LISTA+4-+MATRIZES

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 4- MATRIZES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1- ESA/EEAR (EMBASAMENTO) 
 
1. (EEAR – 2010) Seja a matriz ( )
2 2ij x
A a= tal que
0,
,
ij
se i j
a
i j se i j
=
= 
+ 
. A soma dos elementos de A é: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
2. (EEAR 2012) Na matriz 
1 0 1
... 2 1
5 ... 3
A
− 
 
=
 
  
 faltam 2 
elementos. Se nessa a matriz 2ija i j= − , a soma dos 
elementos dos elementos que faltam é: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
3. (EEAR – 2008) A soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz ( )
3 3ij x
A a= , tal que 
2i ,
,
ij
se i j
a
i j se i j
 
= 
+ =
 , é um número: 
 
a) múltiplo de 3 
b) múltiplo de 5 
c) divisor de 16 
d) divisor de 121 
 
4. (EEAR 2015) Seja a matriz ( )
2 2ij x
A a= tal que 
2 2
ija i j= − . A soma dos elementos de A é igual a: 
 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2019) Considere as tabelas das lojas A e B, 
 
2 3 4 5
4 5 5 4
A
 
=  
 
 e 
5 4 4 3
3 3 4 2
B
 
=  
 
 em que cada 
elemento 
ija ou ijb representa o número de unidades 
vendidas do produto i no dia j . Considerando as 
quantidades vendidas nas duas lojas juntas, por dia, o 
melhor dia de vendas foi o dia ____. 
 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
6. (EEAR 2016) Se 
1
1 2
a 
 
− 
 e 
1
2
b
x k
− 
 
 
 são 
matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são 
respectivamente: 
 
a) 1, -1, 1, 1 
b) 1, 1, -1, -1 
c) 1, -1, 1, -1 
d) -1, -1, -2, -2 
 
7. (EEAR 2017) Considere as matrizes reais 
 
² 1
2
x
A
y z
 
=  
+ 
 e 
9 z
B
y x
 
=  
− 
. Se 
TA B= , 
 
então y+z é igual a: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) -1 
 
8. (EEAR 2006) Sendo 
3 4
2 1
A
 
=  
− 
 e 
5 2
0 3
B
− 
=  
 
, a soma dos elementos da 2ª linha 
 
de ( )
T
A B− é igual a: 
 
a) -4 
b) -2 
c) 2 
d) 4 
 
 
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9. (EEAR 2007) Sejam as matrizes 
1 1
2 2
A
− 
=  
 
 
e 
1 1
0 3
B
− 
=  
− 
. Se 
TA e 
TB são as matrizes 
transpostas de A e B, respectivamente, então 
T TA B+ é igual a: 
 
 
 
10. (EEAR 2014) Seja a matriz 
4 2
6 2
A
 
=  
− 
. A 
matriz 
1
2
X A= tem como soma de seus elementos o 
valor: 
 
a) 7 
b) 5 
c) 4 
d) 1 
 
11. (EEAR 2010) Sejam as matrizes 
3 5 3,mx pxq xA B e C 
Se A.B=C, então m+p+q é igual a: 
 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
 
12. (EEAR 2019) Dadas as matrizes 
1 3
2 0
A
 
=  
 
e 
0 1
1 2
B
 
=  
 
, o produto A.B é a matriz: 
 
 
 
 
 
13. (EEAR 2013) Sejam as matrizes
1 1
0 1
A
 
=  
− 
 e 
1 2
1 0
B
− 
=  
 
. A soma dos elementos de A.B é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
14. (EEAR 2006) Sendo 
2 1
4 5
A
− 
=  
 
 e 
4 5 3
4 0 3
B
 
=  
 
, a soma dos elementos da 1ª linha 
de A.B é: 
 
a) 22 
b) 30 
c) 46 
d) 58 
 
15. (EEAR 2011) Seja 
1 1
0 1
P
 
=  
 
 e 
TP a matriz 
transposta de P. A matriz 
TQ P P=  é: 
 
 
16. (EEAR 2009) Seja 
1
2 1
1
A
x
−
− 
=  
− 
 a matriz 
inversa de 
1 1
1 2
A
 
=  
 
. Sabendo que 
1
2.A A I
− = , 
o valor de x é: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
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17. (EEAR 2006) Se 
2 1
B
x y
− 
=  
 
 é a matriz 
inversa de 
1 2
1 4
A
 
=  
 
, então x-y é: 
 
a) 2 
b) 1 
c) -1 
d) 0 
 
NÍVEL 2- OFICIAIS 
 
1. (Espcex (Aman) 2020) Duas cidades A e B têm 
suas áreas urbanas divididas em regiões Comercial, 
Residencial e Industrial. A tabela 1 fornece as áreas 
dessas regiões em hectares para as duas cidades. 
 
A tabela 2, por sua vez, fornece os valores anuais 
médios de arrecadação, em milhões de reais por 
hectare, referentes ao Imposto Predial e Territorial 
Urbano (IPTU), ao fornecimento de energia elétrica e 
ao fornecimento de água. 
 
Tabela 1 
 Área 
Comercial 
Área 
Residencial 
Distrito 
Industrial 
Cidade A 10 25 42 
Cidade B 8 12 18 
 
 
Tabela 2 
 Área 
Comercial 
Área 
Residencial 
Distrito 
Industrial 
IPTU 12 6 5 
Energia 
Elétrica 
25 12 60 
Água 15 10 50 
 
Considere as matrizes 1T e 2T , associadas 
respectivamente às tabelas 1 e 2. 
 
1 2
12 6 5
10 25 42
T T 25 12 60
8 12 18
15 10 50
 
   
= =   
    
 
 
Seja ija os elementos da matriz resultante do produto 
t
1 2T T . Nessas condições, a informação contida no 
termo de ordem 22a desse produto de matrizes é o 
valor total arrecadado com 
a) fornecimento de energia elétrica nas áreas 
residenciais. 
b) fornecimento da água da cidade A. 
c) fornecimento da água nas áreas residenciais. 
d) IPTU nos distritos industriais. 
e) fornecimento de energia elétrica na cidade B. 
 
2. (Esc. Naval 2014) Considere as seguintes matrizes 
y
x
4 (16) 1
R ;
9 a 0
 −
=  
  
 
(2y 1) 1
x
1 (4) 2
S
3 b 1
− − 
=  
  
 e 
(2y 1)b (2) 10 c
T .
27 13 6
− −
=  
−  
 
 
A soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c 
que satisfazem à equação matricial R 6S T− = é 
a) 23 
b) 26 
c) 29 
d) 32 
e) 40 
 
3. (Mackenzie 2014) Se a matriz 
 
 
 
é simétrica, o valor de x é 
a) 0 
b) 1 
c) 6 
d) 3 
e) –5 
 
4. (Esc. Naval 2013) Sejam 
1 1 2
A
4 3 0
 
=  
− 
 e 
5 0 3
B
1 2 6
− 
=  
− 
 e B' a transposta de B. O produto 
da matriz A pela matriz B' é 
a) 
9 2 10
8 6 0
21 21 6
 
 
− 
 − − 
 
b) 
5 0 6
4 6 0
− 
 
 
 
c) 
5 4
0 6
6 0
 
 
 
 − 
 
d) 
1 11
20 10
− 
 
 
 
e) 
1 10
2 1
− 
 
− 
 
 
5. (Espcex (Aman) 2013) Considere as matrizes 
1 x y z 3y z 2
4 5 5
y 2z 3 z 0
+ + − + 
 
−
 
 − + 
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3 5
A
1 x
 
=  
 
 e 
x y 4
B .
y 3
+ 
=  
 
 
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da 
Inversa da matriz A, então o valor de x y+ é 
a) –1 
b) –2 
c) –3 
d) –4 
e) –5 
 
6. (Epcar (Afa) 2012) Uma montadora de automóveis 
prepara três modelos de carros, a saber: 
 
MODELO 1 2 3 
CILINDRADA (em litro) 1.0 1.4 1.8 
 
Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada 
termo ija representa a distância percorrida, em km, 
pelo modelo i, com um litro de combustível, à 
velocidade 10j km h. 
 
6 7,6 7,2 8,9 8,2 11 10 12 11,8
5 7,5 7 8,5 8 10,5 9,5 11,5 11
3 2,7 5,9 5,5 8,1 7,4 9,8 9,4 13,1
 
 
 
  
 
 
Com base nisso, é correto dizer que 
a) para motoristas que somente trafegam a 30 km h, 
o carro 1.4 é o mais econômico. 
b) se durante um mesmo período de tempo um carro 
1.4 e um 1.8 trafegam a 50 km h, o 1.4 será o mais 
econômico. 
c) para motoristas que somente trafegam a velocidade 
de 70 km h, o carro 1.8 é o de maior consumo. 
d) para motoristas que somente trafegam a 80 km h, 
o carro 1.0 é o mais econômico. 
 
7. (Fuvest 2012) Considere a matriz 
a 2a 1
A
a 1 a 1
+ 
=  
− + 
 em que a é um número real. 
Sabendo que A admite 
inversa 1A− cuja primeira coluna é 
2a 1
1
− 
 
− 
, a soma 
dos elementos da diagonal principal de 1A− é igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
8. (Famerp 2019) A matriz quadrada 
1 0
M
0 2
− 
=  
 
 
representa uma mensagem codificada. A mensagem 
decodificada é a matriz quadrada 1
x y
M ,
z w
−  =  
 
 tal 
que 1M− é a inversa da matriz M Sendo assim, o valor 
de x y z w+ + + é 
a) 1− 
b) 0 
c) 1 
d) 
1
2
 
e) 
1
2
− 
 
9. (G1 - ifce 2019) Considere as matrizes 
1 1 2
M 2 0 3
2 1 1
− 
 
= −
 
  
 e 
0 2 3
N 1 1 1 .
0 1 2
 
 
= −
 
 − 
 A matriz M N 
tem em sua segunda coluna elementos cujo produto 
vale 
a) 56. 
b) 28. 
c) 0. 
d) 48. 
e) 8.− 
 
10. (Ueg 2019) A matriz triangular de ordem 3, naqual ija 0= para i j e ija 4i 5j 2= − + para i j é 
representada pela matriz 
a) 
1 4 9
0 0 5
0 0 1
− − 
 
− 
 − 
 
b) 
1 4 9
0 1 5
0 0 0
− − 
 
− 
 
 
 
c) 
3 8 13
0 4 9
0 0 5
 
 
 
 
 
 
d) 
3 0 0
8 4 0
13 9 5
 
 
 
 
 
 
e) 
1 0 0
4 0 0
9 5 1
 
 
− 
 − − − 
 
 
11. (Fgv 2018) Seja ij 22A (a )= uma matriz tal que 
i
ij j
j , se i j
a .
( i) , se i j
− =
= 
− 
 
 
A inversa da matriz A, denotada por 1A ,− é a matriz 
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a) 
1
2
2
1
1
2
 
− 
 
 −
  
 
b) 
1
2
2
1
1
2
 
− 
 
 −
  
 
c) 
1 2
6 3
1 2
6 3
 
− − 
 
 −
  
 
d) 
1 2
6 3
1 2
6 3
 
− − 
 
 
  
 
e) 
2 1
3 6
1 1
3 6
 
− − 
 
 −
  
 
 
12. (Unicamp 2018) Sejam a e b números reais tais 
que a matriz 
1 2
A
0 1
 
=  
 
 satisfaz a equação 
2A aA bI,= + em que I é a matriz identidade de 
ordem 2. Logo, o produto ab é igual a 
a) 2.− 
b) 1.− 
c) 1. 
d) 2. 
 
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GABARITO NÍVEL 1: 
 
1- C 
2- D 
3- A 
4- B 
5- B 
6- C 
7- A 
8- D 
9- A 
10- D 
11- B 
12- C 
13- B 
14- A 
15- B 
16- C 
17- C 
 
GABARITO NÍVEL 2: 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Tem-se que 
t
1 2
12 25 15
10 25 42
T T 6 12 10 .
8 12 18
5 60 50
 
   
 =    
    
 
 
Portanto, sendo 22a 8 25 12 12 18 60,=  +  +  podemos concluir que tal elemento representa o total arrecadado com 
fornecimento de energia elétrica na cidade B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
y (2y 1) 1 y (2y 1)
x x x x
y (2y 1)
x x
y (2y 1) (
x x
4 (16) 1 1 (4) 2 4 (16) 1 6 6 (4) 3
R 6S 6
9 a 0 3 b 1 9 a 0 6 3 6b 6
2 (16) 6 (4) 4
R 6S T
9 6 3 a 6b 6
2 (16) 6 (4) 4 b (2)
9 6 3 a 6b 6
− − −
−
−
       − − 
− =   −    =   −  
              
 − −  −
− = =  
 −  − − 
 − −  −
  =
 −  − − 
2y 1)
y (2y 1) (2y 1) y 2 y 2 y y 2 y
2
y 2 y
y
x x
10 c
27 13 6
b 2
c 4
a 6b 13 a 6 ( 2) 13 a 1
6 1
(16) 6 (4) (2) 10 (4 ) (4 ) 4 10 (4 ) 4 20 0
4 2
1 4 1 ( 20)
4 z z z 20 0 z 5 4 5 (não convém)1 9
z
2 z 4 4 4 y 1
9 6 3
−
− −
 −
 
−  
= −
= −
− = → −  − = → =
−  = − → −  =  − → + − =
 = −   −
= → + − = → = − → = −− 
= →
= → = → =
−  = x 2 x
2
x 2 x
x
27 (3 ) 6 3 27 0
( 6) 4 1 ( 27)
3 w w 6w 27 0 w 3 3 3 (não convém)6 12
w
2 w 9 3 9 x 2
→ −  − =
 = − −   −
= → − − = → = − → = −
= →
= → = → =
 
Soma dos quadrados das variáveis: 
2 2 2 2 2( 2) ( 4) 1 1 2 26− + − + + + = 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
A matriz dada é simétrica se tivermos 
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
5 1
1 1 2 5 0 6 1 2 12 1 11
0 2
4 3 0 20 0 0 4 6 0 20 10
3 6
 
+ − − + −      
 − = =      − + + + +      − 
 
 
 
 
x y z 4 x y z 4
3y z 2 y 2z 3 2y z 1
z 5 z 5
x 6
y 3 .
z 5
+ + = + + = 
 
− + = − + = − + 
 = − = − 
=

=
 = −
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Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Considere a matriz M dada por 
 
3 5 1 0
M .
1 x 0 1
 
=  
 
 
 
Aplicando as operações elementares sobre a matriz M, obtemos 
 
 1 2L L 
 
1 x 0 1
M'
3 5 1 0
 
=  
 
 
 
 2 1 2L '' ( 3) L ' L ' −  + 
 
1 x 0 1
M''
0 3x 5 1 3
 
=  
− + − 
 
 
 2 2
1
L ''' L ''
3x 5
 
− +
 
 
1 x 0 1
M''' 1 3
0 1
3x 5 3x 5
 
 = −  
 − + − +
 
 
 1 2 1L '''' ( x) L ''' L ''' −  + 
 
x 5
1 0
3x 5 3x 5
M'''' .
1 3
0 1
3x 5 3x 5
 
− − −
=  
 
− 
 − −
 
 
Desse modo, 1
x 5
3x 5 3x 5
A
1 3
3x 5 3x 5
−
 
− − −
=  
 
− 
 − −
 e, portanto, 1 t
x 1
3x 5 3x 5
(A ) .
5 3
3x 5 3x 5
−
 
− − −
=  
 
− 
 − −
 
 
Se B é a transposta da inversa de A, então 
 
 
x 1 3
3
x y 4 3x 5 3x 5 3x 5
y 3 5 3 5
y
3x 5 3x 5 3x 5
x 2
.
y 5
  
− =  +  − − −
=     
   − = − 
  − − −
=
 
= −
 
 
Portanto, x y 2 ( 5) 3.+ = + − = − 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
[A] – Na terceira coluna o carro mais econômico é o 1.0. 
 
[B] – A coluna 5 indica que o carro 1.8 será o mais econômico. 
 
[C] – Na coluna 7 o de menor consumo é o mais econômico. 
 
[D] – Na coluna 8 o carro 1.0 é o mais econômico. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
A.A-1 = I2 
 
a 2a 1 2a 1 x 1 0
a 1 a 1 1 y 0 1
a.(2a 1) (2a 1) 1
Temos o sistema 
(a 1).(2a 1) 1(a 1) 0
+ −     
 =     
− + −     
− − + =

− − − + =
 
 
Resolvendo o sistema temos a = 2, 1
2 5 3 5
A e A
1 3 1 2
− −   = =   
−   
 
 
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5. 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Calculando: 
x 1 x 1
y 0 y 01 0 x y 1 0 x y 1 0
2z 0 z 00 2 z w 0 1 2z 2w 0 1
12w 1 w
2
1 1
x y z w 1 0 0
2 2
− =  = −

− =  =− − −          
 =  =            =  =
          
 =  =

+ + + = − + + + = −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Considerando que A M N=  e que cada elemento de A seja da forma ija , podemos escrever que os elementos da 
segunda coluna são: 
 
( )
( )
( )
12
22
32
2
a 1 1 2 1 2 1 2 1
1
2
a 2 0 3 1 4 0 3 7
1
2
a 2 1 1 1 4 1 1 4
1
 
 
= −  = − − = − 
 − 
 
 
= −  = − + − = − 
 − 
 
 
=  = + − = 
 − 
 
 
Portanto, o produto pedido será: 
( )12 22 32a a a 1 7 4 28  = −  −  = 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Tem-se que 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a 4 1 5 1 2 4 1 5 2 2 4 1 5 3 2
a a a 0 4 2 5 2 2 4 2 5 3 2
a a a 0 0 4 3 5 3 2
1 4 9
0 0 5 .
0 0 1
 −  +  −  +  −  +   
   
=  −  +  −  +   
    −  +  
− − 
 
= − 
 − 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Calculando: 
( )
( )
( )
21
1 2
t
1
1 1 1 1
A det A 6
2 42 2
4 2
A '
1 1
4 1
A A '
2 1
2 1
4 11 3 6
A
2 1 1 16
3 6
−
 − − − 
 = =  = 
  − − − − 
− 
=  
− − 
− − 
= =  
− 
 
− − − − 
=  =   
−    −
  
 
 
 
 
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Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2 1 2 1 2 1 2 1 0A aA bI a b
0 1 0 1 0 1 0 1
1 4 a b 2a
0 1 0 a b
a b 1
2a 4
a 2
b 1
       
= +   = +       
       
+   
 =   
+   
+ =
 
=
=
 
= −
 
 
Por conseguinte, vem a b 2 ( 1) 2. =  − = −