentação será feita de forma que a rotação da página seja no sentido 
horário. 
 
Gráficos 
 
 
 
Outro modo de apresentar dados estatísticos é sob a forma ilustrada, 
comumente chamada de gráfico. 
Um gráfico é, essencialmente, uma figura construída a partir de uma tabela, 
mas, enquanto a tabela fornece uma ideia mais precisa e possibilita uma inspeção mais 
rigorosa aos dados, o gráfico é mais indicado para situações que visem proporcionar 
uma impressão mais rápida e maior facilidade de compreensão do comportamento do 
fenômeno estudado. 
 
Normas para apresentação gráfica 
 
Os gráficos, geralmente, são construídos num sistema de eixos chamado 
sistema cartesiano ortogonal. A variável independente é localizada no eixo horizontal 
(abscissas), enquanto a variável dependente é colocada no eixo vertical (ordenadas). 
No eixo vertical, o início da escala deve ser sempre zero, ponto de encontro dos eixos. 
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Deverá ser respeitada a correspondência de escala com os intervalos para as 
medidas. Se o intervalo 10-15kg corresponde a 2cm na escala, o intervalo 40-45kg 
também deverá corresponder a 2cm. 
O gráfico deverá possuir título, fonte, notas e legenda, ou seja, toda a 
informação necessária à sua compreensão, sem auxílio de texto. 
O gráfico deverá possuir formato aproximadamente quadrado para evitar que 
problemas de escala interfiramna sua correta interpretação. 
 
Tipos de gráficos 
 
1. Estereogramas: são gráficos onde as grandezas são representadas por volumes. 
Geralmente são construídos num sistema de eixos bidimensional, mas podem 
ser construídos num sistema tridimensional para ilustrar a relação entre três 
variáveis. 
 
 
 
Figura 1. Consumo, “em kg, de alguns tipos de alimentos per capita” anuais em 
algumas regiões metropolitanas do Brasil, em 1988. Fonte: Anuário Estatístico do Brasil 
(1992). 
 
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2. Pictogramas: são gráficos puramente ilustrativos, construídos de modo a ter 
grande apelo visual, dirigidos a um público muito grande e heterogêneo. Não 
devem ser utilizados em situações que exijam maior precisão. 
 
 
Figura 2. Problemas a serem solucionados pelo governo brasileiro de acordo com 
levantamento encomendado pelo Ministério da Educação, em 1985. Fonte: Silveira-
Júnior et al. (1989). 
 
3. Diagramas: são gráficos geométricos de duas dimensões, de fácil elaboração e 
grande utilização. Podem ainda ser subdivididos em: gráficos de colunas, de 
barras, de linhas ou curvas e de setores. 
 
a) Gráfico de colunas: neste gráfico as grandezas são comparadas através de 
retângulos de mesma largura, dispostos verticalmente e com alturas 
proporcionais às grandezas. A distância entre os retângulos deve ser, no 
mínimo, igual a 1/2 e, no máximo, 2/3 da largura da base dos mesmos. 
 
Figura 3. Efetivo do rebanho suíno no Brasil, segundo as grandes regiões em 1992. 
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil (1994). 
 
b) Gráfico de barras: segue as mesmas instruções que o gráfico de colunas, tendo 
a única diferença que os retângulos são dispostos horizontalmente. É usado 
quando as inscrições dos retângulos forem maiores que a base dos mesmos. 
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Figura 4. Casos notificados de AIDS nos cinco estados brasileiros de maior incidência 
em 1992. Fonte: Anuário Estatístico do Brasil (1994). 
 
c) Gráfico de linhas ou curvas: neste gráfico os pontos estão dispostos no plano 
de acordo com suas coordenadas, e a seguir são ligados por segmentos de reta. 
É muito utilizado em séries históricas e em séries mistas quando um dos fatores 
de variação é o tempo, como instrumento de comparação. 
 
 
Figura 5. Eleitores inscritos para as eleições brasileiras – 1978/90. Fonte: Anuário 
Estatístico do Brasil (1992). 
 
d) Gráfico em setores: é recomendado para situações em que se deseja evidenciar 
o quanto cada informação representa do total. A figura consiste num circulo 
onde o total (100%) representa 360º, subdividido em tantas partes forem 
necessário para a representação. Essa divisão se faz por meio de regra de três 
simples. 
 
 
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20 
Figura 6. Hospitalizações pagas pelo SUS, segundo a natureza do prestador de serviço, 
1993. Fonte: Anuário estatístico do Brasil. 
 
Distribuição de frequências 
 
Um grande número de dados necessita de uma forma eficiente de sumarização. 
Uma das formas mais comuns de resumir e apresentar dados são através de tabelas de 
distribuição de frequências. Estas tabelas podem ser de dois tipos: 
 
- de classificação simples 
- de classificação cruzada 
 
Tabelas de classificação simples 
 
As tabelas de classificação simples são tabelas de frequências relativas a uma 
variável. As características dessas tabelas variam de acordo com o tipo de variável em 
estudo. 
 
Se a variável é do tipo categórica, então são obtidas as frequências de 
ocorrência de cada nível dessa variável. Se a variável é do tipo numérica contínua, 
primeiro são obtidos intervalos de mesma amplitude e depois contados os valores que 
ocorrem em cada intervalo. 
 
Distribuição de frequências de variáveis categóricas 
 
Construção da tabela: 
 
1. Passo: ordenar os níveis do fator, ou seja, colocá-los em ordem crescente de 
grandeza. Cada nível constituirá uma classe. O número de cada classe da 
distribuição será representado por j, tal que j = 1, 2, ..., k. 
2. Passo: contar o número de elementos em cada classe, ou seja, contar quantas 
vezes o dado está repetido. 
 
Exemplo 1: 
 
Seja a variável em estudo o conceito obtido por 60 estudantes na disciplina de 
Estatística, para o qual os dados observados foram os seguintes: 
 
ruim, médio, bom, médio, ótimo, bom, ruim, médio, bom, médio, ótimo, bom, ruim, 
bom, médio, ótimo, , ruim, médio, médio, bom, médio, bom, ..., bom. 
 
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21 
Podemos observar que esta variável categórica qualitativa ordinal apresenta 
quatro níveis (ruim, médio, bom e ótimo). Portanto o número total de classes (k) é 
quatro. 
 
Número de classes 
 (j) 
Classe 
1 Ruim 
2 Médio 
3 Bom 
4 Ótimo 
 
O passo seguinte é a contagem do número de estudantes de cada nível. 
 
Estes valores são denotados por Fj e chamados de frequências absolutas das 
classes. A partir dessa, se calcula as outras frequências de interesse numa distribuição: 
 
- Frequência absoluta acumulada (F’j) 
- Frequência relativa (fj) 
- Frequência relativa acumulada (f’j) 
 
Distribuição de frequências de variáveis numéricas contínuas 
 
Construção da tabela: 
 
1. Passo: ordenar o conjunto de dados, ou seja, colocar os dados brutos em ordem 
crescente de grandeza. 
2. Passo: determinar o número de classes da tabela. De modo geral este valor não 
deverá ser menor que 5 e maior que 15. Para se determinar o número de classes, 
seguir as seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
Onde: 
 
k = número de classes; 
n = número de observações; 
log = logaritmo na base 10. 
 
 
k 13,32logn 
(Formula de Sturges) 
 
k n 
 
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22 
3. Passo: determinar a amplitude do intervalo. Para isso, podemos utilizar a seguinte 
expressão: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
i = amplitude do intervalo; 
at = amplitude total do conjunto de valores; 
k = número de classes; 
ES = extremo superior; 
EI = extremo inferior. 
 
3. Passo: construir os intervalos de classes. O limite inferior da primeira classe 
será sempre o menor valor do conjunto de dados (x(1)) e o limite superior será 
o limite inferior acrescido do valor de amplitude do intervalo de classe (i). Na 
sequência, o limite inferior da segunda classe será sempre o limite superior e o 
limite superior da segunda classe será este limite inferior acrescido da 
amplitude do intervalo e assim sucessivamente. 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
Tomemos a seguinte variável: 
 
X = peso ao nascer (em gramas) de 60 camundongos machos, para a qual os valores 
observados (e já ordenados) foram: 
 
16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 
23, 23, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 
29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 35, 36, 39 
Determinar o número de classes: 
 
Para n = 60, temos: 
 
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23 
 
k =1 +3,32*logn 
 
k =1+3,32*log60 
 
k =6,9 k  7 
 
j Classes 
1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
 7 
 
Determinar a amplitude da classe: 
 
Para k = 7, temos: 
 
 
 
Em distribuição de frequências de variáveis contínuas, geralmente existe 
interesse em uma outra quantidade conhecida como ponto médio ou centro de classe, 
denotada por cj. Os centros de classes são calculados da seguinte forma: 
 
 
 
 
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24 
Calculando as frequências, temos: 
 
 
 
Representação gráfica das distribuições de frequências 
 
As distribuições de frequências podem ser graficamente representadas de 
formas distintas e exclusivas: o histograma e o polígono de frequência. 
 
Histograma 
 
O histograma consiste de um conjunto de retângulos contíguos cuja base é 
igual àamplitude do intervalo e a altura proporcional à frequência das respectivas 
classes. 
 
 
Figura 7. Peso ao nascer (em gramas) de 60 camundongos machos. Fonte: Dados 
fictícios. 
 
Polígono de frequência 
 
O polígono de frequência é constituído por segmentos de retas que unem os 
pontos cujas coordenadas são o ponto médio e a frequência de cada classe. O polígono 
de frequência é fechado tomando-se uma classe anterior a primeira e uma posterior a 
última, uma vez que ambas possuem frequência zero. 
 
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25 
 
Figura 7. Peso ao nascer (em gramas) de 60 camundongos machos. Fonte: Dados 
fictícios. 
 
 
Tabelas de classificação cruzada 
 
Em algumas situações, pode haver interesse no estudo de duas ou mais 
variáveis simultaneamente. Assim, surgem as distribuições de frequências relativas a 
duas variáveis, numéricas ou categóricas. 
 
 
Frequências cruzadas de variáveis categóricas 
 
Quando um estudo envolve duas variáveis categóricas (fatores), a tabela de 
frequência dessas duas variáveis também é conhecida como tabela de dupla entrada, 
tabela de associação ou tabela de contingência. 
As regras básicas para sua construção são semelhantes às das tabelas de 
classificação simples. A diferença é que agora a tabela apresenta duas margens, cada 
qual com os totais referentes a um dos fatores. 
 
Tabela 7. Distribuição dos alunos da 
escola E, segundo o hábito de fumar e 
o conceito em Estatística. 
Conceito 
Hábito de 
fumar Totais 
Sim Não 
Ruim 5 8 13 
Médio 10 16 26 
Bom 5 10 15 
Ótimo 2 4 6 
Total 22 38 60 
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26 
 
 
 
Figura 7. Distribuição dos alunos da escola E, segundo o hábito de fumar e o conceito 
em Estatística. 
 
Frequências cruzadas de variáveis numéricas 
 
Ao estudarmos conjuntamente duas variáveis numéricas, as tabelas de 
classificação cruzada são, agora, denominadas tabelas de correlação. As ideias básicas 
sobre a construção dessas tabelas já foram vistas anteriormente. 
 
Como exemplo, observamos a classificação dos 400 alunos do colégio C, 
segundo duas variáveis contínuas: natas em estatística e em matemática. 
 
 
Tabela 8. Distribuição dos alunos do colégio C, segundo suas notas em 
Estatística e Matemática. 
 
 
Os gráficos geralmente utilizados para descrever dados como Estes são os 
histogramas em três dimensões (estereogramas), nos quais os retângulos cedem lugar 
aos paralelogramos. Agora, a base de cada paralelogramo é definida pelas amplitudes 
das classes das variáveis envolvidas. 
 
Este tipo de gráfico é pouco usado em trabalhos científicos pela dificuldade de 
execução e interpretação. 
 
 
 
 
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27 
Medidas descritivas 
 
Como representar um conjunto de dados? Quase sempre os conjuntos são 
muito grandes, formados muitas vezes por milhares de dados e devem ser reduzidos, 
resumidos para que sejam apresentados. Para isto, existem diversas formas de 
promover esta apresentação, devemos assim saber quais são as melhores para 
responder a nossa hipótese. 
 
As medidas descritivas têm o objetivo de reduzir um conjunto de dados 
observados (numéricos) a um pequeno grupo de valores que deve fornecer toda a 
informação relevante a respeito desses dados. 
Essas medidas são funções dos valores observados e podem ser classificadas 
em quatro grupos: medidas de localização, medidas separatrizes, medidas de 
dispersão e medidas de formato. 
 
Medidas de localização: também denominadas de medidas de tendência 
central. Indicam um ponto central onde, em muitas situações importantes, está 
localizada a maioria das informações. 
 
Medidas separatrizes: indicam limites para proporções de observações em um 
conjunto, podendo ser utilizadas para construir medidas de dispersão. 
 
Medidas de dispersão: informam sobre a variabilidade dos dados. 
 
Medidas de formato: informam sobre o modo como os valores se distribuem. 
Compreendem as medidas de assimetria, que indicam se a maior proporção de valores 
está no centro ou nas extremidades, e as medidas de curtose, que descrevem o grau 
de achatamento da distribuição. 
 
Medidas de localização 
 
Média aritmética 
 
A média aritmética, pela sua facilidade de cálculo e compreensão aliada às suas 
propriedades matemáticas, é a medida de localização mais conhecida e utilizada. Pode 
ser de dois tipos: simples ou ponderada. 
Média aritmética simples: representada por x, é calculada considerando que 
todas as observações participam com o mesmo peso. Assim, um conjunto com n 
observações (x1, x2, x3, ...xn) a média aritmética simples é definida por: 
 
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28 
 
Exemplo: 
Se X = tempo (h) 
Para Xi = 9, 7, 5, 10, 4, temos: 
 
 
 
Média aritmética ponderada: representada por x p_, é calculada considerando 
que pelo menos uma das observações deve participar com peso diferente das demais. 
Assim, se as observações (x1, x2, x3, ...xn) forem associadas a pesos (p1, p2, p3, ...pn) a 
média aritmética ponderada é dada por: 
 
 
Mediana 
 
A mediada, representada por Md, é a medida que divide um conjunto de dados 
ordenado em duas partes iguais, ou seja, 50% dos valores ficam abaixo e 50% ficam 
acima da mediana. 
Existem dois casos diferentes para o cálculo da mediana, mas em ambos o 
primeiro passo a ser tomado é a ordenação dos dados. 
 
1º caso: quando n é impar. 
 
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29 
Primeiramente determinamos a posição mais central (p) do conjunto de dados 
ordenado. 
 
 
 
2º caso: quando n é par. 
 
Neste caso, temos duas posições centrais no conjunto de dados ordenado, 
denotadas p1 e p2. Ao utilizarmos a expressão para cálculo de p, obtemos um valor 
não inteiro. As posições p1 e p2 são os dois números inteiros mais próximos do valor p. 
A mediana será a média aritmética simples dos valores do conjunto de dados que 
ocupam as posições p1 e p2, ou seja: 
 
 
Moda 
 
A moda, representada por Mo, é o valor de maior ocorrência num conjunto de 
dados. É a única medida que pode não existir e, existindo, pode não ser única. 
 
Exemplo: 
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30 
 
Se X = peso (kg) 
 
1. Para xi = 2, 3, 7, 5, 7, 5, 8, 7, 9 
temos Mo = 7 kg 
 
2. Para xi = 1, 3, 4, 5, 4, 8, 6, 8 
temos Mo = 4 kg e 8 kg (conjunto bimodal) 
 
3. Para xi = 5, 7, 8, 3, 9, 1, 4 
Não existe Mo (conjunto amodal) 
 
4. Para xi = 1, 3, 4, 4, 5, 1, 3, 5 
Não existe Mo (conjunto amodal) 
 
 
 
Média 
 
Vantagens: 
 
 No cálculo participam todos os valores observados; 
 É o ponto de equilíbrio de uma distribuição, sendo tão 
mais eficiente quanto mais simétrica for a distribuição dos 
valores ao seu redor; 
 É uma medida que sempre existe e que presta-se muito 
bem a tratamentos estatísticos adicionais. 
 
Desvantagens: 
 
 É uma medida altamente influenciada por valores 
discrepantes. 
 
Mediana 
 
Vantagens: 
 
 Define exatamente o centro da distribuição, mesmo 
quando os valores se distribuem assimetricamente em 
torno da média; 
 Pode ser utilizada para definir o meio de um número de 
objetos, propriedades ou qualidades que possam de 
alguma forma serem ordenadas. 
 
Desvantagens: 
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31 
 
 É uma medida que não presta a cálculos matemáticos. 
 
Moda 
 
Vantagens: 
 
 Não exige cálculo, apenas uma contagem; 
 
Desvantagens: 
 
 É uma medida que não presta a cálculos matemáticos; 
 Deixa sem representação todos os valores do conjunto de 
dados que não forem iguais a ela. 
 
 
Medidas separatrizes 
 
Quartis 
 
Os quartis, representados por Qi, onde i = 1, 2 e 3, são três medidas que dividem 
um conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais. São elas: 
 
 Primeiro quartil (Q1): 25% dosvalores ficam abaixo e 75% ficam acima 
desta medida. 
 Segundo quartil (Q2): 50% dos valores ficam abaixo e 50% ficam acima 
desta medida. O segundo quartil corresponde à mediana (Q2 = Md) 
 Terceiro quartil (Q3): 75% dos valores ficam abaixo e 25% ficam acima 
desta medida. 
 
Observa-se que o primeiro quartil é o percentil 0,25, a mediana é o percentil 0,5 e o 
terceiro quartil é o percentil 0,75. 
O processo para obtenção dos quartis, da mesma forma que o da mediana, 
consiste em, primeiramente, ordenar os dados e, em seguida, determinar a posição (p) 
do quartil no conjunto de dados ordenados. 
 
1o caso: quando n é impar. 
 
- Para Q1, temos: 𝑝 = 
𝑛+1
4
 
 
- Para Q2, temos: 𝑝 = 
2(𝑛+1) 
4
 
 
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32 
- Para Q3, temos: 𝑝 = 
3(𝑛+1) 
4
 
 
2o caso: quando n é par. 
 
- Para Q1, temos: 𝑝 = 
𝑛+1
4
 
 
- Para Q2, temos: 𝑝 = 
2𝑛+1
4
 
 
- Para Q3, temos: 𝑝 = 
3𝑛+1
4
 
 
Medida de dispersão: 
 
As medidas de dispersão ou de variação complementam as medidas de 
localização ou de tendência central, indicando o quanto as observações diferem entre 
si ou o grau de afastamento das observações em relação à média. 
 
Amplitude total 
 
A amplitude total, denotada por at, fornece uma ideia de variação e consiste na 
diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. 
 
Assim, temos: 
 
at= ES- EI 
 
Onde: 
 
ES: extremo superior do conjunto de dados ordenado; 
EI: extremo inferior do conjunto de dados ordenado; 
 
Exemplo: 
 
Se x = tempo (h) 
Para xi = 9, 7, 5, 10 e 4, temos: 
at= ES- EI =10 − 4 = 6 
Todos os valores do conjunto de dados diferem, no máximo, em 6h. 
 
Variância 
 
A variância, denotada por S², é a medida de dispersão mais utilizada, seja pela 
sua facilidade de compreensão e cálculo, seja pela possibilidade de emprego na 
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33 
inferência estatística. A variância é definida como sendo a média dos quadrados dos 
desvios em relação à média aritmética. 
 
Assim, temos: 
 
Onde: 
 
n – 1: é o número de graus de liberdade ou desvios independentes. 
Como a soma dos desvios é nula, existe n – 1 desvios independentes. 
 
 
Desvantagens da variância: 
 
Como a variância é calculada a partir da média, é uma medida pouco resistente, 
ou seja, muito influenciada por valores discrepantes. Como a unidade de medida fica 
elevada ao quadrado, a interpretação da variância se torna difícil. 
 
Exemplo: 
 
 
Desvio padrão 
 
O desvio padrão, denotado por s ou d.p., surge para solucionar o problema de 
interpretação da variância e é definido como a raiz quadrada positiva da variância. 
Assim, temos: 
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34 
 
 
Podemos observar que o desvio padrão é expresso na mesma unidade de 
medida dos dados, o que facilita a sua interpretação. Geralmente o desvio padrão é 
apresentado junto com a média do conjunto de dados da seguinte forma: 
 
Deste modo, temos a indicação da variação média dos dados em torno da 
média aritmética. 
 
Medidas de formato 
 
Medidas de formato devem informar a concentração dos valores em relação à 
media, podendo esta ser de três tipos: 
 
 
 
 
Análise exploratória de dados 
 
As técnicas exploratórias de dados numéricos ajudam a comprovar as 
condições de aplicação dos testes de hipóteses, a detectar erros ou valores 
discrepantes, a buscar a melhor transformação de dados quando houver necessidade, 
etc. Em geral, dão uma visão distinta, prévia, mas complementar às técnicas de 
inferência. Tudo isso repercute em melhor qualidade da análise de dados. 
 
Resumo de cinco números 
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35 
 
O resumo de cinco números descreve o conjunto de dados através de cinco valores: 
 
• Mediana (Md); 
• Primeiro quartil (Q1); 
• Terceiro quartil (Q3); 
• Extremo inferior (EI); 
• Extremo superior (ES). 
 
A partir desses valores, podemos calcular: 
 
• Amplitude interquartílica (aq): obtida entre as diferenças entre os quartis; 
• Dispersão inferior (DI): obtida pela diferença entre a mediana e o extremo inferior; 
• Dispersão superior (DS): obtida pela diferença entre a mediana e o extremo superior. 
 
Modelo: 
 
 
Exemplo: 
 
Os dados abaixo se referem aos pesos ao nascer (em gramas) de 61 camundongos 
machos: 
 
16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 
23, 23, 23, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 
28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 35, 36, 
39, 45 
 
Resultados: 
 
Md = 25 
Q1 = 22 
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36 
Q3 = 30 
EI = 16 
ES = 45 
aq = 8 
DI = 9 
DS = 20 
 
 
O resumo dos cinco números permite verificar que a distribuição não é 
simétrica, pois as distâncias entre os valores são diferentes. 
 
Identificação de valores discrepantes 
 
Este critério utiliza duas medidas denominadas cerca inferior (CI) e cerca 
superior (CS). 
A cerca inferior é calculada subtraindo-se do primeiro quartil uma e meia 
amplitude interquartílica, e a cerca superior, somando-se esta mesma quantidade ao 
terceiro quartil. Assim, temos: 
 
 
São considerados discrepantes os valores que estiverem fora do seguinte intervalo: 
 
 
Os valores menores que a cerca inferior são denominados discrepantes 
inferiores e os valores maiores que a cerca superior são os discrepantes superiores. 
No exemplo, serão considerados discrepantes os valores que estiverem fora 
dos limites da cerca inferior e superior: 
 
 
 
 
 
 
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37 
Gráfico em caixa (box plot) 
 
A informação dada pelo resumo dos cinco números pode ser apresentada em 
forma de um gráfico em caixa, que agrega uma série de informações a respeito da 
distribuição, tais como localização, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes. 
 
Antes de construir o gráfico precisamos definir os valores adjacentes. São 
adjacentes o maior e o menor valor não discrepantes de um conjunto de dados. Para 
construir o gráfico de caixa, consideramos um retângulo de largura variável, onde 
estarão representados a mediana e os quartis. A partir do retângulo, para cima e para 
baixo, seguem as linhas denominadas bigodes, que vão até os valores adjacentes. Os 
valores discrepantes recebem uma representação individual através de uma letra ou 
símbolo, comumente representado por um asterisco. Assim, temos: 
 
 
A posição central dos valores é dada pela mediana e a dispersão pela amplitude 
interquartílica (aq). As posições relativas da mediana e dos quartis e o formato dos 
bigodes dão uma noção da simetria e do tamanho das caudas da distribuição. 
Nas figuras seguintes podemos observar o gráfico em caixa representando 
diferentes tipos de distribuições: 
 
 
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38 
 
 
Quando encontramos um valor discrepante num conjunto de dados, a sua 
origem deve ser investigada. Muitas vezes os valores discrepantes, de fato, fazem 
parte do conjunto de dados, reforçando a característica assimétrica da distribuição. 
Mas muitas vezes esses valores podem ser oriundos de erros de aferição de 
instrumentos ou registro da mensuração dos dados. 
A seguir temos o gráfico de caixa representando o conjunto de dados do 
exemplo: 
 
 
 
 
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39 
Exercícios: 
 
Exercício 1. A seguinte tabela mostra a variação no tamanho das populações, entre os 
anos de 1986 e 1995, de duas espécies A e B da família Leguminosae numa área de 
terras baixas na parte central costeira do Rio de Janeiro: 
 
 
Tabela 1: Dados coletados. 
SP 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 
A 5 7 8 10 13 17 20 25 32 45 
B 37 33 28 24 20 18 14 7 3 2 
 
 
A. Inga edulis (Vell.) Mart. 
B. Pseudopiptadeniacontorta (DC.) Lewis & Lima 
 
Represente graficamente os dados empregando: 
 
a) Gráfico de Linhas 
b) Gráfico de colunas 
b) Gráfico de Barras 
c) Gráfico de Barras empilhadas 
 
Exercício 2. A seguir são apresentados dados sobre as tartarugas encontradas nas 
imediações da praia de Itaúnas, Conceição da Barra – ES, no ano de 2010, sendo 
registrado o sexo, peso (quilogramas), comprimento da carapaça (metros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento (m) 
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40 
 
Tabela 12. Dados coletados. Legenda: M – Macho, F – 
Fêmea. 
 
i Sexo Peso (g) Comprimento (Cm) 
1 M 203 1,82 
2 F 186 1,46 
3 M 193 1,67 
4 M 162 1,43 
5 F 143 1,12 
6 M 157 1,44 
7 F 132 1,04 
8 F 123 0,97 
9 M 210 1,28 
10 F 162 1,27 
11 M 152 1,12 
12 M 182 1,32 
13 F 177 1,39 
14 F 156 1,23 
15 F 140 1,10 
16 M 234 1,76 
17 F 121 0,95 
18 M 132 1,73 
19 F 154 1,21 
20 M 169 1,66 
21 M 286 1,87 
22 M 210 1,36 
23 F 185 1,45 
24 M 129 1,24 
25 M 221 1,53 
26 F 137 1,08 
27 F 132 1,04 
28 F 132 1,04 
29 M 187 1,82 
30 F 86 0,68 
31 M 143 1,83 
32 F 155 1,22 
33 M 194 1,80 
34 M 127 1,39 
35 F 184 1,45 
36 F 121 0,95 
37 F 165 1,30 
38 M 177 1,53 
39 M 143 1,30 
40 F 128 1,01 
41 F 196 1,54 
42 F 174 1,37 
43 F 134 1,05 
44 F 123 0,97 
45 M 169 1,75 
46 M 178 1,23 
47 F 174 1,37 
48 F 143 1,12 
49 F 121 1,06 
50 F 103 0,96 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
41 
Pede-se: 
 
a) Uma tabela apresentando o número de indivíduos, as médias aritméticas para peso 
e comprimento e a amplitude dos valores registrados por sexo; 
b) A distribuição de frequência em ambos os sexos para peso e comprimento; 
c) Histogramas de frequência para as tabelas do item “b”; 
d) Gráfico de caixa para a variável “comprimento” por sexo. 
 
Exercício 3. Os dados abaixo referem-se a produção diária de leite de vacas da raça 
Holandesa, obtida em duas ordenhas, em quilogramas. 
 
 
Pede-se: 
 
a) Calcule a média aritmética, a moda e os quartis para os dados; 
b) Construa a tabela de distribuição de frequências, utilizando a fórmula de Sturges, 
apresentando as classes, as frequências absolutas (Fj), as relativas (fj) as absolutas 
acumuladas (F’j) e as relativas acumuladas (f’j). 
 
Exercício 4. A tabela que segue apresenta a distribuição de frequências dos tempos de 
vida de 101 tamanduás-bandeira (Myrmecophaga tridactyla) registrados no Parque 
Nacional dos Veadeiros, Goiás. 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Complete a tabela; 
b) Construa o histograma de distribuição de frequência para os dados. 
5,0 5,0 5,0 5,0 5,5 5,5 6,0 6,0 6,5 6,5 
6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 7,5 8,0 
8,5 8,5 9,0 9,0 9,0 9,5 10,0 10,0 10,5 10,5 
11,0 11,0 12,0 
 
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42 
Exercício 5. Para cada conjunto de dados abaixo, calcule a média, a mediana e a moda: 
 
a) 18, 25, 16, 30, 35, 27, 30, 20 e 30. 
b) 155, 185, 148, 212, 210, 167, 174, 136, 200 e 145. 
c) 300, 325, 300, 374, 395, 318, 332, 300, 377, 374 e 374. 
 
Exercício 6. Um dos principais indicadores da poluição do ar nas grandes cidades é a 
concentração de ozônio na atmosfera. O nível de concentração de ozônio na 
atmosfera foi medido em São Paulo durante o inverno de 1998, e os resultados são 
apresentados a seguir: 
 
6,6 4,4 5,7 4,5 3,7 3,5 1,4 6,6 6,0 4,2 4,4 5,3 5,6 
9,4 7,6 6,2 3,3 5,9 6,8 2,5 5,4 4,4 5,4 4,7 3,5 4,0 
3,8 4,7 3,1 6,8 9,4 2,4 3,0 5,6 4,7 6,5 3,0 4,1 3,4 
3,4 5,8 7,6 1,4 3,7 6,8 1,7 5,3 4,7 7,4 6,0 6,7 10,9 
2,0 3,7 5,7 5,8 3,1 5,5 1,1 5,1 5,6 5,5 1,4 3,9 6,6 
5,8 1,6 2,5 8,1 6,6 6,2 7,5 6,2 6,0 5,8 2,8 6,1 4,1 
 
Pede-se: 
 
a) Disponha os dados de maneira crescente. Determine a amplitude total dos dados; 
b) Agrupe “convenientemente” esses valores em classes de igual amplitude 
(Distribuição de frequências); 
c) Determine as frequências absoluta e relativa simples e absoluta e relativa 
acumuladas; 
d) Construa o histograma e o polígono de frequências. 
 
Exercício 7. 
 
Defina: 
 
a) População 
b) Censo 
c) Amostra 
d) Amostragem 
 
Exercício 8. Responda: 
 
a) Em que circunstâncias é amostragem preferível a um censo? 
b) Quando se deve preferir um censo a uma amostragem? 
c) Para ser útil, que características deve ter uma amostra? 
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43 
 
Exercício 9. Uma nova ração foi fornecida a suínos recém-desmamados e deseja-se 
avaliar sua eficiência. A ração tradicional dava um ganho de peso ao redor de 3,5 kg 
em um mês. A seguir, apresentamos os dados referentes ao ganho, em quilos, para 
essa nova ração, aplicada durante um mês em 200 animais nas condições acima. 
Pede-se: 
a) Complete a tabela; 
b) Construa o histograma; 
 
 
 
Exercício 10. Como parte de uma avaliação médica em uma empresa, foi medida a 
frequência cardíaca (bpm) dos funcionários de um determinado setor. 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Obtenha o histograma. 
b) Frequências cardíacas que estejam abaixo de 62 ou acima de 92 requerem 
acompanhamento médico. Qual é a porcentagem de funcionários nestas condições? 
 
Exercício 11. Analise o rol abaixo contendo pontuações resultantes de um teste de 
inteligência aplicado nos funcionários de uma. 
 
62 80 112 120 140 175 
65 84 112 120 141 216 
65 92 112 123 142 216 
70 100 112 123 142 219 
70 105 112 123 150 219 
70 105 117 130 153 220 
75 110 119 135 170 222 
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44 
Pede-se: 
 
a) Calcule a média aritmética, a mediana e os quartis para os dados; 
b)Construa a tabela de distribuição de frequências, utilizando a fórmula de Sturges, 
apresentando as classes, as frequências absolutas (Fj), as relativas (fj), as absolutas 
acumuladas (F’j) e as relativas acumuladas (f’j); 
c) Faça um histograma de distribuição de frequência; 
d) Faça um gráfico box-plot para os dados. 
 
Exercício 12. Um questionário foi aplicado aos alunos do primeiro ano de uma escola. 
Classifique os tipos de variáveis: 
 
Tipos de variáveis: 
 
(1) Qualitativa nominal 
(2) Qualitativa ordinal 
(3) Quantitativa discreta 
(4) Quantitativa contínua 
 
( ) Matrícula: identificação do aluno, em números inteiros 
( ) Turma: turma a que o aluno foi colocado (A ou B) 
( ) Sexo: F se feminino, M se masculino 
( ) Id: idade, em anos 
( ) Alt: altura em metros 
( ) Peso: peso em quilogramas 
( ) Filhos: número de filhos na família 
( ) Fuma: hábito de fumar, sim ou não 
( ) Exerc: horas de atividade física, por semana 
( ) Cine: número de vezes que vai ao cinema, por semana 
( ) OpCine: opinião a respeito das salas de cinema na cidade: (B) bom (R) ruim 
( ) TV : horas gastas assistindo TV, por semana 
( ) OpTV: opinião a respeito da qualidade da programação na TV: (R) ruim, (M) média, 
(B) boa e (N) não sabe 
 
Exercício 13. Abaixo é listado um conjunto de variáveis utilizadas para descrever 
morfologicamente a coruja buraqueira (Athene cunicularia). Classifique os tipos de 
variáveis: 
 
Tipos de variáveis: 
(1) Qualitativa nominal 
(2) Qualitativa ordinal 
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45 
(3) Quantitativa discreta 
(4) Quantitativa contínua 
 ( ) Altura (cm) 
( ) Classe de tamanho (cm ) (pequeno < 20; 20 < médio < 30; grande > 30) 
( ) Cor dos olhos (castanhos, negros) 
( ) Idade (anos) 
( ) Intensidade da coloração das penas na cabeça (claro, escuro) 
( ) Número de penas na região caudal (número) 
( ) Ocorrência (Cerrado, Mata Atlântica, Campos) 
( ) Período de incubação (dias) 
( ) Peso (gramas) 
( ) Sexo (macho, fêmea) 
 
Exercício 14. Para um conjunto de dados não agrupados a mediana obrigatoriamente 
coincide com um dos elementos do conjunto. 
 
a( ) Verdadeiro 
b( ) Falso 
 
Exercício 15. A mediana do conjunto 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 é: 
 
a( ) 13 
b( ) 9 
c( ) 9,5 
d( ) 10 
e( ) 6 
 
Exercício 16. As medidas de posição: média, mediana e moda são suficientespara 
caracterizar perfeitamente um conjunto de dados. 
 
a( ) Verdadeiro 
b( ) Falso 
 
Exercício 17. Ao somar uma constante a um conjunto de dados a média também 
aumenta da mesma quantidade. 
 
a( ) Verdadeiro 
b( ) Falso 
 
Exercício 18. Variância, desvio-padrão e desvio médio são valores utilizados para medir 
a dispersão de um conjunto de dados. 
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46 
 
a( ) Verdadeiro 
b( ) Falso 
 
Exercício 19. Um conjunto de dados pode não possuir mediana. 
 
a( ) Verdadeiro 
b( ) Falso 
 
Exercício 20. Medidas de tendência central revelam o grau de dispersão dos valores 
em torno do ponto central. 
a( ) Verdadeiro b( ) Falso 
 
Exercício 21. Assinale a afirmativa correta: 
 
A ( ) a amplitude para um distribuição de frequências com intervalos de classe não 
pode ser calculada. 
B ( ) amplitude de classe é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto 
de dados. 
C ( ) a amplitude total se altera se for somado um valor constante a todos os 
elementos do conjunto de dados. 
D ( ) a amplitude para um conjunto de dados que tem todos os elementos iguais é 
zero. 
 
Exercício 22. Os valores da média, mediana e moda são sempre iguais para qualquer 
conjunto de dados. 
 
A ( ) Verdadeiro 
B ( ) Falso 
 
Exercício 23. Considere a distribuição a seguir relativa a notas de dois alunos de 
informática durante determinado semestre: 
 
Aluno A 9,5 9,0 2,0 6,0 6,5 3,0 7,0 2,0 
Aluno B 5,0 5,5 4,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 
 
a) Calcule as notas médias de cada aluno. 
b) Qual aluno apresentou resultado mais homogêneo? Justifique. 
 
 
 
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47 
Exercício 24. A séria Estatística é chamada cronológica quando: 
 
A ( ) O elemento variável é o tempo. 
B ( ) O elemento variável é o local. 
C ( ) Não tem elemento variável. 
 
Exercício 25. A amplitude total é: 
 
A ( ) A diferença entre dois valores quaisquer de um conjunto de valores. 
B ( ) A diferença entre o maior e o menor valor observado da variável dividido por 2. 
C ( ) A diferença entre o maior e menor valor observado da variável. 
 
Exercício 26. Para obter o ponto médio de uma classe: 
 
A ( ) Soma-se ao seu limite superior metade de sua amplitude. 
B ( ) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude. 
C ( ) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude e divide-se o resultado 
por 2. 
 
Exercício 27. Na década de 1960 o Rio de Janeiro tinha 64 municípios, dos quais 
apenas 11 possuíam mais de 1000 quilômetros quadrados de área e somente 3 tinha 
menos de 100 quilômetros quadrados. Construa uma tabela estatística para os 
municípios em função de suas áreas. Os dados foram obtidos da Fundação do Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística - FIBGE. 
 
Exercício 28. Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores: 
 
a) 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 
b) 4, 4, 5, 5, 6, 6 
c) 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6 
d) 1, 2, 3, 4, 5 
 
Exercício 29. A parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de 
determinadas características de um grupo, sem tirar conclusões sobre um grupo maior 
denomina-se: 
 
A ( ) Estatística multivariada 
B ( ) Estatística amostral 
C ( ) Estatística inferencial 
D ( ) Estatística descritiva 
E ( ) Estatística experimental 
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48 
Exercício 30. Uma série estatística é denominada Temporal quando? 
 
A ( ) O elemento variável é o tempo; 
B ( ) O elemento variável é o local; 
C ( ) O elemento variável é a espécie; 
D ( ) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; 
E ( ) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 
 
Exercício 31. Calcular a mediana do seguinte conjunto de valores: 
 
a) 2, 3, 6, 12, 15, 23, 30 
b) 3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20 
 
Exercício 32. Os dados a seguir referem-se ao número de livros adquiridos, n ano 
passado, pelos 40 alunos da Turma A: 
 
4 2 1 0 3 1 2 0 2 1 
0 2 1 1 0 4 3 2 3 5 
8 0 1 6 5 3 2 1 6 4 
3 4 3 2 1 0 2 1 0 3 
 
a) Classifique a variável. 
b) Organize os dados em uma tabela adequada. 
c) Qual o percentual de alunos que adquiriram menos do que 3 livros? 
d) Qual o percentual de alunos que adquiriram pelo menos 4 livros? 
e) Quantos livros foram adquiridos pelos 40 alunos? 
f) Quantos livros foram adquiridos em média? 
 
Exercício 33. Considere os dados abaixo referentes ao consumo de água, em m3, de 75 
residências. 
 
32 6 22 11 34 40 16 26 23 31 27 10 38 17 13 
45 25 50 18 23 35 22 30 14 18 20 13 24 35 29 
33 48 20 12 31 39 17 58 19 16 12 21 15 12 20 
51 12 19 15 41 29 25 13 23 32 14 27 43 37 21 
28 37 26 44 11 53 38 46 17 36 28 49 56 19 11 
 
a) Organize os dados numa distribuição de frequência com 9 classes de amplitudes 
iguais. 
 
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49 
Exercício 34. Construa um diagrama de setores, percentual, correspondente aos 
empregados de uma empresa que possui a seguinte distribuição por área de trabalho: 
 
 
Exercício 35. Tomou-se a pressão arterial de quatorze (14) pessoas do sexo feminino, 
cujas idades variavam de 30 a 40 anos. Os dados obtidos em condições basais estão 
apresentados na tabela abaixo e representam: PAD-F: pressão arterial diastólica, sexo 
feminino; PAS-F: pressão arterial sistólica, sexo feminino. 
 
PAD-F 81 84 91 80 73 76 83 71 80 82 79 70 
PAS-F 122 127 151 130 112 122 124 121 120 146 124 112 
 
a) Construa gráficos box-plot com os dados acima. 
 
Exercício 36. Foi efetuada coleta de 50 peixes de uma determinada espécie em um 
lago criatório, cujos escores estão inseridos na tabela abaixo. 
 
28 23 20 13 32 24 19 1 19 18 
19 21 21 22 29 23 15 17 25 23 
20 21 20 21 15 14 16 20 12 11 
15 17 23 15 17 25 23 20 21 55 
21 15 14 8 20 12 11 15 17 12 
 
a) Construa uma tabela de distribuição de frequência; 
b) Construa um gráfico box-plot. 
 
Exercício 37. Em um hospital foram efetuadas cirurgias classificadas em diferentes 
especialidades e realizadas no mês de março de 2011. Os dados estão contidos na 
tabela abaixo. 
 
 
 
a) Elabore um gráfico de coluna para os dados acima. 
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50 
 
Exercício 38. A tabela abaixo apresenta o peso (gramas) e comprimento 
(centímetros) de folhas de gramínea coletadas na Reserva Biológica do Tinguá, 
Estado do Rio de Janeiro. 
 
Peso 2 5 4 8 11 9 7 4 3 1 
Comp. 4 3 5 7 12 9 5 6 4 2 
 
a) Construa um diagrama de dispersão para os dados. 
 
Exercício 39. Os dados da tabela abaixo mostra a vacinação efetuada em crianças de 
zero (0) a um (1) ano de idade, em um Posto de Saúde da cidade do Petrópolis, Rio de 
Janeiro, no primeiro trimestre de 2000. 
 
 
 
a) Construa um gráfico de setores para os dados da tabela acima. 
 
Exercício 40. Foi efetuada investigação destinada a verificar a incidência de dengue de 
acordo com a escolaridade. Os dados estão inseridos na tabela abaixo. 
 
 
 
a) Elabore um gráfico de colunas justapostas. 
 
 
 
 
 
 
 
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51 
Gabarito: 
Exercícios 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
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52 
Exercício 2 
 
a) 
Sexo Indivíduos 
Média Peso 
Média 
Comprimento 
Amplitude 
Peso 
Amplitude 
Comprimento 
F 28 145.96 1,16 110 0,86 
M 22 179,9 1,54 159 0,75 
 
b) 
 
Fêmeas 
 k= 6 
 at= 110 
 i=18.33 
 
 Pesos de fêmeas 
j Classes Fj F´j fj f´j cj 
1 86,00|--104.33 2 2 0.07 0.07 95.165 
2 104.33|--122.66 3 5 0.11 0.18 113.495 
3 122.66|--140.99 8 13 0.29 0.46 131.825 
4 140.99|--159.32 6 19 0.21 0.68 150.155 
5 159.32|--177.65 5 24 0.18 0.86 168.485 
6 177.65|--195.98 4 28 0.14 1.00 186.815 
 28 1 
 k= 6 
 at= 0.86i=0.1433 
 
 Comprimentos de fêmeas 
j Classes Fj F´j fj f´j cj 
1 0.68|--0.82 1 1 0.04 0.04 0.750 
2 0.82|--0.97 3 4 0.11 0.14 0.893 
3 0.97|--1.11 9 13 0.32 0.46 1.037 
4 1.11|--1.25 6 19 0.21 0.68 1.180 
5 1.25|--1.40 5 24 0.18 0.86 1.323 
6 1.40|--1.54 4 28 0.14 1.00 1.467 
 28 1 
 
 Machos 
 k= 6 
 at= 159 
 
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53 
i=26.5 
 
 Pesos de machos 
j Classes Fj F´j fj f´j cj 
1 127.0|--153.5 6 6 0.27 0.27 140.25 
2 153.5|--180.0 6 12 0.27 0.55 166.75 
3 180.0|--206.5 5 17 0.23 0.77 193.25 
4 206.5|--233.0 3 20 0.14 0.91 219.75 
5 233.0|--259.5 1 21 0.05 0.95 246.25 
6 259.5|--286.0 1 22 0.05 1.00 272.75 
 22 1.00 
 k= 6 
 at= 0.75 
 i=0.125 
 
 Comprimentos de machos 
j Classes Fj F´j fj f´j cj 
1 1.12|--1.25 3 3 0.14 0.14 1.2 
2 1.25|--1.38 4 7 0.18 0.32 1.3 
3 1.38|--1.51 3 10 0.14 0.45 1.4 
4 1.51|--1.64 2 12 0.09 0.55 1.6 
5 1.64|--1.77 5 17 0.23 0.77 1.7 
6 1.77|--1.90 5 22 0.23 1.00 1.8 
 22 1.00 
 
 
c) 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6
Pesos fêmeas 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6
Comprimentos fêmeas 
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54 
 
 
d) 
 
 
Exercício 3. 
 
a) Média : 7.72; Moda : 7.0; Quartil : Q1 : 6,25 / Q2 : 7,0/ Q3: 9.25 
 
b) 
Produção de leite 
j Classes Fj F´j fj f´j 
1 5|--6 6 6 0.18 0.18 
2 6|--7 6 12 0.18 0.36 
3 7|--8 7 19 0.21 0.58 
4 8|--9 3 22 0.09 0.67 
5 9|--10 4 26 0.12 0.79 
6 10|--11 4 30 0.12 0.91 
7 11|--12 3 33 0.09 1.00 
 33 1.00 
 
 
 
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6
Pesos machos 
0
2
4
6
1 2 3 4 5 6
Comprimentos de 
machos 
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55 
Exercício 4 
 
a) 
j cj Fj F´j fj f´j 
1 4.5 1 1 0.01 0.01 
2 6.5 2 3 0.02 0.03 
3 8.5 8 11 0.08 0.11 
4 10.5 17 28 0.17 0.28 
5 12.5 19 47 0.19 0.47 
6 14.5 19 66 0.19 0.65 
7 16.5 11 77 0.11 0.76 
8 18.5 17 94 0.17 0.93 
9 20.5 3 97 0.03 0.96 
10 22.5 2 99 0.02 0.98 
11 24.5 2 101 0.02 1 
 101 1 
 
b) 
 
 
Exercício 5 
 
a) Média: 25.66 
Mediana : 27 
Moda : 30 
 
 
b) Média: 173.2 
Mediana : 170,5 
Moda : Amodal 
 
 
c) Média: 342.63 
Mediana : 332 
Moda : 300 e 374 
 
 
 
Exercício 6 
 
a) At=9,8 
 
b e c) 
j classes Fj F`j fj f`j 
1 1.10|--2.33 7 7 0.090 0.090 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tempo de vida de tamanduás 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
56 
2 2.33|--3.56 13 20 0.167 0.256 
3 3.56|--4.79 17 37 0.218 0.474 
4 4.79|--6.02 20 57 0.256 0.731 
5 6.02|--7.25 13 70 0.167 0.897 
6 7.25|--8.48 5 75 0.064 0.962 
7 8.48|--9.71 2 77 0.026 0.987 
8 9.71|--10.9 1 78 0.013 1 
 78 1 
 
d) Construa o histograma e o polígono de frequências. 
 
 
 
 
Exercício 7. 
 
Defina: 
 
a) População : É o conjunto de todos os indivíduos que apresentam uma característica em 
comum. 
b) Censo : Quando todos os indivíduos de uma população são estudados. 
c) Amostra : É um subconjunto de um população. 
d) Amostragem : Técnica de escolha de amostras adequadas para análise de um todo. 
 
Exercício 8 
 
a) Em que circunstâncias é amostragem preferível a um censo? 
Quando não é possível capturar ou coletar todos os indivíduos de uma população. 
 
b) Quando se deve preferir um censo a uma amostragem? 
Deve-se preferir um censo quando necessitar de todos os dados de uma população. 
c) Para ser útil, que características deve ter uma amostra? 
Deve ser específica, homogênea além de ter que representar a população. 
 
Exercício 9 
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8
Concentração de Ozônio 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
57 
 
a) 
 j cj Fj F`j fj f`j 
 
 
1 1.5 45 45 0.225 0.225 
 
 
2 2 83 128 0.415 0.64 
 
 
3 2.5 52 180 0.26 0.9 
 
 
4 3 15 195 0.075 0.975 
 
 
5 3.5 4 199 0.02 0.995 
 
 
6 4 1 200 0.005 1 
 
 
 200 1 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 10 
 
a) 
 j cj Fj F`j fj f`j 
 1 62.5 11 11 0.06875 0.06875 
 2 67.5 35 46 0.21875 0.2875 
 3 72.5 68 114 0.425 0.7125 
 4 77.5 20 134 0.125 0.8375 
 5 82.5 12 146 0.075 0.9125 
 6 87.5 10 156 0.0625 0.975 
 7 92.5 1 157 0.00625 0.98125 
 8 97.5 3 160 0.01875 1 
 160 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
20
40
60
80
100
Fj
Ganho de peso 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) São as classes as quais estes indivíduos pertencem. 
 
Exercício 11 
 
a) 
méia = 127.33 
 mediana = 119.5 
 quartis = Q1=101.25; Q3=142 
 
b) 
 
j classes Fj F´j fj f´j cj 
1 62.00|--84.90 9 9 0.21 0.21 73.45 
2 84.90|--107.7 4 13 0.10 0.31 96.31 
3 107.7|--130.6 14 27 0.33 0.64 119.17 
4 130.6|--153.4 7 34 0.17 0.81 142.03 
5 153.4|--176.3 2 36 0.05 0.86 164.89 
6 176.3|--199.7 0 36 0.00 0.86 187.75 
7 199.2|--222.0 6 42 0.14 1 210.61 
 42 1 
 
c) 
 
 
 
 
0
5
10
15
Fj
Exercício 11 c) 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Fj
Exercício 10 a) 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
59 
d) 
 
Exercício 12 
1-1-1-3-4-4-3-1-4-3-1-3-2 
 
Exercício 13 
4-2-1-3-2-3-1-3-4-1 
 
Exercício 14 
b( x) Falso 
 
Exercício 15 
b( x ) 9 
 
Exercício 16 
b( x ) Falso 
 
Exercício 17 
a( x ) Verdadeiro 
 
Exercício 18 
a( x ) Verdadeiro 
 
 
Exercício 19 
b( x ) Falso 
 
Exercício 20 
b( x ) Falso 
 
Exercício 21 
c( x ) a amplitude total se altera se for somado um valor constante a todos os elementos do 
conjunto de dados. 
 
Exercício 22 
B (x ) Falso 
 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
60 
Exercício 23 
 
a) Média A = 5,63; Média de B = 5 
b) Para saber isso teremos que encontrar o desvio padrão. Desta forma iremos descobrir 
que o aluno B com desvio =0,65 possui notas mais homogêneas. 
Exercício 24. 
A (x ) O elemento variável é o tempo. 
 
Exercício 25 
C ( x) A diferença entre o maior e menor valor observado da variável. 
 
Exercício 26 
B ( x) Soma-se ao seu limite inferior metade de sua amplitude. 
 
Exercício 27. 
 
J classes Fj F´j fj f´j 
1 < 100 3 3 0.05 0.05 
2 100 < x< 1000 50 53 0.78 0.83 
3 > 1000 11 64 0.17 1 
 64 1 
 
Exercício 28. 
a) 6 
b) amodal 
c) 2 e 5 
d) amodal 
 
Exercício 29. 
D ( x ) Estatística descritiva 
 
Exercício 30. 
A (x ) O elemento variável é o tempo; 
 
 
Exercício 31 
 
a) 12 
b) 13 
 
Exercício 32 
 
a) Quantitativa discreta; 
b) Neste caso, a variável é quantitativa discreta e os livros são as classes. 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
61 
J 
Classe 
(livros) Fj F´j fj f´j 
1 0 7 7 0.175 0.175 
2 1 9 16 0.225 0.4 
3 2 8 24 0.2 0.6 
4 3 7 31 0.175 0.775 
5 4 4 35 0.1 0.875 
6 5 2 37 0.05 0.925 
7 6 2 39 0.05 0.975 
8 7 0 39 0 0.975 
9 8 1 40 0.025 1 
 40 1 
 
c) 60% 
d) 77,5% 
e) 92 livros 
f) 2,3 livros por aluno 
 
Exercício 33 
 
J Classe Fj F´j fj f´j 
1 6|--11.78 5 5 0.07 0.07 
2 11.78|--17.56 16 21 0.21 0.28 
3 17.56|--23.34 15 36 0.20 0.48 
4 23.34|--29.12 11 47 0.15 0.63 
5 29.12|--34.9 7 54 0.09 0.72 
6 34.9|--40.68 9 63 0.12 0.84 
7 40.68|--46.46 5 68 0.07 0.91 
8 46.46|--52.24 4 72 0.05 0.96 
9 52.24|--58.02 3 75 0.04 1 
 75 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
62 
Exercício 34 
 
 
 
Exercício 35 
 
 
 
Exercício 36 
a) 
J Classe Fj F´j fj f´j 
1 1.00|--8.70 2 2 0.04 0.04 
2 8.70|--16.4 15 17 0.30 0.34 
3 16.4|--24.1 27 44 0.54 0.88 
4 24.1|--31.9 4 48 0.08 0.96 
5 31.9|--39.6 1 49 0.02 0.98 
6 39.6|--47.3 0 49 0.00 0.98 
7 47.3|--55.0 1 50 0.02 1.00 
 50 1.00 
 
Diretoria 
4% 
Assessoria 
7% 
Transporte 
23% 
Administração 
6% 
Área técnica 
19% 
Área 
operacional41% 
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
63 
b) 
 
 
Exercício 37 
 
 
 
Exercício 38 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12
Peso
Comp.
Estatística Básica – Ciências Biológicas – PUC-RIO 
 
 
64 
Exercício 39 
 
 
 
Exercício 40 
 
 
 
Bog
Sabin
Tríplice
Saranpo
Hepatite
0
10
20
30
40
50
60
Com dengue
sem dengue