Determine o valor de . Sabese que e é um vetor de módulo , paralelo ao vetor (1, 1, 1) e tem componente z positiva. → w = 3→u + 2→v →u(−1, 0, 2) →v...

Para determinar o valor de \( e \), que é um vetor de módulo \( 4\sqrt{3} \), paralelo ao vetor \( (1, 1, 1) \) e com componente \( z \) positiva, podemos usar a fórmula para o módulo de um vetor \( \vec{v} = (a, b, c) \), que é dado por \( |\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \). Primeiro, vamos encontrar o vetor \( \vec{w} \): \[ \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v} \] \[ \vec{u} = (-1, 0, 2) \] \[ \vec{v} = (0, 4, \sqrt{3}) \] Calculando \( \vec{w} \): \[ \vec{w} = 3(-1, 0, 2) + 2(0, 4, \sqrt{3}) \] \[ \vec{w} = (-3, 0, 6) + (0, 8, 2\sqrt{3}) \] \[ \vec{w} = (-3, 8, 6 + 2\sqrt{3}) \] Agora, sabemos que \( \vec{w} \) é paralelo a \( (1, 1, 1) \), então podemos escrever: \[ k(-3, 8, 6 + 2\sqrt{3}) = (1, 1, 1) \] onde \( k \) é uma constante. Comparando as componentes, temos: \[ -3k = 1 \] \[ 8k = 1 \] \[ 6 + 2\sqrt{3}k = 1 \] Resolvendo essas equações, encontramos \( k = -\frac{1}{3} \). Portanto, o vetor \( \vec{w} \) é: \[ \vec{w} = -\frac{1}{3}(-3, 8, 6 + 2\sqrt{3}) = (1, -\frac{8}{3}, -2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) \] Como \( e \) é paralelo a \( \vec{w} \), temos que \( e = \lambda \vec{w} \), onde \( \lambda \) é uma constante. Dado que o módulo de \( e \) é \( 4\sqrt{3} \), podemos escrever: \[ |\lambda \vec{w}| = 4\sqrt{3} \] \[ |\lambda| |\vec{w}| = 4\sqrt{3} \] \[ |\lambda| \sqrt{1 + \left(-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(-2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = 4\sqrt{3} \] Calculando o valor de \( \lambda \), obtemos o valor de \( e \).