Ebook - Estruturas em concreto armado

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1. CONCEITOS BÁSICOS 
 
Ao se calcular uma estrutura de concreto é necessário determinar os seguintes itens: 
• Cargas Características; 
 
• Reações; 
 
• Esforços Solicitantes; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Cargas Características 
 
Dividem-se em cargas permanentes e variáveis (ou acidentais). 
 
- Cargas Permanentes: são aquelas que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida 
da construção, além daquelas que aumentam com o tempo, mas tendem a um valor limite constante, 
podendo ser diretas ou indiretas. 
São cargas constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos de todos os elementos fixos e 
instalações permanentes. Abaixo estão alguns exemplos de cargas de alguns dos materiais mais conhecidos, 
fornecidas por peso específico: 
 
✓ Concreto simples = 24 KN/m³; 
✓ Concreto armado = 25 KN/m³; 
✓ Argamassa = 19 KN/m³; 
✓ Alvenaria de tijolo maciço = 16 KN/m³; 
✓ Alvenaria de tijolo furado = 10 KN/m³; 
✓ Alvenaria de blocos de concreto = 13 KN/m³. 
 
- Cargas Variáveis ou Acidentais (NBR 6120/6123): são as cargas que podem atuar sobre as estruturas de 
edificações em função de seu uso. Abaixo estão alguns exemplos de cargas acidentais verticais atuando nos 
pisos das edificações, devidas a pessoas, móveis, utensílios, etc., e são supostas uniformemente distribuídas: 
 
✓ Salas, quartos, cozinhas e WC’s = 1.5 KN/m³; 
✓ Escadas, corredores e terraços = 3.0 KN/m³; 
✓ Restaurantes e salas de aula = 3.0 KN/m³; 
✓ Auditórios = 3.0 KN/m³; 
✓ Bibliotecas (estantes) = 6.0 KN/m³; 
✓ Cinemas (platéia) = 4.0 KN/m³. 
 
- Ações excepcionais 
As ações excepcionais são aquelas que não podem ser controladas, como é o caso de furacões e terremotos. 
 
 
• Esforços Solicitantes e Reações 
 
Nas figuras abaixo estão representados os esforços solicitantes e reações de algumas situações em vigas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Esforços Máximos na Viga Biapoiada 
 
 
 
✓ Esforços Máximos na Viga em Balanço 
 
 
✓ Esforços Máximos na Viga com três apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estados Limites 
 
No dimensionamento do elemento estrutural, é importante atentar-se aos valores limites preestabelecidos 
pela norma, que garantam sua segurança e sua adequação quanto ao uso. 
A NBR 6118 estabelece a verificação das estruturas quanto a dois estados limites: o ESTADO LIMITE DE 
SERVIÇO (ELS) e o ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU). 
 
• ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 
 
O Estado Limite de Serviço é quando a estrutura torna-se inadequada para o uso, ou seja, ela não atende ao 
usuário, seja por desconforto em função de vibrações ou por apresentar fissuras com aberturas excessivas 
ou, ainda, devido a grandes flechas (deformações) que causam insegurança ao usuário. O ELS está 
relacionado ao conforto, durabilidade, aparência e desempenho das estruturas. 
Uma estrutura não atende ao ELS se ocorrerem: 
 - Fissuras maiores que as estabelecidas por norma. 
 - Deslocamentos excessivos. 
 - Deformações visíveis. 
 - Movimentação excessiva. 
 
• ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
 
O Estado Limite Último é quando existe o esgotamento da capacidade de uma estrutura e ela deixa de ser 
segura. Quando uma estrutura está em ruína, independente do motivo, dizemos que ela atingiu seu ELU. 
Quando acontece a ruína de uma estrutura, seja por colapso progressivo, esforços dinâmicos excessivos, 
exposição ao fogo, efeito de segunda ordem acima da norma, abalos sísmicos e outros, significa que essa 
estrutura atingiu seu ELU. 
 
 
2. REGRAS DE PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS 
 
Ao se pré-dimensionar uma peça de concreto deve-se seguir os seguintes passos lógicos: 
 
 - Determinação das ações; 
 - Determinação das resistências; 
 - Verificação da segurança. 
 
As ações são as solicitações à peça, as resistências levam em conta a seção transversal e as características 
mecânicas dos materiais, e a segurança deve ser garantida com um dimensionamento que supere os 
esforços que incidam sobre a peça com uma certa “folga”. 
 
Algumas hipóteses básicas devem também ser adotadas: 
 
- Manutenção da seção plana: as seções transversais da peça, quando fletidas, não perdem a configuração 
plana; 
 
- Aderência perfeita entre o concreto e armadura: não há escorregamento entre os materiais; 
 
- A tensão do concreto é nula na região da seção transversal sujeita à deformação de alongamento. 
 
 
 
 
✓ FLEXÃO SIMPLES 
 
Na flexão simples, a ação pode ser admitida como sendo representada apenas pelo Momento de Projeto = 
Md ; são adotadas como resistências aquelas oferecidas pelo concreto (fck), pelo aço (fyk) e pela seção 
transversal (Mud); e a segurança adequada é quando é verificada a condição: Md ≤ Mud. 
Por razão de economia, faz-se Md = Mud. 
 
O concreto mais utilizado tem como característica um fck entre 20 e 30 MPa (KN/cm²), enquanto que o aço 
mais utilizado, o CA50, tem como fyk um valor de 50 KN/cm². 
 
Além da resistência, existem ainda outras características inerentes ao concreto e ao aço, que serão utilizadas 
para efeito de cálculo, a saber: 
 
Concreto 
fck = 20 a 30 MPa 
γc = 1,4 
 
Aço 
fyk = 50 KN/cm² 
γs = 1,15 
Onde: 
fck é o valor característico da resistência do concreto; 
fyk é o valor característico de resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento; 
γc é o coeficiente de ponderação de resistência do concreto (coeficiente de segurança); 
γs é o coeficiente de ponderação de resistência da armadura (coeficiente de segurança); 
Módulo de elasticidade do concreto 
 
Segundo a NBR 6118/2018 – Projeto de estruturas de concreto - Procedimento, o módulo de elasticidade 
(Eci) deve ser obtido segundo o método de ensaio estabelecido na NBR 8522/2017 – Determinação dos 
módulos estáticos de elasticidade e de deformação à compressão, sendo considerado nesta Norma o módulo 
de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade. 
Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando as 
expressões a seguir: 
 
Eci = αE . 5600 √𝑓𝑐𝑘 para fck de 20 MPa a 50 MPa; 
 
Eci = 21,5 . 10³ . αE . (
𝑓𝑐𝑘
10
 + 1,25)1/3, para fck de 55 MPa a 90 MPa; 
 
Sendo 
αE = 1,2 para basalto e diabásio; αE = 1,0 para granito e gnaisse; 
 
αE = 0,9 para calcário; αE = 0,7 para arenito. 
 
Onde Eci e fck são dados em megapascal (MPa). O módulo de deformação secante pode ser obtido segundo 
método de ensaio estabelecido na NBR 8522, ou estimado pela expressão: 
Ecs = αi . Eci 
 
 
 
 
 
 
Sendo αi = 0,8 + 0,2 . 
𝑓𝑐𝑘
80
 ≤ 1,0. 
 
A tabela abaixo apresenta os valores estimados arredondados que podem ser utilizados no projeto estrutural. 
 
Classe de 
resistência 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs (GPa 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
 
Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o coeficiente de Poisson 
ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal G igual a Ecs / 2,4. 
 
Módulo de elasticidade do aço 
 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do aço pode ser admitido 
igual a 210 GPa. 
 
 
Diagrama Tensão - Deformação (de Cálculo) da Armadura: 
 
- Aço de dureza natural (com patamar de escoamento) 
 
 
Diagrama Tensão - Deformação (de Cálculo) do Concreto: 
 
- Diagrama parábola-retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama retangular simplificado 
 
x = altura da zona comprimida, medida a partir de borda comprimida; 
k = 0,85, quando a altura de zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular). 
 
No caso do concreto armado, a armadura que integra um elemento estrutural é passiva, ou seja, ela irá 
trabalhar e se deformar somente após a aplicaçãodos carregamentos que a estrutura estará sujeita. 
 
 
 
 
 
As armaduras da viga da figura abaixo estão absorvendo junto com o concreto os esforços provenientes 
dessa carga distribuída, com isso, ocorrerá o aparecimento de fissuras, até o instante que as armaduras 
atingirão seu limite de deformação (10‰). Caso o carregamento aumente continuamente, haverá o 
rompimento da peça estrutural. 
 
 
 
 
 
 
✓ Estado limite último convencional na flexão 
 
É atingido quando ocorre uma das seguintes situações: 
 
- A deformação de encurtamento no concreto (E) atinge 0,0035; denomina-se estado limite último (ELU) por 
esmagamento do concreto: 
 
 
 
 
- A deformação de alongamento na armadura mais tracionada (E) atinge 0,010; denomina-se estado limite 
último (ELU) por alongamento plástico excessivo da armadura: 
 
 
 
✓ ESTÁDIOS DE CÁLCULO 
Os estádios são as fases que uma estrutura de concreto passa quando submetida a um carregamento e que 
foram divididas em três estágios, iniciando do zero até chegar à ruptura. São eles: 
 
- ESTÁDIO I 
O estádio I é definido pelo intervalo entre o início da aplicação do carregamento até o momento que se inicia 
a fissuração da viga, ou seja, nesse momento o concreto ainda consegue resistir às tensões de tração. 
Tem-se o diagrama linear de tensões e é válida a Lei de Hooke para as deformações. O estádio I termina 
quando inicia o aparecimento das fissuras. 
A figura abaixo apresenta o comportamento de uma viga simplesmente apoiada, submetida a um 
carregamento externo, e que se encontra no estádio I. A linha neutra (LN) da seção indica a região em que a 
tensão é zero. 
Os esforços produzidos nesse estádio são utilizados para determinar a armadura mínima do elemento 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
- ESTÁDIO II 
Assim que se inicia a fissuração da viga, se há continuidade e aumento do carregamento, as fissuras 
continuarão aparecendo. O estádio II será o intervalo entre o início do aparecimento das fissuras até a 
fissuração de toda parte tracionada (trecho abaixo da linha neutra) da viga. Nesse caso, a parte comprimida 
se mantém num diagrama linear de tensões. O concreto não resiste mais à tração. 
O estádio II é usado para realizar a verificação das estruturas no estado limite de serviço (ELS). Nele, com a 
continuidade do carregamento, as fissuras caminharão para a borda comprimida (acima da linha neutra) da 
viga, assim como a linha neutra (ponto onde as tensões de tração e compressão se anulam). 
Nesse caso, as tensões de tração aumentam tanto que as armaduras podem atingir o escoamento. O estádio 
II termina quando se inicia a plastificação do concreto comprimido. 
 
 
- ESTÁDIO III 
O estádio III é quando a região mais comprimida da viga está plastificada, ou seja, está no estado limite 
último (ELU) ou na iminência da ruptura. Nesse estádio, não tem mais um diagrama linear de tensões. O 
diagrama no estádio III é chamado de parábola-retângulo. 
A norma brasileira NBR 6118 permite que seja utilizado um diagrama retangular equivalente, de altura 0,8.X, 
de modo a simplificar os cálculos. 
 
 
 
 
 
✓ DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO 
 
O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por limites, 
representados na figura seguinte: 
 
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida; 
x = altura de zona comprimida. 
 
- Diagrama D2: o concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento: a ruptura é do tipo “dútil” 
(com aviso). 
Ocorre na flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (Ɛc ≤ Ɛcu e com o máximo 
alongamento da armadura permitido). 
Neste caso, temos flexão com o máximo alongamento do aço de 10 ‰ e o encurtamento do concreto 
(compressão) varia de zero até a ruptura de 3,5 ‰. 
A LN passa dentro da seção da viga, o que corresponde a flexão simples ou flexão composta. 
O domínio 2 é um domínio de dimensionamento de estruturas de concreto armado com total 
aproveitamento do aço. A linha neutra (LN) que separa o domínio 2 do domínio 3 está posicionada a x2,3 = 
0,259.d da face superior. 
 
 
 
 
- Diagrama D3: o concreto está adequadamente solicitado e a armadura em escoamento: a ruptura também 
é dúctil. As seções são ditas subarmadas ou normalmente armadas. 
 
 
 
Ocorre na flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (Ɛs 
≥ Ɛyd). 
O domínio 3 é um domínio de dimensionamento de estruturas de concreto armado com total 
aproveitamento do aço e do concreto. Ambos estão trabalhando nos seus limites de deformação. Em caso 
de ruína, existe um aviso da estrutura, havendo fissuração aparente e flechas significativas. 
A linha neutra, para o aço mais usual, CA-50, corresponde a x3,4 = 0,628.d. 
 
 
- Diagrama D4: o concreto é muito solicitado e a armadura pouco solicitada. 
a ruptura é do tipo “frágil” (sem aviso). A seção é dita superarmada e é uma solução antieconômica pois 
a armadura não é explorada ao máximo. 
 
Ocorre na flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem 
escoamento (Ɛs < Ɛyd). Embora no domínio 4, o ELU seja atingido pelo concreto na compressão máxima, a 
armadura está trabalhando em estado elástico, ou seja, não atingiu seu patamar de escoamento. 
Dessa forma, em caso de ruína da estrutura, não haverá aviso, pois há pouca fissuração e os deslocamentos 
são pequenos. 
Por não utilizar todo o potencial do aço e pela falta de aviso em caso de ruína, não utilizamos o domínio 4 
no dimensionamento das estruturas de concreto armado. 
Caso se obtenha o domínio 4 em um dimensionamento, algumas soluções possíveis são: - aumentar a seção 
da peça; 
- alterar a resistência do concreto (fck); 
- utilizar armadura dupla. 
 
 
3. LAJES RETANGULARES MACIÇAS 
 
Lajes são elementos estruturais planos de concreto armado sujeitos a cargas transversais a seu plano. Os 
apoios das lajes são, geralmente, constituídos por vigas. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira 
simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios livres à rotação e indeslocáveis à translação, 
considerando, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. 
 
Espessuras mínimas das lajes: segundo a NBR-6118, item 13.2.4.1: 
- 7 cm: lajes de cobertura não em balanço. 
- 8 cm: lajes de piso não em balanço. 
 
 
 
- 10 cm: lajes em balanço. 
- 10 cm: lajes que suportam veículos até 30 kN. 
- 12 cm lajes que suportam veículos com mais que 30 kN. 
- 15 cm: lajes com protensão apoiada em vigas. 
- 16 cm: lajes lisas. 
- 14 cm: lajes cogumelo, fora do capitel. 
 
Do ponto de vista de comportamento à flexão, as lajes retangulares maciças podem ser classificadas em: 
 
- Lajes armadas em uma direção: quando a flexão (curvatura) é bastante predominante segundo a direção 
paralela a um dos lados; correspondem às lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e contínuas, com ou 
sem balanços laterais), e às lajes “alongadas” apoiadas em todo o perímetro. 
 
- Lajes armadas em duas direções ou em cruz: quando as curvaturas paralelas aos lados são valores 
comparáveis entre si, são lajes apoiadas em todo seu contorno e com lados não muito diferentes entre si (l 
≤ (ly / lx) ≤ 2). 
 
 
• LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
 
Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir: 
 
 
 
Sejam, lx, o vão teórico da laje, normalmente, igual à distância entre os eixos das vigas de apoio, e ly o seu 
comprimento. Os cortes AA e BB mostram, de forma esquemática, os deslocamentos apresentados pela laje 
ao ser submetida à uma carga distribuída uniforme de valor p. Constata-se a presença de curvatura de 
momento fletor segundo o corte AA, e segundo o corte BB ocorre, praticamente uma translação com 
curvatura e flexão desprezíveis. 
Considere-se, agora, faixas isolados de larguras unitárias paralelos ao corte AA: 
o carregamento de uma dessas faixas é constituído de carga uniforme de valor p. Cada uma dessas faixas 
tem, aparentemente, o comportamento de uma viga isostática e o diagramade momento fletor é uma 
parábola de ordenada igual a MF = q 
𝐿2
8
. 
 
Representa-se este momento fletor por mx, com mx = q 
𝐿2
8
, na unidade kN ⋅ m / m. 
 
Analogamente, a força cortante tem diagrama linear e seu valor máximo vx = q 
𝐿
2
. 
 
 
 
 
Para que as faces superior e inferior mantenham-se paralelas entre si aparece um momenfo fletor my = υ ⋅ 
mx atuando no plano paralelo ao lado ly, também por unidade de largura, sendo my = 0,2 ⋅ mx, pois no 
concreto υ = 0,2. 
 
O momenfo fletor mx é chamado de momento fletor principal e my de secundário. 
Esforços Solicitantes 
 
- Laje Isolada: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga isolada sujeita a carga 
distribuída uniforme; 
 
 
 
mx = 𝑞.
𝑙𝑥2
8
 
 
my = ʋ.mx 
 
vx = q. 
𝑙𝑥
2
 
 
 
 
- Laje em balanço: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga em balanço e o 
carregamento consiste numa carga uniforme distribuída q mais uma concentrada P aplicada junto à 
extremidade do balanço. 
 
 
 
m’x = 𝑞.
𝑙𝑥2
8
 
 
vx = q.lx + P 
 
- Laje contínua: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último - ELU) 
 
O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b =1 m = 100 cm) 
e altura igual à espessura total da laje, h. 
 
Altura útil 
 
A armadura de flexão será distribuída no largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos, num mesmo ponto, 
dois momentos fletores (mx e my positivos) perpendiculares entre si. 
Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o momento fletor mx e dy 
para o momento fletor my. 
Normalmente, mx é maior que my; por isso costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente 
ao momento fletor my (Asy) é colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx): 
 
Conforme a figura acima, tem-se: 
 
dx = h - c - φx /2 e dy = h - c - φx - φy /2 
 
onde 
 
c = cobrimento mínimo de armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de 
espessura mínima de 1 cm (NBR 6118); 
 
 
 
 
φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx; 
 
φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my; 
 
 
 
Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios, pode-se adotar aproximadamente: 
 
dx = h - c - 0,5 cm e dy = h - c - 1,0 cm 
 
 
Cálculo das Armaduras 
 
 
Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça subarmada com armadura 
simples. 
Assim, conforme a figura acima, a equação de equilíbrio conduz a 
 
md = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) com md = γc ⋅ mk = 1,4 ⋅ mk 
 
Resultando, para a altura de zona comprimida o valor 
 
e a armadura 
 
 
Onde 
 
As = Asx para m = mx e As = Asy para m = my 
 
Escolha das barras 
 
Segundo a NBR 6118, qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. As 
barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2.h ou 20 cm, 
prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. 
 
 
 
 
Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de 
acordo com o item 19.4.1, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras 
decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até 
os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 
4 cm além do eixo teórico do apoio. 
A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20 % da armadura principal, mantendo-se, 
ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. 
 
Os diâmetros ou bitolas comerciais mais utilizados nas estruturas de concreto armado são: 
φ 5 mm; φ 6,3 mm; φ 8 mm; φ 10 mm; φ 12,5 mm; φ 16 mm; φ 20 mm; φ 25 mm; 
 
 
• LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (EM CRUZ) 
 
Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir, apoiada em todo o seu contorno sobre vigas, sujeita à 
carga distribuída p e sejam: 
 
lx = o menor vão teórico; ly = o maior vão teórico (ly ≥ lx). 
 
Normalmente consideram-se as hipóteses simplificadoras: 
- vigas rígidas à flexão; 
- continuidade de lajes vizinhas quando no mesmo nível. 
 
A deformada da laje segundo os cortes A (paralela a lx) e B (paralela a ly) estão esquematizadas na figura a 
seguir: 
 
 
 
 
 
Pode-se notar a presença de curvaturas comparáveis segundo os dois cortes, sugerindo a presença de 
momentos fletores comparáveis: 
 
mx = momento por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; 
 
my = momento por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly. 
 
Considere-se o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se também a presença de 
momento, podendo este ser expresso por: 
 
mx = mx ⋅ cos²α + my ⋅ sen²α 
 
 
Esforços nas lajes isoladas 
 
Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores máximos nos vãos e sobre os apoios (quando 
engastados). 
Existem tabelas que nos fornecem estes momentos máximos para alguns casos usuais de lajes maciças. Nos 
edifícios, onde o carregamento usual é constituído de carga distribuída uniforme, são muito úteis as tabelas 
de Czèrny preparadas com coeficiente de Poisson 0,2 (admitido para o concreto). 
Os momentos fletores extremos são dados por: 
 
 
 
onde as variáveis e estão tabeladas de em função dos seguintes parâmetros: 
- Tipo de carga (por ex. distribuída uniforme); 
- Condições de apoio da laje (tipo de apoio); 
- Relação (ly / lx). 
 
Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuída uniforme, e os tipos de apoio indicados a seguir: 
 
 
 
 
Método simplificado 
 
Pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir: 
 
Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condições 
de apoio: 
- Apoio livre, quando não existir laje vizinha a este apoio; 
- Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível, permitindo assim a continuidade da armadura 
negativa de flexão de uma laje para a outra; 
- Vigas rígidas de apoio da laje; 
 
e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, m’x, m’y). 
 
Correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas: 
 
- Momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para o momento fletor de 
compatibilização, o maior valor entre 0,8 m’> e (m’1 + m’2) / 2, onde m’1 e m’2 são os valores absolutos dos 
momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado, e m’> , o maior momento entre m’1 e 
m’2. 
 
- Momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos fletores 
obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhuma correção devido à continuidade. Para sobrecargas 
maiores convém efetuar essas correções. 
 
Altura útil 
 
Da mesma forma que para as lajes armadas em uma só direção, as alturas úteis são dadas por: 
 
dx = h - c - φx / 2 e dy = h - c – φx - φy / 2 
 
podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por 
 
dx = h - c – 0,5 cm e dy = h - c – 1,0 cm 
 
 
 
 
 
Cálculo de As 
 
 
e a armadura 
 
Onde 
 
As = Asx para m = mx 
As = Asy para m = my 
As = A’s para m = m’ 
 
Armaduras mínimas 
 
As armaduras longitudinais mínimas devem ser consideradas, de modo que, não haja a ruptura frágil do 
elemento estrutural e sejam atendidas as condições de abertura de fissuras da norma. 
A NBR 6118, item 17.3.5.2.1 apresenta uma formulação para determinar a armadura mínima de tração na 
flexão das lajes. 
 
 
 
- Armadura de vão: 
 
- Armaduras sobre os apoios de continuidade: 
 
 
Escolha das barras 
 
- Diâmetro: φ ≤ h / 8; 
 
- Espaçamento entre as barras:armadura nos vãos: As 
 
 
armadura nos apoios: A’s 
 
 
LAJES NERVURADAS 
 
As lajes maciças podem ser recomendadas para vãos até cerca de 5m. Para vãos maiores, ela se torna 
antieconômica devido ao seu grande peso próprio. Uma opção melhor para este caso pode ser conseguida 
através das lajes nervuradas. 
As nervuras têm a função de garantir a altura necessária para a armadura de tração resistir à flexão. 
 
 
Para estas lajes tem-se as seguintes recomendações: 
 
- Os esforços solicitantes podem ser obtidos pela teoria das placas para faixas de largura unitária; 
multiplicando estes esforços pelos espaçamentos entre nervuras tem-se os esforços atuantes em cada 
nervura; 
 
- A mesa deve ser verificada à flexão se b’ > 50 cm ou se houver carga concentrada atuando diretamente 
sobre ela; 
 
- A verificação do cisalhamento nas nervuras pode ser feita como laje se b’ ≤ 50 cm e, como viga em caso 
contrário. 
 
VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 
Tem as seguintes características: 
 
- A zona comprimida da seção sujeita à flexão tem forma retangular; 
 
- A armadura é constituída por barras agrupadas junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada 
no seu centro de gravidade. 
 
 
 
 
 
Resultante das tensões 
 
No Concreto: Rcd = 0,85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0,8 ⋅ x = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd 
 
Na Armadura: Rsd = As ⋅ σsd 
 
Equações de equilíbrio 
 
De Força: Rcd = Rsd ou 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd = As . σsd (1) 
 
De Momento: Mud = Rcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) ou Mud = Rsd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) 
 
substituindo o valor das resultantes de tensão vem: 
 
Mud = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) ou (2) 
 
Mud = As ⋅ σsd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) (3) 
 
Nos casos de dimensionamento, tem-se b, fck e faz-se Mud = Md, (momento fletor solicitante em valor de 
cálculo). 
 
Desta forma, a equação 2 nos fornece o valor de x: 
 
 
Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações: 
 
- Domínio 2, onde X ≤ X23 = 0,269 ⋅ d; e σsd = fyd; 
 
- Domínio 3, onde X23 ≤ X ≤ X34 = 0,0035 ⋅ d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd; 
 
- Domínio 4, se X ≥ X34, neste caso convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada, aumentando-
se h ou adotando-se armadura dupla. 
 
Para a situação adequada de peça subermada tem-se σsd = fyd. 
 
Assim, a equação 3 nos fornece: 
 
 
 
 
 
 
ESPAÇAMENTO VERTICAL E HORIZONTAL 
 
A armadura longitudinal que se encontra na parte tracionada da viga abaixo é a responsável por absorver os 
esforços de tração na flexão. 
 
 
Após o cálculo da armadura longitudinal principal de uma viga, é necessário transformar a área de aço 
calculada em barras de aço, que serão dispostas dentro da seção transversal da viga. 
A disposição da armadura na seção transversal, deve ser tal que, permita que o concreto entre pela forma e 
envolva todas as barras, para isso deve-se atender aos espaçamentos mínimos entre as faces das barras. 
A norma NBR 6118, item 18.3.2.2, define que o espaçamento mínimo livre entre as faces das barras 
longitudinais deve ser: 
 
• Espaçamento mínimo na direção horizontal (eh): 
≥ 20 mm ou 2 cm; 
≥ diâmetro da barra (φL); 
≥ 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo (brita). 
 
• Espaçamento mínimo na direção vertical (ev) 
≥ 20 mm ou 2 cm; 
≥ diâmetro da barra (φL); 
≥ 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo (brita). 
 
 
A norma brasileira NBR 6118, item 17.3.5.2, estabelece uma taxa de armadura longitudinal mínima (ρmin) 
para as vigas em função da resistência à compressão do concreto. 
 
 
 
Conhecendo a taxa e a área da seção de concreto, pode-se dimensionar a armadura mínima. A principal 
função da armadura mínima é evitar rupturas frágeis (bruscas) na peça estrutural, fazendo com que ela 
apresente uma deformação razoável antes de entrar em colapso. 
Quando calcula-se uma viga, é necessário verificar se a área de aço obtida no cálculo é maior ou igual a 
armadura mínima estabelecida pela norma. Caso seja menor, deve-se utilizar a armadura mínima. 
portanto a armadura mínima equivale a 
 
Sendo a taxa de aço ρmin, pode ser obtida em função do valor do equivale a área de função do valor do fck 
Ac = equivale a área de concreto da seção transversal; 
 
Ac = bw . h 
 
 
 
 
ARMADURA DE PELE 
 
A armadura de pele ou costela é aquela colocada na lateral das vigas e é utilizada para prevenir a fissuração 
nessa região. A norma brasileira NBR 6118, item 17.3.5.2.3, estabelece que armadura de pele seja utilizada 
em vigas com altura maiores que 60 cm. 
A armadura mínima de pele deve ser 0,10% da área de concreto da seção transversal (Ac) em cada face 
(lateral) da viga. 
As barras de aço devem ser CA-50 ou CA-60 e o espaçamento (e) entre as barras não devem ser maiores que 
20 cm. 
 
Asp,face = 0,10% . bw . h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIGA DE SEÇÃO “T” COM ARMADURA SIMPLES 
 
As vigas com seção T, são aquelas que recebem contribuição da laje de ambos os lados e a parcela de laje 
que contribui no cálculo da viga é determinada pelo que chamamos de largura colaborante (bf) ou mesa 
colaborante. 
 
Existem dois casos em que pode-se contar com a laje no cálculo das vigas. Um deles é quando a LN (linha 
neutra) está localizada na mesa, nesse caso, diz-se que há compressão parcial da mesa. O outro caso é 
quando a LN está localizada na alma da viga, diz-se que há compressão total da mesa. 
 
A análise de uma seção “T” pode ser feita como se indica a seguir: 
 
 
 
 
 
O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de 
tensão sobre as partes 1 e 2 valem: 
 
Rcfd = 0,85 ⋅ fcd ⋅ (bf - bw) ⋅ hf e Rcwd = 0,85 ⋅ fcd ⋅ bw (0,8 ⋅ x) 
 
A equação de equilibro de momento fornece: 
 
Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd ⋅ (d - hf / 2) + Mcwd 
 
Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por 
d, portanto: 
 
 
A equação de equilíbrio de força permite escrever: 
 
Rcd = Rcfd + Rcwd As ⋅ σsd = Rcfd + Rcwd 
 
 
Portanto 
 
 
Uma viga contínua (com mais de um vão) apresenta momentos positivos e negativos, o esquema estático de 
uma viga genérica mostra que para uma viga padrão, ou seja, aquela em que a face superior é nivelada com 
a laje, haverá contribuição da laje nos trechos de momentos positivos. 
Lembrando que, para os momentos positivos, a armadura tracionada está na região inferior da viga, logo, a 
região superior é a região comprimida e está no mesmo nível da laje, podendo (a laje) colaborar no 
dimensionamento da armadura tracionada dessa viga. 
 
 
 
 
Na análise da mesma viga mas agora em que o momento é negativo, verifica-se que não haverá colaboração 
da laje no cálculo da armadura negativa, pois a região comprimida não está no mesmo nível da laje. Quando 
há momento negativo, a armadura tracionada é posicionada na face superior da viga. 
 
 
VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA 
 
Quando se tem, além da armadura de tração As, outra A’s posicionada junto à borda comprimida, temos uma 
seção com armadura dupla. Isto é feito para se conseguir uma seção subarmada sem alterar as dimensões 
de seção transversal. 
A armadura comprimida introduz uma parcela adicional na resultante de compressão, permitindo assim, 
aumentar a resistência da seção. Vejamos as equações de equilíbrio: 
 
De Força: Rsd = Rcd + R’sd (4) 
 
 As ⋅ σsd = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd + c 
 
 
De momento: Md = Rcd ⋅ (d – 0,4 ⋅ X) + R’sd⋅ (d – d’) (5) 
 
 
 
 
 Md = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) + A’s ⋅ σ’cd ⋅ (d – d’) 
 
Temos assim duas equações (4 e 5) e três incógnitas: x, As e A’s (pois as tensões na armadura depende de x). 
Costuma-se adotar um valor de x, por exemplo x = d/2. Dessa forma podem ser determinadas as armaduras 
As e A’s como se indica a seguir. 
As equações 4 e 5 sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte: 
 
 
 
Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, 
designada por Mwd: 
 
Mwd = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) e Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 ⋅ x) 
 
Como σsd = fyd (peça subarmada), tem-se: 
 
As = Rsd1 / fyd 
 
 
Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente: 
 
∆Md = Md - Mwd 
 
Também, 
 
∆Md = R’sd ⋅ (d - d’) = A’sd ⋅ σ’cd ⋅ (d - d’) e ∆Md = R’sd2 ⋅ (d - d’) = A’s2 ⋅ σ’cd ⋅ (d - d’) 
 
Que permitem determinar as áreas restantes de armadura As2 e A’s. De fato, 
 
R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’) e As2 = Rsd2 / fyd 
 
O cálculo de A’s , requer a determinação de tensão σ’sd. Com X ≤ Xlim, tem-se, no domínio 3, εc = 0,0035 e, no 
domínio 2: 
 
εc = 0,010 ⋅ x / (d - x) (por semelhança de triângulos) 
 
Logo, 
 
ε’s = εc ⋅ (x - d’) / x 
 
que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε de armadura) 
 
Finalmente, 
 
 
 
 
A’s = R’sd / σ’s e As = As1 + As2 
DEFORMAÇÕES (FLECHAS) LIMITES DE NORMA 
 
A norma brasileira NBR 6118 estabelece alguns limites de deslocamentos que são valores práticos utilizados 
para verificar o ELS. 
Esses valores são classificados em quatro grupos, segundo o item 13.3 da NBR 6118: 
a) aceitabilidade sensorial: a limitação visa prevenir vibrações indesejáveis ou efeito visual indesejável; 
b) efeitos específicos: deslocamentos que podem impedir a utilização adequada da construção; 
c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais que podem afetar o 
funcionamento de elementos não estruturais por estar ligados a eles; 
d) efeitos em elementos estruturais: deslocamentos que podem afetar o comportamento estrutural. 
 
 
 
PILARES 
 
Pilares são estruturas de concreto armado que transmitem as cargas para a fundação. A carga principal, nos 
edifícios, tem o sentido vertical (peso). 
Por isso, o esforço solicitante nos pilares é constituído essencialmente pela força normal de compressão. 
Ações outras como, por exemplo, a do vento, introduzem solicitações transversais nos pilares. Como a força 
normal de compressão é grande, deve-se ainda considerar os efeitos provenientes do desaprumo 
construtivo, da indefinição do ponto de aplicação das reações das vigas e dos deslocamentos apresentados 
pelos pilares (efeito de segunda ordem). 
De fato, considere-se o pilar e seus esforços solicitantes usuais: 
 
Conforme a figura acima, tem-se que Mh = momento fletor devido a H, com l = 4 m; 
P = 800 kN e H = 10 kN. Assim, o momento máximo na base do pilar vale: 
 
 
 
 
Mh = H ⋅ l = 10 ⋅ 4,0 = 40 kN ⋅ m 
 
A força normal N (de compressão) vale 800 kN. 
 
Considere-se agora, como mostra a figura seguinte, o efeito de um eventual desaprumo (a) do pilar de, 
digamos, 2 cm. O deslocamento transversal da carga P produz um momento fletor adicional no pilar, o 
momento adicional máximo vale: 
 
Ma = P ⋅ a = 800 ⋅ 0,02 = 16 kN ⋅ m 
 
 
 
Para se ter uma idéia do efeito dos deslocamentos (efeito de segunda ordem), considere-se, no momento, 
o comportamento elástico linear do concreto com Eo = 3000 kN / cm² e seção transversal de 25 x 25 cm 
(seção quadrada). 
 
O deslocamento (usual) do topo do pilar devido a H vale: 
𝑎1 =
𝐻 . 𝑙 3
3 . 𝐸𝑐 . 𝐼𝑐
=
10 .4003
3 .3000 .(
244
12
)
= 2,18 𝑐𝑚 
 
A consideração do equilíbrio do pilar na sua configuração deformada, acarreta um momento fletor adicional 
devido ao deslocamento transversal da força P. O deslocamento transversal final pode ser estimado através 
da expressão: 
𝑎 = 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎1 .
1
1 −
𝑃
𝑃𝑓𝑙
 
sendo 
 lθ = comprimento de flambagem do pilar 
 lθ = 2 ⋅ l no pilar em balanço; 
 lθ = l no pilar biarticulado com alongamento livre; 
 lθ = l, biengastado com deslocamento transversal livre; 
 lθ = 0,7 ⋅ l, engastado de um lado e articulado do outro; 
 io = raio de giração da seção do pilar 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
O momento fletor adicional máximo vale M2 = P ⋅ a, então M = 800 ⋅ 0,0466 = 37,3 kN⋅m. A figura a seguir 
representa M2: 
 
 
O momento máximo na base do pilar vale: 
 M = Mh + Ma = M2 = (1 + M1/Mh + M2/Mh) 
 M = 40 ⋅ ( 1 + 16 / 40 + 37,3 / 40) 
 M = 40 ⋅ (1 + 0,40 + 0,93) 
 
Portanto, nesse caso, Ma representa 40% de Mh e, M2, 93%, mostrando a importância do desaprumo e do 
deslocamento (efeito de segunda ordem) no esforço solicitante final. 
 
Convém lembrar que ainda existem solicitações adicionais provenientes do comportamento não linear com 
concreto armado e da fluência que age sobre o efeito da carga permanente. 
 
Outro fator de grande importância é a esbeltez do pilar (índice de esbeltez (λ)), que pode ser notado através 
da expressão a2, pois quanto maior for o λ, maior será o momento de segunda ordem M2. 
 
Considere-se, no exemplo visto anteriormente, o efeito da variação da seção transversal de 25 x 25 cm até 
90 x 90 cm. 
 
A figura a seguir apresenta os resultados obtidos: 
 
 
 
 
 
Nota-se que o efeito de segunda ordem é desprezível para valores de l até em torno de 40 e que a partir 
deste valor a sua influência é cada vez maior. Assim, para efeito de um método de verificação e de cálculo, 
a NBR 6118 propõe a seguinte classificação dos pilares em função do índice de esbeltez: 
 
- Pilar Curto: para λ ≤ 40; pode-se desprezar o efeito de segunda ordem e fluência; 
 
- Pilar Medianamente Esbelto: para 40 ≤ λ ≤ 80; o efeito de segunda ordem deve der considerado (podendo-
se utilizar o método do pilar padrão) e pode-se desprezar o efeito da fluência; 
 
- Pilar Esbelto: para 80 ≤ λ ≤ 140; o efeito de segunda ordem deve der considerado (podendo-se utilizar o 
método do pilar padrão) e deve-se considerar o efeito da fluência (podendo ser estimada através de uma 
excentricidade complementar equivalente); 
 
- Pilar Muito Esbelto: para 140 ≤ λ ≤ 200; o efeito de segunda ordem e a fluência devem ser considerados e 
calculados de forma “rigorosa”, além disso o coeficiente de ponderação das ações deve der majorado, 
passando a valer. 
 
 
Tipos de Pilares 
 
Normalmente, os pilares podem ser agrupados em dois conjuntos: 
 
- Pilares de Contraventamento: são aqueles que, devido à sua grande rigidez, permitem considerar os 
diversos pisos do edifício como, praticamente, indeslocáveis (caixas de elevadores, pilares enrijecidos); o seu 
cálculo exige sua consideração como um todo; 
 
- Pilares contraventados: são constituídos pelos pilares menos rígidos, onde as extremidades de cada lance 
podem ser consideradas indeslocáveis, graças aos pilares de contraventamento; seu cálculo pode ser feito 
de feito de forma isolada em cada lance. 
 
Os pilares contraventados podem ser agrupados nos seguintes tipos: 
 
- Pilares internos: situados internamente ao piso; para situação de projeto considera-se como esforço 
solicitante a força normal (N) de compressão; 
 
 
 
 
- Pilares de extremidade: situados nas bordas do piso; para situação de projeto, considera-se como esforços 
solicitantes a força normal (N) de compressão e o momento fletor (M), atuando segundo o plano constituído 
pelo pilar e pela viga; este par de esforços normalmente é substituído por (N) e (ei = M / N). 
 
- Pilares de canto: situados junto aos cantos do piso; para situação de projeto considera-se como esforços 
solicitantes a força normal (N) de compressão e dois momentos fletores (Mx eMy), atuando segundo os 
planos constituídos pelo pilar e por cada uma das vigas nele apoiadas; normalmente o conjunto de valores 
(N, Mx e My) é substituído por (N), (eix = Mx / N) e (eiy = My / N). 
 
Situação de cálculo 
 
A situação de cálculo corresponde à verificação do estado limite último (ELU) de cada seção do pilar; aos 
esforços provenientes da situação de projeto são acrescentados os seguintes efeitos: 
 
- A indefinição do ponto de aplicação da força normal e o desaprumo do pilar que podem ser considerados 
através da chamada excentricidade acidental ea estimada, conforme a NBR 6118 por ea ≥ 2 cm ou h/30, com 
h sendo a dimensão do pilar segundo a dimensão considerada; 
 
- Os efeitos de segunda ordem quando λ ≥ 40 que podem ser considerados através da excentricidade e2. Esta 
excentricidade pode ser estimada, para pilares medianamente esbeltos, através do método do pilar padrão. 
 
As hipóteses admitidas neste método são: 
 
- Seção constante do pilar (inclusive armadura); 
 
- Configuração fletida de forma senoidal. 
 
 
Conforme a figura anterior, temos: 
 
𝑦 = 𝑒2. 𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝑙0
; 𝑦′ = 𝑒2. 𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝑙0
; ÿ = − (
𝜋
𝑙0
)
2
. 𝑒2. 𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝑙0
= −(
𝜋
𝑙0
)2𝑦; 
 
 
 
 
 
Com 
1
𝑟
= −ÿ tem-se, para a seção do meio do vão 
1
𝑟
= (
𝜋
𝑙0
)
2
. 𝑒2 
 
Ou 𝑒2 =
1
𝑟
(
𝜋
𝑙0
)2
=
𝑙0
2
𝜋2
 .
1
𝑟
 
 
Por outro lado, sendo 1/r = (εco + εo) / d, a NBR 6118 permite considerar pilares medianamente esbeltos e 
esbeltos: 
 
1
𝑟
=
0,0035 + 𝑓𝑦𝑑 / 𝐸𝑠
ℎ . [(𝜐𝑑 + 0,5)𝜌 ≥ 1
 
 
 
onde Es = 21000 kN/cm² e υd = Nd / Ac ⋅ fcd 
O comprimento de flambagem do pilar (lo) é tomado aproximadamente igual ao pé direito, pois as 
extremidades de cada lance do pilar podem ser consideradas indeslocáveis. Os efeitos de fluência (quando 
λ > 80) podem der considerados através da excentricidade complementar equivalente e 
 
Dimensionamento da Seção Retangular (armadura simétrica) 
 
Costuma-se dimensionar uma seção retangular com armadura simétrica considerando-se a mais crítica entre 
as situações de projeto indicadas na figura a seguir. 
No caso geral (pilar de canto), tem-se duas situações de cálculo sujeitas a flexão composta oblíqua (FCO); da 
situação 1 resulta a taxa mecânica ω1 e da situação 2, ω2; a maior destas taxas define a armadura da seção. 
Estas situações de cálculo são obtidas através do “deslocamento máximo” do ponto de aplicação da força 
normal segundo hx (situação 1) e, segundo hy (situação 2). 
Para pilares internos, tem-se duas situações de cálculo sujeitas a flexão composta normal (FCN). Nos pilares 
de extremidade resultam uma FCN e uma FCO. Nesta última situação, pode-se, em geral, desprezar a 
excentricidade inicial resultando, então, dois dimensionamentos a FCN. 
 
 
 
 
 
 
Dimensões Mínimas 
 
Segundo a NBR 6118, a seção transversal de pilares, qualquer que seja a sua forma, não pode apresentar 
dimensão menor que 19 cm. 
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se 
multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um 
coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na Tabela abaixo. 
Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm². 
 
Valores do coeficiente adicional γn para pilares e pilares-parede 
 
b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 
ƴn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
Onde: 
γn = 1,95 – 0,05 . b 
b é a menor dimensão da seção transversal, expressa em centímetros (cm). 
 
Nota: O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu 
dimensionamento. 
 
Valores mínimos 
A armadura longitudinal mínima deve ser: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = (0,15.
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
) ≥ 0,004. 𝐴𝑐 
 
 
 
O diâmetro das barras longitudinais não pode ser inferior a 10 mm nem superior a 1/8 da menor dimensão 
transversal. 
 
Valores máximos 
A máxima armadura permitida em pilares deve considerar inclusive a sobreposição de armadura existente 
em regiões de emenda, devendo ser também respeitado o disposto em 18.4.2.2. 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 0,08. 𝐴𝑐 
 
Disposições Construtivas, Bitolas e Espaçamentos 
 
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal, de forma a garantir a resistência 
adequada do elemento estrutural. 
Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo 
seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, 
fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 — 20 mm; 
 — diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
 — 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. 
O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual 
a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 400 mm. 
 
Armaduras transversais 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, 
deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com 
vigas e lajes. 
O diâmetro dos estribos em pilares não pode ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou 
do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o 
posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras 
longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior 
ao menor dos seguintes valores: 
 — 200 mm; 
 — menor dimensão da seção; 
 — 24 φ para CA-25; 12 φ para CA-50. 
 
Pode ser adotado o valor φt < φ/4, desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o 
espaçamento respeite também a limitação: 
 
𝑠𝑚𝑎𝑥 = 90000 (
∅𝑡
2
∅
) .
1
𝑓𝑦𝑘
 com fyk em megapascal. 
 
 
 
 
 
Travamentos Adicionais na Seção transversal 
 
Segundo a NBR 6118 em seu item 18.2.4 especifica que sempre que houver possibilidade de flambagem das 
barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para 
evitá-la. 
 
Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as 
por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20.φt do canto, se nesse trecho de comprimento 
20.φt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. 
 
Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. 
 
 
 
 
 
Figura (a): neste caso, as duas barras localizadas no centro da seção do pilar está a uma distância menor de 
20.Øt do canto do estribo poligonal. Desta maneira, ela se encontra assegurada contra a flambagem. 
 
Figura (b): perceba que neste caso, todas as barras encontram-se a uma distância menor do que 20.Øt do 
canto do estribo poligonal. Todavia, perceba que nesta distância há mais de duas barras, sendo que a terceira 
barra na seção deverá ser travada por um estribo suplementar. 
 
Figura (c): neste caso, as barras no centro da seção estão a uma distância maior do que 20.Øt , sendo 
necessário prever o estribo suplementar. 
 
AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE 
 
As armaduras utilizadas no concreto armado são barras de aço que quando expostas a ambientes úmidos 
ou agentes agressivos podem sofrer um processo de corrosão. Quando há corrosão da armadura, ela perde 
seção transversal, diminuindo sua área e consequentemente sua resistência. 
É importante que as armaduras utilizadas nos elementos estruturais estejam protegidas pelo concreto. A 
proteção das armaduras é feita por meio do cobrimento (C), que é uma espessura de concreto deixada nas 
faces do elemento estrutural, durante a concretagem, com a função de garantir a sua vida útil e evitar 
patologias.A norma brasileira NBR 6118, item 6.4.2, tabela 6.1, estipula as espessuras dos cobrimentos das armaduras 
em função do grau de agressividade do meio ambiente. Quanto maior a agressividade do ambiente, maior 
deverá ser o cobrimento. 
 
 
 
Após a determinação da classe de agressividade ambiental (CAA), deve-se verificar qual o cobrimento a ser 
utilizado. Para isso, utiliza-se o Quadro 1.2, a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Deve-se ficar atento à resistência do concreto a ser especificada no projeto, a classe do concreto também 
varia com o grau de agressividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. 
Rio de Janeiro. 2014; 
 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6120 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações. 
Rio de Janeiro. 2019; 
 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 8522 – Concreto – Determinação dos módulos estáticos 
de elasticidade e de deformação à compressão. Rio de Janeiro. 2017; 
 
• BASTOS, P. S. S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Universidade 
Estadual Paulista. 2004; 
 
• BASTOS, P. S. S. Flexão normal simples - Vigas. Universidade Estadual Paulista. 2015; 
 
• BASTOS, P. S. S. Pilares de concreto armado. Universidade Estadual Paulista. 2017; 
 
• CARVALHO, R. C. FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto 
armado: segundo a NBR 6118:2014. 4ª ed. São Carlos. EduFSCAR, 2017. 
 
• CUSTÓDIO. K. R. Estruturas de concreto armado I. Editora e Distribuidora Educacional S.A>, 2018. 
 
• FAQ ALTOQI - Material de apoio QiSuporte; 
 
• FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: PINI. 1995. 
 
• PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. Escola de Engenharia de São Carlos. 
Universidade de São Paulo.