Calculo Vetorial Univeritas 2021 2 AOLs

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Cálculo Vetorial – Univeritas 2021.2 
 
Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - 
Questionário 
 
Nota finalEnviado: 28/10/21 22:36 (BRT) 
10/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do 
ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se aproximar pela esquerda ou pela 
direita Neste contexto, diz-se que o limite de f(x) existe quando L1=L2, isto é, se 
os limites laterais convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas 
dois sentidos para se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em 
funções de duas variáveis existe é porque: 
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2. Pergunta 2 
/1 
Para verificar se o limite de uma função não existe, basta mostrar que existe pelo 
menos dois caminhos com limites diferentes. Esses caminhos significam, em outras 
palavras, realizar aproximações com curvas distintas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre limites, analise as 
afirmativas a seguir colocando V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Dada a função , o limite . 
II. ( ) Dada a função , o limite existe. 
III. ( ) Dada a função , o limite . 
IV. ( ) Dada a função , o limite existe. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F. 
2. 
V, V, V, F. 
3. 
F, V, F, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
/1 
Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função 
cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as 
outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, , fazendo y 
= 0 temos . Fazendo , temos que a função cruza o eixo x em x=3. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A função não cruza os eixos x e y. 
II. ( ) A função cruza os eixos x e y respectivamente em x = 1 e y = 1. 
III. ( ) A função cruza o eixo y em y = 1. 
IV. ( ) A função cruza o eixo z em . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V 
2. 
V, V, F, V 
Resposta correta 
3. 
V, V, F, F 
4. 
V, V, V, F 
5. 
V, F, V, F 
4. Pergunta 4 
/1 
Quando se estuda as relações funcionais de várias variáveis, comparando seus 
domínios e contradomínios, é possível observar alguns padrões associativos, fazendo 
com que se consiga generalizar com facilidade para qualquer número de variáveis. 
Uma função de uma variável tem seu domínio em R, a de duas variáveis de R², três 
variáveis em R³, e assim sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a uma função de 54 variáveis 
tem seu domínio em , porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a determinação do contradomínio para funções reais depende dos 
valores de entrada. 
2. 
o número de variáveis da função é diretamente proporcional ao 
subconjunto de seu contradomínio. 
3. 
os domínios são números pares. 
4. 
o número de variáveis da função é diretamente proporcional ao 
subconjunto de seu domínio. 
Resposta correta 
5. 
as funções têm seu domínio em R^(n). 
5. Pergunta 5 
/1 
Quando se tem funções de mais de uma variável, naturalmente surge a indagação de 
“derivada em relação a qual variável?”. Este conceito trata-se da derivada parcial. 
Seguindo a mesma lógica de derivada de uma variável, o que não é a variável de 
derivação é constante. Portanto, se derivarmos em relação 
a , consideramos como constante. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de em relação a é . 
II. ( ) A derivada de em relação a é . 
III. ( ) A derivada de em relação a é . 
IV. ( ) A derivada de em relação a é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, F, V, F. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
F, V, F, V. 
6. Pergunta 6 
/1 
Derivar em três variáveis é o mesmo procedimento que derivar para duas. Considere 
as outras variáveis como constantes e use as técnicas de derivação convencionais. Por 
exemplo, para , a derivada em y é . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A derivada em relação a z da função é . 
II. A derivada em relação a x da função é . 
III. A derivada em relação a y da função é . 
IV. As primeiras derivadas de são iguais. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. 
I e II. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
I, II e IV. 
7. Pergunta 7 
/1 
A interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável é a de que ela 
representa a inclinação da reta tangente ao ponto da função que se calcula a derivada. 
Sabendo disso, a derivada pode ser aplicada para determinar os pontos de máximo e 
mínimo da função. Basta derivar e igualar a zero. Uma vez achado estes pontos, para 
determinar se é um ponto de máximo ou de mínimo, faz-se o teste da segunda 
derivada (se a segunda derivada no ponto for positiva, é ponto de mínimo e se for 
negativa, de máximo). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à 
curva da direção que se calcula a derivada. 
II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta 
igualar uma das derivadas a zero. 
III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem 
ser os mesmos para termos um ponto de máximo ou mínimo. 
IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II, III e IV. 
2. 
I, II e IV. 
3. 
II e IV. 
4. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
I e II. 
8. Pergunta 8 
/1 
Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um 
número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que 
representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é 
necessário saber reconhecer qual o volume em questão. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três 
variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir. 
I. O domínio da função é . 
II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três 
dimensões. 
III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um 
espaço de três dimensões. 
IV. O domínio da função é . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 II e IV. 
2. 
I e II. 
3. 
I, II e III. 
4. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
I, II e IV. 
9. Pergunta 9 
/1 
No estudo de funções de várias variáveis, definem-se diferentes representações do 
domínio e imagem. Ora os objetos são retas e planos, ora são superfícies, tudo isso 
influenciado pelo número de variáveis a que a função se refere. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as relações funcionais 
de duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir. 
I. Um gráfico de três variáveis é subconjunto de R³. 
II. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R². 
III. O gráfico de uma função de uma variável é subconjunto de R². 
IV. O gráfico de uma função de 7 variáveis é subconjunto de . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, IIe IV. 
2. 
 I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
I e II. 
4. 
II e IV. 
5. 
I, III e IV. 
10. Pergunta 10 
/1 
O contradomínio é o conjunto que representa os valores que uma função pode assumir, 
isto é, para todo elemento do domínio necessariamente existe um elemento no 
contradomínio. Em outras palavras, o contradomínio são os valores de ‘saída’ de uma 
função, enquanto os valores do domínio são referentes aos valores de ‘entrada’. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre contradomínio de 
funções de três variáveis, analise as afirmativas a seguir. 
I. O contradomínio da função é . 
II. O contradomínio da função é (o conjunto dos reais). 
III. O contradomínio da função é , 
IV. O contradomínio da função é . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
II, III e IV. 
3. 
I e II. 
Resposta correta 
4. 
I e III. 
5. 
I, II e IV 
 
 
 
Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - 
Questionário 
 
Nota final Enviado: 28/10/21 23:03 (BRT) 
5/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
As coordenadas cilíndricas auxiliam na resolução de certos tipos de 
integrais triplas e seu uso é recomendado quando se observa uma certa 
simetria na figura em um eixo específico. 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão05_v1(1).png 
Figura – Representação de um sólido entre um plano e um paraboloide. 
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e 
seus conhecimentos de integrais em coordenadas cilíndricas, é correto 
afirmar que o sólido pode ter seu volume calculado em integrais com 
coordenadas cilíndricas porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo z. 
Resposta correta 
2. 
o eixo z varia de 0 a 10. 
3. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo y. 
4. 
o sólido é limitado por duas superfícies. 
5. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo x. 
2. Pergunta 2 
/1 
Comumente, trabalha-se com as coordenadas cartesianas para resoluções 
de integrais, porém, nem todas as integrais têm seus limites de integração 
facilmente identificados nesse sistema de coordenadas. Existem outros 
sistemas de coordenadas que auxiliam no processo integrativo, tais como as 
coordenadas cilíndricas e esféricas, que se pautam em outros parâmetros 
diferentes das coordenadas cartesianas. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das 
integrais triplas nesses sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. As coordenadas cilíndricas são comumente utilizadas quando há certa 
simetria do sólido em relação ao eixo z. 
II. As coordenadas esféricas utilizam ,0er como parâmetros. 
III. As coordenadas cilíndricas utilizam 0 e r como parâmetros. O z se 
mantém o mesmo. 
IV. As coordenadas cartesianas utilizam r e , como parâmetros. O z se 
mantém o mesmo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. 
 I e IV. 
4. 
I e II. 
5. 
I, II e IV. 
3. Pergunta 3 
/1 
Uma função de duas variáveis associa um ponto (x, y) a um valor numérico, 
também chamado de escalar, z. Em um campo vetorial de duas variáveis, no 
entanto, cada ponto do espaço tem um outro conjunto de pontos associado, 
que é o que chamamos de vetor. 
Com base nos seus conhecimentos acerca da representação gráfica de 
campos vetoriais, associe os itens a seguir com os seus campos vetoriais: 
1) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_01_v1(1).png 
2) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_02_v1(1).png 
3) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_03_v1(1).png 
4) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão18_04_v1(1).png 
( ) . 
( ) . 
( ) . 
( ) . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 4, 3, 1. 
Resposta correta 
2. 
3, 4, 1, 2. 
3. 
2, 3, 1, 4. 
4. 
1, 4, 3, 2. 
5. 
4, 2, 3, 1. 
4. Pergunta 4 
/1 
Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo 
Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto 
matemático chamado integral de linha 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos 
vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir: 
I. A função descreve um campo vetorial. 
II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma 
curva específica. 
III. é uma representação de uma integral de linha. 
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
I e II. 
4. 
I, III e IV. 
5. 
II, III e IV. 
5. Pergunta 5 
/1 
Uma das utilidades principais de integrais triplas é o cálculo do volume de 
uma região no espaço. Uma vez definido o elemento de volume , o 
volume de uma região R pode ser definido como . 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais 
triplas, analise as afirmativas a seguir: 
I. A função de integração em é . 
II. A integral tripla na região é igual a . 
III. O resultado da integral tripla é igual a . 
IV. O resultado da integral tripla é igual a . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I e II. 
3. 
II e III. 
Resposta correta 
4. 
I, II e III. 
5. 
I, III e IV. 
6. Pergunta 6 
/1 
Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir 
de regiões retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas 
integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas a 
região no plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação 
funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou Tipo II). 
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em 
regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte 
forma . 
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte 
forma . 
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y. 
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões 
retangulares. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, V, F. 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
4. 
F, V, F, V. 
5. 
F, F, V, V. 
7. Pergunta 7 
/1 
Existem métodos integrativos para diferentes regiões abaixo de superfícies. 
O método mais simples envolve o cálculo de algumas integrais a partir de 
regiões retangulares. Existem, porém, outros métodos, que envolvem o 
cálculo de algumas integrais a partir de regiões limitadas por funções. Essas 
regiões são separadas em Tipo I (limitadas no eixo y) e Tipo II (limitadas no 
eixo x) e são escritas algebricamente como e . 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ02 - Questão08_v1(1).png 
Figura – Representação de uma região. 
Considerando essas informações, o esboço da região na figura supracitada e 
seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a região supracitada 
representa a região de Tipo I, porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
é limitada por funções em relação ao eixo y. 
Resposta correta 
2. 
pode ser representada em coordenadas cilíndricas. 
3. 
é limitada por funções em relação ao eixo z. 
4. Incorreta: 
é limitada por funções em relação ao eixo x. 
5. 
tem seu contradomínio nos reais R. 
8. Pergunta 8 
/1 
Sabendo como cada coordenada se relaciona entre cada sistema, basta fazer 
a substituição na função. Por exemplo, em coordenadas polares é 
. 
De acordo com essas informações e com os seus conhecimentos de 
integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. () A função em coordenadas cilíndricas é . 
II. ( ) A função em coordenadas polares é . 
III. ( ) A função em coordenadas polares é . 
IV. ( ) A função em coordenadas esféricas é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. Incorreta: 
V, F, F, V. 
3. 
V, F, V, F. 
4. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
5. 
V, V, F, F. 
9. Pergunta 9 
/1 
Quando for conveniente mudar de coordenadas, além de saber reescrever a 
função e o elemento de área ou volume, também é necessário reescrever a 
região onde ocorre a integração. 
De acordo com essas informações e seus conhecimentos de integração, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integração em equivale a em . 
II. ( ) A integração em representa uma integração apenas nos 
quadrantes do plano cartesiano onde x é positivo. 
III. ( ) A integração em em equivale a , se a 
função tiver simetria radial. 
IV. ( ) A região de integração pode ser diferente a depender do sistema de 
coordenadas. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. Incorreta: 
V, V, F, F. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
V, F, V, F. 
Resposta correta 
5. 
V, F, F, V. 
10. Pergunta 10 
/1 
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se 
mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira 
extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas 
variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas: 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, 
afirma-se que a integral supracitada mensura o volume de uma superfície, 
porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a região integrativa é uma região R retangular. 
Resposta correta 
2. Incorreta: 
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R. 
3. 
o diferencial de volume dv = dxdy. 
4. 
a função que compõe o integrando é uma função par. 
5. 
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - 
Questionário 
 
 
 
1. Pergunta 1 
/1 
Campos vetoriais podem ser entendidos como funções, com regras 
específicas, que associam dois conjuntos numéricos. Um campo vetorial 
em associa um par ordenado a outro, já um campo vetorial 
em associa um terno ordenado a outro. Porém, as representações dos 
elementos do domínio e contradomínio não são as mesmas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos 
vetoriais, pode-se afirmar que o domínio, seja ele par ou terno ordenado, é 
representado como um ponto, e a imagem como um vetor, porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o domínio e o contradomínio são subconjuntos do mesmo 
espaço. 
2. 
os campos vetoriais são objetos físicos. 
3. 
os campos vetoriais são objetos matemáticos. 
4. Incorreta: 
a associação dos elementos do domínio é unívoca. 
5. 
é inconcebível a representação do gráfico das funções 
em e . 
Resposta correta 
2. Pergunta 2 
/1 
O campo gradiente de uma função dá a noção de como essa, como um todo, 
varia. Por isso, é importante saber associar a função com seu respectivo 
gradiente. Essa visão geral de como a função varia é pautada em uma 
associação de cada ponto do domínio com um vetor. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente 
e da representação gráfica de campos vetoriais, associe os gradientes a 
seguir com os seus campos escalares: 
1) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_1_v1(1).png 
2) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_2_v1(1).png 
3) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_3_v1(1).png 
4) 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_4_v1(1).png 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
2. Incorreta: 
3, 4, 1, 2. 
3. 
1, 4, 3, 2. 
4. 
2, 3, 1, 4. 
5. 
2, 1, 3, 4. 
3. Pergunta 3 
/1 
O rotacional é uma operação análoga a um produto vetorial, no qual 
relaciona-se a diferença das derivadas parciais em duas direções e as 
relaciona com a terceira direção. A manipulação algébrica que envolve o 
rotacional, em R³, pode ser descrita por uma matriz. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente 
e campos vetoriais, analise as afirmativas a seguir. 
I. O rotacional de é . 
II. O rotacional do gradiente de é . 
III. O rotacional de é . 
IV. O rotacional de é . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. Incorreta: 
I, III e IV. 
3. 
II e III. 
4. 
I e II. 
Resposta correta 
4. Pergunta 4 
/1 
O Laplaciano é definido como a aplicação seguida do gradiente e do 
divergente em uma determinada função escalar. Matematicamente, . É 
importante lembrar que o gradiente só atua em campos escalares e o 
divergente em campos vetoriais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que 
o operador Laplaciono resulta em um campo escalar porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
operações múltiplas do gradiente resultam em um escalar. 
2. Incorreta: 
a função é escalar, caso contrário, seria vetor. 
3. 
o divergente recebe um campo vetorial e retorna um escalar. 
Resposta correta 
4. 
se aplicou o rotacional ao gradiente. 
5. 
o gradiente recebe um escalar. 
5. Pergunta 5 
/1 
Os campos divergentes, gradientes e rotacionais são definidos com base nos 
campos escalares e vetoriais em que são calculados. Além disso, a forma 
algébrica de cada campo é diferente, mas sempre levando em conta o 
operador diferencial nabla ( . Somado a isso, os campos supracitados 
têm sentidos físico e geométrico, que não são evidentes apenas quando se 
observa algebricamente essas estruturas matemáticas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos 
gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir. 
I. O sentido geométrico de um gradiente está relacionado à direção e 
sentido de maior variação da função. 
II. O sentido físico de um divergente está relacionado à ‘entrada’ e ‘saída’ de 
flechas em um determinado volume infinitesimal. 
III. O sentido físico de um rotacional está na possibilidade de rotação de um 
objeto infinitesimal acerca de si mesmo. 
IV. O operador diferencial nabla tem um sentido físico de translação. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. Incorreta: 
I, III e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II e IV. 
4. 
I e II. 
5. 
II, III e IV. 
6. Pergunta 6 
/1 
Os campos divergente, gradiente e rotacional são calculados dados certos 
tipos de campos: escalares ou vetoriais. Saber identificar os tipos de campo, 
portanto, é primordial para a manipulação algébrica dos divergentes, 
gradientes e rotacionais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos 
vetoriais escalares, analise as afirmativas a seguir. 
I. . 
II. é um campo vetorial. 
III. é uma função na qual se pode calcular o campo divergente. 
IV. é um campo escalar. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
II e IV. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
I e II. 
5. Incorreta: 
I e IV. 
7. Pergunta 7 
/1 
Um campo gradiente de uma função escalar é definido em termos das 
derivadas parciais dela. Portanto, para uma função , o campo gradiente 
é definido da seguinte forma: 
. 
Considerando essa definição e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, 
afirma-se que o campo não é um campo gradiente porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o gradiente é definido em termos de mais derivadas. 
2. 
o campo em questão é um campo escalar. 
3. 
o campo em questão tem inúmeras derivadas. 
4. 
há uma impossibilidade de determinação da função . 
Respostacorreta 
5. 
o domínio da função faz parte do conjunto numérico dos reais. 
8. Pergunta 8 
/1 
Uma das formas de interpretarmos o operador nabla é escrevendo-o como 
um vetor, sendo . Isso é útil, pois naturalmente surgem as definições 
de gradiente, como o produto do nabla, por uma função de divergente, 
como um produto escalar entre vetores e, por fim, rotacional, como o 
produto vetorial , em que . 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre campos 
vetoriais, ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência na qual 
devem ser efetuados os passos para a utilização do operador rotacional: 
( ) Somar os termos associados a sua respectiva direção i, j ou k. 
( ) Montar a matriz do rotacional. 
( ) Aplicar as derivadas parciais. 
( ) Calcular o determinante. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 1, 3, 2. 
Resposta correta 
2. Incorreta: 
2, 1, 3, 4. 
3. 
3, 4, 1, 2. 
4. 
1, 2, 3, 4. 
5. 
4, 3, 2, 1. 
9. Pergunta 9 
/1 
O estudo dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é importante, 
também, para a definição de algumas possíveis operações a serem 
realizadas entre eles. O Laplaciano, por exemplo, é definido pelo cálculo do 
divergente de um gradiente de uma função escalar f. Tome como exemplo 
uma função . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca dos campos 
divergentes, gradientes e rotacionais, e acerca do Laplaciano, afirma-se que 
o Laplaciano escalar dessa função é 0 porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
as derivadas parciais de são 0. 
Resposta correta 
2. 
os eixos x, y e z são ortogonais entre si. 
3. 
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R². 
4. Incorreta: 
as derivadas parciais de são 1. 
5. 
o operador diferencial nabla é escrito na forma . 
10. Pergunta 10 
/1 
O operador divergente é definido como onde . Essa definição é 
feita com base no operador diferencial nabla, que leva em conta as 
derivadas parciais de uma determinada função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, pode-se dizer que 
o gradiente e o divergente são operadores diferentes porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
os módulos dos campos vetoriais do gradiente e do divergente 
são diferentes. 
2. 
as derivadas são feitas em sistemas de coordenadas diferentes. 
3. 
as derivadas parciais não estão definidas para vetores. 
4. 
o gradiente atua em um campo escalar, resultando em um 
campo vetorial, enquanto o divergente faz o contrário. 
Resposta correta 
5. 
as derivadas são em primeira ordem no gradiente, enquanto no 
divergente são em segunda. 
 
 
 
 
 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - 
Questionário 
 
 
1. Pergunta 1 
/1 
As funções parametrizadas são extremamente importantes para o cálculo integral, até 
dentro do contexto vetorial. Elas conseguem representar expressões algébricas que 
muitas vezes não são funções comuns, tornando possível o trabalho com integrais e 
derivadas. Segue um exemplo de função parametrizada: 
 
A derivada de uma função paramétrica, por exemplo, pode auxiliar a definir o trabalho 
de uma partícula ao longo de um campo vetorial, pois se trata de um vetor tangente. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cálculo vetorial, dado o 
exemplo supracitado, pode-se dizer que o vetor tangente dessa função 
é , porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da 
seguinte forma: 
2. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da 
seguinte forma: 
3. Incorreta: 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da 
seguinte forma: 
4. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da 
seguinte forma: 
Resposta correta 
5. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da 
seguinte forma: 
2. Pergunta 2 
/1 
O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho 
(W). Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados 
no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do trabalho. Esse campo é definido em 
termos de um gradiente de uma função escalar: 
. 
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível 
descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir: 
. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, 
pode-se dizer que é um campo conservativo porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos. 
2. 
se verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não 
suficiente. 
4. 
o gradiente dessa função é nulo. 
5. 
o divergente dessa função é nulo. 
3. Pergunta 3 
/1 
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. 
Isto é, o ponto do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que 
está sendo somado são os vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a 
integral nula. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, 
pode-se dizer que o caminho deve ser fechado porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário. 
2. 
só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
o caminho fechada permite definir um volume. 
4. 
o caminho aberto poder ter singularidades. 
5. 
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho 
fechado. 
4. Pergunta 4 
/1 
As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, 
possibilitando o cálculo de integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-
se encontrar maneiras algébricas para se trabalhar com os objetos matemáticos, de 
modo a tornar viável o cálculo de integrais e derivadas. 
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a 
parametrização. Considerando essas informações e os conteúdos estudados, pode-se 
dizer que a parametrização é de extrema importância para o Cálculo Vetorial porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
a parametrização é uma estrutura algébrica nula. 
2. 
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o 
objeto matemático integrável. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites 
integrativos. 
4. 
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores. 
5. 
a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos. 
5. Pergunta 5 
/1 
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para 
resolver uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são 
dependentes uma das outras. Para tal, é necessário entender bem a região de 
integração para escrever os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não estão 
sendo integradas são consideradas constantes. 
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é definido pela superfície do 
cilindro e . 
II. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é a esfera unitária . 
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é o cubo definido pelos 
planos , , , , , . 
IV. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. Incorreta: 
F, F, V, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
V, V, F, F. 
6. Pergunta 6 
/1 
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorialé a integral de linha 
do trabalho (W) de uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). 
Essa integral é definida da seguinte forma: 
. 
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem 
variar conforma o contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do 
trabalho, analise as afirmativas a seguir. 
I. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
II. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
III. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
IV. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV. 
2. 
I e II. 
3. Incorreta: 
II e IV. 
4. 
I e III. 
5. 
I e IV. 
Resposta correta 
7. Pergunta 7 
/1 
O teorema da divergência substitui a avaliação da integral de uma superfície com 
a integral sobre o volume englobado pela superfície fechada. É necessário fazer a 
operação com cautela para não ter um resultado que não represente a soma desejada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os 
passos para a utilização do teorema: 
( ) Aplicar o operador divergente ao campo vetorial F. 
( ) Definir o elemento de volume no sistema de coordenadas apropriados. 
( ) Integrar sobre o volume V. 
( ) Avaliar se a superfície S e o campo vetorial F satisfazem os requisitos do teorema. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Mostrar opções de resposta 
8. Pergunta 8 
/1 
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um 
campo vetorial sobre uma superfície com a integral de volume do divergente do campo 
vetorial. A princípio, pode não ser clara sua utilidade, porém, há diversos casos em que 
o problema é simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos requisitos a serem 
atendidos. A definição é: 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. A superfície S deve ser fechada. 
II. A superfície S deve ser orientada para dentro. 
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas. 
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III. 
Resposta correta 
2. 
I e II. 
3. Incorreta: 
I, II e IV. 
4. 
I e IV. 
5. 
II e IV. 
9. Pergunta 9 
/1 
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre 
uma região R. Para que seja válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou 
seja para todos os valores contidos no intervalo aberto da variação do 
parâmetro t. Somado a isso, a região R deve ser simplesmente conexa, ou seja, a curva 
C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas pontos que pertencem a R. 
Figura 6 – Regiões R2 e R3 
 
 
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png 
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009) 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, 
afirma-se que as regiões R2 e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: 
R2 por conter furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
Resposta correta 
2. 
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por 
conter furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
3. Incorreta: 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário. 
4. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: 
R3 por conter furos e R2 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
5. 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-
horário. 
10. Pergunta 10 
/1 
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico 
com as integrais de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, 
de modo que não se calcule as integrais de linha e superfície por definição.É 
interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar as 
diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e 
Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas. 
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser 
utilizada pelo Teorema de Green. 
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
F, F, V, F. 
3. Incorreta: 
V, V, F, F. 
4. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
5.