GEOMETRIA ESPACIAL 2020

Prévia do material em texto

1 
 
Escola Padre Reus – 3° ano – matemática - professoras: Angela e Iana 
Período da atividade: novembro e dezembro Assunto: geometria espacial 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 














































































































ESFERA
OBLÍQUO
RETO
CILINDRO
OBLÍQUO
RETO
CONE
REVOLUÇÃODESÓLIDOS
REGULAR
OBLÍQUA
RETA
PIRÂMIDE
REGULAR
OBLÍQUO
RETO
PRISMA
SIRREGULARE
ICOSAEDRO
DODECAEDRO
OCTAEDRO
HEXAEDRO
TETRAEDRO
REGULARES
POLIEDROS
SGEOMÉTRICOSÓLIDOS
 
 
Vídeo explicativo sobre o conteúdo acessar o links abaixo: 
• Prisma 
https://www.youtube.com/watch?v=QjW6pSH0jVc 
https://www.youtube.com/watch?v=_sKcgx590J4 
• Pirâmide 
https://www.youtube.com/results?search_query=estudo+da+piramide 
• Cilindro 
https://www.youtube.com/results?search_query=cilindro 
• Cone 
https://www.youtube.com/watch?v=RJSBvqVWHJo 
• Esfera 
https://www.youtube.com/results?search_query=esfera 
• Exercícios resolvidos 
https://www.youtube.com/watch?v=3-4l_cRB9rw 
 https://www.youtube.com/watch?v=To24BokrHsA 
2 
 
 
POLIEDROS: são sólidos geométricos limitados (formados) por figuras planas. 
 
Elementos de um poliedro 
• Faces: são as figuras planas que formam o sólido; 
 Arestas: são os lados da figura plana; 
 Vértices: são os pontos de encontro das arestas. 
 
 
 
 
 
Podemos classificar um poliedro de acordo com o número de faces. Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poliedro convexo é todo poliedro em que qualquer segmento de reta que una quaisquer dois de seus pontos está 
contido no interior do poliedro ou numa das regiões poligonais. 
 Poliedro convexo Poliedro não convexo 
 
 
Entre os vários tipos de poliedros, estudaremos dois: os prismas e as pirâmides. 
 
 
 
 
 
 
Nº de 
faces 
Classificação 
4 Tetraedro 
5 Pentaedro 
6 Hexaedro 
7 Heptaedro 
8 Octaedro 
9 Eneaedro 
10 Decaedro 
 11 Undecaedro 
12 Dodecaedro 
... ... 
20 Icosaedro 
 
 
 
3 
 
ESTUDO DO PRISMA 
 
DEFINIÇÃO: Prismas são poliedros convexos que tem duas faces paralelas e congruentes (bases) e as demais faces em 
forma de paralelogramos (faces laterais). Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um prisma é reto: quando as arestas laterais são perpendiculares às bases; caso contrário, o prisma é oblíquo. 
 
 prisma reto prisma oblíquo 
 
 
 
 
 
Um prisma é regular quando for reto e sua base for um polígono regular. 
 
Num prisma destacamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um prisma recebe denominação de acordo com o polígono da base, se a base é um: 
* triângulo → prisma triangular; 
* quadrado → prisma quadrangular; 
* pentágono → prisma pentagonal; e assim por diante. 
 
 
 
4 
 
 
ÁREAS E VOLUME DE UM PRISMA 
 PRISMA PENTAGONAL RETO PRISMA QUADRANGULAR OBLIQUO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A superfície lateral de um prisma é sempre composta por retângulos – se o prisma for reto – ou 
paralelogramos – caso seja oblíquo. A quantidade desses retângulos ou paralelogramos é igual à quantidade de lados 
do polígono da base. 
Portanto: 
Área da base (Ab) : é a área de um dos polígonos da base. 
Área Lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais. 
Área total (At) é a soma da área das 2 bases com a área lateral. At = Al + 2Ab. 
Volume (V): é o produto entre a área da base e a altura. V = Ab.h 
 
PRISMAS ESPECIAIS 
 
 Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Ele pode ser tanto reto quanto oblíquo. Se for 
um prisma reto cujas bases sejam retângulos, também é conhecido por paralelepípedo reto-retângulo ou 
bloco retangular. 
 
 
 Cubo é um paralelepípedo reto-retângulo que possui todas as arestas congruentes. 
 
 
 
 
5 
 
Cálculo da medida da diagonal 
 PARALELEPÍPEDO CUBO 
 
 
 
 
 
 
Triângulo amarelo d2 = a2 + b2 1 
 
Triângulo verde D2 = d2 + c2 2 Pensando da mesma forma para o cubo,temos: 
 
Substituindo 1 em 2 D2 = a2 + b2 + c2 D2 = 3a2 D = √a� � a� � a� 
 
 D = √3�� D = �√3 
 D = �	
 � �
 � �
 
 
 
 
Área e Volume de um paralelepípedo retângulo e de um cubo 
Considere o paralelepípedo reto-retângulo e sua planificação a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O paralelepípedo é um prisma com faces retangulares e a área total deste sólido é dada pela seguinte soma: 
At= ac + ab + ac + bc + bc + ab 
Ao agruparmos os termos semelhantes, temos: 
At= 2ab + 2ac + 2bc 
At= 2 (ab + ac + bc) V = a.b.c 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Um cubo é um paralelepípedo reto-retângulo que possui todas as arestas congruentes. Isso significa que as seis faces 
do cubo correspondem a quadrados cujo lado possui a mesma medida da aresta do cubo, o que é facilmente 
observado na planificação do cubo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
At = 6a2 V = a3 
 
 
 
Exemplos: 
1) A área lateral é 72 cm2. Calcule a altura do prisma. 
 Veja que a área de um retângulo = b.h 
 Al = área dos 3 retângulos 
 Al = 3. 6.h 
 72 = 18 h 
 h = 4 cm 
 
 
 
2) A diagonal de uma face de um cubo tem medida 5 2 cm. Qual a área do cubo? 
 
 D d2 = a2 + a2 At = 6. a2 
 
�√
 )2 = 2 a2 At = 6.25 
 25.2 = 2 a2 At = 150 cm2 
 25 = a2 
 a = 5 
 
3) Calcular a área total e o volume do prisma abaixo: 
 Este prisma não é regular, possui todas as faces distintas. Temos que calcular a área 
 de cada uma delas: 
 Af (I) = 30 · 25 = 750 cm2 Af (II) = 30 · 20 = 600 cm2 Af (III) = 30 · 15 = 450 cm2 
Al = 750 + 600 + 450 = 1 800 cm2 
 
 
A base deste prisma é um triângulo retângulo: Área total (AT) 
Ab = 
�.�
 Ab = 
�.��
 = 
���
 = 150 cm2 AT= AL+ 2Ab 
 AT = 1 800 + 2⋅150 = 1 800 + 300 = 2 100 cm2 
 V = Ab.h 
 V = 150 . 30 = 4500 cm2 
7 
 
1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos seguintesprismas: 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
2) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de cada um dos paralelepípedos retângulos representados 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo cuja soma das medidas das arestas é igual a 
48 cm. 
 
4) A base de um prisma reto de 8 cm de altura é um quadrado inscrito em um círculo de 6 2 cm de diâmetro. 
Determine a área total e o volume desse prisma. 
 
5) Considere um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de perímetro 12 dm. Determine a área total e o 
volume desse prisma, sabendo que a medida da sua altura é o dobro da medida da altura da base. 
 
6) Um artesão vende porta-joias que têm a forma de prismas heptagonais regulares. Ele oferece aos clientes a 
opção de revestimento de toda a superfície lateral do porta-joias com resina e, por esse serviço, cobra sobre o 
preço marcado um adicional de R$ 0,15 por centímetro quadrado de superfície revestida. Mafalda comprou um 
desses porta-joias e optou por fazer tal revestimento. Então, se o porta-joias que ela comprou tinha 4 cm de altura 
e a aresta da base mede 3 cm, que quantia adicional ela pagou? 
 
7) Sabe-se que a base de um prisma reto é um hexágono regular cujo apótema mede 6 3 dm. Se a altura desse 
prisma mede 20 dm, determine sua área total e seu volume. 
 
8) Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a medida de sua diagonal é 3 10 dm e duas 
de suas dimensões medem 4 dm e 7 dm. 
 
9) Priscila usou massa de modelar para construir um paralelepípedo retângulo cujas dimensões eram 
20 cm X 30 cm X 45 cm. Em seguida, ela desmanchou o paralelepípedo que havia construído e aproveitou toda 
a massa usada na sua construção para modelar um cubo de x centímetros de aresta. Com base nessas informações, 
determine x. 
 
10) Um sólido cúbico maciço de madeira tem aresta igual a 8 cm. Sabendo que a densidade da madeira é 
0,8 g/cm3,calcule a massa desse sólido. 
 
11) O volume de uma caixa d’água cúbica é de 216 litros. Qual a medida de sua aresta? 
 
 
 
 
8 
 
 
ESTUDO DA PIRÂMIDE 
 
Pirâmide é um poliedro que possui apenas uma base e apresenta faces laterais triangulares com um vértice 
comum. A pirâmide e seus elementos, na figura abaixo: 
 
 
As pirâmides podem ser retas ou obliquas, e recebem nome de acordo com o polígono da base. 
 Pirâmide hexagonal reta pirâmide triangular obliqua 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pirâmide regular é a pirâmide reta que tem na base um polígono regular. 
Em toda pirâmide regular tem-se que: 
• o segmento que liga o vértice ao centro da base é a altura da pirâmide; 
• o polígono da base é regular por isso pode ser inscrito numa circunferência de raio r, chamado raio da base. 
• as faces laterais são triângulos isósceles 
• a altura de cada face lateral é o apótema da pirâmide (app). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Observação 1: Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos quais 
aparecem os elementos da pirâmide, vejamos: 
 VOA : al2 = h2 + r2 
 VOM: app2 = h2 + ap2 
 VMA: al2 = 
��
�
 + app2 
 OMA: r2 = 
��
�
 + ap2 
 
 
 
Observação 2: A pirâmide formada por 4 triângulos equiláteros é chamada TETRAEDRO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÁREAS E VOLUME DE UMA PIRÂMIDE 
 Pirâmide Pentagonal 
 
A superfície lateral (Al) de uma pirâmide é composta por triângulos e sua base (B) é um polígono convexo. Desse 
modo, a área total corresponde à soma das áreas dos triângulos da face e da área do polígono da base da pirâmide. 
Portanto: 
Área da base (Ab ): área do polígono da base 
Área lateral (Al ): soma das áreas das faces laterais(triângulos) 
Área total (At ): soma da área lateral com a área da base: At= Al+ Ab 
Volume: V = 
��.�
�
 
 
al 
10 
 
Exemplos: 
1) Determine a área total de uma pirâmide de base quadrada, sabendo que a medida da aresta da base é 8 cm e o 
apótema da pirâmide é 14 cm. 
ab = 8 cm base da pirâmide: quadrado de lado 8cm área de uma face lateral (triângulo) 
app = 14 cm Ab = 82 = 64 cm2 Af = 
�.�
 = 
�.��
 = 56 cm2 
At = Al + Ab Al = 4. 56 = 224 cm2 
 At =224 + 64 
 At = 288 cm2 
 
2) Qual é a área total da pirâmide planificada a seguir? 
 Área de uma face lateral Área lateral 
 Af = 
�
.��
 = 60 cm2 Al = 4. 60 = 240 cm2 
 
 
 
 Área da base Área total 
 A = 122 = 144 cm2 At = 240 + 144 
 At = 384 cm2 
 
 
 
3) Um sólido foi construído retirando-se uma pirâmide de um prisma, ambos de base hexagonal e mesma 
altura. Sabendo que a medida da aresta da base é de 4 cm e altura do prisma é 10 cm, qual é o volume do sólido 
encontrado? 
 O volume do sólido encontrado corresponde à diferença entre os volumes do 
 prisma e da pirâmide. 
 A área da base do prisma é igual a área da base da pirâmide: 
 Ab = 
�.	�
√�
�
 Volume do prisma Volume da pirâmide 
 Ab = 
�.�
√�
�
 V = Ab.h V = 
��.�
�
 
 Ab = � .��√�
�
 V = 24√�.10 V = 
��
��
� 
 Ab = 24√� V = 240√� V = 80 √� 
 O volume do sólido encontrado é: V = Vprisma - Vpir 
 V = 240√� - 80 √� 
 V = 160√� cm3 
 
 
12 cm 
11 
 
 
1) Calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide regular, cujas dimensões estão indicadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
2) A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule o seu volume. 
 
3) Calcule o volume de uma pirâmide de 12 m de altura, sendo a base um losangocujas diagonais medem 6 m e 10m. 
 
4) A base de uma pirâmide de 8 m de altura é um hexágono regular cujo apótema mede 2 3 m. Determine o volume 
dessa pirâmide. 
 
5) Determine o volume da pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 6 2 cm e a aresta lateral mede 
10 cm. 
 
6) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos 
comprimentos de todas as arestas laterais. 
 
7) (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem altura igual ao lado da base e volume 4 3 cm3. Qual é a área total 
dessa pirâmide? 
 
8) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais, sendo a área da base igual a 16cm2. Qual é a sua 
altura? 
 
9) Uma pirâmide reta tem 12 dm de altura. Sua base é um retângulo com 8 dm de comprimento e cuja diagonal mede 
10 dm, calcule o volume dessa pirâmide. 
 
10) Uma pirâmide quadrangular regular tem 12 cm de altura e 10 cm de aresta da base. Calcule sua área total. 
 
11) O perímetro da base de um tetraedro regular é 12cm. Determine: 
a) a área total do tetraedro; 
b) a medida de sua altura; 
c) o volume do tetraedro. 
 
12) Um peso maciço de papel é feito de vidro e tem a forma de um tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm. 
Sabendo que a densidade do vidro é 2,6g/cm3, qual é a massa desse peso de papel? Use 2 = 1,4. 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
ESTUDO DO CILINDRO 
 
Cilindro é uma figura geométrica espacial com duas bases circulares e paralelas entre si, com o mesmo raio. 
Um cilindro pode ser reto ou oblíquo. 
 
O cilindro reto é também chamado de cilindro de revolução pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de 
um de seus lados. 
 
 
Elementos do cilindro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SECÇÃO MERIDIANA: é a intersecção do cilindro com um plano que contém seu eixo (é um corte na vertical passando 
 pelo centro das duas bases). 
A secção meridiana em um cilindro reto é um retângulo. Se a secção meridiana for um quadrado, esse cilindro é 
chamado cilindro equilátero e a altura é igual ao diâmetro da base, é, h = 2r 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura temos: 
* bases do cilindro: círculos de centros O e O’, de raio r. 
 
* eixo do cilindro: reta que passa pelo centro das bases. 
 
*geratriz: são os segmentos de extremidades nas 
 circunferências das bases e paralelos ao eixo do cilindro. 
 No cilindro reto g = h. 
 
*altura: é a distância entre as bases do cilindro. 
 
13 
 
 
ÁREAS E VOLUME DE UM CILINDRO 
Planificando o cilindro obtemos um retângulo e dois círculos 
 
 
A medida do comprimento do retângulo é igual ao comprimento da circunferência – contorno do círculo – da base 
do cilindro e, por isso, sua medida é 2πr. Já a altura do retângulo é igual à altura do cilindro ,h, indicado na figura. 
Portanto: 
Área da base (Ab ): área de um círculo da base Ab = π.r2 
Área lateral (Al ): área do retângulo Al= 2π.r.h 
Área total (Att ): soma da área lateral com a área das duas bases: 
AT= AL+ 2Ab 
AT = 2π r h + 2πr2 
AT = 2π r (h + r) 
Volume: O cilindro nada mais é que um prisma de base circular. Logo: V = Ab . h 
 V = π.r2.h 
 
 Exemplos: 
1) A área da seção meridiana de um cilindro equilátero é 100 cm2, calcule a área total e o volume deste sólido. 
seção meridiana de um cilindro equilátero = quadrado 
área do quadrado = 100 
A = a2 r = 5 At = 2π r (h + r) 
100 = a2 h = 10 At = 2π 5 (10 + 5) = 150 π cm² 
a = 10 10 
 V = π.r2.h 
 10 V = π.52.10 = 250 π cm³ 
 
 
2) Uma peça de madeira, com a forma de um prisma reto de base quadrada, tem em seu centro um furo cilíndrico de 
2,8 cm de raio, conforme mostra a figura abaixo. Se o prisma tem 10 cm de altura e o lado do quadrado da base 
mede 18 cm, determine a massa dessa peça, em quilogramas, considerando que a densidade da madeira é 
0,93 g/cm3. 
 Para sabermos a massa precisamos ter o volume da peça 
 Vpeça = v p – v cil volume do prisma volume do cilindro 
 18 V peça = 324 – 246,17 v = Ab.h V = π.r2.h 
 V = 77,82 cm3 v = 182 . 10 V = 3,14 . (2,8)2 . 10 
 v =324 . 10 =3240 V = 246,176 
 A massa da peça é 77,82 . 0,93 = 72,3 g 
 
 
 10 
 18 
14 
 
1) Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras. 
a) b) c) 
 
 
 
2) Uma lata de óleo cilíndrica possui as seguintes medidas internas: raio da base 4 cm e altura 22 cm. Nessa lata, é 
possível armazenar mais que um litro de óleo? 
 
3) Determine o volume de um cilindro, sabendo que sua área lateral é igual a 250π cm2 e que o raio de sua base 
mede 10 cm. 
 
4) Um reservatório cilíndrico de armazenamento de água possui internamente 14 m de altura e 8 m de diâmetro e 
está vazio. Se ele receber água à razão de 160 litros por minuto, qual é o menor número inteiro de dias necessários 
para enchê-lo completamente? 
 
5) O perímetro da seção meridiana de um cilindro reto mede 28 cm. Sabendo que a área lateral do cilindro é 
48π cm2, determine seu volume. 
 
6) Um recipiente cilíndrico tem 20 cm de altura e diâmetro interno de 10 cm. Determine quantos quilogramas de 
mercúrio são necessários para encher completamente esse vaso, sabendo que a densidade do mercúrio é 
13,6 g/cm3. Use π = 3,14. 
 
7) Um cilindro reto tem 30π m2 de área lateral e 45π m3 de volume. Determine: 
a) a medida de sua altura; b) sua área total. 
8) Calcule a área total da superfície de um cilindro equilátero, sabendo que o seu volume é igual a 250π cm3. 
 
9) A planificação da superfície lateral de um cilindro reto tem dimensões 6cm e 8 cm. Determine a área total e o 
volume do cilindro, considerando π = 3,1. 
 
10) Um poço, com a forma de um cilindro reto, deve ser construído em um terreno plano. Se ele deve ter 24dm de 
diâmetro por 140 dm de profundidade, quantos metros cúbicos de terra deverão ser removidos para sua construção? 
Considereπ = 3,14 
 
11) Numa feira livre, o caldo de cana é vendido em dois recipientes cilíndricos: o copo grande, que tem 5 cm de raio 
da base e 12 cm de altura, e o copo médio, com 3 cm de raio da base e altura de 10 cm. Para o consumidor, qual 
copo é mais vantajoso, se o maior custa o triplo do médio? 
 
12) Um cilindro está inscrito em um cubo cuja aresta mede 10 cm, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
13) Em um experimento, um professor de Química usou um vasilhame cilíndrico de 6 cm de raio da base, contendo 
água até certa altura. Imediatamente após adicionar 16 pedras cúbicas de gelo, cada uma com aresta de 3 cm, o nível 
da água atingiu 12 cm. Qual era o nível da água antes da adição dogelo? Considere π = 3. 
 
 
 
a) Determine, na ordem dada, a razão entre as áreas totais do cubo e do cilindro. 
b) Determine os volumes do cubo e do cilindro. 
 
15 
 
 
ESTUDO DO CONE 
 Dados um círculo e um ponto V fora dele, o sólido formado pela união de todos os segmentos de reta com uma 
extremidade em V e outra em um ponto do círculo é chamado cone. 
Um cone pode ser reto ou oblíquo. 
 
Elementos do cone: 
* base do cone: círculo de centro O e raio r. 
* eixo: reta que passa pelo centro da base e pelo vértice. 
* geratriz(g): são os segmentos de extremidades em V e na circunferência da base 
do cone 
 
* altura(h): é a distância entre o vértice e o plano que contem a base 
 
 
Obs.: O cone reto é também chamado de cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo 
 em torno de um de seus catetos. Em todo cone reto vale a relação: g2 = h2 + r2 
 
 
 
SEÇÃO MERIDIANA: é a intersecção do cone com um plano que contém seu eixo (corte na vertical passando 
 pelo vértice e o centro da base do cone). 
No cone reto a secção meridiana é um triângulo isósceles. Se a secção meridiana é um triângulo equilátero, dizemos 
que o cone é equilátero e a geratriz é igual ao diâmetro, g = 2r. 
 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
ÁREAS E VOLUME DE UM CONE 
 
 
Na planificação do cone é possível observar que a superfície lateral é equivalente a um setor circular de raio igual a g 
e arco de circunferência de comprimento igual a 2πr. A área de um setor circular pode ser obtida por meio do seu 
comprimento e do seu raio: 
2
.raioocompriment
circular)(setorA = 
Portanto: 
Área lateral (Al): área do setor circular Al = 
2
..2 gr.π
 Al =π.r.g 
Área da base (Ab): área do círculo Ab = π.r2 
Área total (Att ): soma da área lateral com a área da base: 
 AT= AL+ Ab 
 AT = πrg + πr2 
AT = πr(g + r) 
Volume: O cilindro nada mais é que uma pirâmide de base circular. Logo: V = 
3
h . Ab
 
 V = 
3
π.r2
 
 
 
Exemplo: 
No cone representado a seguir, o raio da base mede 10 cm. Sabendo que o eixo forma um ângulo de 60°com o plano 
da base do cone, calcule o volume desse sólido. Utilize π = 3 e √3 = 1,7. 
 Para calcular o volume precisamos da altura da pirâmide 
 tg 60° = 
��
�	
 V = 
��
.�
�
 
 √� = 
�
��
 V = 
� .��
.��√�
�
 
 h = 10√� V = 1000 . 1,7 = 1700 cm3 
 
 
17 
 
 
1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos sólidos, cujas medidas estão indicadas. 
 a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o volume do cone cujo raio da base mede 4 cm e cuja altura mede 5 cm. 
 
3) Determine a área da base de um cone de revolução de 6 cm de altura cujo volume é 128π cm3. 
 
4) Um cone circular reto tem 20 dm de altura e sua geratriz mede 25 dm. Determine a área total e o volume desse 
cone. 
 
5) Sabe-se que a seção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles de área igual a 36 cm2. Se esse 
cone tem 1 5 cm de altura, qual é o seu volume? 
 
6) Seja o triângulo retângulo cujos catetos medem 9dm e 12 dm. Em cada caso seguinte, determine o volume do 
sólido gerado pela rotação desse triângulo, em torno: 
a) do cateto menor b) do cateto maior. 
 
7) Em alguns comércios, encontramos “guarda--chuvas” de chocolate. Considere que cada guarda-chuva tem o 
formato de um cone circular reto com 4cm de diâmetro da base e 6 cm de altura. Sabendo que a densidade do cacau 
usado na fabricação desse chocolate é de 1,05 g/cm3, determine a massa de cacau, em quilogramas, necessária para 
preparar 2500 desses cones. Useπ = 3,1. 
 
8) A base de um cone equilátero foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8litros de tinta. Nessas 
condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a: 
a) 18 b) 27 c) 30 d) 36 e) 40 
 
9) Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total é 54π m2. 
 
10) O silo representado abaixo possui altura total de 15 metros. Nele podem ser armazenados 325π m3 de cereais. 
Determine: 
a) a medida da altura do cone; 
b) o custo de fabricação do silo, sabendo que a chapa de aço utilizada em sua confecção custa R$ 200,00 por m2. 
Considere π = 3,1 e 34 = 5,8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
ESTUDO DA ESFERA 
 Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou 
igual ao raio R. 
 A esfera é gerada pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e que contém o seu diâmetro. 
 
 
 A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, conjunto de todos os pontos do espaço que estão à mesma 
distância do centro da esfera. 
 
Seção na esfera: Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d do seu centro, iremos 
sempre obter um círculo. 
 
 
 
Se a seção for feita passando pelo centro da esfera (d = 0) o círculo obtido terá o mesmo raio da esfera e será 
denominado CÍRCULO MÁXIMO DA ESFERA. 
Área da esfera: A = 4π R2 Volume da esfera : V = 3R π
3
4
 
 
Ex.: Calcule a área do círculo determinado por uma secção esférica feita a 5 cm do centro de uma esfera de raio 
13cm. 
secção esférica = círculo R2 = d2 + r2 área da secção esférica 
R = 13 132 = 52 + r2 A = π.r2 
d = 5 169 = 25 + r2 A = π .122 
 169 -25 = r2 A= 144 π cm2 
 144 = r2 
 r = 12 
 
 
R2 = d2 + r2 
19 
 
1) Se uma esfera tem 12 cm de diâmetro, qual é a área de sua superfície e qual é o seu volume? 
2) Calcule o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é 576π cm2. 
3) O raio de uma esfera mede 4 cm. Um plano que seciona essa esfera determina nela um círculo com raio de 
medida 1 cm. Determine a distância do plano ao centro da esfera. 
 
4) Um plano intersecta uma esfera determinando uma seção de área 36π cm2. Sabendo que a área da superfície 
dessa esfera é 400π cm2, determine a distância do centro da esfera ao plano. 
 
5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2. 
 
6) Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada mm2 desse banho foi R$ 0,05. 
Qual foi o custo total? Use π = 3,14. 
 
7) Afigura mostra um reservatório industrial de aço usado para armazenamento de cereais, 
conhecido como silo. Ele é formado por um cilindro circular reto, com 8 m de altura e 
raio interno da base 2 m, encimado por uma sem esfera. Usando π = 3,1, responda: 
a) Quantos metros quadrados de aço são gastos na confecção desse silo? 
b) Quantos metros cúbicos de cereais o silo pode armazenar?8) (UFO-MG) Uma casquinha de sorvete é um cone de 10cm de altura e 4cm de diâmetro na base. Duas bolas 
esféricas de sorvetes, também de 4cmde diâmetro, são colocadas na casquinha. Se o sorvete derreter na casquinha: 
a) O sorvete encherá completamente a casquinha, sem transbordar. 
b) Transbordarão 8π cm3 de sorvete. 
c) Faltarão 8π cm3 de sorvete para encher completamente a casquinha. 
d) Transbordarão 6π cm3 sorvete. 
e) Faltarão 6π cm3 de sorvete para encher completamente a casquinha 
9) (UFRGS) São fundidas 300 esferas com 20mm de diâmetro para fabricar cilindros circulares retos com 20mm de 
diâmetro e 200mm de altura. Quantos cilindros serão fabricados? 
 
10) (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas 
com 3cm de raio cada, conforme a figura. Qual a quantidade total de material utilizado para fabricar a embalagem, 
incluindo a tampa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
1) a) Al = 42 cm2 b) Al = 15 cm2 c) Al = 30 3 cm2
 At = 54 cm2 At = 3 (5 + 3 ) cm2 At = 6 (5 3 + 3) cm2 
 V = 21 cm3 V = 
4
315 cm3 V = 
2
345 cm3 
 
2) a) D = 2,5 3 cm b) D ≅ 3,8 cm c) D ≅ 3,9 cm 
 At = 37,5 cm2 At = 28 cm2 At = 27 cm2 
 V = 15,625 cm3 V = 10 cm3 V = 9 cm3 
 
3) D = 4 3 cm At = 96 cm2 V = 64 cm3 
 
4) At = 264 cm2 V = 288 cm3 
 
5) At = 56 3 dm2 V = 48 dm3 
 
6) R$12,60 7) At = 72(20 + 3 3 )dm2 V = 4320 3 dm3 
 
8) V = 140dm3 
 
9) x = 30 cm 10) m = 409,6g 11) a = 6 dm 
 
 
 
 
 
 
21 
 
1) Al = 48 6 cm2 At = 24(2 6 + 3 ) cm2 V =48 7 cm3 
 
2) V = 8 cm3 3) V =120 m3 4) V = 64 3 m3 
 
5) V = 192 cm3 6) V = 24 3 cm3 7) At = 6( 3 + 7 )cm2 
 
8) h = 2 2 cm 9) V = 192 dm3 10) At = 360 cm2 
 
11) a) At = 16 3 cm2 b) h =
3
64 cm c) V = 
3
216 cm3 
 
12) m = 65,52g 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
1) a) Al = 4π cm2 b) Al = 616,8 mm2 c) Al = 5π cm2 
 At = 6π cm2 At = 817,76 mm2 At = 7π cm2 
 V = 2 π cm3 V = 480π mm3 V = 25π cm3 
 
2) V = 1105,28 ml sim, é possível armazenar mais de 1L. 
 
3) V = 1250π cm3 4) 4 dias 5) V = 96π cm3 ou V = 72π cm3 
 
6) 21,3 kg 7) a) h = 5m b) At = 48π m2 8) At = 150π cm2 
 
9) At = 53,8 cm2 V = 23,2 cm3 ou At = 58,3 cm2 V = 30,5 cm3 
 
10) V = 63,3 m3 11) o maior é mais vantajoso 
 
12) a) 1,27 b) V cubo = 1000cm3 V cilindro = 250π cm3 
 
13) h = 8cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
1) a) Al = 242π cm2 b) Al = 50π 53 cm2 c) Al = 47,55 cm2 
 At = 363π cm2 At = 10 π (10 + 50 53 ) cm2 At = 61,68π cm2 
 V = 
3
31331 π cm3 V = 
3
3500π cm3 V = 6π cm3 
 
2) V = 
3
80π cm3 3) Ab = 64 π cm2 4) At = 600 π dm2 
 V = 1500 π dm3 
 
 
5) V = 28,8 π cm3 6) a) V = 432 π dm3 7) m=65,1Kg 
 b) V = 324 π dm3 
 
 
8) d 9) h = 3 6 m 10) a) h = 3 m 
 b) R$107.880,00 
 
 
 
1) A = 144 π cm2 V = 288 π cm3 2) V = 2304 π cm3 
 
3) d = 15 cm 4) d = 8 cm 5) V = 36 π cm3 
 
6) R$628,00 7) a) 138,16 m2 8) b 
 b) 115,7 m3 
 
9) 20 cilindros 10) 126 π cm2