Dimensionamento de Pilares

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Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 1 
DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee PPiillaarreess 
Pilares são peças estruturais de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, que 
geralmente transmitem cargas axiais de compressão com ou sem momento fletor. 
Pilares-parede são elementos de superfície plana, usualmente dispostos na vertical 
e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou 
mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas 
superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas 
na seção transversal do elemento estrutural. 
Fluxo de carga: lajes  vigas  pilares (maiores coef. seg.)  fundações. 
 Avaliação das Cargas: 
A dimensão dos pilares depende da carga atuante. Essa carga pode ser avaliada 
pelo critério de área de influência, supondo-se uma carga média distribuída de 10 kN/m2 
em cada pavimento. 
 Seção Transversal: 
A seção transversal dos pilares não deve apresentar largura menor que 19 cm. Em 
casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 18 cm e 14 cm, desde 
que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um 
coeficiente adicional n, de acordo com o indicado na tabela abaixo: 
bw 19 18 17 16 15 14 
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
b  menor dimensão da seção transversal do pilar; 
n  coeficiente que majora os esforços solicitantes de cálculo finais dos pilares, 
quando do seu dimensionamento. 
Ex.: Para b = 14 cm o coeficiente de majoração final será: c x n = 1,4 x 1,25 = 1,75. 
 
 
 
 
 
 
 
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
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 Classificação dos Pilares quanto à Esbeltez: 
  1 – Pilares Curtos: Os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados. 
1    90, onde 1 = 35 – Pilares Medianamente Esbeltos: Os efeitos de 2ª ordem 
são avaliados por processos simplificados baseados no “Pilar Padrão”. 
90    140 – Pilares Esbeltos: Os efeitos de 2ª ordem são avaliados utilizando-se o 
processo do “Pilar Padrão” acoplado a diagramas M-N-1/r para a curvatura crítica. Deve 
ser considerado o efeito da deformação lenta. 
140    200 – Pilares Muito Esbeltos: Os efeitos de 2ª ordem são avaliados pelo 
método geral. Deve ser considerado o efeito da deformação lenta. 
 
 Tipologia dos Pilares 
 
 
 
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Nota
menor ou igual a 35 é considerado um pilar curto .
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Nota
Diagrama Momento Normal Curvatura .
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Nota
Não dimensionar , e mudar a seção transversal .
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Modelo Estrutural  O pilar de contraventamento é responsável pela resistência ao 
vento mais o efeito de 2ª ordem associado à carga vertical própria e dos pilares 
contraventados. 
 
 
 
ASUS
Realce
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Situação Básica de Projeto de Pilares Contraventados: 
Pilar intermediário: são os pilares centrais, que podem ter em geral sua força normal 
suposta centrada desde que hajam vigas passando pelo seu eixo nas duas direções. 
 
Pilar de extremidade: são os pilares submetidos a uma força normal suposta 
excêntrica em apenas uma direção, gerando uma flexão normal composta. 
 
Pilar de canto: são os pilares submetidos a uma força normal suposta excêntrica nas 
duas direções, gerando uma flexão oblíqua composta. 
 
 
 
 
 
 
 
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
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 Efeitos das Imperfeições Locais: 
 
Nas estruturas reticuladas: 
h03,0015,0e min,a  (h  dimensão do pilar na direção considerada, em metros) 
Em cada uma das duas direções, deve-se considerar: 
min,ai ee  
 
 Efeito de 2a Ordem Local: 
 
 
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Realce
ASUS
Nota
excentricidade acidental , é aquela que podemos ter na obra , por erro de execução .
ASUS
Nota
comparar a excentricidade de primeira ordem , com a excentricidade mínima .
ASUS
Nota
le = comprimento equivalente de flambagem .

o menor valor entre os dois , é o comprimento de flambagem .
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Pilar Padrão: 
 
Expressão da NBR 6118 para   90: 
r
1
10
e
2
e
2 
l
 , onde o valor aproximado da curvatura 1/r é dado por: 
h
0,005
0,5)h(v
0,005
r
1


 , onde 0,005  0,0035 + 0,00207, sendo 0,0035 de uc e 0,00207 
de yd. 
cdc
sd
fA
N
v

 
Exemplo 1 – Determinar o momento máximo de 2a ordem para o pilar abaixo: 
 
 
fck = 25 MPa 
951
200
3
463
h
463
y
e
máx ,
,
,
l
,   máx  90 
Pilar medianamente esbelto, sendo possível utilizar as expressões 
da NBR 6118. 870
41
25000
45020
411000
fA
N
v
cdc
sd ,
,
,,
,





 
 
 
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11 m250m01820
0,5)0,20(0,87
0,005
0,5)h(v
0,005
r
1  



 ,, 
 m016001820
10
3
r
1
10
e
22
e
2 ,,
l
 
M2dy = 10001,40,016 = 22,4 kNm na seção C. 
Para direção x, 23
0,45
3
3,46
h
l
3,46λ
x
e
x   35, e assim, pode-se desprezar o efeito 
de 2a ordem nessa direção. 
 
 Armaduras: 
Os pilares são armados com barras longitudinais e estribos. 
Armaduras Longitudinais: 
A armadura longitudinal e o concreto tem a função de resistir às cargas axiais e 
momentos fletores. A armadura longitudinal mínima dever ser: 
As,min = (0,15 Nd / fyd)  0,004 Ac 
A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, Ac, 
considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de 
emenda. 
Armadura Longitudinal Máxima e Mínima 
cs
c
yd
d
AA
A
f
N
%8
%4,0
15,0











 (inclusive nas seções de emendas) 
 
Armaduras transversais: 
Os estribos servem para confinar o núcleo de concreto. A carga axial tende a 
provocar expansão lateral do pilar, que é medida pelo coeficiente de poisson. Os 
estribos ajudam a evitar esta expansão, confinando o núcleo de concreto. Quanto 
menor o espaçamento das barras longitudinais e dos estribos, melhor o confinamento, e 
o núcleo estará sujeito a um estado de tensão triaxial. 
A armadura transversal também serve para combater o esforço cortante, quando 
houver, e prevenir a flambagem das barras longitudinais. 
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A armadura transversal de pilares, constituída por estribos, deve ser colocada em 
toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com 
vigas e lajes. 
O diâmetro (t) dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do 
diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura 
longitudinal. 
Distribuição transversal: 
As armaduras longitudinais devem ser dispostasna seção transversal de forma a 
garantir a adequada resistência do elemento estrutural. 
Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em 
seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 
O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, 
fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
- 2 cm; 
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
- no mínimo 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado, inclusive nas emendas. 
O espaçamento máximo entre eixos das barras deve ser menor ou igual a duas 
vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 400 mm. 
O diâmetro (l) das barras não poderá ser inferior a 10 mm nem superior a 1/8 da 
menor dimensão transversal. 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para 
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a 
costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou 
inferior ao menor dos seguintes valores: 
- 20 cm; 
- menor dimensão da seção; 
- 12l para CA-50, onde l é o diâmetro da armadura longitudinal. 
 
 
 
 
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Espera: 
l espera 
10 mm 50 cm 
12,5 mm 60 cm 
16,0 mm 70 cm 
20,0 mm 80 cm 
acima 100 cm 
 
Travamento das Barras Longitudinais: 
 
Consideram-se travadas as barras que distam 20t ou menos do canto do estribo ou de 
ponto de amarração intermediário. 
 
(dois estribos poligonais) (um estribo poligonal e uma 
barra com gancho) 
(barra com gancho envolvendo o 
estribo principal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Seções a serem analisadas em um pilar 
 
 
Seções de Pé 
Nd acompanhada dos momentos iniciais MTd e MPd, não se adotando valores menores 
que Nd.ea, onde ea = 0,015+0,03h. 
 
Seção Central 
Nd acompanhada do momento inicial Mcd = b.MA, não se adotando valores menores 
que Nd.ea, mais o momento de 2ª ordem M2 = Nd.e2. 
 
Os efeitos de 2ª ordem locais devem sempre ser considerados quando λ>λ1, onde: 
b
1
1
he51225



/,
, onde 90λ35 1  
hN
M
he
d
cd
1

/ (excentricidade de 1
a ordem) 
A
B
M
M
4,06,0αb  , 140 b , 
 
MA - Maior valor, em módulo, dos momentos das extremidades do pilar 
MB - Positivo se tracionar a mesma face que Ma, e negativo caso contrário. 
b = 1 → caso MA < Ma,min, em módulo. 
 
 
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Exemplos: 
 
MA = 100 kNm ; MB = 70 kNm 
320
100
70)(
4060
M
M
4060
a
b
b ,,,,, 

 
como 140 b ,  b = 0,40 
Mc = 1000,4 = 40 kNm 
1670
20
1
1200
40
hN
M
he
d
cd
1 ,/ 

 
40
0827
40
167051225he51225
b
1
1
,
,
,
,,/,





 
como 9035 1    7,671  
951
200
3
463
h
463
y
e ,
,
,
l
,   1 
Obs.: não considerar efeito de 2a ordem 
 
 
 
Ma = 100 kNm ; Mb = 70 kNm 
880
100
70
4060
M
M
4060
a
b
b ,,,,,  
como 140 b ,  b = 0,88 0k! 
Mc = 1000,88 = 88 kNm 
370
20
1
1200
88
hN
M
he
d
cd
1 ,/ 

 
880
629
880
37051225he51225
b
1
1
,
,
,
,,/,





 
como 9035 1    351  
951
200
3
463
h
463
y
e ,
,
,
l
,   1 e   90 
Obs.: considerar o efeito de 2a ordem 
 

r
1
10
e
2
e
2 
l
 e M2d = Nde2 
 
 
 
 
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Caso Geral de Dimensionamento para Seções Retangulares com Armaduras 
Simétricas 
Nas figuras apresentadas a seguir, têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 01: Dimensionar e detalhar o pilar de extremidade representado na figura 
abaixo, de acordo com os seguintes dados: 
 
N = 698 kN 
fck = 30 MPa 
Aço CA-50 
Piso a piso = 3,10 m 
hviga = 40 cm 
Pavimento tipo 
 
 
 
Excentricidades Iniciais: 
m
N
M
e ixix 017,0
698
12
 
0iye 
Excentricidades Acidentais: 
mheax 021,019,003,0015,003,0015,0  
mkNeNM axax  66,14021,0698 
mheay 027,040,003,0015,003,0015,0  
mkNeNM ayay  85,18027,0698 
 
Excentricidade de 2ª ordem 
Direção x: 
x
ex
x
h
l
 46,3 
mhlmllex 89,219,070,2;10,3 0  
mlex 89,2 
63,52
19,0
89,2
46,3 x 
Pilar medianamente esbelto! 
b
x
he


/5,1225 1
1

 
 0,1b Momento inicial menor que o mínimo. 
me
ee ax
021,01
1


 
38,26
0,1
19,0/021,05,1225/5,1225 1
1 




b
x
he

 
x sendo maior do que x1 deve considerar a 
excentricidade de 2ª ordem. 
 
r
l
e exx
1
10
2
2  
)5,0(
005,01


hr
 
cdc
d
fA
N

 
6,0
4,1
30000
)40,019,0(
6984,1






cdc
d
fA
N
 
)5,06,0(19,0
005,0
10
89,21
10
22
2


r
l
e exx 
me x 020,02  
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Excentricidade de 2ª ordem 
Direção y: 
y
ey
y
h
l
 46,3 
mhlmlley 10,340,070,2;10,3 0  
mley 10,3 
82,26
40,0
10,3
46,3 y 
Pilar curto! 
Desprezar excentricidade de 2ª ordem 
me
ee
y
ayy
027,01
1


 
 
Excentricidades a considerar no dimensionamento 
Na direção x: 
meee xxx 041,0020,0021,021  
Na direção y: 
mee yy 027,01  
 
13,0
19,0
041,0
6,01 
x
x
dx
h
e
 
04,0
40,0
027,0
6,02 
y
y
dy
h
e
 
Ábaco para 6,0 23,0 
yd
cd
cs
f
f
AA   
15,1/5000
4,1/300
23,0)4019( sA 
262,8 cmAs  
20,105,128 cmAmm
efs
 
 
)515(40)422(403  ltl Cs  
cmsl 67,9
3
1140


 
Diâmetro dos estribos: 
mmt 0,5 
Espaçamento dos estribos: 
cms lt 1525,11212   
Número de estribos: 
estribos
s
l
n
t
221
15
310
1 